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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 23 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·能力提升 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数 学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，41 【答案】D 【分析】勾股数的定义为：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数. 本 题只需依次验证各选项是否满足该条件即可． 【详解】解：A：∵ 2 2 12 13 144 169 313 + = + = ， 2 14 196 = ，313 196 ， ∴ 12，13，14 不是勾股数； B：∵ 2 2 24 25 576 625 1201 + = + = ， 2 26 676 = ，1201 676 ， ∴ 24，25，26 不是勾股数； C：∵ 2 2 9 30 81 900 981 + = + = ， 2 31 961 = ，981 961 ， ∴ 9，30，31 不是勾股数； D：∵ 2 2 2 9 40 81 1600 1681 41 ， ∴ 9，40，41 是勾股数． 2．在直角三角形中，斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为（ ） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】D 【分析】已知直角三角形的斜边长和一条直角边长，可直接利用勾股定理计算另一条直角边长． 【详解】解：设另一条直角边长为a ， 0 a ， ∴ 2 2 2 5 13 a + = ， ∴ 2 2 2 13 5 169 25 144 a = − = − = ， ∴ 144 12 a = = ． 3．在Rt ABC △ 中， 90 C = ，若 4 AB = ，则 2 2 2 AB BC AC + + 等于（ ） A．32 B．16 C．20 D．25 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 23 【分析】根据勾股定理得到两条直角边的平方和等于斜边的平方，整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵在Rt ABC △ 中， 90 C = ， 4 AB = 且AB 为斜边， ∴ 2 2 2 16 BC AC AB + = = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 32 AB BC AC AB BC AC AB + + = + + = = ． 4．（25-26 八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面5 m 的点C 处折断，大树顶端的 着地点A与大树底端B 的距离为12 m ，则这棵树折断前的高度为（ ） A．17 米 B．18米 C．25 米 D．30米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AC 长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度BC 即可求出答案． 【详解】解：由图可知， 5m BC = ， 12m AB = ， 在Rt ABC △ 中， 2 2 2 2 5 12 13m AC BC AB = + = + = ， 这棵树折断前的高度为 5 13 18m BC AC + = + = ． 5．下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c 为一组勾股数，那么3a 、3b 、3c 仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a b c = ），那么 2 2 2 : : 2:1:1 a b c = ． 其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股数的定义，逐一判断每个命题即可得到答案． 【详解】解：对四个命题逐一判断： ①∵题目未说明5 和12 都是直角边，当12 是斜边时，斜边不是13，∴①错误； ②∵a ，b ，c 是一组勾股数，不妨设 2 2 2 a b c + = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (3 ) (3 ) 9 9 9 9 (3 ) a b a b a b c c + = + = + = = ， ∴3a ，3b ，3c 仍是勾股数，故②正确； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 23 ③∵ 2 2 12 21 144 441 585 + = + = ， 2 25 625 = ， 2 2 2 12 21 25 + ，不满足直角三角形的条件， ∴该三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中a b c = ，a 为斜边， ∴由勾股定理得 2 2 2 b c a + = ，代入b c = 得 2 2 2 a b = ， ∴ 2 2 2 2 2 2 : : 2 : : 2:1:1 a b c b b b = = ，故④正确； 综上，正确的命题是②④． 6．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以Rt ABC △ 的直角边AB ，BC 为边向外作正方形，其面积 分别为 1S ， 2 S ，以斜边AC 为直径向外画半圆，其面积为 3 S ．若 1 5 S = ， 2 3 S = ，则 3 S 等于（ ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到 2 8 AC = ，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得 2 1 2 2 , AB S C S B = = ，且 1 5 S = ， 2 3 S = ， 2 2 3 5 8 BC AB + = + = ， 根据勾股定理，得 2 2 2 8 BC AB AC + = = ， 故圆的面积为 2 2 2 2 4 AC AC = = ， 根据题意，得 3 S 是半圆的面积， 故 3 1 2 2 S = = ； 7．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的 长为30 步，宽与对角线的和为50 步，不知田有几亩．设长方形田的宽为x 步，则可列方程为（ ） A．30 50 x x + = − B． ( ) 2 2 2 30 50 x x + − = C． ( ) 2 2 2 30 50 x x + = − D． ( ) 2 2 2 50 30 x x + − = 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 23 定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为x 步，宽与对角线的和为50步， 则对角线长为( ) 50 x − 步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为30步， ∴根据勾股定理可得 ( ) 2 2 2 30 50 x x + = − ，C 选项符合题意． 8．如图，在4 4 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A． 2 20 AB = B． 90 BAC = C．ABC 的面积为10 D．点A 到直线BC 的距离是2 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、 2 2 2 2 4 20 AB ，正确，不符合题意； B、 2 2 2 1 2 5 AC = + = ， 2 2 2 2 4 20 AB ， 2 2 2 3 4 25 BC = + = ， 2 2 2 AC AB BC + = ， 90 BAC = ，正确，不符合题意； C、 1 1 1 4 4 3 4 1 2 2 4 5 2 2 2 ABC S = − − − = △ ，结论错误，符合题意； D、设点A到直线BC 的距离为h ， 2 2 2 3 4 25 BC = + = ， 5 BC = ， 则1 5 5 2 h = ， 解得 2 h = ，即点A到直线BC 的距离是2，正确，不符合题意． 9．如图，Rt ABC △ 中， 8 AB = ， 6 BC = ， 90 B = ，M ，N 分别是边AC ，AB 上的两个动点．将ABC 沿直线MN 折叠，使得点A的对应点D 落在边BC 的三等分点处，则线段BN 的长为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 23 A．3 B．15 4 C．3 或15 4 D．3 或5 3 【答案】C 【分析】根据题意，分点D 在BC 上且靠近点B 的三等分点时和点D 在BC 上且靠近点C 的三等分点时两种 情形，设，在Rt BDN 中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D 在BC 上且靠近点B 的三等分点时， ∴ 1 2 3 BD BC = = ， 设BN x = ，则 8 AN DN x = = − ， ∴在Rt BDN 中， 90 B = ， ∴( ) 2 2 2 8 2 x x − = + ， 解得 15 4 x = ， ②当点D 在BC 上且靠近点C 的三等分点时， ∴ 2 4 3 BD BC = = ， 设BN x = ，则 8 AN DN x = = − ， ∴在Rt BDN 中， 90 B = ， ∴( ) 2 2 2 8 4 x x − = + ， 解得 3 x = ， 综上所述， 3 BN = 或15 4 ． 10． （25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（Rt ADE △ ，Rt DCH △ ， Rt CBG △ ，Rt BAF △ ）与一个小正方形EFGH 组成的一个大正方形ABCD，连接DF 交CH 于点M ，已知 正方形ABCD的面积为25 ， 2 DE AE = ，下列结论正确的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 23 A．正方形EFGH 的面积为4 B． 2 20 DF = C．M 是DF 的中点 D． 15 BG CG = 【答案】C 【分析】设AE x = ，则 2 2 DE AE x = = ，由题意及勾股定理列方程求出 2 5 x = 即可判断A、B；结合三角形 全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出 2 , BG DE x CG AE x = = = = ，直接计算BG CG 即可判 断D． 【详解】解：A、设AE x = ，则 2 2 DE AE x = = ， 在Rt ADE △ 中， 2 2 2 AD AE DE = + ， 正方形ABCD的面积为25 ， 2 25 AD = ，则 2 2 4 25 x x + = ， 解得 2 5 x = ， 四个相同的直角三角形（Rt ADE △ ，Rt DCH △ ，Rt CBG △ ，Rt BAF △ ）， DH AE x = = ， 则正方形EFGH 的面积为 2 5 4 x = ，选项结论错误； B、在Rt DEF △ 中， 2 2 2 2 5 25 20 DF DE EF x = + = = ，选项结论错误； C、在正方形EFGH 中， 90 EHG FGH = = ，则 90 DHM FGM = = ， DH FG ∥ ， HDM GFM = ， 由A 的推导过程可知DH FG = ，则 ( ) ASA DHM FGM ≌ ， DM FM = ，即M 是DF 的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知 2 , BG DE x CG AE x = = = = ， 2 5 x = ，则 2 2 2 2 5 10 15 BG CG x x x = = = = ， 选项结论错误． 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．（25-26 七年级下·山东济南·期末）若6 ，a ，10是勾股数，则a 的值是________． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 23 8 【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为a 是最长边，10是最长边，利用勾股 定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当a 为最长边时，由勾股定理得， 2 2 2 6 10 36 100 136 a = + = + = 136 不是完全平方数，a 不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； 当10为最长边时，由勾股定理得 ， 2 2 2 10 6 100 36 64 a = − = − = 0 a 64 8 a = = ，8是正整数，符合勾股数定义． 12．（25-26 八年级下·安徽阜阳·期末）在Rt ABC △ 中， 90 , : 5:12 C a b = = ， 39 c = ，则 a b + =__________ 【答案】51 【分析】设 5 , 12 a x b x = = ，根据勾股定理，得 2 2 13 c a b x = + = ，得到13 39 x = ，解答即可． 【详解】解： 90 , : 5:12 C a b = = ， 设 5 , 12 a x b x = = ， 根据勾股定理，得 2 2 13 c a b x = + = ， 故13 39 x = ， 解得 3 x = ， 5 15, 12 36 a x b x = = = = ， 15 36 51 a b + = + = ． 13．（25-26 八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B， C，通过道路BA，CA 可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道CA ，为方便游客观景，分散人流，决 定新修道路AD（点D 在BC 上）．经测量： 1.5km AB = ， 1.2km AD = ， 0.9km BD = ．则AD是否为从A 到 河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明 2 2 2 AD BD AB + = ，则可得到 90 ADB = ，再由垂线段最短可得答案． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 23 【详解】解：∵ 1.5km AB = ， 1.2km AD = ， 0.9km BD = ， ∴ 2 2 2 2 1.2 0.9 1.44 0.81 2.25 AD BD + = + = + = ， 2 2 1.5 2.25 AB = = ， ∴ 2 2 2 AD BD AB + = ， ∴ABD 是直角三角形，且 90 ADB = ， ∴AD BC ⊥ ， 由垂线段最短可知AD是从A 到河边的最近道路． 14．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）在Rt ABC △ 中， 90 C = ， 6 AC = ， 8 BC = ，P 是AB 上一动点， 则PC 的最小值为________． 【答案】24 5 【分析】由题意可知，当PC AB ⊥ 时，根据“垂线段最短”，此时PC 取得最小值，先求出AB ，根据等面积 法求PC ，即可解答． 【详解】解：∵点P 是AB 上的动点， ∴当PC AB ⊥ 时，根据“垂线段最短”，此时PC 取得最小值，如图 ∵ 90 ACB = ， 6, 8 AC BC = = ， ∴ 2 2 2 2 6 8 10 AB AC BC ， ∵ 1 1 2 2 ABC S AC BC AB PC = = △ ， ∴1 1 6 8 10 2 2 PC = ， 解得 24 5 PC = ． 15．如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4 的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从N 点向M 点处 爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 23 【答案】74 【分析】分为从上表面爬到和从右侧面爬行两种情况讨论，画出对应的展开图，再利用勾股定理进行计算， 对比后得出结论． 【详解】解：①当蚂蚁从上表面爬到点M 时，长方体表面展开如下： ∴ 2 2 2 5 7 74 MN = + = ； ②当蚂蚁从右侧面爬到点M 时，长方体表面展开如下： ∴ 2 2 2 4 8 80 MN = + = ， ∵80 74 ， ∴蚂蚁爬行的最短距离的平方为74 ． 16．已知点A，B，C 分别在从上往下相互平行的直线1l ，2l ，3l 上，1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的距 离是2．若ABC 是等腰直角三角形，则它的面积是________． 【答案】5 2 或5或13 2 【分析】分情况讨论：如图，由题意可得：AB BC = ， 90 ABC = ，过B 作 3 QG l ⊥ 于G ，交1l 于Q ，证明 ( ) AAS ABQ BCG ≌ ，当 45 ABC ACB = = ，AB AC = ， 90 BAC = ，过C 作 1 QC l ⊥于Q ，过B 作 1 BD l ⊥ 于D ，同理证明 ( ) AAS CAQ ABD ≌ ，当 45 ABC CAB = = ，CB AC = ， 90 ACB = ，过B 作 3 BQ l ⊥ 于 Q ，过A作 3 AD l ⊥ 于D，同理证明 ( ) AAS BCQ CAD ≌ ，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，由题意可得：当 45 BAC ACB = = ，AB BC = ， 90 ABC = ，过B 作 3 QG l ⊥ 于G ， 交1l 于Q ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / ∴ 1 QG l ⊥ ， ∴ 1 BQ = ， 2 BG = ， 90 AQB CGB = = ， ∴ 90 ABQ GBC BCG = − = ， ∴ ( ) AAS ABQ BCG ≌ ， ∴ 1 BQ CG = = ， 2 AQ BG = = ， ∴ 2 2 2 1 2 5 AB = + = ， ∴ABC 的面积是 2 1 5 2 2 AB = ． 当 45 ABC ACB = = ，AB AC = ， 90 BAC = ，过C 作 1 QC l ⊥于Q ，过B 作 1 BD l ⊥ 于D ， 同理可得： ( ) AAS CAQ ABD ≌ ， ∴ 3 AD CQ = = ， 1 AQ BD = = ， ∴ 2 2 2 3 1 10 AB = + = ， ∴ 2 1 5 2 ABC S AB = = ， 当 45 ABC CAB = = ，CB AC = ， 90 ACB = ，过B 作 3 BQ l ⊥ 于Q ，过A作 3 AD l ⊥ 于D ， 同理可得： ( ) AAS BCQ CAD ≌ ， ∴ 3 AD CQ = = ， 2 BQ CD = = ， ∴ 2 2 2 3 2 13 AC = + = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / ∴ 2 1 13 2 2 ABC S AC = = ， 综上：ABC 的面积为5 2 或5或13 2 ． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17．ABC 中， 90 C = ，CD AB ⊥ 于D ， 3, 5 CD AC = = ， (1)求AD长； (2)求AB 长． 【答案】(1)4 (2) 25 4 【分析】（1）根据勾股定理即可解答； （2）设BD x = ，则可得 4 AB x = + ，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得 2 2 4 AD AC CD − = = ； （2）解：设BD x = ，则可得 4 AB x = + ， 在Rt BCD 中， 2 2 2 2 9 BC CD BD x = + = + ， 在Rt ACB △ 中， 2 2 2 AB AC BC = + ， 则可得( ) 2 2 2 4 5 9 x x + = + + ， 解得 9 4 x = ， 9 25 4 4 4 AB = + = ． 18．（25-26 八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某 校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为16 米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为34 米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7 米． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / (1)求风筝的垂直高度CE ； (2)如果小明想要风筝沿CD方向下降18 米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度CE 为31.7 米 (2)他应该往回收线14 米 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长度，再加上DE 的长度，即可求出CE 的高度； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：在Rt CDB 中， 由勾股定理得， 2 2 2 2 2 34 16 900 CD BC BD = − = − = ， 30 CD = 米（负值舍去）， 30 1.7 31.7 CE CD DE = + = + = （米）， 答：风筝的高度CE 为31.7 米． （2）解：由题意得， 18 CM = 米， 12 DM = 米， 2 2 2 2 12 16 20 BM DM BD = + = + = （米）， 34 20 14 BC BM − = − = （米）， 他应该往回收线14米． 19．综合与实践． 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺． 【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆 动，OA表示小球静止时的位置； 步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从OA摆到OB 位置； 步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到OC 位置，使得OB OC ⊥ ． 【实验记录】如图2，在笔记本上记录点B 和点C 的位置（图中的A，B ，O，C 在同一平面上），并过点B 作BD OA ⊥ 于点D，过点C 作CE OA ⊥ 于点E ，测得 17cm OB = ， 8cm BD = ． 【实践探索】 (1)求证：OE BD = ； (2)求DE 的长． 【答案】(1)见解析 (2)7cm 【分析】（1）根据垂线性质得到 90 ODB OEC BOC = = = ，根据同角的余角相等得到 COE B = ，即 可证明 ( ) AAS COE OBD ≌ ，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出OD 的长，由（1）可知OE BD = ，利用ED OD OE = − 求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵OB OC ⊥ ， ∴ 90 BOD COE + = ， 又∵CE OA ⊥ ，BD OA ⊥ ， ∴ 90 CEO ODB = = ， ∴ 90 BOD B += ， ∴ COE B = ， 在 COE △ 和OBD 中， CEO ODB COE B OC BO = = = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / ∴ ( ) AAS COE OBD ≌ ， ∴OE BD = ； （2）解：在Rt OBD △ 中， 17cm OB = ， 8cm BD = ∴ ( ) 2 2 15 cm OD OB BD = − = ， 由（1）得 8cm OE BD = = ， ∴ ( ) 7 cm DE OD OE = − = ． 20．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数a ，b ，c 若满足 1 3 a b c ab + + = ，则称c 为a ，b 的“调 和数”． (1)若 3 a = ， 4 b = ，则a ，b 的“调和数”c = _______． (2)若 1 2 ab = ， 2 2 8 a b + = ，求a ，b 的“调和数”c ； (3)若a ，b 的“调和数”c 满足 2 2 2 c a b = + 且a ，b ，c 均为正整数，求c 的值． 【答案】(1) 3 − (2) 17 6 c = − 或 19 6 c = (3)15或17 或25 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于c 的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出 3 a b + = 或 3 a b + = −，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可 得出结果； （3）求出 6 a b c + = + ，再结合 2 2 2 c a b = + 且a ，b ，c 均为正整数，得出a ，b ，c 为勾股数组合，由此计 算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得 1 3 4 3 4 3 c + + = ， 解得 3 c = −； （2）解：∵( ) 2 2 2 1 2 8 2 9 2 a b a b ab + = + + = + = ， ∴ 3 a b + = 或 3 a b + = −， 当 3 a b + = 时， 1 1 3 3 2 c + = ， ∴ 17 6 c = − ， 当 3 a b + = −时， 1 1 3 3 2 c −+ = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / ∴ 19 6 c = ； 综上所述， 17 6 c = − 或 19 6 c = ； （3）解：由题意可得 1 3 a b c ab + + = ， ∴ 1 3 a b ab c + = −， ∵ ( ) 2 2 2 2 2 c a b a b ab = + = + − ， ∴ 2 2 1 2 3 c ab c ab = − − ， 整理得 2 2 1 2 2 0 9 3 a b abc ab − − = ， ∵a ，b ，c 均为正整数， ∴ 0 ab ， ∴将 2 2 1 2 2 0 9 3 a b abc ab − − = 两边同时除以ab 得1 2 2 0 9 3 ab c − − = ， ∴ 6 18 ab c = + ， ∴ ( ) 1 1 6 18 6 3 3 a b ab c c c c + = − = + − = + ， ∵ 2 2 2 c a b = + 且a ，b ，c 均为正整数， ∴a ，b ，c 为勾股数组合， 当a ，b ，c 为勾股数7 ，24，25 时， 7 a = ， 24 b = ， 25 c = ，满足 1 3 a b c ab + + = 和 6 a b c + = + ，符合题意； 当a ，b ，c 为勾股数9，12，15时， 9 a = ， 12 b = ， 15 c = ，满足 1 3 a b c ab + + = 和 6 a b c + = + ，符合题意； 当a ，b ，c 为勾股数8，15，17 时， 8 a = ， 15 b = ，=17 c ，满足 1 3 a b c ab + + = 和 6 a b c + = + ，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此c 的取值为15或17 或25 ． 21．【问题情境】如图①，在ABC 中，AD为BC 边上的高． 【特例研究】 (1)若 1 CD = ， 2 AD = ， 4 BD = ，求证：AB AC ⊥ ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁BD AC ⊥ ，斜梁 4.2m AC = ， 2.4m BD = ，横梁 4m BC = ．若横梁BC 与竖梁AB 不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计 的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不安全，理由见解析 【分析】（1）先利用勾股定理求得 2 2 2 5 AC AD CD = + = 、 2 2 2 20 AB AD BD = + = ，然后求得 5 BC = ，即 2 25 BC = ；最后根据勾股定理逆定理可得ABC 是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得 3.2m CD = ，进而得到 1 AD m = ，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵AD BC ⊥ ． ∴ 90 ADB ADC = = ， ∴ 2 2 2 5 AC AD CD = + = ， 2 2 2 20 AB AD BD = + = ， ∵ 1 CD = ， 4 BD = ， ∴ 5 BC = ，即 2 25 BC = ， ∴ 2 2 2 AC AB BC + = ， ∴ABC 是直角三角形，且AB AC ⊥ ． （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵BD AC ⊥ ， ∴ 90 ADB BDC = = ， ∴ 2 2 3.2m CD BC BD = − = ， ∴ 1m AD AC CD = − = ， ∴ 2 2 2 6.76 AB AD BD = + = ， ∴ 2 2 6.76 16 22.76 AB BC + = + = ， 2 2 4.2 17.64 22.76 AC = = ，即 2 2 2 AB BC AC + ， ∴BC 与AB 不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 22．探究实践：如图，在ABC 中， 15 AB = ， 14 BC = ， 13 AC = ，求ABC 的面积．某学习小组经过合作 交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / (1)作AD BC ⊥ 于点D，设BD x = ，用含x 的代数式表示CD = _____； (2)根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x 的值； (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算ABC 的面积． 【答案】(1)14 x − ； (2) 9 x = ； (3)84． 【分析】（1）根据CD BC BD = − 可得答案； （2）在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x 的值； （3）先求出AD，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵ 14 BC = ，BD x = ， ∴ 14 CD x = − ； （2）解：∵AD BC ⊥ ， ∴在Rt ADB 和Rt ADC △ 中，根据勾股定理， 2 2 2 2 2 2 , AD AB BD AD AC CD = − = − ， ∴ ( ) 2 2 2 2 15 13 14 x x − = − − ， 解得： 9 x = ； （3）解：由（2）得： 2 2 2 2 15 9 12 AD AB BD = − = − = ， ∴ 1 1 14 12 84 2 2 ABC S BC AD = = = ． 23．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm， 3dm ，2dm，A和B 是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则 蚂蚁沿着台阶面爬行到B 点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过计算得到AB 长度即为最短路程，则AB = dm． 【变式探究】 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 厘米，高是7 厘米，一只蚂蚁从点A出发沿 着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B 处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程 是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】 （1）25； （2）该蚂蚁爬行的最短路程25 厘米；（3）蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短路程为20cm ． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的 性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ，A点与对称点C 的连线，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的 最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2 3) 3dm + ， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为dm x ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 20 [(2 3) 3] 25 = + + = x ， 解得： 25 x = ． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是25dm． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / 由题意得： 1 48 24(cm) 2 AC = = ， 7cm BC = ， 2 2 24 7 25(cm) AB = + = ， 该蚂蚁爬行的最短路程25 厘米； （3）如图，将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ， 连接AC ，AC 即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程， 3cm EF AG = = ， (14 5)cm 9cm CF FB = = − = ， 1 32cm 16cm 2 AE = = ， 12cm CE EF CF = + = ， 根据勾股定理有： 2 2 2 2 12 16 20(cm) AC AE CE = + = + = ， 蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程为20cm ． 24．如图，在ABC 中， 6cm AB = ， 8cm BC = ， 10cm AC = ，动点P 从点B 出发，沿着ABC 的三条边逆 时针走一圈，回到点B 后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t 秒． (1)证明：ABC 是直角三角形； (2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求t 的值； (3)另有一动点Q ，从点B 开始，按顺时针方向走一圈回到点B ，且速度为1cm/s ．若P 、Q 两点同时出发， 当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出 ．．．．当t 为何值时，直线PQ 把ABC 的周长分成 相等的两部分． 【答案】(1) 解：∵在ABC 中， 2 2 2 2 6 8 36 64 100 AB BC + = + = + = ， 2 2 10 100 AC ， ∴ 2 2 2 AB BC AC + = ，ABC 是直角三角形； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / (2) 3 t = 或 27 5 t = 或 6 t = (3) 4 t = 或 12 t = 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【详解】（1）略 （2）解：①若点P 在BC 上，则 2 BP t = ，AB BP = ， ∴6 2 , 3 t t = = ； ②若点P 在AC 上，则 2 8 CP t = −， 18 2 AP AC CP t = − = − ， （i）当AB AP = 时，6 18 2 , 6 t t = − = ； （ii）当AB BP = 时，作BD AC ⊥ 于D ， 则 1 1 24 , 2 2 5 ABC AB BC S AB BC AC BD BD AC = = = = ， ∴ 2 2 18 5 AD AB BD − = = ， 36 2 5 AP AD = = ， ∴36 18 2 5 t = − ，解得 27 5 t = ． 综上所述，当 3 t = 或 27 5 t = 或 6 t = 时，ABP 是以AB 为腰的等腰三角形． （3）解：∵ABC 的周长为 24 AB BC AC + + = cm，24 2 12 = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / ①当0 4 t 时，点P 在BC 上，点Q 在AB 上， 则 2 BP t = ，BQ t = ， 3 BP BQ t + = ， ∴3 12 t = ， 解得 4 t = ， 如图所示，此时点P 刚好运动到点C ； ②当4 6 t 时，点P 在AC 上，点Q 在AB 上， 由①得，此时 12 BQ BC CP + + ，不符合题意； ③当6 12 t 时，点P 、Q 都在AC 上， 10 PQ AC = ，10 12 ，不符合题意； ④当9 12 t 时，点P 在AB 上，点Q 在AC 上， 则 2 18 AP t = − ， 6 AQ t = − ， 3 24 AP AQ t + = − ， ∴3 24 12 t− = ， 解得 12 t = ， 如图所示，此时点P 刚好回到点B ． 综上所述，当t 为4 或12 时，直线PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分． 25．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1 可以得到( ) 2 2 2 2 a b a ab b + = + + ，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / (2)小明同学用图3 中x 张边长为a 的正方形，y 张宽、长分别为a、b 的长方形，9 张边长为b 的正方形纸片， 拼成一个面积最小的正方形，则x y + 的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b 的式子表示) (3)如图4，是4 个边长分别为a、b、c 的直角三角形和1 个边长为c 的正方形拼成的大正方形．请根据图4 中的图形关系可推导出a、b、c 的数量关系式为____； (4)如图5，直角ABC 中， 90 ACB = ， 8 AC = ， 6 BC = ，点D 是AB 边上的一动点．请利用（3）的结论， 求线段CD的最小值． 【答案】(1) 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 a b c a b c ab ac bc + + = + + + + + (2)7 ， 3 a b + (3) 2 2 2 a b c + = (4) 24 5 【分析】（1）图2 中大正方形边长为a b c + + ，其面积既可整体表示为 2 ( ) a b c + + ，也可分割为3 个正方形 与6 个矩形面积之和，据此建立恒等式． （2）拼成的正方形总面积为 2 2 9 xa yab b + + ，设边长为ma nb + 展开后比较系数，由 2 b 项得 3 n = ，取最小正 整数 1 m = 确定x 、y 及边长． （3）大正方形面积用两种方法表示：整体得 2 ( ) a b + ，分割得4 个直角三角形与中间小正方形面积之和 2 2ab c + ，联立即得a 、b 、c 的数量关系． （4）先由勾股定理求斜边AB ，再根据垂线段最短知当CD AB ⊥ 时CD取最小值，利用面积法列方程求解． 【详解】（1）解：由图2 可知，大正方形的边长为a b c + + ， 大正方形的面积 2 ( ) a b c = + + ， 又大正方形的面积等于各小图形面积之和， 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 a b c a b c ab ac bc + + = + + + + + ． （2）解：设拼成的正方形边长为ma nb + （m ，n 为正整数）， 正方形的面积 2 2 2 2 2 ( ) 2 ma nb m a mnab n b = + = + + ， 又正方形面积 2 2 9 xa yab b = + + ， 2 9 n = ， 解得 3 n = ， 2 x m = ， 6 y m = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23 / 正方形面积最小， 1 m = ， 1 x = ， 6 y = ， 7 x y + = ，正方形边长为 3 a b + ． （3）解：由图4 可知，大正方形的边长为a b + ， 大正方形的面积 2 2 2 ( ) 2 a b a ab b = + = + + ， 又大正方形的面积等于4 个直角三角形与中间小正方形的面积之和， 面积 2 2 1 4 2 2 ab c ab c = + = + ， 2 2 2 2 2 a ab b ab c + + = + ， 2 2 2 a b c + = ． （4）解：在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ， 8 AC = ， 6 BC = ， 2 2 2 2 8 6 10 AB AC BC = + = + = ， 点D 是AB 边上的一动点， 当CD AB ⊥ 时，CD最小， 1 1 8 6 24 2 2 ABC S AC BC = = = ， 又 1 1 10 5 2 2 ABC S AB CD CD CD = = = ， 5 24 CD = ， 24 5 CD = ． 小学 初中
