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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测04
2.1～2.2 认识实数、平方根、算术平方根
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．下列实数中，属于无理数的是（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先明确无理数的定义，即无限不循环小数，先回忆有理数的范畴：整数和分数统称为有理数．逐
一判断各选项所属的数的类型，如果是整数或者可以表示为两个整数的比值的分数，那么属于有理数，否
则为无理数．针对带根号的选项，判断被开方数是否是完全平方数，若被开方数开方开不尽，那么对应的
数是无理数．
【详解】解：A、
是整数，属于有理数．
B、
是分数，属于有理数．
C、
开方开不尽，属于无理数．
D、
是整数，属于有理数．
2．下列说法中正确的是（
）
A．数轴上的点与实数一一对应
B．任何数都有平方根
C．无限小数是无理数
D．
的平方根是
【答案】A
【分析】根据实数与数轴的关系，平方根的意义，无理数的定义解答即可．
【详解】解：A．数轴上的点与实数一一对应，说法正确；
B．负数没有平方根，说法错误；
C．无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，说法错误；
D．
，
的平方根是
，即
的平方根是
，说法错误．
3．在实数
，
，0，1 中，最小的是（
）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
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【详解】解：
，
，
，
、
，
，
，
最小的是
．
4．观察表中数据信息，下列结论正确的是（
）
12
…
144
…
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的
的值验证各选项．
【详解】解：由表格可知：
，
，
，
，
，
，
，
A、C、D 选项错误；
，
，故B 选项正确．
5．化简
的结果为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：
．
6．如果在数轴上的点
到原点的距离是
，那么表示点
的实数为（
）
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A．
B．
C．
D．5
【答案】C
【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值．
本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键．
【详解】解：∵点A 到原点的距离是
，
∴
，
∴
．
故选：C．
7．估计
的值在（
）
A．5 到6 之间
B．6 到7 之间
C．7 到8 之间
D．8 到9 之间
【答案】D
【分析】通过比较77 与相邻完全平方数的大小，估算
的范围．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
．
8．下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【详解】解：选项A 中
，选项B 中
，选项C 中
，三组数均相等，不互为相
反数．
选项D 中
，
与
互为相反数．
9．已知
；
；
；
；
；按此规律，若
（
，
为正整数），则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先观察已知等式总结a 和b 的变化规律，再求出
的值，代入式子计算即可．
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【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数
，有
，
对比
，可得
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
10．如图，
，且与
之间的距离为，
是
上一点，
①过点
作
于点
，以点
为圆心、
的长为半径画弧交
于点
；
②过点
作
于点
，以点
为圆心、
的长为半径画弧交
于点
；
③过点
作
于点
，以点
为圆心、
的长为半径画弧交
于点
；…
按照以上操作，则
的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理计算出
、
、
，找到规律，根据规律写出
的长度．
【详解】解：由题意可知
，
，
由作图可知
，
，
，
由作图可知
，
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，
，
，
．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．实数
的相反数是______．
【答案】
【详解】解：
的相反数为：
．
12．如图，以1 个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点
．点
对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________．
【答案】
【分析】利用圆的周长公式计算滚动距离，确定点
表示的实数，再根据无理数小数部分的定义（原数减
去整数部分）进行计算即可．
【详解】解：
圆的直径为
，
圆的周长为
，
圆从原点开始沿数轴向右滚动一周，
点
对应的数为
，
，
的整数部分为，
这个无理数的小数部分为
．
13．电流通过导线时，会产生热量，满足
，其中Q 为产生的热量（单位：J），I 为电流（单位：A，
且
），R 为导线电阻（单位：
），t 为通电时间（单位：s）．当导线电阻为
，通电时间为
时，所
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产生的热量是
，这时的电流是______A．
【答案】
【分析】将已知的
，
，代入公式，变形后结合
计算出
即可.
【详解】解：把
，
，
代入公式
，得
，
整理得
，即
，
∵
，
∴
.
14．已知
，
，且
，则
的值为________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质得到
的值，再结合
确定
的取值，最后计算
．
【详解】解：∵
，
∴
，即
；
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
；
∴
．
15．若
为正整数，且满足
，则
的值为______．
【答案】
【分析】先估算出
的取值范围，进而得到
的取值范围，结合条件即可求出
的值．
【详解】解：
，
，
不等式两边同进减去2，得
，
为正整数，且满足
，
．
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16．如图，把
纸沿长边对折可得到
纸，把
纸沿长边对折可得到
纸，把
纸对折可得到
纸……，
所有的A 型纸张的长宽之比是一个定值，这个定值是_______．
【答案】
【分析】设长方形
的长边为
，宽边为
，且长宽之比是
，根据题意，得长方形
的长边为
，宽边为
，且长宽之比是
，根据所有的A 型纸张的长宽之比是一个定值，建立等式，求解即可．
【详解】解：设长方形
的长边为
，宽边为
，且长宽之比是
，根据题意，得长方形
的长边为
，宽
边为
，且长宽之比是
，
根据题意，得所有的A 型纸张的长宽之比是一个定值，
故
，
整理得
，
解得
，边长不能为负，故
舍去，
故
，
故
．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．已知下列9 个数．①0，②
，③
，④
，⑤
，⑥
，⑦
，⑧
，⑨
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（两个2 之间依次增加1 个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中．
(1)有理数集合：（
……）
(2)无理数集合：（
……）
(3)负实数集合：（
……）
【答案】(1)①③④⑤⑥
(2)②⑦⑧⑨
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了有理数，无理数和实数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数的无理数，有理数
和无理数统称为实数．
（1）根据有理数的定义，即可解答；
（2）根据无理数的定义，即可解答；
（3）根据实数和负数的定义，即可解答．
【详解】（1）解：
，
，
有理数集合：①③④⑤⑥，
故答案为：①③④⑤⑥；
（2）解：无理数集合：②⑦⑧⑨，
故答案为：②⑦⑧⑨；
（3）解：负实数集合：②⑤⑦⑧，
故答案为：②⑤⑦⑧．
18．解答下列问题
(1)已知
、
满足
，求
的算术平方根；
(2)如果一个正数
的两个平方根分别是
和
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出
、的值，从而求出
的算术平方
根；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出
的值，再根据平方根的定义计算
的值．
【详解】（1）解：
，
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，
解得：
，
，
的算术平方根为
；
（2）解：
一个正数
的两个平方根分别是
和
，
，
整理得：
，
解得：
，
．
19．综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为
的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成
一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定．
(1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？
(2)现有一个长、宽之比为
，且面积为
的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去
围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】(1)80
(2)铁丝够用．
理由：设长方形纸片的长为
，宽为
，长方形的周长为
．
依题意得：
，
解得：
，
，
，
长方形的周长为
，
，
，
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用这根
的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用．
【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识．
（1）根据题意得到大正方形面积，然后求出边长即可解决问题；
（2）设长方形纸片的长为
，宽为
，根据面积为
可得
，则长方形的周长为
，
再根据
可得
，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为
，
设大正方形的边长为
，
则
，
∴
（舍去负值），
∴大正方形的边长为
．
∴这根铁丝长度最少为
．
（2）略
20．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一
个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离
为
；根据手中余线长度，计算出
的长度为
；牵线放风筝的手到地面的距离
为
．已知点A，
B，C，D 在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度
．
(2)在余线仅剩
的情况下，若想要风筝沿射线
方向再上升
，请问能否成功？请运用数学知识说明．
【答案】(1)
(2)解：不能成功，说明如下：
如图所示，延长
至点
，连接
，使得
，
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．
在
中，由勾股定理得
．
，余线仅剩
，
∴风筝线的总长度为
，
∵
，
∴
，
∴不能成功．
【分析】（1）过点
作
于点
，则四边形
是矩形，可得
，
，
在
中，根据勾股定理求出
的长即可求解；
（2）延长
至点
，连接
，使得
，利用勾股定理求出
的长，再与风筝线的总长度比较
即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点
作
于点
，
∴
，
由题意得，
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
在
中，由勾股定理得
，
，
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答：风筝离地面的垂直高度
为
．
（2）略
21．如图是三个
的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段
的两个端点就是格点．
(1)线段
的长度为________；
(2)请在图中找到所有满足条件的格点
，连接
，使得
；
(3)在（2）的基础上，连接
，计算
的面积．
【答案】(1)
(2)解：如图，
即为所求
(3)
或
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）取格点
，结合勾股定理满足
即可；
（3）连接
，再利用割补法求解三角形的面积即可．
【详解】（1）解：
．
（2）略
（3）解：如图，连接
，
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∴
；
．
22．阅读材料：
，求
，
的值．
解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)若
，则
________，
________；
(2)已知
，求
的值；
(3)已知
的三边长
，
，，且满足
，求
的周长．
【答案】(1)2，0
(2)25
(3)12 或
【分析】（1）
变形为
，仿照题干方法计算即可．
（2）
变形为
，仿照题干方法计算即可．
（3）
变形为
，仿照题干方法计算得到a=3，b=4，分c 最大边和
直角边两种情形计算即可．
【详解】（1）∵
，
∴
，
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∴m=2，n=0，
故答案为：2，0．
（2）∵
，
∴
，
∴x=y，y= -5，
∴xy=（-5）×（-5）=25．
（3）∵
，
∴
，
∴a=3，b=4，
当c 最大时，c=
，
此时三角形的周长为：3+4+5=12；
当b 最大时，c=
，
此时三角形的周长为：3+4+
=7+
；
故
的周长12 或
．
【点睛】本题考查了实数的非负性，勾股定理，熟练掌握实数的非负性，勾股定理是解题的关键．
23．【数学溯源】《几何原本》作为古希腊经典数学著作，以平面图形面积解释代数恒等式是其核心思想之
一，通过数形结合可以直观理解乘法公式．
【提出问题】
(1)观察下列图形，找出可以推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的
序号）：
公式①：
；公式②：
；
公式③：
；公式④：
．
图1 对应公式__________，图3 对应公式__________；
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【解决问题】
(2)利用所学的乘法公式，解决以下问题：已知
，
，则
的值为__________；
【能力拓展】
(3)如图5，在六边形
中，对角线
和
相交于点G，当四边形
和四边形
都为
正方形时，若
，正方形
和正方形
的面积和为42，则图中阴影部分的面积为
__________（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是
）．
【答案】(1)①，④
(2)
(3)29
【分析】（1）根据长方形的面积得出公式；
（2）利用完全平方公式以及平方根的定义进行求解；
（3）设正方形
和正方形
的边长分别为
，利用完全平方公式进行求解．
【详解】（1）解：图1 对应公式
，图3 对应公式
；
（2）解：∵
，
∴
；
（3）解：设正方形
和正方形
的边长分别为
，
则
，
，
图中阴影部分面积为
，
由
得，
，
解得
，
∴图中阴影部分的面积为29．
24．综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是
按照课堂学习的过程，开展了下面的探索：
探索“如何在数轴上表示无理数”
工具准备：两张边长为1 个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等．
操作一：如图1，把两张边长为1 个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为
的大正
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方形．
(1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______．
操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1 个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方
形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点
，点
．
(2)点
表示的数为______；点
表示的数为______．
操作三：在上面数轴上用记号笔标出点
的位置，表示数2 的点记为
，原点记为点
，然后将数轴的正
半轴剪下，得到如图3 的“纸条”．
(3)
______；
______；
(4)如图4，将“纸条”沿着点
对折，则点
的对应点
表示的数为______．
【答案】(1)2，
；
(2)
，
；
(3)
，
；
(4)
．
【分析】（1）两个边长为1 的小正方形面积和等于大正方形面积；由勾股定理求小正方形对角线；
（2）圆半径为
，原点右侧A 为正数、左侧B 为负数；
（3）
是圆的半径；
用
计算；
（4）折叠后
是
、
中点，利用中点公式求
对应的数．
【详解】（1）解：小正方形面积：
，两个小正方形总面积
，因此拼成的大正方形面积为
．
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小正方形边长为，由勾股定理，对角线长
．
（2）解：圆半径等于小正方形对角线长
．
点
在原点右侧，故表示的数为
；
点
在原点左侧，故表示的数为
．
（3）解：
是圆的半径，因此
；
表示数字
，即
，
．
（4）解：纸条沿
对折，说明
是线段
的中点．
，
则点
表示的数为
．
