八上数学第二章实数·能力提升卷（答案版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新《8上数学•同步备课资料合集》（新教材北师大）_2027新《8上数学•单元测试卷》（新教材北师）

 
 
 
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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 
第二章 实数·能力提升（参考答案） 
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 
题号 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
答案 
D 
C 
B 
C 
C 
B 
A 
D 
C 
C 
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 
11．2
5
−
/
5
2
−
+
 
12．3 
13．24 
14．     1     
2
− 
15．
26 
16．9 或25/25 或9 
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分） 
17． 
【详解】（1）解：(
)
2
2
1
169
0
x −
−
=
， 
(
)
2
2
1
169
x −
=
， 
∵(
)
2
13
169

=
， 
∴2
1 13
x−=
或2
1
13
x −= −
， 
解得，
1
2
7,
6
x
x
=
= −；..............3 分 
（2）解：
(
)
3
125
2
343
x −
= −
， 
(
)
3
343
2
125
x −
= −
， 
∵
3
7
343
5
125


−
= −




， 
∴
7
2
5
x −
= −
， 
解得，
3
5
x =
．..............6 分 
 
 
 
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18． 
【详解】（1）解：
(
)
2
1
24
3
18
2
1
2

−

+
+
 
8
9
3
2 2
=
−
+ +
 
2 2
3 3 2 2
=
−+ +
 
4 2
=
．..............3 分 
（2）解：
(
)
1
2
3
2
3
2

−

+
 
1
1
2
3
2
3
2
=


−
+
 
(
)(
)
2
3
2
3
2
=
−
+
 
2
=
．..............6 分 
19． 
【详解】（1）解：∵
2
2
2,
1,
1
2
5
AB
BC
AC
=
=
=
+
=
， 
∴
,
AB BC 为有理数，AC 为无理数，且
2
2
2
5
AB
BC
AC
+
=
=
， 
∴ABC

是直角三角形，符合题意； 
如图所示，图中三角形即为所求； 
 
（答案不唯一）；..............2 分 
（2）解：∵
2
2
1
1
2,
2
DE
DF
EF
=
=
+
=
=
， 
∴
,
DE DF 为无理数，EF 为有理数，且
2
2
2
4
DE
DF
EF
+
=
=
， 
∴DEF

是直角三角形，符合题意； 
如图所示，图中三角形即为所求； 
（答案不唯一）；..............4 分 
（3）解：∵
2
2
2
2
1
2
5,
1
3
10
GH
GI
HI
=
=
+
=
=
+
=
， 
 
 
 
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∴
,
,
GH GI HI 都为无理数，且
2
2
2
10
GH
GI
HI
+
=
=
， 
∴GHI 是直角三角形，符合题意． 
如图所示，图中三角形即为所求； 
（答案不唯一）．..............6 分 
20． 
【详解】（1）解：∵正方形AGFE 面积为
2
192cm ， 
∴正方形边长为
192
8 3
AE
AG
cm
=
=
=
． 
∵
2 3
DE
cm
=
，
6 3
BG
cm
=
：  
∴
(
)
8 3
2 3
6 3
,
AD
AE
DE
c m
=
−
=
−
=
，  
(
)
8 3
6 3
2 3
,
AB
AG
BG
c m
=
−
=
−
=
． 
∴长方形ABCD的面积为 
(
)
2
6 3
2 3
12 3
36
AD AB
cm

=

=
=
．..............3 分 
(2)解：∵要裁的长方形面积为
2
18cm ，宽为
6
2 cm ， 
∴它的长为 
(
)
6
18
6 6
,
2
c m

=
， 
∵原长方形的长为6 3 cm、宽为2 3cm ， 
∴6 6
6 3
2 3


， 
即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边， 
∴小牛的想法不可行．..............6 分 
21． 
【详解】（1）解：由题意得，
2
AB =
， 
∵点A表示
2
−
，点B 所表示的实数为m ， 
∴
2
2
m = −
+ ；..............2 分 
（2）解：由图可知，1
1
m
−
， 
∴
1
0
m+ 
，
1
0
m−
， 
∴
1
1
1 1
2
m
m
m
m
+
+
−
=
+ + −
=
；..............5 分 
 
 
 
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（3）解：3c
d
+
与
9
d +
互为相反数， 
3
9
0
c
d
d

+
+
+
=
， 
又
3
0,
9
0
c
d
d
+

+


， 
3
0,
9
0
c
d
d

+
=
+
=
， 
解得
9
d = −，
3
c = ， 
(
)
3
9
27
cd

= −
= −
， 
cd

的立方根为3
−．..............8 分 
22． 
【详解】（1）解：根据材料定义：a
b
+
与
a
b
−
互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 
因此5
2
−
的对偶式为5
2
+
．..............2 分 
（2）解：利用对偶式分母有理化化简： 
(
)
(
)(
)
(
)
2
7
5
2
7
5
2
7
5
7
5
7
5
7
5
7
5
+
+
=
=
=
+
−
−
−
+
．..............5 分 
（3）解：设
15
8
A
x
x
=
−
+
−
， 
15
8
1
x
x
−
−
−
=

， 
根据平方差公式计算：
(
) (
)(
)
(
) (
)
15
8
15
8
15
8
15
8
7
A
x
x
x
x
x
x
x
x

−
−
−
=
−
+
−
−
−
−
=
−
−
−
=
， 
因此15
8
7
x
x
−
+
−
=
．..............8 分 
23． 
【详解】（1）解：
1
1
n
n
+ +
 
(
)(
)
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+ −
=
+ +
+ −
 
(
)
(
)
2
2
1
1
n
n
n
n
+ −
=
+
−
 
1
1
n
n
n
n
+ −
=
+ −
 
1
n
n
=
+ −
；..............2 分 
 
 
 
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（2）解：
1
1
1
1
2
1
3
2
2
3
2026
2025
+
+
+
+
+
+
+
+

 
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
(
)(
)
2
1
3
2
2
3
2026
2025
2
1
2
1
3
2
3
2
2
3
2
3
2026
2025
2026
2025
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−

 
2
1
3
2
2
3
2026
2025
2 1
3
2
4
3
2026
2025
−
−
−
−
=
+
+
+
+
−
−
−
−

 
2
1
3
2
2
3
2026
2025
=
−+
−
+ −
++
−
 
1
2026
= −+
；.............5 分 
（3）解：
1
37
6
a =
−

， 
(
)(
)
1
37
6
37
6
37
6
37
6
37
6
a
+

=
=
=
+
−
+
−
， 
6
37
a
−
=
， 
即
2
(
6)
37
a −
=
， 
2
12
36
37
a
a

−
+
=
， 
2
12
1
a
a

−
= ， 
3
2
12
a
a
a

=
+
， 
3
2
10
25
3
a
a
a

−
−
+ 
2
2
12
10
25
3
a
a
a
a
=
+
−
−
+ 
2
2
24
3
a
a
=
−
+ 
(
)
2
2
12
3
a
a
=
−
+ 
2 1 3
= + 
5
=
．..............8 分 
24． 
【详解】（1）解：
(
)(
)
4
1
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
a
−
=
=
=
−
+
+
−
， 
(
)(
)
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n
n
−
=
=
=
−
+
+
−
+
+
+
+
+
； 
故答案为5
2
−
，
1
n
n
+ −
；..............3 分 
 
 
 
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（2）解：
1
1
1
( 7
1)
3 1
5
3
7
5


+
+

+


+
+
+


 
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
5
3 1
( 7
1)
3
1
3 1
5
3
5
3
7
5
7
5
3
5
7
−
−


−


=
+
+

+


+
−
+
−
+
−


 
3 1
5
3
7
5
2
2
2
)
( 7
1


=
+
+

+




−
−
−

 
7
1 ( 7
1)
2
−
=

+
 
3
= ；..............6 分 
（3）解：由题意得： 
1
2
3
2024
a
a
a
a
+
+
+
+

 
2
1
3
2
2
3
2025
2024
=
−+
−
+ −
+
+
−

 
2025 1
=
− 
44
=
；..............9 分 
（4）解：∵
(
)(
)
1
99
98
99
98
99
98
99
98
99
98
+
=
=
+
−
−
+
， 
(
)(
)
1
98
97
98
97
98
97
98
97
98
97
+
=
=
+
−
−
+
， 
∴99
98
98
97
+

+
，即
1
1
99
98
98
97

−
−
， 
∴99
98
98
97
−

−
．..............12 分 
25． 
【详解】（1）解：如图2，根据题意得：
4 5
9
AH =
+ =
，
40
HD =
， 
2
2
9
40
41
AD =
+
=
， 
∴
(
)
2
2
2
2
4
40
5
x
x
+
+
−
+
的最小值是41；..............4 分 
（2）解：如图，
2,
1,
5
AC
DF
CF
=
=
=
，
2 1
3,
5
AH
HD
=
+ =
=
， 
设BC
x
=
，则
5
BF
x
= −， 
 
 
 
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∴
2
2
3
5
34
AD =
+
=
， 
∴
(
)
2
2
4
5
1
x
x
+
+
−
+ 的最小值是34 ；..............8 分 
（3）解：构造
,
ABC CD
BC
⊥

于
,
6,
8
D AC
BC
=
= ，如图所示： 
 
 
设CD
x
=
，则
2
2
36
,
64
AD
x
BD
x
=
−
=
−
， 
2
2
36
64
10
AB
x
x

=
−
+
−
=
， 
2
2
2
6
8
10
+
=

， 
90
ACB

=
， 
1
1
6 8
10
2
2
x
=


， 
4.8
x
=
， 
∴方程的解是
4.8
x =
．..............12 分