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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 18 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·能力提升 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． 3 − B． x C． a b − D．3.5 【答案】D 【分析】根据二次根式要求被开方数是非负数，逐项判断即可． 【详解】解：A 选项： 3 0 − ， 3 −不是二次根式，故A 选项不符合题意； B 选项：当 0 x 时， x 无意义， x 不一定是二次根式，故B 选项不符合题意； C 选项：当 0 a b − 时， a b − 无意义， a b − 不一定是二次根式，故C 选项不符合题意； D 选项： 3.5 0 ， 3.5 是二次根式，故D 选项符合题意． 2．在实数2 ，22 7 ，3.14，2 ，3 8 −，2.10010001，1 3 − 中，无理数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：2 是无理数； 22 7 是分数，属于有理数； 3.14是有限小数，属于有理数； 2 是无理数； 3 8 2 −= −，是整数，属于有理数； 2.10010001是有限小数，属于有理数； 1 3 − 是无理数； 则无理数有3个． 3．下列选项中，计算正确的是（ ） A．2 3 3 2 6 5 = B． 2 3 8 6 3 = 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 18 C．5 3 5 2 5 6 = D． 1 1 4 2 2 2 = 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘除运算与化简，根据二次根式的运算法则，分别计算每个选项即可判断正 误． 【详解】对选项A：∵ ( ) 2 3 3 2 2 3 3 2 6 6 6 5 = = ，∴ A 错误； 对选项B：∵ 8 4 2 3 8 6 6 3 3 = = = ，等式成立 ，∴ B 正确； 对选项C：∵ ( ) 5 3 5 2 5 5 3 2 25 6 5 6 = = ，∴ C 错误； 对选项D：∵ 1 9 3 2 4 2 2 2 = = ， 1 2 2 2 = ，3 2 2 2 ，∴ D 错误． 4．把 5 m − 化简得（ ） A． 2 -m m B． 2 m m C． 2 m m − D． 2 m m − − 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m 的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式 5 m − 有意义， ∴ 5 0 m − ， ∴ 0 m ， ∴ ( ) 5 2 2 2 2 2 ( ) ( ) m m m m m m m − = − = − = − ． 5．已知实数a、b 满足| 3| | 2| 1 3 a b a a − + − + − + = ，则a b + 等于（ ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的被开方数是非负数，求出a 的取值范围，进而对原等式进行化简，再根据绝对 值和算术平方根的非负性确定,a b 的值即可求解． 【详解】解：由题意得，1 0 a − ， 解得 1 a ， 则原式可化为 3 2 1 3 a b a a −+ + − + − + = ， 整理得 2 1 b a − + − ＝0， 则 2 0,1 0 b a − = − = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 18 解得 2, 1 b a = = ， 3 a b + = ． 6．已知2 3 x ，化简( ) 2 2 3 x x − + − 的结果为（ ） A．1 − B．1 C．2 5 x − D．3 2x − 【答案】B 【分析】根据给出的x 的取值范围，判断出 2 x− 和 3 x− 的正负，再利用二次根式和绝对值的性质化简，再 合并同类项得到化简结果． 【详解】解： 2 3 x ， ∴ 2 0, 3 0 x x − − ， 原式( ) ( ) 2 3 2 3 1 x x x x = − + − = − + − = ． 7．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入x 为81时，输出的y 是（ ） A．3 B． 3 ± C．3 D．3 【答案】A 【详解】解：根据题意：81 9 = 有理数不输出，9 3 = 有理数不输出，3 为无理数，输出， 所以输出的y 是3 ． 8．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为( ) 3 3 3 m − ．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度 为( ) 10 3 6 m − ，则这块花圃的面积为（ ） A． 2 9m B．( ) 2 9 3 3 m − C． 2 18m D．( ) 2 18 6 3 m − 【答案】D 【分析】分别计算出矩形花圃的长和宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵矩形花圃的周长为( ) 10 3 6 m − ，宽为( ) 3 3 3 m − ， ∴矩形花圃的长为( ) ( ) ( ) 1 10 3 6 3 3 3 5 3 3 3 3 3 2 3 m 2 − − − = −− + = ， ∴花圃的面积为 ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 18 6 3 m − = − ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 18 9．现将一组数3 ，6 ，3，2 3 ，15 ，3 2 ，…，3n ，…，按照以下方式进行排列，则第7 行左起 第3 个数字是（ ） 第1 行 3 第2 行 6 3 第3 行 2 3 15 3 2 … A．5 2 B． 70 C．6 2 D．74 【答案】C 【分析】先整理出原数组的统一规律，再根据排列规律计算目标数是原数组的第几个数，代入公式化简即 可得到结果。 【详解】解：整理已知数组可得，这组数的第n 个数为3n ，观察排列规律可知，第k 行有k 个数， ∵前6 行的数的总个数为 1 2 3 4 5 6 21 + + + + + = ， ∴第7 行左起第3 个数是原数组的第21 3 24 + = 个数， 将 24 n = 代入得：3 24 72 6 2 = = ． 10．如图，已知 1 2 OA A 是等腰直角三角形， 1 90 A = ，依次以点 ( ) 2,3,4,5, n A n = 为直角顶点作等腰 1 Rt n n OA A + △ ，若 1 1 OA = ，则 8 9 OA A △ 的周长为（ ） A．8 8 2 + B．16 8 2 + C．16 16 2 + D．20 16 2 + 【答案】C 【分析】先分别求出 1 2 OA A 、 2 3 OA A △ 、 3 4 OA A △ 的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵ 1 2 OA A 是等腰直角三角形， 1 90 A = ， 1 1 OA = ， ∴ 1 1 2 1 O A A A = = ， 2 2 2 1 1 2 OA = + = ， ∴ 1 2 OA A 的周长为 1 1 2 2 2 2 OA A A OA + + = + ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 18 同理可得： 2 3 OA A △ 的周长为 ( ) 2 2 2 2 2 2 + = + ， 3 4 OA A △ 的周长为 ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + ， 归纳类推得： 1 n n OA A + 的周长为( ) ( ) 1 2 2 2 n− + （n 为正整数）， ∴ 8 9 OA A △ 的周长为( ) ( ) ( ) ( ) 8 1 7 2 2 2 2 2 2 − + = + ( ) 8 2 2 2 = + 16 2 16 = + ． 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．实数5 2 − 的相反数是______． 【答案】2 5 − / 5 2 − + 【详解】解：5 2 − 的相反数为( ) 5 2 2 5 − − = − ． 12．最简二次根式 2 1 a −与 5 是同类二次根式，则a =__________． 【答案】3 【分析】根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式 2 1 a −与5 是同类二次根式， 2 1 5 a −= ， 解得： 3 a = ． 13．已知 6 1 x = + ， 6 1 y = −，则代数式 2 2 2 x y xy + + 的值等于____________． 【答案】24 【详解】解： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 1 6 1 2 6 24 x y xy x y + + = + = + + − = = ． 14．已知实数a ，b 满足 1 3 0 a b −+ + = ，c 是11 的整数部分．则a 的值是___________， 2 a b c + − 的立 方根是___________． 【答案】 1 2 − 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出a ，b 的值，通过估算无理数的大小得到c 的值，再计算 2 a b c + − ，最后根据立方根的定义得到结果． 【详解】解： 1 3 0 a b −+ + = ，且 1 0 a − ， 3 0 b + ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 18 1 0 a −= ， 3 0 b + = ， 解得 1 a = ， 3 b = −， 23 9 = ， 2 4 16 = ，9 11 16 ， 3 11 4 ， 11 的整数部分 3 c = ， 将 1 a = ， 3 b = −， 3 c = 代入得： ( ) 2 1 3 2 3 8 a b c + − = + − − = −， 2 a b c + − 的立方根是3 8 2 −= −． 15．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法， 即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为a ，b ，c ，那么三角形的面积S的 计算公式为 2 2 2 2 2 2 1 4 2 c a b S a c + − = − （a b c ）．若 5 a = ， 2 3 b = ， 3 c = ，则S的值为_______． 【答案】 26 【分析】本题直接将已知的三边长代入给出的面积公式，按照实数运算顺序计算即可得到结果． 【详解】解：已知 5 a = ， 2 3 b = ， 3 c = ， 将各值代入公式 2 2 2 2 2 2 1 4 2 c a b S a c + − = − 先计算各边的平方，得 2 25 a = ， 2 2 (2 3) 12 b = = ， 2 9 c = 计算 2 2 25 9 225 a c = = 计算 2 2 2 9 25 12 11 2 2 c a b + − + − = = ，可得 2 2 2 2 2 11 121 2 c a b + − = = 将结果代入公式，得 ( ) 1 1 225 121 104 26 4 4 S = − = = 16．对任意正数a ，b 定义运算“※”：当a b ，a b a b = − ※ ；当a b ，则a b b a = − ※ ．若1 4 16 x = ※ ※ （ 0 x ），则x 的值为___________． 【答案】9 或25/25 或9 【分析】分两种情况，即 16 x 或 16 x ，分别列方程即可解答． 【详解】1 4 4 1 1 = − = ※ 当 16 x 时， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 18 16 16 4 x x x = − = − ※ ， 则可得4 1 x − = ， 3 x = ， 9 x = ，符合题意； 当 16 x 时， 16 16 4 x x x = − = − ※ ， 则可得 4 1 x − = ， 5 x = ， 25 x = ，符合题意； 综上，x 的值为9或25 ． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17．求x 的值： (1)( ) 2 2 1 169 0 x − − = ； (2) ( ) 3 125 2 343 x − = − ． 【答案】(1) 1 7 x = , 2 6 x = − (2) 3 5 x = 【分析】（1）移项，根据( ) 2 13 169 = 得到2 1 13 x−= 或2 1 13 x −= − ，由此即可求解； （2）原式变形得( ) 3 343 2 125 x − = − ，根据 3 7 343 5 125 − = − ，得到 7 2 5 x − = − ，由此即可求解． 【详解】（1）解：( ) 2 2 1 169 0 x − − = ， ( ) 2 2 1 169 x − = ， ∵( ) 2 13 169 = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 18 ∴2 1 13 x−= 或2 1 13 x −= − ， 解得， 1 2 7, 6 x x = = −； （2）解： ( ) 3 125 2 343 x − = − ， ( ) 3 343 2 125 x − = − ， ∵ 3 7 343 5 125 − = − ， ∴ 7 2 5 x − = − ， 解得， 3 5 x = ． 18．计算： (1) ( ) 2 1 24 3 18 2 1 2 − + + ； (2) ( ) 1 2 3 2 3 2 − + ． 【答案】(1)4 2 (2) 2 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ( ) 2 1 24 3 18 2 1 2 − + + 8 9 3 2 2 = − + + 2 2 3 3 2 2 = −+ + 4 2 = ． （2）解： ( ) 1 2 3 2 3 2 − + 1 1 2 3 2 3 2 = − + ( )( ) 2 3 2 3 2 = − + 2 = ． 19．图1、图2、图3 均为4 4 网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上 的直角三角形，且满足对应边长要求． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 18 (1)在图1 中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数； (2)在图2 中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数； (3)在图3 中，画出的直角三角形三边长都是无理数． 【答案】(1)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）； (2)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）； (3)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）． 【分析】（1）根据有理数与无理数的定义进行作图即可； （2）根据有理数与无理数的定义进行作图即可； （3）根据无理数的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：∵ 2 2 2, 1, 1 2 5 AB BC AC = = = + = ， ∴ , AB BC 为有理数，AC 为无理数，且 2 2 2 5 AB BC AC + = = ， ∴ABC 是直角三角形，符合题意； （2）解：∵ 2 2 1 1 2, 2 DE DF EF = = + = = ， ∴ , DE DF 为无理数，EF 为有理数，且 2 2 2 4 DE DF EF + = = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / ∴DEF 是直角三角形，符合题意； （3）解：∵ 2 2 2 2 1 2 5, 1 3 10 GH GI HI = = + = = + = ， ∴ , , GH GI HI 都为无理数，且 2 2 2 10 GH GI HI + = = ， ∴GHI 是直角三角形，符合题意． 20．有一块长方形木板ABCD，小牛采用如图的方式，将木板的长AD增加2 3cm（即 2 3cm DE = ），宽AB 增加6 3cm （即 6 3cm BG = ），得到一个面积为 2 192cm 的正方形AGFE ． (1)求长方形木板ABCD的面积； (2)小牛想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为 2 18cm ，宽为 6 cm 2 的长方形木料，请通过计算说明小牛 的想法是否可行． 【答案】(1) 2 36cm (2)解：∵要裁的长方形面积为 2 18cm ，宽为 6 2 cm ， ∴它的长为 ( ) 6 18 6 6 , 2 c m = ， ∵原长方形的长为6 3 cm、宽为2 3cm ， ∴6 6 6 3 2 3 ， 即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边， ∴小牛的想法不可行． 【分析】（1）因为正方形AGFE 是面积为 2 192cm 的正方形，所以先根据正方形面积公式求其边长。因为正 方形边长等于AD DE + ，也等于AB BG + ，所以代入DE 和BG 的长度，可分别求出长方形ABCD的长AD和 宽AB ，再用长方形面积公式计算其面积． （2）先根据裁出长方形的面积和宽，用长方形面积公式求出其长，再将裁出长方形的长和宽分别与长方形 ABCD的长和宽比较大小，判断是否可行． 【详解】（1）解：∵正方形AGFE 面积为 2 192cm ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / ∴正方形边长为 192 8 3 AE AG cm = = = ． ∵ 2 3 DE cm = ， 6 3 BG cm = ： ∴ ( ) 8 3 2 3 6 3 , AD AE DE c m = − = − = ， ( ) 8 3 6 3 2 3 , AB AG BG c m = − = − = ． ∴长方形ABCD的面积为 ( ) 2 6 3 2 3 12 3 36 AD AB cm = = = ． （2）略 21．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行了2 个单位长度到达点B ，点A表示 2 − ，设点B 所表示的实 数为m ． (1)实数m 的值是__________； (2)化简： 1 1 m m + + − = _________； (3)若在数轴上有 , C D 两点分别表示实数,c d ，且3c d + 与 9 d + 互为相反数，求cd 的立方根． 【答案】(1) 2 2 − + (2)2 (3) 3 − 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由图可知1 1 m − ，则 1 0 m+ ， 1 0 m− ，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d 的值，再代入cd ，进而求其立方根． 【详解】（1）解：由题意得， 2 AB = ， ∵点A表示 2 − ，点B 所表示的实数为m ， ∴ 2 2 m = − + ； （2）解：由图可知，1 1 m − ， ∴ 1 0 m+ ， 1 0 m− ， ∴ 1 1 1 1 2 m m m m + + − = + + − = ； （3）解：3c d + 与 9 d + 互为相反数， 3 9 0 c d d + + + = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 又 3 0, 9 0 c d d + + ， 3 0, 9 0 c d d + = + = ， 解得 9 d = −， 3 c = ， ( ) 3 9 27 cd = − = − ， cd 的立方根为3 −． 22．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“ a b + ”和“ a b − ”称为 一对“对偶式”，如( )( ) 3 2 3 2 1 + − = ，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1) 5 2 − 的“对偶式”为__________； (2)化简： 2 7 5 − ； (3)已知15 8 1 x x − − − = ，求15 8 x x − + − 的值． 【答案】(1) 5 2 + (2) 7 5 + (3) 7 【分析】（1）根据“对偶式”的定义，两个含二次根式的式子相乘后不含根号，因为a b − 的对偶式为 a b + ，所以直接对应构造即可． （2）因为分母是7 5 − ，属于带根号的差的形式，所以可以给分子分母同乘它的对偶式，利用平方差公 式去掉分母的根号，完成分母有理化． （3）设所求式子为A，已知式子为15 8 x x − − − ，因为两个式子相乘可以用平方差公式消去根号，得到 只含常数的结果，且已知15 8 x x − − − 的值，所以通过计算 ( ) 15 8 A x x − − − 的结果即可求出A的值． 【详解】（1）解：根据材料定义：a b + 与 a b − 互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 因此5 2 − 的对偶式为5 2 + ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / （2）解：利用对偶式分母有理化化简： ( ) ( )( ) ( ) 2 7 5 2 7 5 2 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 + + = = = + − − − + ． （3）解：设 15 8 A x x = − + − ， 15 8 1 x x − − − = ， 根据平方差公式计算： ( ) ( )( ) ( ) ( ) 15 8 15 8 15 8 15 8 7 A x x x x x x x x − − − = − + − − − − = − − − = ， 因此15 8 7 x x − + − = ． 23．小明在解决问题：已知 1 2 3 a = + ，求 2 2 8 1 a a − + 的值．他是这样分析与解的： ( )( ) 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 a − = = = − + + − ， 2 3 a − = − ， 2 ( 2) 3 a − = ， 2 4 4 3 a a − + = ， 2 4 1 a a − = −， ( ) ( ) 2 2 2 8 1 2 4 1 2 1 1 1 a a a a − + = − + = − + = − 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出 1 1 n n = + + ________； (2)化简 1 1 1 1 2 1 3 2 2 3 2026 2025 + + + + + + + + ； (3)若 1 37 6 a = − ，请按照小明的方法求出 3 2 10 25 3 a a a − − + 的值． 【答案】(1) 1 n n + − (2) 1 2026 −+ (3)5 【分析】（1）把 1 1 n n + + 分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把 1 37 6 a = − 分母有理化，可得： 6 37 a − = ，两边同时平方可得： 2 12 1 a a − = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / 等式两边同时乘以a 可得： 3 2 12 a a a = + ，然后利用整体代入法求出代数式 3 2 10 25 3 a a a − − + 的值． 【详解】（1）解： 1 1 n n + + ( )( ) 1 1 1 n n n n n n + − = + + + − ( ) ( ) 2 2 1 1 n n n n + − = + − 1 1 n n n n + − = + − 1 n n = + − ； （2）解： 1 1 1 1 2 1 3 2 2 3 2026 2025 + + + + + + + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 3 2 2 3 2026 2025 2 1 2 1 3 2 3 2 2 3 2 3 2026 2025 2026 2025 − − − − = + + + + + − + − + − + − 2 1 3 2 2 3 2026 2025 2 1 3 2 4 3 2026 2025 − − − − = + + + + − − − − 2 1 3 2 2 3 2026 2025 = −+ − + − ++ − 1 2026 = −+ ； （3）解： 1 37 6 a = − ， ( )( ) 1 37 6 37 6 37 6 37 6 37 6 a + = = = + − + − ， 6 37 a − = ， 即 2 ( 6) 37 a − = ， 2 12 36 37 a a − + = ， 2 12 1 a a − = ， 3 2 12 a a a = + ， 3 2 10 25 3 a a a − − + 2 2 12 10 25 3 a a a a = + − − + 2 2 24 3 a a = − + ( ) 2 2 12 3 a a = − + 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / 2 1 3 = + 5 = ． 24．观察下列等式： 第一个等式： 1 1 1( 2 1) 2 1 2 1 ( 2 1)( 2 1) a − = = = − + + − ， 第二个等式： 2 1 1( 3 2) 3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2) a − = = = − + + − ， 第三个等式： 3 1 1(2 3) 2 3 2 3 (2 3)(2 3) a − = = = − + + − ， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： 4 1 5 2 a = = + ； 1 1 na n n = = + + ． (2)求 1 1 1 ( 7 1) 3 1 5 3 7 5 + + + + + + 的值． (3)利用以上规律计算： 1 2 3 2024 a a a a + + + + ． (4)比较99 98 − 与98 97 − 的大小，并说明理由． 【答案】(1) 5 2 − ， 1 n n + − (2)3 (3)44 (4) 99 98 98 97 − − 【分析】本题主要考查分母有理化、二次根式的运算及大小比较，熟练掌握分母有理化、二次根式的运算 及大小比较是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化进行化简，然后问题可求解； （3）根据题意可直接代入进行求解即可； （4）由题意得 ( )( ) 1 99 98 99 98 99 98 99 98 99 98 + = = + − − + ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / ( )( ) 1 98 97 98 97 98 97 98 97 98 97 + = = + − − + ，则有99 98 98 97 + + ，进而问题可求解． 【详解】（1）解： ( )( ) 4 1 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 a − = = = − + + − ， ( )( ) 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n a n n − = = = − + + − + + + + + ； 故答案为5 2 − ， 1 n n + − ； （2）解： 1 1 1 ( 7 1) 3 1 5 3 7 5 + + + + + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 3 1 ( 7 1) 3 1 3 1 5 3 5 3 7 5 7 5 3 5 7 − − − = + + + + − + − + − 3 1 5 3 7 5 2 2 2 ) ( 7 1 = + + + − − − 7 1 ( 7 1) 2 − = + 3 = ； （3）解：由题意得： 1 2 3 2024 a a a a + + + + 2 1 3 2 2 3 2025 2024 = −+ − + − + + − 2025 1 = − 44 = ； （4）解：∵ ( )( ) 1 99 98 99 98 99 98 99 98 99 98 + = = + − − + ， ( )( ) 1 98 97 98 97 98 97 98 97 98 97 + = = + − − + ， ∴99 98 98 97 + + ，即 1 1 99 98 98 97 − − ， ∴99 98 98 97 − − ． 25．阅读以下素材并解决问题： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 ( ) 2 2 2 2 3 12 2 x x + + − + 的最小值． 分析： 2 23 x + 和 ( ) 2 2 12 2 x − + 是勾股定理的形式， 2 23 x + 是直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜边， ( ) 2 2 12 2 x − + 是直角边分别是12 x − 和2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角ABC 和DEF ， 并使直角边BC 和EF 在同一直线上，向右平移直角ABC 使点B 和E 重合（图1），这时 12 12 CF x x = + − = ， 3, 2 AC DF = = ，问题就变成“点 B 在线段CF 的何处时，AB DB + 最短？”根据两点间线段最短，得到线段 AD就是它们的最小值． (1)代数式 ( ) 2 2 2 2 4 40 5 x x + + − + 的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式 ( ) 2 2 4 5 1 x x + + − + 的最小值． (3)已知正数x 满足 2 2 36 64 10 x x − + − = ，结合上述问题的方法，求x 的值． 【答案】(1)41 (2) 34 (3) 4.8 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：如图2，根据题意得： 4 5 9 AH = + = ， 40 HD = ， 2 2 9 40 41 AD = + = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 4 40 5 x x + + − + 的最小值是41； （2）解：如图， 2, 1, 5 AC DF CF = = = ， 2 1 3, 5 AH HD = + = = ， 设BC x = ，则 5 BF x = −， 小学 初中 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / ∴ 2 2 3 5 34 AD = + = ， ∴ ( ) 2 2 4 5 1 x x + + − + 的最小值是34 ； （3）解：构造 , ABC CD BC ⊥ 于 , 6, 8 D AC BC = = ，如图所示： 设CD x = ，则 2 2 36 , 64 AD x BD x = − = − ， 2 2 36 64 10 AB x x = − + − = ， 2 2 2 6 8 10 + = ， 90 ACB = ， 1 1 6 8 10 2 2 x = ， 4.8 x = ， ∴方程的解是 4.8 x = ．
