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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 6 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·能力提升 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． 3 − B． x C． a b − D．3.5 2．在实数2 ，22 7 ，3.14，2 ，3 8 −，2.10010001，1 3 − 中，无理数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列选项中，计算正确的是（ ） A．2 3 3 2 6 5 = B． 2 3 8 6 3 = C．5 3 5 2 5 6 = D． 1 1 4 2 2 2 = 4．把 5 m − 化简得（ ） A． 2 -m m B． 2 m m C． 2 m m − D． 2 m m − − 5．已知实数a、b 满足| 3| | 2| 1 3 a b a a − + − + − + = ，则a b + 等于（ ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 6．已知2 3 x ，化简( ) 2 2 3 x x − + − 的结果为（ ） A．1 − B．1 C．2 5 x − D．3 2x − 7．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入x 为81时，输出的y 是（ ） A．3 B． 3 ± C．3 D．3 8．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为( ) 3 3 3 m − ．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度 为( ) 10 3 6 m − ，则这块花圃的面积为（ ） A． 2 9m B．( ) 2 9 3 3 m − C． 2 18m D．( ) 2 18 6 3 m − 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 6 9．现将一组数3 ，6 ，3，2 3 ，15 ，3 2 ，…，3n ，…，按照以下方式进行排列，则第7 行左起 第3 个数字是（ ） 第1 行 3 第2 行 6 3 第3 行 2 3 15 3 2 … A．5 2 B． 70 C．6 2 D．74 10．如图，已知 1 2 OA A 是等腰直角三角形， 1 90 A = ，依次以点 ( ) 2,3,4,5, n A n = 为直角顶点作等腰 1 Rt n n OA A + △ ，若 1 1 OA = ，则 8 9 OA A △ 的周长为（ ） A．8 8 2 + B．16 8 2 + C．16 16 2 + D．20 16 2 + 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．实数5 2 − 的相反数是______． 12．最简二次根式 2 1 a −与 5 是同类二次根式，则a =__________． 13．已知 6 1 x = + ， 6 1 y = −，则代数式 2 2 2 x y xy + + 的值等于____________． 14．已知实数a ，b 满足 1 3 0 a b −+ + = ，c 是11 的整数部分．则a 的值是___________， 2 a b c + − 的立 方根是___________． 15．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法， 即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为a ，b ，c ，那么三角形的面积S的 计算公式为 2 2 2 2 2 2 1 4 2 c a b S a c + − = − （a b c ）．若 5 a = ， 2 3 b = ， 3 c = ，则S的值为_______． 16．对任意正数a ，b 定义运算“※”：当a b ，a b a b = − ※ ；当a b ，则a b b a = − ※ ．若1 4 16 x = ※ ※ （ 0 x ），则x 的值为___________． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 6 共9 小题，共72 分） 17．求x 的值： (1)( ) 2 2 1 169 0 x − − = ； (2) ( ) 3 125 2 343 x − = − ． 18．计算： (1) ( ) 2 1 24 3 18 2 1 2 − + + ； (2) ( ) 1 2 3 2 3 2 − + ． 19．图1、图2、图3 均为4 4 网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上 的直角三角形，且满足对应边长要求． (1)在图1 中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数； (2)在图2 中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数； (3)在图3 中，画出的直角三角形三边长都是无理数． 20．有一块长方形木板ABCD，小牛采用如图的方式，将木板的长AD增加2 3cm（即 2 3cm DE = ），宽AB 增加6 3cm （即 6 3cm BG = ），得到一个面积为 2 192cm 的正方形AGFE ． (1)求长方形木板ABCD的面积； (2)小牛想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为 2 18cm ，宽为 6 cm 2 的长方形木料，请通过计算说明小牛 的想法是否可行． 21．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行了2 个单位长度到达点B ，点A表示 2 − ，设点B 所表示的实 数为m ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 6 (1)实数m 的值是__________； (2)化简： 1 1 m m + + − = _________； (3)若在数轴上有 , C D 两点分别表示实数,c d ，且3c d + 与 9 d + 互为相反数，求cd 的立方根． 22．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“ a b + ”和“ a b − ”称为 一对“对偶式”，如( )( ) 3 2 3 2 1 + − = ，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1) 5 2 − 的“对偶式”为__________； (2)化简： 2 7 5 − ； (3)已知15 8 1 x x − − − = ，求15 8 x x − + − 的值． 23．小明在解决问题：已知 1 2 3 a = + ，求 2 2 8 1 a a − + 的值．他是这样分析与解的： ( )( ) 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 a − = = = − + + − ， 2 3 a − = − ， 2 ( 2) 3 a − = ， 2 4 4 3 a a − + = ， 2 4 1 a a − = −， ( ) ( ) 2 2 2 8 1 2 4 1 2 1 1 1 a a a a − + = − + = − + = − 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出 1 1 n n = + + ________； (2)化简 1 1 1 1 2 1 3 2 2 3 2026 2025 + + + + + + + + ； (3)若 1 37 6 a = − ，请按照小明的方法求出 3 2 10 25 3 a a a − − + 的值． 24．观察下列等式： 第一个等式： 1 1 1( 2 1) 2 1 2 1 ( 2 1)( 2 1) a − = = = − + + − ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 6 第二个等式： 2 1 1( 3 2) 3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2) a − = = = − + + − ， 第三个等式： 3 1 1(2 3) 2 3 2 3 (2 3)(2 3) a − = = = − + + − ， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： 4 1 5 2 a = = + ； 1 1 na n n = = + + ． (2)求 1 1 1 ( 7 1) 3 1 5 3 7 5 + + + + + + 的值． (3)利用以上规律计算： 1 2 3 2024 a a a a + + + + ． (4)比较99 98 − 与98 97 − 的大小，并说明理由． 25．阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 ( ) 2 2 2 2 3 12 2 x x + + − + 的最小值． 分析： 2 23 x + 和 ( ) 2 2 12 2 x − + 是勾股定理的形式， 2 23 x + 是直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜边， ( ) 2 2 12 2 x − + 是直角边分别是12 x − 和2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角ABC 和DEF ， 并使直角边BC 和EF 在同一直线上，向右平移直角ABC 使点B 和E 重合（图1），这时 12 12 CF x x = + − = ， 3, 2 AC DF = = ，问题就变成“点 B 在线段CF 的何处时，AB DB + 最短？”根据两点间线段最短，得到线段 AD就是它们的最小值． (1)代数式 ( ) 2 2 2 2 4 40 5 x x + + − + 的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式 ( ) 2 2 4 5 1 x x + + − + 的最小值． (3)已知正数x 满足 2 2 36 64 10 x x − + − = ，结合上述问题的方法，求x 的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 6
