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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第一章 勾股定理·基础通关
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数
学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．1，3 ，2
B．8，9，10
C．0.3，0.4，0.5
D．5，12，13
【答案】D
【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根
据定义逐项判断即可．
【详解】解：根据勾股数的定义依次判断：
选项A 中3 不是正整数，选项C 中三个数都是小数，不是正整数，因此A、C 不符合定义，排除；
选项B 中，
2
2
8
9
64
81
145
+
=
+
=
，
2
10
100
=
，145
100
，不满足平方关系，因此B 不符合定义，排除；
选项D 中，5，12，13都是正整数，且
2
2
2
5
12
25 144
169
13
+
=
+
=
=
，满足勾股数的定义，故选D．
2．一个直角三角形的三条边分别是a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ）
A．
2
2
2
a
b
c
+
=
B．
2
2
2
a
c
b
+
=
C．
2
2
2
b
c
a
+
=
D．不能确定
【答案】D
【分析】题干未说明a ，b ，c 中哪条边是斜边，因此无法确定三边的平方关系
【详解】解：∵勾股定理指出，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，
本题未说明a ，b ，c 哪条边是该直角三角形的斜边，
∴无法确定A、B、C 中哪一个等式成立
3．Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，则AB =（ ）
A．10
B．14
C．12
D．5
【答案】A
【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可．
【详解】解：在Rt ABC
中，
6
AC =
，
8
BC = ，
AB 为斜边，由勾股定理得
2
2
2
AB
AC
BC
=
+
，
6
AC =
，
8
BC = ，
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2
2
2
6
8
36
64
100
AB =
+
=
+
=
，
边长为正数，
100
10
AB =
=
．
4．（25-26 八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形A B
，
的面积分别是4 3
，，则最大正方形C 的面积是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】设正方形、、
A
B
C 的边长分别为a
b
c
、、，利用勾股定理建立三边平方关系，结合正方形面积公式
求解．
【详解】解：设正方形、、
A
B
C 的边长分别为a
b
c
、、，
∵正方形A B
，的面积分别是4 3
，，
∴
2
4
a =
，
2
3
b =
，
∵中间三角形为直角三角形，且a
b
、为直角边，c 为斜边，
∴由勾股定理得
2
2
2
a
b
c
+
=
，
∴
2
4
3
7
c =
+
=
，
∴正方形C 的面积是7 ．
5．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25
的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，
即可解答．
【详解】解：∵
2
2
2
7
24
25
+
=
，
2
2
2
15
20
25
+
=
，
∴长度为7，24，25 的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25 的小棒是斜边；
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长度为15，20，25 的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25 的小棒是斜边．
符合条件的图形为选项B．
6．长方形一边长为6，对角线与长方形另一边相差2，则长方形的面积为（ ）
A．16
B．6
C．48
D．24
【答案】C
【分析】本题利用长方形四个角为直角，邻边与对角线构成直角三角形，结合勾股定理求出另一边长，再
根据长方形面积公式计算即可．
【详解】解：设长方形另一边长为x ，则对角线长为
2
x+
．
∵长方形内角为直角，相邻两边与对角线构成直角三角形，
∴由勾股定理得：
(
)
2
2
2
6
2
x
x
+
=
+
，
展开得：
2
2
36
4
4
x
x
x
+
=
+
+
，
化简得：4
32
x =
，解得
8
x = ．
∴长方形面积为6 8
48
=
．
7．如图，ABC
顶点A ，B ，C 在边长为1 的正方形网格格点上，若CD
AB
⊥
于点D ，则CD的长为（ ）．
A．3
5
B．6
5
C．12
5
D．5
6
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求得AB 的长，然后运用等面积法求解即可．
【详解】解：由网格图可知，
2
AC =
，点B 到AC 所在直线的距离为3，
2
2
3
4
5
AB =
+
=
，
∴
1
2 3
3
2
ABC
S
=
=
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
1
2
ABC
S
AB CD
=
，
∴1
5
3
2
CD
=
，解得：
6
5
CD =
．
8．（25-26 八年级下·四川广安·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数
学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，
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在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m 路，却踩伤了花草
A．1
B．5
C．2
D．7
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出AB ，再根据AC
BC
AB
+
−
解答．
【详解】解：如图所示，根据题意，得
3m
4m
90
AC
BC
C
=
=
=
，
，
，
根据勾股定理，得
2
2
2
2
3
4
5
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
则
3
4
5
2(m)
AC
BC
AB
+
−
=
+
−
=
，
所以他们仅仅少走了2m路．
9．
（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区AB 边上安装一个饮水点P，经测量
8
AC =
米，
6
BC =
米，
10
AB =
米，则饮水点P 到三角形顶点C 的最小距离为（ ）
A．6 米
B．4.8 米
C．4 米
D．9.6 米
【答案】B
【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明
90
C
=
，当CP
AB
⊥
时，CP 的值最小，然后利用等面积法求解．
【详解】解：∵
8
AC = 米，
6
BC =
米，
10
AB =
米，
∴
2
2
2
2
2
8
6
100
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
，
∴
90
C
=
，
∵点P 在AB 上，
∴当CP
AB
⊥
时，CP 的值最小，
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∴此时
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CP
=
=
△
，
∴1
1
8 6
10
2
2
CP
=
，
∴
4.8
CP =
，
∴饮水点P 到三角形顶点C 的最小距离为4.8 米．
10．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文
明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出
2
2
2
a
b
c
+
=
，以此判断各图能否
证明勾股定理，最终选出符合要求的选项．
【详解】A、梯形的面积为
(
)(
)
1
2
S
a
b
a
b
=
+
+
梯
，
三个直角三角形的面积之和为
2
1
1
1
2
2
2
S
ab
ab
c
=
+
+
总
，
令二者相等，两边乘2 化简得
2
2
2
2
2
a
ab
b
ab
c
+
+
=
+
，
即
2
2
2
a
b
c
+
=
，故A 选项可以证明勾股定理．
B、大正方形的面积为
(
)
2
S
a
b
=
+
大
，
四个三角形与中间小正方形的面积之和为
2
2
1
4
2
2
S
ab
c
ab
c
=
+
=
+
总
令二者相等，展开化简得
2
2
2
2
2
a
ab
b
ab
c
+
+
=
+
，
即
2
2
2
a
b
c
+
=
，故选项B 可以证明勾股定理．
C、大正方形的面积为
2
S
c
=
大
，
四个三角形与中间小正方形的面积之和为
(
)
2
2
2
2
2
1
4
2
2
2
S
ab
b
a
ab
b
ab
a
a
b
=
+
−
=
+
−
+
=
+
总
，
令二者相等，得
2
2
2
a
b
c
+
=
，故选项C 可以证明勾股定理．
D、大正方形的面积为
(
)
2
S
a
b
=
+
大
，
其余各部分面积之和为
2
2
2
S
a
b
ab
=
+
+
总
，
令二者相等，得(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
，故选项D 不能证明勾股定理．
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二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．已知ABC
的三边a ，b ，c 满足
2
2
2
a
b
c
=
−
，则ABC
的形状为________．
【答案】直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵
2
2
2
a
b
c
=
−
，
∴
2
2
2
a
c
b
+
=
，
∴ABC
是直角三角形．
12．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十
步，问田积几何？”
译文：有一块矩形田地，长为40 步，宽与对角线的长度之和为60 步．已知1 亩＝240 平方步，这块田地的
面积为______亩．
【答案】25
9 /
7
2 9
【分析】设长方形田的宽为x 步，对角线长为(
)
60
x
−
步，利用勾股定理建立方程求解宽，再计算面积并转
换为亩数即可．
【详解】解：设宽为x 步，则对角线长为(
)
60
x
−
步，
由勾股定理得：
(
)
2
2
2
4
60
0
x
x
+
−
=
，
解得
50
3
x =
，
面积
50
2000
40
3
3
=
=
平方步，
亩数
2000
25
240
3
9
=
=
．
13．（25-26 八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有
的四边形都是正方形，若
2
A
S =
，
4
B
S =
，
1
C
S = ，
2
D
S
=
，则正方形E 的面积为_______．
【答案】9
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【详解】解：∵所有的四边形都是正方形，
∴图中所有三角形都为直角三角形，
由勾股定理得：正方形E 的面积
1
2
2
4 1 2
9
A
B
C
D
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
+
+
=
+ + +
=
．
14．（25-26 八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在BC
上有一处古建筑，使得BC 的长不能直接测出，于是工作人员在BC 上取一点D ，测得
120
AD =
米，
50
BD =
米后，又测得
130
AB =
米，
150
AC =
米，则BC 的长为______米．
【答案】140
【分析】先在ABD
中，利用三边关系判断
ADB
是否为直角，若AD
BC
⊥
，则在Rt
ADC
△
中用勾股定理
求出DC ，进而求出BC ．
【详解】解：在ABD
中，
50
BD =
，
120
AD =
，
130
AB =
，
2
2
2
2
50
120
16900
BD
AD
+
=
+
=
，
2
2
130
16900
AB =
=
，
2
2
2
BD
AD
AB
+
=
，
ABD
△
是直角三角形，
90
ADB
=
，
即AD
BC
⊥
．
在Rt
ADC
△
中，
120
AD =
，
150
AC =
，
由勾股定理得：
2
2
2
2
150
120
90
DC
AC
AD
=
−
=
−
=
，
50 90
140
BC
BD
DC
=
+
=
+
=
（米）．
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15．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径
24
π
AB =
，高
10
BC =
，P 为BC
的中点．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱的表面爬到P 点的最短距离为_________．
【答案】13
【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵P 为BC 的中点，高
10
BC =
，
∴
1
5
2
PB
BC
=
= ，
将圆柱侧面展开，如图所示：
∵这个圆柱的底面圆的直径为24
π ，
∴在侧面展开图中，
1 π
2
π
2
24
1
AB
=
=
，PB
AB
⊥
，
∴在Rt ABP
中，
2
2
13
PA
AB
PB
=
+
=
，
即一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P 点的最短距离为13．
16．如图，在ABC
中，
90 ,
4,
6
C
AC
BC
=
=
=
，D 是BC 的中点，E 是AC 上一动点，将ECD
沿DE 折
叠到C DE
，连接EC，当
AEC
△
是直角三角形时，CE 的长为_____．
【答案】3或3
2
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，
属于中考常考题型．
分两种情形，当
90
ACE
=
或
90
AEC
=
时，分别画出图形,再结合折叠的性质以及勾股定理进行列式计
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算，即可作答．
【详解】解：当
90
ACE
=
时，
将
CDE
△
沿DE 折叠到C DE
，
90
EC D
C
=
=
，
180
ACE
ECD
+
=
，
点A、C、D 三点共线，
4
AC =
，
3
CD =
，
由勾股定理得
2
2
5
AD
AC
CD
=
+
=
，
设CE
C E
x
=
=
，
则
4
AE
x
=
−
，
2
AC=
，
在Rt
AC E
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
(4
)
2
x
x
−
=
+
，
解得
3
2
x =
，
3
2
CE
=
，
当
90
AEC
=
时，
90
CEC
=
，
45
CED
=
，
3
CE
CD
=
=
，
结合折叠的性质，折叠后的点C的位置无法使得
90
EAC
=
，
综上，
3
CE =
或3
2 ．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．如图，在ABC
中，
90
ACB
=
，CD
AB
⊥
于D ．若
5cm
AB =
，
3cm
BC =
，
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10 /
(1)求AC 的长度；
(2)求CD的长度．
【答案】(1)
4cm
AC =
(2)
12 cm
5
CD =
【分析】（1）已知直角三角形斜边和一条直角边，用勾股定理求出另一条直角边AC ；
（2）利用直角三角形两种面积表达式相等列等式，解方程算出斜边上的高CD．
【详解】（1）解：
90
ACB
=
，
5cm
AB =
，
3cm
BC =
，
(
)
2
2
4
,
AC
AB
BC
c m
=
−
=
．
（2）解：
5cm
AB =
，
4cm
AC =
，
3cm
BC =
，
90
ACB
CDA
=
=
，
1
1
2
2
AC
BC
CD
AB
=
，
1
1
4 3
5
2
2 CD
=
，
解得
12 cm
5
CD =
．
18．图①、图②均是4 4
的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在给定的
网格中，按下列要求以AB 为边画ABC
．
(1)在图①中画一个锐角三角形，且面积为4；
(2)在图②中画一个等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用网格画出一个底边为4 ，高为2 的锐角三角形即可；
（2）利用网格画出一个两条边相等，且有一个角是直角的三角形即可．
【详解】（1）解：如图：ABC
即为所求；
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11 /
由图可得：
4
BC =
，BC 边上的高为2 ，
∴
1
4 2
4
2
ABC
S
=
=
；
（2）解：如图：ABC
即为所求；
由勾股定理可得
2
2
1
2
5
AB
AC
=
=
+
=
，
2
2
1
3
10
BC =
+
=
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
∴ABC
为等腰直角三角形．
19．（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出
水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1 丈（一丈等于10
尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它高出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，
顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题：
(1)如图，线段AF 的长为 尺，线段EF 的长为 尺；
(2)求芦苇的长度．
【答案】(1)5，1
(2)13尺
【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，E 为AB 中点，
即可得出答案；
（2）根据题意，可知AB 的长为10尺，则
5
AF =
尺，设芦苇长EG
AG
x
=
=
尺，表示出水深FG ，根据勾
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12 /
股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】（1）解：由题意可得：
1
5
2
AF
AB
=
=
尺，
1
EF = 尺，
（2）解：设芦苇长EG
AG
x
=
=
尺，
则水深
(
)
1
FG
x
=
−
尺，
在Rt AFG
中，
2
2
2
AF
FG
AG
+
=
，
即
2
2
2
5
(
1)
x
x
+
−
=
，
解得：
13
x =
，
则
13
EG =
（尺），
答：芦苇长13尺．
20．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个
是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，
在ABC
中，∵AD
BC
⊥
于D ，且AD
DC
=
，∴ABC
是等直三角形，AD是ABC
的一条等直分割线段．
(1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）；
(2)定义应用：如图2，在ABC
中，
90
C
=
，AD是ABC
的等直分割线段，
4,
8
AC
BC
=
=
，求AD的长．
【答案】(1)是
(2)
5
AD =
【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可；
（2）根据等直三角形定义可得AD
BD
=
，设AD
x
=
，则
,
8
BD
x CD
x
=
=
−
，再结合勾股定理求解，即可解
题．
【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1 作出其等直分割线段，
若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形，
直角三角形一定是等直三角形；
（2）解：∵AD是ABC
的等直分割线段，
∴ADB
是等腰三角形，
∴AD
BD
=
，
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设AD
x
=
，则
,
8
BD
x CD
x
=
=
−
，
在Rt ACD
中，根据勾股定理得
(
)
2
2
2
4
8
x
x
+
−
=
，
解得
5
x = ，
∴
5
AD = ．
21．（25-26 八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流
在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打
卡点B，C．已知BA
BC
=
，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D 三点在同一直线上），
并修建一条观光小路AD，测得
1.5 km
AC =
，
0.9 km
DC =
，
1.2 km
AD =
．
(1)判断ACD
的形状，并说明理由；
(2)求原路线AB 的长．
【答案】(1)解：ACD
为直角三角形，理由如下：
1.5
AC =
，
0.9
DC =
，
1.2
AD =
，
2
2
2
2
1.2
0.9
2.25
AD
DC
+
=
+
=
，
2
2
1.5
2.25
AC =
=
，
2
2
2
AD
DC
AC
+
=
，
ACD
为直角三角形．
(2)原路线AB 的长为1.25 km
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）设
km
BD
x
=
，则
(
)
0 9 km
BA
BC
x
=
=
+ ．
，再利用勾股定理求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：设
km
BD
x
=
，则
(
)
0 9 km
BA
BC
x
=
=
+ ．
，
由（1）知ACD
为直角三角形，
AD
BC
⊥
，
ABD
△
为直角三角形，
2
2
2
AD
BD
AB
+
=
，
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即
(
)
2
2
2
1.2
0.9
x
x
+
=
+
，
解得
0.35
x =
，
(
)
0.35
0.9
1.25 km
AB
=
+
=
，
原路线AB 的长为1.25 km ．
22．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道(
)
4,3,5 ，(
)
6,8,10 ，(
)
8,15,17 ，…都是勾
股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：4
2 2
= ，
2
3
2
1
=
−；6
2 3
= ，
2
8
3
1
=
−；8
2 4
= ，
2
15
4
1
=
−；…
分析其中的规律，解答下列问题．
(1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________．
(2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为2n（
2
n
，且n 为整数），另外两个数分别为__________，
__________时，则这三个数为勾股数．
请你补充完整猜想并验证猜想．
【答案】(1)（10，24，26）
(2)
2
1
n −，
2
1
n + ，
证明：∵
2
2
2
4
2
2
4
2
(
1)
(2 )
2
1 4
2
1
n
n
n
n
n
n
n
−
+
=
−
+ +
=
+
+ ，(
)
2
2
4
2
1
2
1
n
n
n
+
=
+
+ ，
∴
2
2
2
2
2
(
1)
(2 )
(
1)
n
n
n
−
+
=
+
，
∴
2
2
2 ,
1,
1
n n
n
−
+ 是勾股数．
【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为5 2
10
=
，52 1
24
−=
，利用勾股定理计算或者通
过规律得到第三个数是26；
（2）由观察归纳得到两个数与n 之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性．
【详解】（1）略
（2）略
23．（25-26 八年级下·广西崇左·期末）如图，在ABC
中，E 为AB 边上的一点，连接CE 并延长，过点A 作
AD
CE
⊥
，垂足为D，若
7
AD = ，
20
AB =
，
15
BC =
，
24
DC =
．
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15 /
(1)判断ABC
的形状，并证明；
(2)记ADE
的面积为
1S ，BCE
的面积为
2
S ，求
2
1
S
S
−
的值．
【答案】(1) ABC
是直角三角形．
证明：∵AD
CE
⊥
，
∴
90
ADC
=
，
在Rt
ADC
△
中，
7
AD = ，
24
DC =
，
根据勾股定理得，
2
2
25
AC
AD
CD
=
+
=
在ABC
中，
20
15
25
AB
BC
AC
=
=
=
，
，
，
∵
2
2
2
2
2
20
15
625
AB
BC
AC
+
=
+
=
=
，
根据勾股定理的逆定理得，
90
ABC
=
，
∴ABC
是直角三角形；
(2)66
【分析】（1）根据勾股定理可知AC ，进而根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）根据面积公式即可求解
ADC
S
，
ABC
S
，进而表示出
2
1
S
S
−
即可求解．
【详解】（1）略
（2）在Rt
ADC
△
中，
7
24
AD
DC
=
=
，
，
1
84
2
ADC
S
CD AD
=
=
在Rt
ABC
△
中，
20
15
AB
BC
=
=
，
，
1
150
2
ABC
S
BC AB
=
=
(
) (
)
2
1
66
ABC
ACE
ACD
ACE
ABC
ACD
S
S
S
S
S
S
S
S
−
=
−
−
−
=
−
=
．
24．教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，
底端位于地面的点B 处，点B 到墙面的距离BO为0.7m ．
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16 /
(1)如果将梯子底端沿OB 向外移动0.8m，那么梯子顶端会沿墙AO 下滑多少m？求出梯子会沿墙AO 下滑的
距离AC 的长度；
解决问题：
(2)如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB ，货架顶部安装一个高5m 的装卸平台AC ，现需对该
平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M 处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触到装卸
平台底部A点．叉车向货架方向行驶多少m 后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点？请通
过计算后说明理由．
【答案】(1)答：梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度为0.4m．
(2)解：叉车向货架方向行驶5m 后,其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点．理由如下：
过点D作DE
AB
⊥
于点E ，
由题意可得，
25m
CD
AD
=
=
，
17m
AB =
，
5m
AC =
，
∵叉车高2m，
∴
2m
BE =
，
∴
17
2
15m
AE
AB
BE
=
−
=
−
=
，
∴
2
2
2
2
25
15
20m
ED
AD
AE
=
−
=
−
=
，
∵
15 5
20m
CE
AE
AC
=
+
=
+ =
，
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∴
2
2
2
2
25
20
15m
ED
CD
CE
=
−
−
=
=
，
∴
20m 15m
5m
DD
ED
ED
=
−
−
=
=
，
∴叉车向货架方向行驶5m 后,其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点．
【分析】（1）根据题意，可得，
2.5m
AB =
，
0.7m
BO =
，根据勾股定理求出AO ，根据梯子底端沿OB 向外
移动0.8m，则
0.7
0.8 1.5
OD
OB
BD
=
+
=
+
=
，根据勾股定理求出CO，即可求出AC ；
（2）过点D作DE
AB
⊥
于点E ，由题意可得，
25m
CD
AD
=
=
，
17m
AB =
，
5m
AC =
，根据勾股定理求
出ED；ED，根据DD
ED
ED
=
−
，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
2.5
AB
CD
m
=
=
，
0.7m
BO =
，
∴
(
)
2
2
2
2
2.5
0.7
2.4 m
OA
AB
OB
=
−
=
−
=
∵梯子底端沿OB 向外移动0.8m，
∴
( )
0.7
0.8
1.5
OD
OB
BD
m
=
+
=
+
=
，
∴
( )
2
2
2
2
2.5
1.5
2
CO
CD
OD
m
=
−
=
−
=
，
∴
( )
2.4
2
0.4
AC
OA
OC
m
−
=
=
−
=
．
答：梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度为0.4m．
（2）略
25．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．
板块
内容
背景
阐述
灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒
地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列
探究任务．
素材
一
工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中
90
A
D
=
=
，
Rt
Rt
ABE
DEC
≌
△
△
、两块三角尺的直角边分别为a b
､，斜边为c，拼接在直线AD上（A、E、D
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18 /
共线）．
素材
二
灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得
,
13,
12
AD
CD AB
BC
⊥
=
=
，
4,
3
AD
CD
=
=
．计
划对图中灰色阴影地块进行绿化种草．
素材
三
灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点A B
､，现决定在河边新建取水点H（A、
H．B 在同一直线上），并新修一条路CH ，使CH
AB
⊥
（如图3），测得
1.3
CA =
千米，
1.4
AB =
千
米，
1.5
BC =
千米．
(1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：
2
2
2
a
b
c
+
=
；
(2)任务二：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积；
(3)任务三：请计算素材三中新修道路CH 的长度（单位：千米）．
【答案】(1)证明：
R
Rt
t D
AB
C
E
E
≌
，
AEB
DCE
=
，
90
A
D
=
=
，
90
DEC
DCE
+
=
，
90
DEC
AEB
+
=
，
∴
90
BEC
=
，
2
1
1
1
2
2
2
2
BEC
ABE
DEC
c
S
S
S
c c
a b
a b
ab
+
+
=
+
+
=
+
，
(
)(
)
2
2
1
2
2
ABCD
a
b
S
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
=
+
梯形
，
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
ab
+
+
=
+
，
即
2
2
2
a
b
c
+
=
；
(2)24
(3)1.2 千米
【分析】
（1）根据三角形全等以及
90
A
D
=
=
可得
90
BEC
=
，再由三角形面积公式可分别求解出
BEC
、
ABE
与DEC
的面积，再由梯形面积公式求解出梯形ABCD的面积，由此可证勾股定理；
（2）根据勾股定理可求解AC 的长度，再由勾股定理逆定理可得
ACB
为90 度，分别计算ABC
与ACD
的
面积即可求解阴影面积；
（3）设AH
x
=
，在Rt AHC
中由勾股定理表示
2
2
2
CH
AC
AH
=
−
，在Rt
BHC
△
中由勾股定理表示
2
2
2
CH
BC
BH
=
−
，列式求解x 的值，再回代求CH 即可．
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【详解】（1）略；
（2）解：
AD
CD
⊥
，
4
AD =
，
3
CD =
，
2
2
2
2
3
4
5
AC
CD
AD
=
+
=
+
=
，
13
AB =
，
12
BC =
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
90
ACB
=
，
1
1
5 12
3 4
24
2
2
ABC
ACD
S
S
S
=
−
=
−
=
阴影
，
答：阴影部分面积为24；
（3）解：设AH
x
=
千米，则
(
)
1.4
BH
x
=
−
千米，
CH
AB
⊥
，
90
CHA
CHB
=
=
，
在Rt AHC
中，
2
2
2
CH
AC
AH
=
−
，
在Rt
BHC
△
中，
2
2
2
CH
BC
BH
=
−
，
2
2
2
2
AC
AH
BC
BH
−
=
−
，即
(
)
2
2
2
2
1.3
1.5
1.4
x
x
−
=
−
−
，
整理得，2.8
1.4
x =
，
解得，
0.5
x =
，
0.5
AH
=
千米，
2
2
2
2
1.3
0.5
1.2
CH
AC
AH
=
−
=
−
=
（千米），
答：新修路CH 的长为1.2 千米．
