文档文本内容
试题 第1 页（共8 页） 试题 第2 页（共8 页）
学科网（北京）股份有限公司
……………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
……………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第二章 实数·能力提升
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A．
3
−
B．
x
C．
a
b
−
D．3.5
2．在实数2 ，22
7 ，3.14，2
，3
8
−，2.10010001，1
3
−
中，无理数有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
3．下列选项中，计算正确的是（ ）
A．2 3 3 2
6 5
=
B．
2 3
8
6
3
=
C．5 3 5 2
5 6
=
D．
1
1
4
2
2
2
=
4．把
5
m
−
化简得（ ）
A．
2
-m
m
B．
2
m
m
C．
2
m
m
−
D．
2
m
m
−
−
5．已知实数a、b 满足|
3|
|
2|
1
3
a
b
a
a
−
+
−
+
−
+
=
，则a
b
+
等于（ ）
A．﹣1
B．2
C．3
D．5
6．已知2
3
x
，化简(
)
2
2
3
x
x
−
+
−
的结果为（ ）
A．1
−
B．1
C．2
5
x −
D．3
2x
−
7．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入x 为81时，输出的y 是（ ）
A．3
B．
3
±
C．3
D．3
8．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为(
)
3 3
3 m
−
．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度
为(
)
10 3
6 m
−
，则这块花圃的面积为（ ）
A．
2
9m
B．(
)
2
9 3 3 m
−
C．
2
18m
D．(
)
2
18 6 3 m
−
9．现将一组数3 ，
6 ，3，2 3 ，15 ，3 2 ，…，3n ，…，按照以下方式进行排列，则第7 行左起
第3 个数字是（ ）
第1 行 3
第2 行 6 3
第3 行 2 3 15 3 2
…
A．5 2
B．70
C．6 2
D．74
10．如图，已知
1
2
OA A
是等腰直角三角形，
1
90
A
=
，依次以点
(
)
2,3,4,5,
n
A
n =
为直角顶点作等腰
1
Rt
n
n
OA A +
△
，若
1
1
OA = ，则
8
9
OA A
△
的周长为（ ）
A．8 8 2
+
B．16 8 2
+
C．16 16 2
+
D．20
16 2
+
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．实数5
2
−
的相反数是______．
12．最简二次根式
2
1
a −与5 是同类二次根式，则a =__________．
13．已知
6
1
x =
+ ，
6
1
y =
−，则代数式
2
2
2
x
y
xy
+
+
的值等于____________．
14．已知实数a ，b 满足
1
3
0
a
b
−+
+
=
，c 是11 的整数部分．则a 的值是___________，
2
a
b
c
+ −
的立
方根是___________．
15．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办
法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为a ，b ，c ，那么三角形的面积
S的计算公式为
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
a c
+
−
=
−
（a
b
c
）．若
5
a =
，
2 3
b =
，
3
c = ，则S的值为_______．
16．对任意正数a ，b 定义运算“※”：当a
b
，a
b
a
b
=
−
※
；当a
b
，则a
b
b
a
=
−
※
．若1 4
16
x
=
※
※
（
0
x
），则x 的值为___________．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．求x 的值：
试题 第3 页（共8 页） 试题 第4 页（共8 页）
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
此
卷
只
装
订
不
密
封
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
(1)(
)
2
2
1
169
0
x −
−
=
；
(2)
(
)
3
125
2
343
x −
= −
．
18．计算：
(1)
(
)
2
1
24
3
18
2
1
2
−
+
+
；
(2)
(
)
1
2
3
2
3
2
−
+
．
19．图1、图2、图3 均为4 4
网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上
的直角三角形，且满足对应边长要求．
(1)在图1 中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数；
(2)在图2 中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数；
(3)在图3 中，画出的直角三角形三边长都是无理数．
20．有一块长方形木板ABCD，小牛采用如图的方式，将木板的长AD增加2 3cm（即
2 3cm
DE =
），宽
AB 增加6 3cm （即
6 3cm
BG =
），得到一个面积为
2
192cm 的正方形AGFE ．
(1)求长方形木板ABCD的面积；
(2)小牛想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为
2
18cm ，宽为
6 cm
2
的长方形木料，请通过计算说明小牛
的想法是否可行．
21．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行了2 个单位长度到达点B ，点A表示
2
−
，设点B 所表示的实
数为m ．
(1)实数m 的值是__________；
(2)化简：
1
1
m
m
+
+
−
= _________；
(3)若在数轴上有
,
C D 两点分别表示实数,c d ，且3c
d
+
与
9
d +
互为相反数，求cd 的立方根．
22．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“ a
b
+
”和“
a
b
−
”称为
一对“对偶式”，如(
)(
)
3
2
3
2
1
+
−
= ，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简．
(1) 5
2
−
的“对偶式”为__________；
(2)化简：
2
7
5
−
；
(3)已知15
8
1
x
x
−
−
−
= ，求15
8
x
x
−
+
−
的值．
23．小明在解决问题：已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值．他是这样分析与解的：
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
2
3
a
−
= −
，
2
(
2)
3
a
−
= ，
2
4
4
3
a
a
−
+
=
，
2
4
1
a
a
−
= −，
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
−
+ = −
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出
1
1
n
n
=
+ +
________；
(2)化简
1
1
1
1
2
1
3
2
2
3
2026
2025
+
+
+
+
+
+
+
+
；
(3)若
1
37
6
a =
−
，请按照小明的方法求出
3
2
10
25
3
a
a
a
−
−
+
的值．
24．观察下列等式：
第一个等式：
1
1
1( 2
1)
2
1
2
1
( 2
1)( 2
1)
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
第二个等式：
2
1
1( 3
2)
3
2
3
2
( 3
2)( 3
2)
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
第三个等式：
3
1
1(2
3)
2
3
2
3
(2
3)(2
3)
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
……
试题 第5 页（共8 页） 试题 第6 页（共8 页）
学科网（北京）股份有限公司
……………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
……………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
按上述规律，回答以下问题：
(1)按上述规律填空：
4
1
5
2
a =
=
+
；
1
1
na
n
n
=
=
+ +
．
(2)求
1
1
1
( 7
1)
3
1
5
3
7
5
+
+
+
+
+
+
的值．
(3)利用以上规律计算：
1
2
3
2024
a
a
a
a
+
+
+
+
．
(4)比较99
98
−
与98
97
−
的大小，并说明理由．
25．阅读以下素材并解决问题：
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值．
分析：
2
23
x +
和
(
)
2
2
12
2
x
−
+
是勾股定理的形式，
2
23
x +
是直角边分别是x和3 的直角三角形的斜边，
(
)
2
2
12
2
x
−
+
是直角边分别是12
x
−
和2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角ABC
和DEF
，
并使直角边BC 和EF 在同一直线上，向右平移直角ABC
使点B和E 重合（图1），这时
12
12
CF
x
x
=
+
−
=
，
3,
2
AC
DF
=
=
，问题就变成“点 B 在线段CF 的何处时，AB
DB
+
最短？”根据两点间线段最短，得到线
段AD就是它们的最小值．
(1)代数式
(
)
2
2
2
2
4
40
5
x
x
+
+
−
+
的最小值是_____．
(2)根据上述信息，求代数式
(
)
2
2
4
5
1
x
x
+
+
−
+ 的最小值．
(3)已知正数x 满足
2
2
36
64
10
x
x
−
+
−
=
，结合上述问题的方法，求x 的值．
