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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 5 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·基础通关 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．下列实数中是无理数的是（ ） A．22 7 B． 3 8 − C．10 D．3.14 2．当 3 x = 时，下列二次根式没有意义的是（ ） A． 4 x − B． 4 x − C．3 x + D．3 x − 3．若n 为正整数，并且使得5n 是一个最简二次根式，则n 的值不可能是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，数轴上点N 表示的数可能是（ ） A．15 B．5 C．7 D．10 5．下列计算正确的是（ ） A．2 3 3 3 + = B．12 4 3 = C．27 3 3 = D．( ) 2 3 3 − = − 6．若2 2 a − ，则化简( ) ( ) 2 2 5 5 a a + + − 的结果为（ ） A．2a B．2 5 C．2 5 − D．2a − 7．如图，在数轴上，若点A表示的实数是 5 − ，以原点O为圆心，OA为半径画弧，点B 为弧上一点，过 点B 向数轴作垂线，垂足为点C ，点C 表示的实数是2 ，则点B 到数轴的距离BC 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．2 8．小南按图的方法把边长为5cm和3cm 的两个正方形切割成5 块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 5 方形的边长是( ) A．4cm B．8cm C．34cm D．34cm 9．已知a，b 在数轴上的位置如图所示，化简 ( ) 3 2 3 a a b a b − + − − 的结果是（ ） A．a B． 2 a b − C． 2 a b −+ D．3a − 10．如图，在ABC 中， 2 5, 3 2 AB BC = = ，点D 是BC 上一点，且 2 BD DC = ，连接AD．若 2 3 AD = ， 则ABC 的面积为（ ） A．2 6 B．3 6 C．4 5 D．6 5 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．若最简二次根式 2 a + 与5 是同类二次根式，则a =________． 12．已知 5 a + 是4 的算术平方根，2 6 b −的立方根是2，则3a b − + 的平方根是________． 13．已知，当 0 x ， 0 y 时， y xy y x x x = = ，则当 0 x ， 0 y 时，化简 y x = _______（直接写化简结 果）． 14．对于任意的正数a 、b ，定义一种新的运算“★”，a b ab a = − ★ ；如：3 4 3 4 3 3 = − = ★ ，计 算2 9 ★的结果为_____． 15．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二 阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则a b − = __________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 5 16．实数,p q满足 3 4 0 p q − + − = ，则以,p q为边长的直角三角形的第三边长为_____． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17．求下列各式中x 的值： (1) ( ) 2 4 1 49 x + = ； (2)( ) 3 3 1 64 0 x − + = ． 18．计算： (1)4 15 2 3 5 (2)( ) 2 1 2 3 2 3 2 3 − + ． 19．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． · 1.2 − ① ， 3 8 ② ， 0.3 ③ ， π 3 − ④ ， 64 − ⑤ ， 0 ⑥， 2.010010001 ⑦ （每两个1之间多一个0 ）， 22 7 ⑧ ， 3 ⑨ ． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 20．已知5 2 a + 的立方根是3，3 1 a b + −的算术平方根是4 ，c 是17 的整数部分． (1)求a ，b ，c 的值； (2)求2 4 a b c + + 的平方根． 21．阅读与思考： 形如 2 m n 的化简，只要我们找到两个数a，b，使得a b m + = ，ab n = ， 这样( ) ( ) 2 2 a b m + = ， a b n = ， 那么便有 ( ) 2 2 ( ) m n a b a b a b = = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 5 例如：化简 7 4 3 + ． 解：首先把 7 4 3 + 化为7 2 12 + ，这里 7 m = ， 12 n = ． 由于4 3 7 + = ，4 3 12 ? ，( ) ( ) 2 2 4 3 7 + = ， 4 3 12 = ( ) 2 7 4 3 7 2 12 4 3 2 3 + = + = + = + ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1) 11 2 30 − ； (2) 7 40 + ． 22．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x 的值为9 时，输出y =______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x 的值 可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，5 7 ， 1 3 − ． (3)小明输入了某个x 的值后得到了2 ，请你写出2 个不同的x 值． 23．阅读素材： 3 1 1 4 2 − = ， 5 2 1 9 3 − = ， 7 3 1 16 4 − = ， 9 4 1 25 5 − = …按照此规律： (1)初步探究： ①填空： 17 1 81 − ________________； ②计算： 3 5 7 89 1 1 1 1 4 9 16 2025 − − − − ； (2)迁移应用：计算： 5 7 9 91 1 1 1 1 4 9 16 2025 + + + + 24．再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50 年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三 边长求其面积的海伦公式 ( )( )( ) S p p a p b p c − − − = （其中a 、b 、c 为三角形的三边长， 2 a b c p + + = ，S 为三角形的面积）； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 5 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： 2 2 2 2 2 2 1 4 2 a b c S a b + − = − ，其中三角形边长分别为a 、b 、c ，三角形的面积为S． 【解决问题】 (1)已知如图在ABC 中， 10 AB = ， 7 AC = ， 9 BC = ．ABC 的面积______； (2)当ABC 的三边长分别为 3 a = ， 7 b = ， 10 c = 时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设AB 边上的高为 1h ，BC 边上的高为 2h ，AC 边上的高为 3h ，求 1 2 3 h h h + + 的值． 25．定义：因为( )( ) a b a b c + − = ，c 是有理数，所以称a b + 与a b − 是关于c 的“美好数”． 例如：( )( ) ( ) ( ) 2 2 5 3 5 3 5 3 2 + − = − = ，则称5 3 + 与5 3 − 是关于2 的“美好数”．当已知5 3 + 与m 是关于2 的“美好数”，求m 的值时，可用 ( ) ( )( ) ( ) 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 5 3 5 3 m − − = = = = − + + − 来 得到． (1) 2 1 + 关于1 的“美好数”是__________； (2)若y 是5 1 + 关于4 的“美好数”，求 2 2 2026 y y + + 的值； (3)化简： 1 1 1 3 1 5 3 81 79 + + + + + + ．
