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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 6 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C B C B C B D 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．直角三角形 12．25 9 / 7 2 9 13．9 14．140 15．13 16．3或3 2 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17． 【详解】（1）解： 90 ACB = ， 5cm AB = ， 3cm BC = ， ( ) 2 2 4 , AC AB BC c m = − = ．.............3 分 （2）解： 5cm AB = ， 4cm AC = ， 3cm BC = ， 90 ACB CDA = = ， 1 1 2 2 AC BC CD AB = ， 1 1 4 3 5 2 2 CD = ， 解得 12 cm 5 CD = ．.............6 分 18． 【详解】（1）解：如图：ABC 即为所求； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 6 由图可得： 4 BC = ，BC 边上的高为2 ， ∴ 1 4 2 4 2 ABC S = = ；.............3 分 （2）解：如图：ABC 即为所求； 由勾股定理可得 2 2 1 2 5 AB AC = = + = ， 2 2 1 3 10 BC = + = ， ∴ 2 2 2 AB AC BC + = ， ∴ABC 为等腰直角三角形．.............6 分 19． 【详解】（1）解：由题意可得： 1 5 2 AF AB = = 尺， 1 EF = 尺，.............2 分 （2）解：设芦苇长EG AG x = = 尺， 则水深 ( ) 1 FG x = − 尺， 在Rt AFG 中， 2 2 2 AF FG AG + = ， 即 2 2 2 5 ( 1) x x + − = ， 解得： 13 x = ， 则 13 EG = （尺）， 答：芦苇长13尺．.............6 分 20． 【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1 作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形；.............2 分 （2）解：∵AD是ABC 的等直分割线段， ∴ADB 是等腰三角形， ∴AD BD = ， 设AD x = ，则 , 8 BD x CD x = = − ， 在Rt ACD 中，根据勾股定理得 ( ) 2 2 2 4 8 x x + − = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 6 解得 5 x = ， ∴ 5 AD = ．.............6 分 21． 【详解】(1)解：ACD 为直角三角形，理由如下： 1.5 AC = ， 0.9 DC = ， 1.2 AD = ， 2 2 2 2 1.2 0.9 2.25 AD DC + = + = ， 2 2 1.5 2.25 AC = = ， 2 2 2 AD DC AC + = ， ACD 为直角三角形．.............4 分 （2）解：设 km BD x = ，则 ( ) 0 9 km BA BC x = = + ． ， 由（1）知ACD 为直角三角形， AD BC ⊥ ， ABD △ 为直角三角形， 2 2 2 AD BD AB + = ， 即 ( ) 2 2 2 1.2 0.9 x x + = + ， 解得 0.35 x = ， ( ) 0.35 0.9 1.25 km AB = + = ， 原路线AB 的长为1.25 km ．.............8 分 22． 【详解】(1)（10，24，26）.............2 分 (2) 2 1 n −， 2 1 n + ，.............4 分 证明：∵ 2 2 2 4 2 2 4 2 ( 1) (2 ) 2 1 4 2 1 n n n n n n n − + = − + + = + + ，( ) 2 2 4 2 1 2 1 n n n + = + + ， ∴ 2 2 2 2 2 ( 1) (2 ) ( 1) n n n − + = + ， ∴ 2 2 2 , 1, 1 n n n − + 是勾股数．.............8 分 23． 【详解】(1) ABC 是直角三角形． 证明：∵AD CE ⊥ ， ∴ 90 ADC = ， 在Rt ADC △ 中， 7 AD = ， 24 DC = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 6 根据勾股定理得， 2 2 25 AC AD CD = + = 在ABC 中， 20 15 25 AB BC AC = = = ， ， ， ∵ 2 2 2 2 2 20 15 625 AB BC AC + = + = = ， 根据勾股定理的逆定理得， 90 ABC = ， ∴ABC 是直角三角形；.............4 分 （2）在Rt ADC △ 中， 7 24 AD DC = = ， ， 1 84 2 ADC S CD AD = = 在Rt ABC △ 中， 20 15 AB BC = = ， ， 1 150 2 ABC S BC AB = = ( ) ( ) 2 1 66 ABC ACE ACD ACE ABC ACD S S S S S S S S − = − − − = − = ．.............8 分 24． 【详解】（1）解：由题意可得， 2.5 AB CD m = = ， 0.7m BO = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2.5 0.7 2.4 m OA AB OB = − = − = ∵梯子底端沿OB 向外移动0.8m， ∴ ( ) 0.7 0.8 1.5 OD OB BD m = + = + = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2.5 1.5 2 CO CD OD m = − = − = ， ∴ ( ) 2.4 2 0.4 AC OA OC m − = = − = ． 答：梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度为0.4m．.............6 分 (2)解：叉车向货架方向行驶5m 后,其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点．理由如下： 过点D作DE AB ⊥ 于点E ， 由题意可得， 25m CD AD = = ， 17m AB = ， 5m AC = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 6 ∵叉车高2m， ∴ 2m BE = ， ∴ 17 2 15m AE AB BE = − = − = ， ∴ 2 2 2 2 25 15 20m ED AD AE = − = − = ， ∵ 15 5 20m CE AE AC = + = + = ， ∴ 2 2 2 2 25 20 15m ED CD CE = − − = = ， ∴ 20m 15m 5m DD ED ED = − − = = ， ∴叉车向货架方向行驶5m 后,其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点．.............12 分 25． 【详解】(1)证明： R Rt t D AB C E E ≌ ， AEB DCE = ， 90 A D = = ， 90 DEC DCE + = ， 90 DEC AEB + = ， ∴ 90 BEC = ， 2 1 1 1 2 2 2 2 BEC ABE DEC c S S S c c a b a b ab + + = + + = + ， ( )( ) 2 2 1 2 2 ABCD a b S a b a b ab + = + + = + 梯形 ， 2 2 2 2 2 a b c ab ab + + = + ， 即 2 2 2 a b c + = ；.............4 分 （2）解： AD CD ⊥ ， 4 AD = ， 3 CD = ， 2 2 2 2 3 4 5 AC CD AD = + = + = ， 13 AB = ， 12 BC = ， 2 2 2 AC BC AB + = ， 90 ACB = ， 1 1 5 12 3 4 24 2 2 ABC ACD S S S = − = − = 阴影 ， 答：阴影部分面积为24；.............8 分 （3）解：设AH x = 千米，则 ( ) 1.4 BH x = − 千米， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 6 CH AB ⊥ ， 90 CHA CHB = = ， 在Rt AHC 中， 2 2 2 CH AC AH = − ， 在Rt BHC △ 中， 2 2 2 CH BC BH = − ， 2 2 2 2 AC AH BC BH − = − ，即 ( ) 2 2 2 2 1.3 1.5 1.4 x x − = − − ， 整理得，2.8 1.4 x = ， 解得， 0.5 x = ， 0.5 AH = 千米， 2 2 2 2 1.3 0.5 1.2 CH AC AH = − = − = （千米）， 答：新修路CH 的长为1.2 千米．.............12 分
