文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 8 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B D A C C C C 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．8 12．51 13．是 14．24 5 15．74 16．5 2 或5或13 2 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得 2 2 4 AD AC CD − = = ；............2 分 （2）解：设BD x = ，则可得 4 AB x = + ， 在Rt BCD 中， 2 2 2 2 9 BC CD BD x = + = + ， 在Rt ACB △ 中， 2 2 2 AB AC BC = + ， 则可得( ) 2 2 2 4 5 9 x x + = + + ， 解得 9 4 x = ， 9 25 4 4 4 AB = + = ．............6 分 18． 【详解】（1）解：在Rt CDB 中， 由勾股定理得， 2 2 2 2 2 34 16 900 CD BC BD = − = − = ， 30 CD = 米（负值舍去）， 30 1.7 31.7 CE CD DE = + = + = （米）， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 8 答：风筝的高度CE 为31.7 米．............3 分 （2）解：由题意得， 18 CM = 米， 12 DM = 米， 2 2 2 2 12 16 20 BM DM BD = + = + = （米）， 34 20 14 BC BM − = − = （米）， 他应该往回收线14米．...........6 分 19． 【详解】（1）证明：∵OB OC ⊥ ， ∴ 90 BOD COE + = ， 又∵CE OA ⊥ ，BD OA ⊥ ， ∴ 90 CEO ODB = = ， ∴ 90 BOD B += ， ∴ COE B = ， 在 COE △ 和OBD 中， CEO ODB COE B OC BO = = = ， ∴ ( ) AAS COE OBD ≌ ， ∴OE BD = ；............3 分 （2）解：在Rt OBD △ 中， 17cm OB = ， 8cm BD = ∴ ( ) 2 2 15 cm OD OB BD = − = ， 由（1）得 8cm OE BD = = ， ∴ ( ) 7 cm DE OD OE = − = ．............6 分 20． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 8 【详解】（1）解：由题意可得 1 3 4 3 4 3 c + + = ， 解得 3 c = −；............2 分 （2）解：∵( ) 2 2 2 1 2 8 2 9 2 a b a b ab + = + + = + = ， ∴ 3 a b + = 或 3 a b + = −， 当 3 a b + = 时， 1 1 3 3 2 c + = ， ∴ 17 6 c = − ， 当 3 a b + = −时， 1 1 3 3 2 c −+ = ， ∴ 19 6 c = ； 综上所述， 17 6 c = − 或 19 6 c = ；............4 分 （3）解：由题意可得 1 3 a b c ab + + = ， ∴ 1 3 a b ab c + = −， ∵ ( ) 2 2 2 2 2 c a b a b ab = + = + − ， ∴ 2 2 1 2 3 c ab c ab = − − ， 整理得 2 2 1 2 2 0 9 3 a b abc ab − − = ， ∵a ，b ，c 均为正整数， ∴ 0 ab ， ∴将 2 2 1 2 2 0 9 3 a b abc ab − − = 两边同时除以ab 得1 2 2 0 9 3 ab c − − = ， ∴ 6 18 ab c = + ， ∴ ( ) 1 1 6 18 6 3 3 a b ab c c c c + = − = + − = + ， ∵ 2 2 2 c a b = + 且a ，b ，c 均为正整数， ∴a ，b ，c 为勾股数组合， 当a ，b ，c 为勾股数7 ，24，25 时， 7 a = ， 24 b = ， 25 c = ，满足 1 3 a b c ab + + = 和 6 a b c + = + ，符合题 意； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 8 当a ，b ，c 为勾股数9，12，15时， 9 a = ， 12 b = ， 15 c = ，满足 1 3 a b c ab + + = 和 6 a b c + = + ，符合题意； 当a ，b ，c 为勾股数8，15，17 时， 8 a = ， 15 b = ，=17 c ，满足 1 3 a b c ab + + = 和 6 a b c + = + ，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此c 的取值为15或17 或25 ．............6 分 21． 【详解】（1）解：∵AD BC ⊥ ． ∴ 90 ADB ADC = = ， ∴ 2 2 2 5 AC AD CD = + = ， 2 2 2 20 AB AD BD = + = ， ∵ 1 CD = ， 4 BD = ， ∴ 5 BC = ，即 2 25 BC = ， ∴ 2 2 2 AC AB BC + = ， ∴ABC 是直角三角形，且AB AC ⊥ ．............4 分 （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵BD AC ⊥ ， ∴ 90 ADB BDC = = ， ∴ 2 2 3.2m CD BC BD = − = ， ∴ 1m AD AC CD = − = ， ∴ 2 2 2 6.76 AB AD BD = + = ， ∴ 2 2 6.76 16 22.76 AB BC + = + = ， 2 2 4.2 17.64 22.76 AC = = ，即 2 2 2 AB BC AC + ， ∴BC 与AB 不垂直， ∴小华设计的房梁不安全．............8 分 22． 【详解】（1）解：∵ 14 BC = ，BD x = ， ∴ 14 CD x = − ；............2 分 （2）解：∵AD BC ⊥ ， ∴在Rt ADB 和Rt ADC △ 中，根据勾股定理， 2 2 2 2 2 2 , AD AB BD AD AC CD = − = − ， ∴ ( ) 2 2 2 2 15 13 14 x x − = − − ， 解得： 9 x = ；............5 分 （3）解：由（2）得： 2 2 2 2 15 9 12 AD AB BD = − = − = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 8 ∴ 1 1 14 12 84 2 2 ABC S BC AD = = = ．............8 分 23． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2 3) 3dm + ， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为dm x ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 20 [(2 3) 3] 25 = + + = x ， 解得： 25 x = ． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是25dm． 故答案为：25；............2 分 （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得： 1 48 24(cm) 2 AC = = ， 7cm BC = ， 2 2 24 7 25(cm) AB = + = ， 该蚂蚁爬行的最短路程25 厘米；............5 分 （3）如图，将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ， 连接AC ，AC 即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程， 3cm EF AG = = ， (14 5)cm 9cm CF FB = = − = ， 1 32cm 16cm 2 AE = = ， 12cm CE EF CF = + = ， 根据勾股定理有： 2 2 2 2 12 16 20(cm) AC AE CE = + = + = ， 蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程为20cm ．............8 分 24． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 8 【详解】（1）解：∵在ABC 中， 2 2 2 2 6 8 36 64 100 AB BC + = + = + = ， 2 2 10 100 AC ， ∴ 2 2 2 AB BC AC + = ，ABC 是直角三角形；............2 分 （2）解：①若点P 在BC 上，则 2 BP t = ，AB BP = ， ∴6 2 , 3 t t = = ； ②若点P 在AC 上，则 2 8 CP t = −， 18 2 AP AC CP t = − = − ， （i）当AB AP = 时，6 18 2 , 6 t t = − = ； （ii）当AB BP = 时，作BD AC ⊥ 于D ， 则 1 1 24 , 2 2 5 ABC AB BC S AB BC AC BD BD AC = = = = ， ∴ 2 2 18 5 AD AB BD − = = ， 36 2 5 AP AD = = ， ∴36 18 2 5 t = − ，解得 27 5 t = ． 综上所述，当 3 t = 或 27 5 t = 或 6 t = 时，ABP 是以AB 为腰的等腰三角形．............7 分 （3）解：∵ABC 的周长为 24 AB BC AC + + = cm，24 2 12 = ． ①当0 4 t 时，点P 在BC 上，点Q 在AB 上， 则 2 BP t = ，BQ t = ， 3 BP BQ t + = ， ∴3 12 t = ， 解得 4 t = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 8 如图所示，此时点P 刚好运动到点C ； ②当4 6 t 时，点P 在AC 上，点Q 在AB 上， 由①得，此时 12 BQ BC CP + + ，不符合题意； ③当6 12 t 时，点P 、Q 都在AC 上， 10 PQ AC = ，10 12 ，不符合题意； ④当9 12 t 时，点P 在AB 上，点Q 在AC 上， 则 2 18 AP t = − ， 6 AQ t = − ， 3 24 AP AQ t + = − ， ∴3 24 12 t− = ， 解得 12 t = ， 如图所示，此时点P 刚好回到点B ． 综上所述，当t 为4 或12 时，直线PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分．............12 分 25． 【详解】（1）解：由图2 可知，大正方形的边长为a b c + + ， 大正方形的面积 2 ( ) a b c = + + ， 又大正方形的面积等于各小图形面积之和， 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 a b c a b c ab ac bc + + = + + + + + ．............3 分 （2）解：设拼成的正方形边长为ma nb + （m ，n 为正整数）， 正方形的面积 2 2 2 2 2 ( ) 2 ma nb m a mnab n b = + = + + ， 又正方形面积 2 2 9 xa yab b = + + ， 2 9 n = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 8 解得 3 n = ， 2 x m = ， 6 y m = ， 正方形面积最小， 1 m = ， 1 x = ， 6 y = ， 7 x y + = ，正方形边长为 3 a b + ．............6 分 （3）解：由图4 可知，大正方形的边长为a b + ， 大正方形的面积 2 2 2 ( ) 2 a b a ab b = + = + + ， 又大正方形的面积等于4 个直角三角形与中间小正方形的面积之和， 面积 2 2 1 4 2 2 ab c ab c = + = + ， 2 2 2 2 2 a ab b ab c + + = + ， 2 2 2 a b c + = ．............9 分 （4）解：在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ， 8 AC = ， 6 BC = ， 2 2 2 2 8 6 10 AB AC BC = + = + = ， 点D是AB 边上的一动点， 当CD AB ⊥ 时，CD最小， 1 1 8 6 24 2 2 ABC S AC BC = = = ， 又 1 1 10 5 2 2 ABC S AB CD CD CD = = = ， 5 24 CD = ， 24 5 CD = ．............12 分
