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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测03
第十三章 三角形综合训练
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.图中以AD为边的三角形的个数有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
【答案】B
【详解】以 AD 为边的三角形有△ABD、△ACD、△ADE，共 3 个。
2.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩
擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α = 25∘，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为( )
A. 155∘
B. 125∘
C. 115∘
D. 65°
【答案】C
【详解】斜面坡角α = 25∘，支持力垂直斜面，重力竖直向下，直角为90∘。
β = 90∘+ 25∘= 115∘。
3.某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在
同一条直线上，∠BAC = ∠EDF = 90∘，∠B = 45∘，∠DEF = 60∘.当AD//BC时，∠ADE的度数为( )
A. 5∘
B. 15∘
C. 25∘
D. 35∘
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【答案】B
【详解】∵AD ∥BC，∴∠DAC = ∠BCA = 45∘，
∠DAE = 60∘，∠ADE = 180∘−90∘−75∘= 15∘。
4.为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段
篱笆的长度如图，其中篱笆AB，CD可分别绕BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆CD上接
上新的篱笆的长度可为( )
A. 3 m
B. 4 m
C. 8 m
D. 9 m
【答案】B
【解析】由题图可知BC = 8 m，AB = 2 m，CD = 3 m，设在篱笆CD上接上新的篱笆的长度为xm，若要围
成一个三角形的空地，则8 −2 < 3 + x < 8 + 2，解得3 < x < 7，故选B．
5.一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，图中∠α的度数为( )
A. 65∘
B. 67.5∘
C. 75∘
D. 80∘
【详解】三角尺角度分别为45∘、30∘，
∠α = 180∘−60∘−45∘= 75∘。
6.如图是三名同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的( )
A. 中线、角平分线、高线
B. 高线、中线、角平分线
C. 角平分线、高线、中线
D. 角平分线、中线、高线
【答案】C
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【详解】第一张折叠两角重合，AD 是角平分线；
第二张折叠直角，AD 垂直底边，是高线；
第三张底边两段重合，AD 是中线。
7.如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点.若∠B + ∠C = 60∘，∠D = 70∘，则∠1 + ∠2
的度数为( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
【答案】A
【详解】∵∠B + ∠C = 60∘，∴∠A = 120∘，
四边形内角和360∘，∠1 + ∠2 = 360∘−120∘−70∘−120∘= 50∘。
8.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，CF平分∠ACE，交BA的延长线于点F，交BD的延长线
于点M，则下列结论错误的是( )
A. ∠BMC = ∠MBC + ∠F
B. ∠ABD + ∠BAD = ∠DCM + ∠DMC
C. 2∠BMC = ∠BAC
D. 3(∠BDC + ∠F) = 4∠BAC
【答案】D
【详解】
A.∠DCM是△BMC外角，∠BMC = ∠DCM −∠F不成立，原式正确；
B. 外角推导等式成立；
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C. 外角平分线模型2∠BMC = ∠BAC成立；
D. 无对应角度等量关系，结论错误。
9.如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，S△ABC = 12cm2，则阴影部分的面积为( )
A. 4cm2
B. 5cm2
C. 6cm2
D. 8cm2
【答案】A
【详解】三角形重心将面积六等分，S△ABC = 12cm2，每一小块面积2cm2，阴影 2 块，2 × 2 = 4cm2。
10.如图，△ABC是等腰三角形，腰长为5，面积为12，点O是底边BC上任意一点，OE，OF分别与两腰垂直，
则OE + OF的值为( )
A. 4
B.
24
5
C. 15
D. 8
【答案】B
【详解】连接 AO，S△ABC = S△ABO + S△ACO，
12 =
1
2 × 5 × OE +
1
2 × 5 × OF，
12 =
5
2 (OE + OF)，解得OE + OF =
24
5 。
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分．
11.我们规定：三边长度都是奇数的三角形为“奇边三角形”，某个“奇边三角形”两边的长分别为1和7，则第
三边的长为 ．
【答案】7
【详解】设第三边为x，三边奇数，三边关系：7 −1 < x < 7 + 1，6 < x < 8，奇数只能取 7。
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12.如图，在四边形ABCD中，∠D = 60∘，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1 + ∠2 = ∘．
【答案】240
【详解】四边形内角和360∘，剩余两角和360∘−60∘= 300∘，
∠1 + ∠2 = 360∘−(360∘−300∘) = 240∘。
13.三个数3,1 −a，1 −2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围
为 ．
【答案】−3 < a < −2
【详解】
1. 数轴从左到右：3 < 1 −a < 1 −2a，解得a < −2；
2. 三边关系：3 + (1 −a) > 1 −2a，解得a > −3；
合并得−3 < a < −2。
14.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 220∘，则∠5 = ．
【答案】40∘
【详解】两组三角形内角和360∘，∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 220∘，
剩余两组内角和140∘，∠5 = 180∘−140∘= 40∘。
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15.如图，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线.若∠ABC = 40∘，∠ACB = 60∘，
则∠P的度数是 ．
【答案】50∘
【详解】∠ABC = 40∘，外角∠DBC = 140∘；∠ACB = 60∘，外角∠ECB = 120∘，
BP、CP平分外角，∠PBC = 70∘，∠PCB = 60∘，
∠P = 180∘−70∘−60∘= 50∘。
16.从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三
角形.根据下面的图形反映出来的规律，n边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为 ．
【答案】n −2
【解析】由题图可以看出，四边形被分为4 −2 = 2(个)三角形，五边形被分为5 −2 = 3(个)三角形，六边形
被分为6 −2 = 4(个)三角形，⋯，那么n边形可以被分为(n −2)个三角形．
三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(6 分)
△ABC的三边长是a，b，c，周长是x，其中a = 4，b = 6．
(1)直接写出c及x的取值范围．
(2)当c为奇数时，求x的最大值和最小值．
(3)若x为小于18的偶数，判断△ABC的形状. (按边分类)
【详解】
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(1)2< c<10,12< x<20.
(2)∵a=4,b=6,c 为奇数,12< x<20,
∴x 的最大值为19,最小值为13.
(3)∵x 为小于18 的偶数,
∴x=16 或x=14.
当x=16 时,c=6=b,则△ABC 为等腰三角形;
当x=14 时,c=4=a,则△ABC 为等腰三角形.
综上所述,△ABC 为等腰三角形.
18.(8分)
图1是王师傅制作的一个模具，按规定，BA，CD延长线的夹角∠1应为60∘，王师傅测得∠B = 45∘，∠C = 75∘．
(1)王师傅制作的模具符合要求吗?请通过计算说明理由．
(2)上面(1)中的判断所依据的数学定理是 ．
(3)根据(2)中定理的条件和结论画出了如图2所示的图形，补全求证及定理的证明过程．
已知：△ABC．
求证：∠BAC + ∠B +____=____．
证明：如图2，过点A作EF//BC．
【详解】
(1) 解:王师傅制作的模具符合要求.
理由如下:
∵∠B=45∘,∠C=75∘,
∴∠1=180∘-45∘-75∘=60∘.
(2)三角形的内角和定理
(3)已知:△ABC.求证:∠BAC+∠B+∠C=180∘.
证明:如题图2,过点A 作EF//BC,
则∠B=∠BAE,∠C=∠CAF.
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∵∠BAC+∠BAE+∠CAF=180∘,
∴∠BAC+∠B+∠C=180∘.
19.(8分)
如图，在△ABC中，D是BC延长线上的一点，∠ABC，∠ACD的平分线交于点E．
(1)求证：∠E =
1
2 ∠A;
(2)若∠ABE = 20∘，∠ACE = 50∘，则∠E = ．
【详解】
(1) 证明:
∵BE 是∠ABC 的平分线,
∴∠EBC=
1
2 ∠ABC.
∵CE 是∠ACD 的平分线,
∴∠ACE=
1
2 ∠ACD=
1
2(∠A+∠ABC).
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘,
即∠ABC+∠ACB=180∘-∠A.
∵∠E+∠EBC+∠ECB=∠E+∠EBC+∠ACB+∠ACE=180∘,
即∠E+1
2 ∠ABC+∠ACB+1
2(∠A+∠ABC)=180∘.
整理,得∠E+(∠ABC+∠ACB)+
1
2 ∠A=180∘.
得∠E=
1
2 ∠A.
(2)30∘
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20.(8分)
如图，在△ABC中，BE，CF是角平分线，且BE，CF相交于点G.求证：
(1)∠BGC = 180 ∘−
1
2 (∠ABC + ∠ACB)；
(2)∠BGC = 90 ∘+
1
2 ∠A．
【详解】
(1) 证明：
∵BE，CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，
∴∠EBC =
1
2 ∠ABC，∠FCB =
1
2 ∠ACB．
∵∠BGC＋∠EBC＋∠FCB＝180°，
∴∠BGC＝180°-（∠EBC＋∠FCB）
= 180 ∘−
1
2 (∠ABC + ∠ACB)．
(2)∵∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A，
∴由（1）得∠BGC = 180 ∘−
1
2 (180 ∘−∠A) = 90 ∘+
1
2 ∠A．
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21.(10 分)
在课本第十三章，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和.已知∠ACD是△ABC的一个外角(如图1)，则∠ACD = ∠A + ∠B.
(1)如图2，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字形”，请仔细观察该
图形，则∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系为 ．
(2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”图形.若∠BOF = 120∘，运用(1)中得出的数量关系，求∠A + ∠B +
∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数．
【详解】
(1)∠A+∠C=∠B+∠D
(2)连接EF.由(1)的结论,
得∠B+∠C=∠EFO+∠FEO=∠BOF=120∘,
∠A+∠D=∠EFD+∠FEA.
∵∠EFD=∠EFO-∠CFD,∠FEA=∠FEO-∠AEB,
∴∠A+∠D=∠EFO-∠CFD+∠FEO-∠AEB=120∘-∠CFD-∠AEB,
即∠A+∠D+∠CFD+∠AEB=120∘
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEB+∠CFD=240∘
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22.(12 分)
取一副三角尺按图 ①拼接，固定三角尺ADC，将三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图 ②
所示.设∠CAC′ = α．
(1)当α = 15∘时，求证：AB//CD;
(2)连接BD，当0∘< α ≤45∘时，∠DBC′ + ∠CAC′ + ∠BDC的度数是否变化，若变化，求出变化范围;若不
变，求出其度数．
【详解】
(1) 【证明】
∵∠BAC=∠BAC′-∠CAC′=45∘-15∘=30∘,
∴∠BAC=∠C=30∘.
∴AB//CD.
(2)【解】
当0∘<α ≤45∘时,∠DBC′+∠CAC′+∠BDC 的度数不变,为105∘.
连接CC′,设DC,BC′交于点O,
如图.在△BDO 和△OCC′中,∠BOD=∠COC′,
∴∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C.
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠BDO+α+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C+α=180∘-45∘-30∘=105∘,
即当0∘<α ≤45∘时,∠DBC′+∠CAC′+∠BDC 的度数不变,为105°.
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