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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 24 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·基础通关 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个图形的全等：能够完全重合的两个图形；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，选项A、C、D 中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项B 中的两个图形 能够完全重合，是全等图形； 故选：B． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的ABC 的是（ ） A． 90 C = ， 6 AC = B． 2 AB = ， 3 BC = ， 50 A = C． 50 A = ， 60 B = ， 2 AB = D． 2 AB = ， 3 BC = ， 6 AC = 【答案】C 【详解】解：A 选项，只给出 90 C = 和 6 AC = ，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一ABC ，不符合 题意； B 选项， 2 AB = ， 3 BC = ， 50 A = 属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理， 不能画出唯一ABC ，不符合题意； C 选项， 50 A = ， 60 B = ， 2 AB = ，是两角及其夹边，符合全等三角形的ASA 判定定理，能画出唯一ABC ， 符合题意； D 选项， 2 3 5 6 AB BC AC + = + = = ，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形， 不符合题意． 3．如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ，AD平分 BAC ，若 3 CD = ，则点D 到AB 的距离为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 24 A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】先作DE AB ⊥ ，再根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点D 作DE AB ⊥ ，交AB 于点E， ∵AD平分 BAC ， 90 C AED = = ， ∴ 3 DE CD = = ， 所以点D 到AB 的距离是3． 4．如图，已知ABC DEF ≌ ，点C 在DE 边上，CD平分 BCA ，DF 与BC 交于点G ．若 30 D = ， 88 CGF = ，则 E 的度数是（ ） A．34 B．40 C．44 D．50 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义得到 1 2 ACD BCD BCA = = ，根据全等三角形的性质得到 30 D A = = ， 根据三角形的外角性质求出 BCD ，再求出 B ，然后利用全等三角形的性质求 E 即可． 【详解】解：∵CD平分 BCA ， 1 2 ACD BCD BCA = = ， ABC DEF ≌ ， 30 D A = = ， CGF D BCD = + ， 58 BCD CGF D = − = ， 116 BCA = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 24 180 30 116 34 B = − − = ， ABC DEF ≌ ， 34 E B = = ． 5．如图，在ABC 中， 40 ABC = ，BE为AC 边上的中线，延长BE到点D ，使DE BE = ，连接AD，则 BAD 的度数是（ ） A．95 B．120 C．135 D．140 【答案】D 【分析】根据中线和已知条件，利用SAS 证明ADE CBE ≌ ，推出 DAE BCE = ，根据三角形内角和 定理和等量代换即可求出 BAD 度数． 【详解】解：BE为AC 边上的中线， AE CE = ． AED CEB = ，DE BE = ， ADE CBE ≌ （SAS ）， DAE BCE = ． 40 ABC = ， 180 180 40 140 BAC BCE ABC + = − = − = ， 140 BAD BAC DAE BAC BCE = + = + = ． 6．如图，在四边形ABCD中， 90 BCD = ，BD平分 ABC ， 6 AB = ， 10 BC = ， 5 CD = ，则四边形ABCD 的面积是（ ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】过点D作DE AB ⊥ 交BA的延长线于点E ，根据角平分线的性质得到DE CD = ，然后将四边形 ABCD的面积转化为ABD 与BCD 的面积之和进行计算即可． 【详解】解：如图，过点D 作DE AB ⊥ 交BA的延长线于点E ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 24 ∵BD平分 ABC ， 90 BCD = ，DE AB ⊥ ， ∴ 5 DE CD = = ， ∴ 1 1 6 5 15 2 2 ABD S AB DE = = = ， ∴ 1 1 10 5 25 2 2 BCD S BC CD = = = ， ∴四边形ABCD的面积为 15 25 40 ABD BCD S S + = + = ． 7．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点C 和点F 处，甲看向地面上点B 处的视线与 他自己身体的夹角为 BAC ，乙看向地面上点E 处的视线与他自己身体的夹角为 EDF ，已知AC BE ⊥ 于 点C ，DF BE ⊥ 于点F ，图中所有的点都在同一平面内．当AC DF = ， BAC EDF = 时，根据全等三角 形的知识可得到BC EF = ，这里直接判定ABC 和DEF 全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 AC BE ⊥ ，DF BE ⊥ ，可得 90 ACB DFE = = ， ∵ BAC EDF = ，AC DF = ， 且AC 恰好是 BAC 和 ACB 的夹边，DF 恰好是 EDF 和 DFE 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 ASA （角边角）判定依据． 8．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D 在同一直线上， 90 CAB FDE = = ， ABC DEF = ，AB DE = ．若 6 120cm AD CF = = ，则AC 的长为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 24 A．40cm B．50cm C．60cm D．100cm 【答案】B 【分析】先求出 100cm AC DF + = ，再证出ABC DEF ≌ ，则AC DF = ，由此即可得． 【详解】解：∵6 120cm CF = ， ∴ 20cm CF = ， ∵ 120cm AD = ， ∴ 100cm AC DF AD CF + = − = ， 在ABC 和DEF 中， 90 CAB FDE AB DE ABC DEF = = = = ， ∴ ( ) ASA ABC DEF ≌ △ △ ， ∴AC DF = ， ∴ 100cm AC AC + = ， 解得 50cm AC = ． 9．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛 三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（ ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即 可得出答案． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 24 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的 交点处． 10．如图，Rt ABC △ 中， 90 C = ， 38 B = ，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于1 2 EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在 BAC 的内 部相交于点P ，画射线AP 与BC 相交于点D ， 3 CD = ，下列结论正确的是（ ） A．AC BD = B． 64 ADC = C． CAD B = D．B 到AD的距离是3 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得AP 为 CAB 的平分线， 90 C = ， 38 B = ， 90 90 38 52 CAB B = −= − = ， 1 26 2 CAD CAB = = ， CAD B ，故C 不正确； 90 90 26 64 ADC CAD = − = − = ，故B 正确； 如图，过点D 作DG AB ⊥ ，垂足为G ， 由角平分线定理可得 3 DC DG = = ，无法推出AC BD = ，B 到AD的距离是3，故A、D 不正确． 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．如图，已知AD平分 BAC ，连接BD、CD，若要判定ABD ACD ≌ ，则需要添加的条件是：________． （只 写一个） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 24 【答案】 ADB ADC = （或AB AC = 或 B C = ，答案不唯一） 【分析】根据题意，可以选择ASA 判定，也可以选择SAS、AAS判定，据此写出一个条件即可． 【详解】解： AD 是 BAC 的角平分线， BAD CAD = ， 又 AD AD = ， 当添加 ADB ADC = 或AB AC = 或 B C = 时，ABD ACD ≌ ，分别属于ASA 、SAS、AAS的判定 条件，答案不唯一，选择一种即可． 12．如图，在2 2 的方格纸中，1 2 +=__________ ． 【答案】 90 【分析】取格点A、B 、C 、D 、E ，证明 ( ) ABC DAE SAS ≌ ，则1 BAC = ，结合 2 90 BAC + = 可 得，1 2 90 += ． 【详解】解：如图， 在ABC 和DAE 中， AB DA ABC DAE BC AE = = = ， ∴ ( ) ABC DAE SAS ≌ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 24 ∴1 BAC = ， ∵ 2 180 90 BAC ABC + = − = ， ∴1 2 90 += ． 13．如图，OP 平分 AOB ，PC OA ⊥ 于点C，点D 在OB 上，若 2 PC = ， 4 OD = ，则POD 的面积为_______． 【答案】4 【分析】过点P 作PE OB ⊥ 于E ，根据角平分线的性质求出PE，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点P 作PE OB ⊥ 于E ， ∵OP 平分 , , , 2 AOB PC OA PE OB PC ⊥ ⊥ = ， 2 PE PC = = ， 1 1 4 2 4 2 2 POD S OD PE = = = ． 14．学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸A、B 两点间的距离”设计了 如下方案：如图，在点A所在河岸同侧的平地上取点O和点C ，使得点B 、A、O在同一直线上，且OA OC = ； 在OC 的延长线上确定一点D ，借助测角仪测得 OCB OAD = ，测得 8m OD = ， 2m OA = ，则AB 的长为 ______ m ． 【答案】 6 【分析】根据条件利用角边角证明三角形全等，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 24 【详解】解：在OAD 与OCB 中， BOC DOA OA OC OCB OAD = = = ∴ ( ) ASA OCB OAD ≌ ， ∴ 8m OB OD = = ， ∴ 8 2 6m AB OB OA = − = − = ． 15．如图， ABC ADE △ ≌△ ， 90 CAE = ，连接BD，若 5 AD = ，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到 阴影面积等于ABD 的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵ ABC ADE △ ≌△ ， 5 AD = ， ∴ ABC ADE S S = ， 5 AB AD = = ， BAC DAE = ， ∴ BAC DAC DAE DAC − = − ，即 BAD CAE = ， ∵ 90 CAE = ， ∴ 90 BAD CAE = = ， ∴ 1 1 5 5 12.5 2 2 ABD S S AB AD = = = = 阴影 ． 16．如图，已知线段 80 AB = 米，射线AC AB ⊥ 于点A，射线BD AB ⊥ 于B ，M 点从B 点向A运动，每秒 走2米，N 点从B 点向D运动，每秒走3米，M 、N 同时从B 出发，若射线AC 上有一点P ，使得某时刻 PAM △ 和 MBN △ 全等，则线段AP 的长度为________米． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 【答案】32或60 【分析】设t 秒时， PAM △ 和 MBN △ 全等，则 2 BM t = 米， 3 BN t = 米， ( ) 80 2 AM t = − 米，再分两种情况： ①PAM MBN ≌ ，②MAP MBN ≌ ，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：设t 秒时， PAM △ 和 MBN △ 全等，则 2 BM t = 米， 3 BN t = 米， ∵ 80 AB = 米， ∴ ( ) 80 2 AM AB BM t = − = − 米， ∵射线AC AB ⊥ ，射线BD AB ⊥ ， ∴ 90 A B = = ， 则分以下两种情况： ①当PAM MBN ≌ 时， ∴ 2 AP BM t = = ，AM BN = ， ∴80 2 3 t t − = ， 解得 16 t = ， ∴ 2 16 32 AP = = （米）； ②当MAP MBN ≌ 时， ∴ 3 AP BN t = = ，AM BM = ， ∴80 2 2 t t − = ， 解得 20 t = ， ∴ 3 20 60 AP = = （米）； 综上，线段AP 的长度为32 米或60 米． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17．如图，ADF BCE ≌ ， 40 B = ， 22 F = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / (1)求1 的度数； (2)若 30 AB = ， 18 AC = ，求CD的长． 【答案】(1)62 (2)6 【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到 22 E F = = ，然后利用三角形外角的性质求解； （2）首先求出 30 18 12 BC AB AC = − = − = ，然后由全等三角形的性质得到 12 AD BC = = ，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵ADF BCE ≌ ， 22 F = ， ∴ 22 E F = = ， ∴1 22 40 62 E B = += + = ； （2）解：∵ 30 AB = ， 18 AC = ， ∴ 30 18 12 BC AB AC = − = − = ， ∵ADF BCE ≌ ， ∴ 12 AD BC = = ， ∴ 18 12 6 CD AC AD = − = − = ． 18．如图，在ABC 中， 90 ACB = ，点D 为ABC 外一点，DAB BAC = ，AD AB = ，过点D 作DE AB ⊥ 于点E，延长DE 交BC 于点F． (1)求证：DE BC = ； (2)连接AF，若 36 D = ，求 EAF 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)27° 【分析】（1）证明 ( ) AAS ADE ABC ≌ ，即可得证； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / （2）证明 ( ) Rt Rt HL AEF ACF ≌ ，得到 EAF CAF = ，进行求解即可. 【详解】（1）证明：在ABC 中， 90 ACB = ，又DE AB ⊥ 于点E， ∴ 90 ACB AED = = ． 在ADE 和ABC 中， , , , AED ACB DAB BAC AD AB = = = ∴ ( ) AAS ADE ABC ≌ ， ∴DE BC = ． （2）解：由（1）得 ADE ABC ≌ △ △ ， ∴AE AC = ， DAE BAC = ． ∵ 90 ACB AEF = = ，AF AF = ， ∴ ( ) Rt Rt HL AEF ACF ≌ ， ∴ EAF CAF = ， ∵ 36 D = ， ∴ 90 36 54 DAE BAC = = − = ， ∴ 1 27 2 EAF BAC = = ． 19．如图，点A在线段CD上，已知BC DE ∥ ，BC CD = ， BAC E = ． (1)求证： ABC ECD ≌ △ △ (2)若 5 DE = ， 13 BC = ，求AD的长． 【答案】(1)证明：∵BC DE ∥ ， ∴ ACB D = ， 在ABC 和ECD 中， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / ACB D BAC E BC CD = = = ， ∴ ( ) AAS ABC ECD ≌ ． (2)8 【分析】（1）先得出 ACB D = ，再根据AAS定理即可得证； （2）得出 13 CD BC = = ， 5 AC DE = = ，即可得AD的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证： ABC ECD ≌ △ △ ， ∴CD BC = ，AC DE = ， ∵ 5 DE = ， 13 BC = ， ∴ 5 AC = ， 13 CD = ， ∴ 13 5 8 AD CD AC = − = −= ． 20．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架AD BC ⊥ ，垂足为点O，DE DF = ，AD 平分 EDF ，这样设计能够保证两翼宽度一致（即OB OC = ），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接BD、CD，若风筝主骨架AD的长为40 cm ， 50 cm BC = ，则需要的布料面积 （即四边形ABDC 的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：∵AD平分 EDF ， ∴ EDA FDA = ， 在ADE 和ADF 中， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / DE DF EDA FDA DA DA = = = ， ∴ ( ) ADE ADF SAS ≌ ， ∴ EAD FAD = ， ∵AD BC ⊥ ，垂足为点O， ∴ 90 AOB AOC = = ， 在ABO 和ACO 中， BAO CAO AO AO AOB AOC = = = ， ∴ ( ) ABO ACO ASA ≌ ， ∴OB OC = ； (2) 2 1000cm 【分析】（1）证明 ( ) ADE ADF SAS ≌ ，再证明 ( ) ABO ACO ASA ≌ ，即可求解； （2）根据面积的计算得到 1 2 ABDC S BC AD = 四边形 ，代入计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：根据题意，连接 , BD CD ， ∵AD BC ⊥ ， ∴ 1 · 2 ABC S BC OA = ， 1 2 BCD S BC OD = ， ∵ ABC BCD ABDC S S S = + 四边形 ∴ ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 50 40 1000 2 2 2 2 2 ABDC S BC OA BC OD BC OA OD BC AD cm = + = + = = = 四边形 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / 21．如图，DE AB ⊥ 于点E ，DF AC ⊥ 于点F．若BD CD = ，BE CF = ． (1)求证：AD平分 BAC ． (2)已知 10 AB = ， 2 CF = ，求AC 的长． 【答案】(1)见解析； (2)14． 【分析】（1）由垂直定义可得 90 E DFC = = ，然后证明 ( ) Rt Rt HL BDE CDF △ ≌ △ ，所以DE DF = ，再 由角平分线的判定方法即可求证； （2 ）证明 ( ) Rt Rt HL ADE ADF ≌ △ △ ，所以 12 AF AE = = ，然后通过AC AF CF = + 即可求解． 【详解】（1）证明：∵DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ， ∴ 90 E DFC = = ， 在Rt BDE △ 与Rt CDF 中， BD CD BE CF = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL BDE CDF △ ≌ △ ， ∴DE DF = ， 又∵DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ， ∴AD平分 BAC ； （2）解：∵ 2 BE CF = = ， ∴ 10 2 12 AE AB BE = + = + = ， 在Rt ADE △ 与Rt ADF △ 中， AD AD DE DF = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL ADE ADF ≌ △ △ ， ∴ 12 AF AE = = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / ∴ 12 2 14 AC AF CF = + = + = ． 22．如图，ABC 中， 90 ACB = ， 6 cm AC = ， 8 cm BC = ，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点 A出发沿AC 边向终点C 运动；动点Q 从点B 出发沿BC 边向终点C 运动．点P 和点Q 的速度分别为1cm / s 和2 / cm s ，两点同时出发并开始计时，设运动时间为t 秒，当点Q 到达终点C 时，点P 也随之停止运动． (1) AP =________cm，CQ = ________cm（用含t 的代数式表示）； (2)当 ABP ACQ S S = △ △ 时，求t 的值； (3)分别过点P 和点Q 作PE l ⊥于点E ，QF l ⊥于点F ，则当t = ________秒时，PEC 与QFC 全等． 【答案】(1) ( ) , 8 2 t t − (2) 2.4 t = (3) 2 【分析】（1）由题意，结合路程= 速度时间求解即可； （2）在（1）所求线段基础上，由三角形面积公式表示出 ABP ACQ S S △ △ 、 ，根据 ABP ACQ S S = △ △ 列方程求解即可； （3）由题意得出需要PEC 与QFC 有一组对应边相等即可确定PEC 与QFC 全等，从而得到PC CQ = ， 由此列出关于t 的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意可得 cm AP t = ， ( ) 8 2 cm CQ CB BQ t = − = − ； （2）解：如图所示： 1 1 8 4 2 2 ABP S AP BC t t = = = ， ( ) 1 1 8 2 6 24 6 2 2 ACQ S CQ AC t t = = − = − ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / 当 ABP ACQ S S = △ △ 时，4 24 6 t t = − ，解得 2.4 t = ； （3）解：如图所示： PE l ⊥，QF l ⊥， 90 PEC QFC = = ， 则 90 PCE CPE + = ， 在ABC 中， 90 ACB = ，则 90 PCE QCF + = ， CPE QCF = ， 由两个三角形全等的判定定理，只需要PEC 与QFC 有一组对应边相等即可确定PEC 与QFC 全等， 当PC CQ = 时， PEC CFQ △ ≌△ ，此时AC AP CQ − = ， 6 8 2 t t −= − ，解得 2 t = ． 23．完成以下问题 (1)【感知】如图①，OC 是 AOB 的平分线，点P 是OC 上任一点，作PD OA ⊥ ，PE OB ⊥ ，垂足分别为D 和E ，若 5 PD = ，则PE =__________； (2)【探究】如图②，在ABC 中，AD是它的角平分线．若 7 5 AB AC = ∶ ∶．求ABD 与ACD 的面积比； (3)【应用】如图③，ABC 的周长是13．BO、CO分别平分 ABC 和 ACB ，OD BC ⊥ 于点D ．若 3 OD = ， 求ABC 的面积． 【答案】(1)5 (2)7 5 ∶ (3) 39 2 【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可； （2）根据角平分线的性质，可知ABD 与ACD 的高相等，面积比等于底边长的比； （3）确定O 为ABC 三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将ABC 面积分割为三个小三角形面 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / 积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】（1）解：∵OC 是 AOB 的角平分线，PD OA ⊥ ，PE OB ⊥ ， ∴ 5 PE PD = = ； （2）解：作DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ，垂足分别为E 和F ， ∵AD是ABC 的角平分线， ∴DE DF = ． 设DE DF h = = ， 则 Δ Δ 1 1 , 2 2 ABD ACD S AB h S AC h = = ， ∴ : : ABD ACD S S AB AC = ． ∵ 7 5 AB AC = ∶ ∶， ∴ABD 与ACD 的面积比为7 5 ∶． 答：ABD 与ACD 的面积比为7 5 ∶； （3）解：作OE AB ⊥ ，OF AC ⊥ ，垂足分别为E 和F ，连接OA， ∵BO、CO分别平分 ABC 和 ACB ，OD BC ⊥ ， ∴ 3 OE OD = = ， 3 OF OD = = ． ABC 的面积可分割为AOB 、BOC 、AOC 的面积之和（如图）， 即 ABC AOB BOC AOC S S S S = + + △ △ △ △ 1 1 1 3 3 3 2 2 2 AB BC AC = + + ( ) 3 2 AB BC AC = + + ． ∵ABC 的周长是13，即 13 AB BC AC + + = ， 小学 初中 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / ∴ 39 2 ABC S = ． 24．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线， 3 AB = ， 2 AD = ，若AC 边 的长为整数，求AC 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 至点E ， 使DE AD = ，连接BE，能得到EDB ADC ≌ ，所以AC BE = ，进而利用三角形的任意两边之和大于第三 边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，EDB ADC ≌ 的理由是 ； A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA (2)根据小明的方法思考，可得AC 的长可能为 ；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，AD 是ABC 的中线，BG 交AC 于点G ，交AD 于点F ，AC BF = ． 求证：AG FG = ． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长AD 至点E ，使DE AD = ，连结BE． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在ABC 和 CDE △ 中， 90 ACB DCE = = ，CA CB = ，CD CE = ，连结AD 、BE，取AD 的中点F ，连结CF ．若 2 CF = ，则BE = ． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6 之一） (3)证明：如图③，延长AD 至点E ，使DE AD = ，连接BE． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / 同（1），可证 ( ) EDB ADC SAS ≌ ， ∴BE AC GAF E = = ， ， ∵AC BF = ， ∴BE BF = ， ∴ E BFE = ， ∵ BFE AFG = ， ∴ AFG GAF = ； ∴AG FG = ． (4)4 【分析】（1）由题意知AD DE = ， ADC EDB = ，CD BD = ，可得 ( ) EDB ADC SAS ≌ ； （2）由EDB ADC ≌ 得BE CA = ，在ABE 中，根据三角形三边关系可得AE AB BE AE AB − + ，进而 即可求解； （3）倍长AD 至E，连 BE，同（1）可证 ( ) EDB ADC SAS ≌ ， 得出BE AC GAF E = = ， ，结合AC BF = ， 可得BE BF = ，由等边对等角可得 E BFE AFG = = ，等量代换后可得 AFG GAF = ，根据等角对等 边即可得出结论； （4）倍长 CF 至G，连DG ，同（1），可证 ( ) DFG AFC SAS ≌ ，进而证明 ( ) BCE GDC SAS ≌ ，可得 2 BE CG CF = = . 【详解】（1）解：在EDB 和ADC 中， AD DE ADC EDB CD BD = = = ， ( ) EDB ADC SAS ≌ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / 故选：B； （2）解： EDB ADC ≌ ， BE CA = ， 在ABE 中， 3 AB = ， 2 4 AE AD = = ，AE AB BE AE AB − + ，， ∴4 3 4 3 BE − + ， 即1 7 BE ， ∵AC 为整数，BE CA = ， ∴AC 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长CF 至点G ，使FG CF = ，连DG ， ∴ 2 4 CG CF = = ， 同（1），可证 ( ) DFG AFC SAS ≌ ， ∴ , DG AC GDF CAF = = . ∵CA CB = ， ∴DG BC = ， ∵ 90 ACB DCE = = ， ∴ 180 ACD BCE + = . 在ACD 中， 180 ACD CAD ADC + + = ， ∴ BCE CAD ADC GDF ADC GDC = + = + = ， 又∵DC CE = ， ∴ ( ) BCE GDC SAS ≌ ， ∴ 4 BE GC = = ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / 质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 25．如图1，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，AC BC = ，直线l 经过点C，过A 作AD l ⊥，垂足为D，过B 作BE l ⊥，垂足为E． (1)求证：△ ≌△ ADC CEB； (2)若 5 AD = ， 13 DE = ，求BE的长； (3)如图2，延长AD至F ，连接CF ，过点C 作CG CF ⊥ ，且CG CF = ，连接BG 交直线l于点H，若 12 CGH S = ， 6 CD = ，求AF 的长． 【答案】(1)证明：直线l 经过点C ，AD l ⊥，垂足为D ，BE l ⊥，垂足为E ， 90 ADC CEB = = ， 90 ACB = ， 90 CAD BCE ACD = = − ， 在ADC 和CEB 中， CAD BCE ADC CEB AC CB = = = ， ( ) AAS ADC CEB △ ≌△ ； (2)8 (3)8 【分析】（1）由AD l ⊥，BE l ⊥，得 90 ADC CEB = = ，因为 90 ACB = ，所以 90 CAD BCE ACD = = − ，而AC CB = ，即可根据AAS 证明△ ≌△ ADC CEB ； （2）由全等三角形的性质得 5 AD CE = = ，因为 13 DE = ，所以 8 CD BE DE CE = = − = ； （3）作GL l ⊥于点L，则 90 CLG FDC BEH = = = ，由CG CF ⊥ ，推导出 LCG F = ，而GC CF = ， 可证明CLG FDC ≌ ，得 6 GL CD = = ，CL FD = ，则GL BE = ，再证明GHL BHE ≌ ，得HL HE = ，由 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23 / 1 6 12 2 CGH S CH = = ，求得 4 CH = ，则 2 8 CE CL CH + = = ，即可求得 8 AF = ． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得△ ≌△ ADC CEB ， 5 AD CE = = ，CD BE = ， 13 DE = ， 13 5 8 CD BE DE CE = = − = −= ， BE 的长是8． （3）解：如图2 ，作GL l ⊥于点L ，则 90 CLG FDC BEH = = = ， CG CF ⊥ ， 90 FCG = ， 90 LCG F FCD = = − ， 在CLG 和FDC 中， CLG FDC LCG DFC CG FC = = = ， ( ) AAS CLG FDC ≌ ， 6 GL CD = = ，CL FD = ， CD BE = ， GL BE = ， 在GHL 和 BHE △ 中， GHL BHE GLH BEH GL BE = = = ， ( ) AAS GHL BHE ≌ ， HL HE = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 24 / 1 1 6 12 2 2 CGH S CH GL CH = = = ， 4 CH = ， CE CH HE = − ，CL CH HL CH HE = + = + ， 2 8 CE CL CH HE CH HE CH + = − + + = = ， AD CE = ，FD CL = ， 8 AF AD FD CE CL = + = + = ， 线段AF 的长为8．
