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专题22 直角三角形全等的判定
（题型突破·举一反三）
▌题型01 添加条件证明全等
【典例1】D．
【变式1-1】A．
【变式1-2】B．
【变式1-3】∠ACB＝∠BDE 或AC＝DE 或AB＝DB 或∠A+∠E＝90°或∠D+∠ACB＝90°等．
▌题型02 直角三角形全等的判定依据
【典例1】A．
【变式1-1】D．
【变式1-2】C．
【变式1-3】C．
▌题型03 证明三角形全等
【典例1】
【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE 和△BEC 均为直角三角形，
∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC，
在Rt△ADE 和Rt△BEC 中，
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{𝐷𝐸= 𝐸𝐶
𝐴𝐸= 𝐵𝐶，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．
【变式1-1】
【解答】证明：∵如图所示，D、E 分别是AC、AB 上的点，M、N 分别是CE、BD 上的点，AM⊥CE、
AN⊥BD，
∴∠ANB＝∠AMC＝90°（垂直的定义），
在Rt△ABN 和Rt△ACM 中，
{𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐴𝑁= 𝐴𝑀，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM（HL）．
【变式1-2】
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EC＝FC+EC，
即BC＝FE，
∵∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，
{𝐴𝐶= 𝐷𝐸
𝐵𝐶= 𝐹𝐸，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．
【变式1-3】
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
在Rt△ABE 与Rt△CDF 中，
{𝐴𝐵= 𝐶𝐷
𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
▌题型04 二次全等
【典例1】
【解答】解：CE∥DF，CE ＝DF．理由如下：
∵AC＝BD，
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∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC．
在△ADE 和△BCF 中，
{
𝐴𝐷= 𝐵𝐶
𝐴𝐸= 𝐵𝐹
𝐷𝐸= 𝐶𝐹
，
∴△ADE≌△BCF（SSS）；
∴∠A＝∠B（全等三角形对应角相等）．
在△ACE 和△BDF 中，
{
𝐴𝐸= 𝐵𝐹
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠ACE＝∠BDF（全等三角形对应角相等），
∴180°﹣∠ACE＝180°﹣∠BDF，
即∠ECD＝∠CDF，
∴CE∥DF（内错角相等，两直线平行）．
【变式1-1】
【解答】证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF（已知），
∴∠ACE＝∠BDF＝90°（垂直的定义），
在Rt△ACE 和Rt△BDF 中，
{𝐴𝐸= 𝐵𝐹
𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B（全等三角形的对应角相等），
∵AE＝BF（已知），
∴AE﹣EF＝BF﹣EF（等式性质），
即AF＝BE，
在△ACF 和△BDE 中，
{
𝐴𝐹= 𝐵𝐸
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△ACF≌△BDE（SAS）．
【变式1-2】
【解答】解：CE＝DF．理由：
在Rt△ABC 和Rt△BAD 中
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{𝐴𝐷= 𝐵𝐶
𝐴𝐵= 𝐴𝐵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA．
在△ACE 和△BDF 中
{
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐷= 90°
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△ACE≌△BDF（AAS），
∴CE＝DF．
【变式1-3】
【解答】证明：（1）∵EB⊥AD 于点B，FC⊥AD 于点C，
∴∠ABE＝∠DCF＝90°，
在Rt△ABE 和Rt△DCF 中，
{𝐴𝐸= 𝐷𝐹
𝐴𝐵= 𝐷𝐶，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴∠EAB＝∠FDC；
（2）由（1）得：∠EAB＝∠FDC，
在△AFD 和△DEA 中，
{
𝐷𝐹= 𝐴𝐸
∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐷𝐴
，
∴△AFD≌△DEA（SAS），
∴AF＝DE．
▌题型05 角平分线的判定
【典例1】
【解答】解：过点O 作OM⊥BD，ON⊥BE，OP⊥AC，
∵AO 平分∠DAC，CO 平分∠ACE，
∴OM＝OP，ON＝OP，
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∴OM＝ON，
∴BO 平分∠EBD．
【变式1-1】
【解答】证明：（1）过点C 作CF⊥AD 交AD 的延长线于点F，如图1 所示：
∵△ADC 的面积为14，AD＝7，
∴
1
2AD•CF＝14，
∴CF= 2×14
𝐴𝐷= 28
7 =4，
∵CE＝4，
∴CF＝CE＝4，
又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD 交AD 的延长线于点F，点C 在∠BAD 的内部，
∴点C 在∠BAD 的平分线上，
∴AC 是∠BAD 的平分线；
（2）在AB 上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示：
∵AB＝13，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6，
∵AB﹣AD＝2BE，
∴2BE＝6，
∴BE＝3，
∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3，
∴EH＝BH＝3，
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∵CE⊥AB，垂足为E，
∴CE 是线段BH 的垂直平分线，
∴HC＝BC，
由（1）可知：AC 是∠BAD 的平分线，
∴∠HAC＝∠DAC，
在△HAC 和△DAC 中，
{
𝐴𝐻= 𝐴𝐷
∠𝐻𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△HAC≌△DAC（SAS），
∴HC＝CD，
∴CD＝BC．
【变式1-2】
【解答】（1）证明：如图，过点E 作EM⊥BF 于点M，作EN⊥AC 于点N，
∵BE 平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，CE 平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD，
∴EM＝EH，EN＝EH，
∴EM＝EN（等量代换），
又∵点E 在∠CAF 的内部，
∴AE 平分∠CAF；
（2）解：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，BE 为∠ABC 的角平分线，CE 为∠ACD 的角平分线，
∴∠𝐸𝐵𝐶= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐷= 1
2 ∠𝐴𝐶𝐷（角平分线的性质），
∵∠ECD＝∠EBC+∠BEC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐸𝐵𝐶= 1
2 (∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝐶)，∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 × 30° = 15°．
则∠BEC 的度数为15°；
（3）解：由（1）已得：EM＝EH＝EN，
设EM＝EH＝EN＝x，
∵S△ABE＝12，
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∴
1
2 × 6𝑥= 12，
解得x＝4，
∴EM＝EH＝EN＝4，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸+ 𝑆△𝐸𝐶𝐷= 1
2 𝐴𝐶⋅𝐸𝑁+ 1
2 𝐶𝐷⋅𝐸𝐻= 1
2 × 5 × 4 + 1
2 × 8 × 4 = 26．
【变式1-3】
【解答】（1）证明：∵CD⊥OP，CE⊥OQ，
∴∠CDA＝90°，∠CEB＝90°（垂直的定义），
在Rt△CDA 和Rt△CEB 中，
{𝐶𝐴= 𝐶𝐵
𝐴𝐷= 𝐵𝐸，
∴Rt△CDA≌Rt△CEB（HL），
∴CD＝CE（全等三角形对应边相等），
∴点C 在∠POQ 的平分线上，
∴OC 平分∠POQ；
（2）解：在Rt△OCD 和Rt△OCE 中，
{𝑂𝐶= 𝑂𝐶
𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∴Rt△OCD≌△OCE（HL），
∴OD＝OE＝6（全等三角形对应边相等），
∴AD＝BE＝OE﹣OB＝6﹣4＝2，
∴OA＝OD+AD＝6+2＝8．
▌题型06 角平分线的性质与判定综合
【典例1】
【解答】（1）证明，过点G 作GD⊥AB 于点D，GE⊥BC 于点E，GF⊥AC 于点F，如图所示：
∵BG，CG 是△ABC 的角平分线，
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∴GE＝GD，GE＝GF，
∴GE＝GD＝GF，
∴点G 到三边AB，BC，AC 的距离相等；
（2）解：过点P 作PM⊥BD 于点M，PN⊥BA，交BA 的延长线于点N，如图所示：
∵BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACD 的平分线，
∴PM＝PN，PM＝PQ，
∴PN＝PQ，
又∵点P 在∠NAC 的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA，
∴点P 在∠NAC 的平分线上，
∴AP 是∠NAC 的平分线，
∴∠PAC= 1
2∠NAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠PAC= 1
2∠NAC＝60°．
【变式1-1】
【解答】证明：（1）作PQ⊥AC 于点Q，
∵∠ABC，∠EAC 的平分线BP，AP 交于点P，
∴PM＝PN，PM＝PQ，
∴PN＝PQ，
∴点P 在∠ACF 的平分线上，
∴CP 平分∠ACF．
（2）∵AP 平分∠EAC，CP 平分∠ACF，
∴∠PAC= 1
2∠EAC= 1
2（180°﹣∠BAC），∠PCA= 1
2∠ACF= 1
2（180°﹣∠BCA），
∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA
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＝180°−1
2（180°﹣∠BAC）−1
2（180°﹣∠BCA）
= 1
2（∠BAC+∠BCA），
∴2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°．
【变式1-2】
【解答】（1）证明：过点P 分别作PH⊥AE，PM⊥BC，PN⊥AD，垂足分别为H，M，N．
∵BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，
∴PM＝PN，PM＝PH，
∴PH＝PM＝PN（等量代换），
∴点P 到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等；
（2）解：根据（1）得PH＝PN，PH⊥AE，PN⊥AD，
∴∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐴𝐵= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶．
∵BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，
∴∠CBD＝2∠PBC，∠BCE＝2∠PCB．
在△PBC 中，∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠CBD+∠BCE＝2（∠PBC+∠PCB）＝210°，
又∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB+∠BCE＝210°，
∴∠BAC+180°＝210°（等量代换），
解得∠BAC＝30°，
∴∠PAC= 1
2∠BAC= 1
2 ×30°＝15°，
则∠PAC 的度数为15°．
【变式1-3】
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【解答】（1）解：设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则可得：{2𝑦= 2𝑥+ 𝑚°
𝑦= 𝑥+ ∠𝐸
，
可得：∠E= 1
2m，
故答案为：
1
2m；
（2）证明：过点E 分别作EM⊥BF 于M，EN⊥AC 于N，EH⊥BC 于H，
∵EB，EC 分别平分∠ABC，∠ACD，
∴EM＝EH，EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴E 在∠EAC 的平分线上，
∴EA 平分∠FAC．
▌题型07 补充依据
【典例1】
【解答】证明：由条件可知：∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（①垂直的定义），
∵BF 平分∠EBC（已知），
∴∠EBF＝∠CBF（②角的平分线的定义），
∵∠D+∠CBF＝90°（已知），
∴∠DBE＝③∠D（④等角的余角相等），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠DAB＝∠EBC（⑤两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，角的平分线的定义，∠D，等角的余角相等，两直线平行，同位角相等．
【变式1-1】
【解答】解：（1）如图所示，
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DH 即为所求作的直线；
（2）①∵DH∥AC，
∴∠2＝∠HDC．
∵∠1+∠HDC＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴EF∥CD；
②∵∠1+∠HDC＝180°，
∴∠HDC＝180°﹣∠1＝180°﹣148°＝32°，（等式的性质）．
∵DH∥AC，
∴∠2＝∠HDC＝32°，（两直线平行，内错角相等）．
∴∠1+∠2＝148°+32°＝180°，
∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）．
∵CD 平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠2＝2×32°＝64°，（角平分线的定义），
∵DH∥AC，
∴∠BHD＝∠ACB＝64°．（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；2∠2；∠ACB．
【变式1-2】
【解答】证明：∵直线AD 与CD 相交于点D，
∴∠1＝∠ADC（对顶角相等），
∵∠1+∠BCD＝180°，
∴∠ADC+∠BCD＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠BCA＝∠DAC（两直线平行，内错角相等），
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC（角平分线的定义），
∴∠BCA＝∠BAC（等量代换）．
【变式1-3】
【解答】解：理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，
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∴∠AFB＝∠DEC＝90°．
在Rt△ABF 和Rt△DEC 中，
{𝐴𝐵= 𝐷𝐶
𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∴Rt△ABF≌Rt△DEC（HL）．
∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：90°；ABF；DEC；Rt△ABF；Rt△DEC；HL；B；C；全等三角形的对应角相等；AB∥CD．
▌题型08 尺规作图
【典例1】
【解答】解：如图所示：点E 即为所求作的点，理由如下：
过C 作CH⊥OB 于H，
由作图知CE⊥OA，
∵OM 平分∠AOB，
∴CE＝CH，
∵△OCD 的面积= 1
2OD•CH＝24，
∵OD＝12，
∴CH＝4，
∴CE＝4．
【变式1-1】
【解答】解：（1）三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）
的平分线交点到三角形三边的距离相等，
故符合要求的位置有4 个，
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故答案为：4；
（2）利用角平分线的性质作出图形，如图所示，P1、P2、P3、P4 即为加油站的位置，
（3）作图的依据是角平分线的判定定理，
故答案为：角平分线的判定定理．
【变式1-2】
【解答】解：如图：
点C 即为所求作的点．
【变式1-3】
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图所示，过点D 作DE⊥AB 于点E，
由条件可知DE＝DC，
设DE＝DC＝x，
在Rt△ABC 中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐵𝐶× 𝐴𝐶= 1
2 𝐴𝐵× 𝐷𝐸+ 1
2 𝐵𝐶× 𝐶𝐷，
∴
1
2 × 6 × 8 =
1
2 × 10𝑥+
1
2 × 6𝑥，
解得：x＝3，
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即CD 的长为3．
