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专题22 直角三角形全等的判定
（题型突破·举一反三）
题型01 添加条件证明全等
题型02 直角三角形的判定依据
题型03 证明三角形全等
题型04 二次全等
题型05 角平分线的判定
题型06 角平分线的性质与判定综合
题型07 补充依据
题型08 尺规作图
▌题型01 添加条件证明全等
1. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
适用前提：两个三角形必须是直角三角形！
2. 解题思路
（1）先确认：两个三角形是否标明直角（Rt△），不满足直角→不能用HL
（2）找出现有相等线段：分清是斜边还是直角边
（3）HL 还差另一组：
- 已有斜边 ➜ 补一组直角边
- 已有直角边 ➜ 补斜边
（4）
易错陷阱：
不要补充另外一组直角边！两条直角边相等是SAS，不是HL！
【典例1】（2026 春•汝州市期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，若补充一个条件后能用“HL”
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的方法判定Rt△ABO≌Rt△CDO，则补充的条件可以是（ ）
A．AB∥CD
B．OB＝OD
C．∠A＝∠C
D．AB＝CD
【分析】根据垂直定义可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用HL 证明Rt△ABO≌Rt△CDO，即可解
答．
【解答】解：能用“HL”的方法判定Rt△ABO≌Rt△CDO，则补充的条件可以是AB＝CD，
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
在Rt△ABO 和Rt△CDO 中，
{𝐴𝐵= 𝐶𝐷
𝐴𝑂= 𝐶𝑂，
∴Rt△ABO≌Rt△CDO（HL），
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•银川期中）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE．若用“斜边、
直角边（HL）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充的条件是（ ）
A．BC＝EF
B．AC＝DF
C．∠B＝∠E
D．∠ACB＝∠DFE
【分析】根据全等三角形判定方法“HL”即可求解．
【解答】解：∵在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，
∴用“斜边、直角边（HL）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充的条件是BC＝EF，
综上所述，只有选项A 正确，符合题意，
故选：A．
【变式1-2】（2025 春•建平县校级月考）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件
（ ）
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A．∠BAC＝∠BAD
B．AC＝AD
C．AC＝BD
D．∠ABC＝∠ABD
【分析】根据“HL”的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝AB，
∴当添加AC＝AD 或BC＝BD 时，根据“HL”可判断Rt△ABC≌Rt△ABD．
故选：B．
【变式1-3】如图，已知BD⊥AE 于点B，C 是BD 上一点，且BC＝BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充
的条件是∠A＝∠D 或 ∠ACB＝∠DEB 或AC＝DE 或AB＝DB 或 ∠A+∠E＝90° 或 ∠D+∠
ACB＝90°等 ．
【分析】要使Rt△ABC≌Rt△DBE，现有直角对应相等，一直角边对应相等，还缺少一边或一角对应相
等，答案可得．
【解答】解：∵BD⊥AE
∴∠ACB＝∠DEB，
∵BC＝BE，
加∠ACB＝∠BDE 就可以用ASA 使Rt△ABC≌Rt△DBE；
加AC＝DE 就可以用HL 使Rt△ABC≌Rt△DBE；
加AB＝DB 就可以用SAS 使Rt△ABC≌Rt△DBE；
加∠ACB＝∠D 也可以使Rt△ABC≌Rt△DBE；
加∠A+∠E＝90°或∠D+∠ACB＝90°一样可以证明Rt△ABC≌Rt△DBE．
所以填∠ACB＝∠BDE 或AC＝DE 或AB＝DB 或∠A+∠E＝90°或∠D+∠ACB＝90°等．
▌题型02 直角三角形全等的判定依据
1. 通用判定（所有三角形都能用，直角三角形同样适用）
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①SSS：三边对应相等
②SAS：两边及其夹角对应相等
③ASA：两角及其夹边对应相等
④AAS：两角及其中一角对边对应相等
2. 直角三角形专属判定：HL
HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
条件要求：
① 两个三角形都是直角三角形
② 斜边相等 + 任意一组直角边相等。
【典例1】（2025 秋•古县期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角
形，其全等的依据是（ ）
A．ASA
B．AAS
C．SAS
D．SSS
【分析】根据所给图形结合全等三角形的判定方法（ASA）求解即可．
【解答】解：根据图形，符合全等三角形的判定方法ASA，可画出与此直角三角形全等的三角形，
故选：A．
【变式1-1】（2025 秋•秦淮区校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，以点A 为圆心、AB 长为半径
画弧，与BC 的延长线相交于点D，可以判定△ABC≌△ADC，依据是（ ）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．HL
【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝90°，
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∴△ABC 和△ADC 是直角三角形，
根据画法得，AB＝AD，
在Rt△ABC 和Rt△ADC 中，
{𝐴𝐵= 𝐴𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
故选：D．
【变式1-2】将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和∠ABC 的两边
重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线BP，则BP 为∠ABC 的角平分线的依据是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．垂直平分线的性质
C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
D．利用“SSA”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等
【分析】根据图形可得∠DEP＝∠FGP＝90°，EP＝GP，再根据角平分线的判定即可．
【解答】解：如图所示：
∵∠DEP＝∠FGP＝90°，EP＝GP，
∴BP 为∠ABC 的角平分线，
∴根据角平分线的判定定理可知：
依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选：C．
【变式1-3】（2026•道里区二模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要
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求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC，小张和小李同学先画出了∠MBN＝
90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A．小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC 的长
B．小张同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC 的依据是HL
C．小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC 的长
D．小李同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC 的依据是SAS
【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：∵小李同学先确定的是直角三角形的两条直角边，
∴确定依据是SAS 定理；故D 不符合题意；
∵小张同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，
∴确定依据是HL 定理，故B 不符合题意；
∵小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC 的长，故A 不符合题意；
小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AB 的长，故C 符合题意，
故选：C．
▌题型03 证明三角形全等
1. HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
硬性前提：两个三角形必须是直角三角形！普通三角形不能使用HL。
2. 所需条件（缺一不可）
设 Rt△ABC 和Rt△DEF，∠C=∠F＝90°需要满足：
（1）斜边相等：AB=DE
（2）任意一组直角边相等：AC=DF 或 BC=EF。
【典例1】（2026•商南县二模）如图，∠A＝∠B＝90°，E 是AB 上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：
Rt△ADE≌Rt△BEC．
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【分析】由∠1＝∠2 得DE＝EC，进而可依据“HL”判定Rt△ADE 和Rt△BEC 全等．
【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE 和△BEC 均为直角三角形，
∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC，
在Rt△ADE 和Rt△BEC 中，
{𝐷𝐸= 𝐸𝐶
𝐴𝐸= 𝐵𝐶，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．
【变式1-1】（2024 秋•内黄县期末）如图，AB＝AC，D、E 分别是AC、AB 上的点，M、N 分别是CE、BD
上的点，若AM⊥CE、AN⊥BD，AM＝AN，求证：Rt△ABN≌Rt△ACM．
【分析】利用“HL”证明全等即可．
【解答】证明：∵如图所示，D、E 分别是AC、AB 上的点，M、N 分别是CE、BD 上的点，AM⊥CE、
AN⊥BD，
∴∠ANB＝∠AMC＝90°（垂直的定义），
在Rt△ABN 和Rt△ACM 中，
{𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐴𝑁= 𝐴𝑀，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM（HL）．
【变式1-2】（2025 春•雁塔区期末）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，点B、E、
C、F 在同一条直线上，且BE＝FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE．
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【分析】根据BE＝FC，可得BC＝FE，根据HL 证明Rt△ABC≌Rt△DFE 即可．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EC＝FC+EC，
即BC＝FE，
∵∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，
{𝐴𝐶= 𝐷𝐸
𝐵𝐶= 𝐹𝐸，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．
【变式1-3】（2025 春•陈仓区期中）如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC 与点E，DF⊥AC 与点F．求证Rt
△ABE≌Rt△CDF．
【分析】根据等式的性质得出AE＝CF，进而利用HL 证明Rt△ABE≌Rt△CDF 即可．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
在Rt△ABE 与Rt△CDF 中，
{𝐴𝐵= 𝐶𝐷
𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
▌题型04 二次全等
1. 需要证明两组三角形全等。
第一组全等，得到边相等/角相等，当作条件，再证明第二组全等。
简单概括：第一次全等，制造条件；第二次全等，完成目标。
3. 通用标准解题模板
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（1）观察结论：看最终要证哪两个三角形全等（目标△）
（2） 逆向寻找：目标△缺少一组相等线段/相等角
（3）确定第一组全等：通过已知条件，先证第一组全等，补齐缺失条件
（4）再证第二次全等，得出最终结论
【典例1】（2025 秋•旌阳区校级月考）如图，点A，C，D，B 在同一条直线上，点E，F 分别在直线AB 的
两侧，AE＝BF，DE＝CF，AC＝BD．猜想CE，DF 的数量和位置关系，并说明理由．
【分析】由题意可知AD＝BC，根据SSS 证明△ADE≌△BCF，则∠A＝∠B，证明△ACE≌△BDF，得到
∠ACE＝∠BDF，进而可证CE∥DF
【解答】解：CE∥DF，CE ＝DF．理由如下：
∵AC＝BD，
∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC．
在△ADE 和△BCF 中，
{
𝐴𝐷= 𝐵𝐶
𝐴𝐸= 𝐵𝐹
𝐷𝐸= 𝐶𝐹
，
∴△ADE≌△BCF（SSS）；
∴∠A＝∠B（全等三角形对应角相等）．
在△ACE 和△BDF 中，
{
𝐴𝐸= 𝐵𝐹
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠ACE＝∠BDF（全等三角形对应角相等），
∴180°﹣∠ACE＝180°﹣∠BDF，
即∠ECD＝∠CDF，
∴CE∥DF（内错角相等，两直线平行）．
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【变式1-1】如图，A，F，E，B 四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD．求证：△ACF≌△BDE．
【分析】先由条件证明Rt△ACE≌Rt△BDF，得到∠A＝∠B，再证明△ACF≌△BDE 即可
【解答】证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF（已知），
∴∠ACE＝∠BDF＝90°（垂直的定义），
在Rt△ACE 和Rt△BDF 中，
{𝐴𝐸= 𝐵𝐹
𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B（全等三角形的对应角相等），
∵AE＝BF（已知），
∴AE﹣EF＝BF﹣EF（等式性质），
即AF＝BE，
在△ACF 和△BDE 中，
{
𝐴𝐹= 𝐵𝐸
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△ACF≌△BDE（SAS）．
【变式1-2】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE＝DF
吗？
【分析】首先证明Rt△ABC≌Rt△BAD，可得AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，然后再证明△ACE≌△BDF，
进而可得CE＝DF．
【解答】解：CE＝DF．理由：
在Rt△ABC 和Rt△BAD 中
{𝐴𝐷= 𝐵𝐶
𝐴𝐵= 𝐴𝐵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA．
在△ACE 和△BDF 中
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{
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐷= 90°
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△ACE≌△BDF（AAS），
∴CE＝DF．
【变式1-3】如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，AB＝CD，EB⊥AD 于点B，FC⊥AD 于点C，AE＝
DF．求证：
（1）∠EAB＝∠FDC；
（2）AF＝DE．
【分析】（1）证Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），即可得出∠EAB＝∠FDC；
（2）证△AFD≌△DEA（SAS），即可得出AF＝DE．
【解答】证明：（1）∵EB⊥AD 于点B，FC⊥AD 于点C，
∴∠ABE＝∠DCF＝90°，
在Rt△ABE 和Rt△DCF 中，
{𝐴𝐸= 𝐷𝐹
𝐴𝐵= 𝐷𝐶，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴∠EAB＝∠FDC；
（2）由（1）得：∠EAB＝∠FDC，
在△AFD 和△DEA 中，
{
𝐷𝐹= 𝐴𝐸
∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐷𝐴
，
∴△AFD≌△DEA（SAS），
∴AF＝DE．
▌题型05 角平分线的判定
1. 判定定理
文字表述：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
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几何语言：
已知：点P 在∠AOB 内部，PD⊥ OA，PE⊥OB，PD=PE
结论：OP 平分∠AOB。
2. 备使用条件（三个缺一不可）
（1）点在角内部
（2）两条垂直（垂线段，代表距离）
（3）两条垂线段长度相等
只有线段相等，没有垂直，不能用判定！
【典例1】（2026 春•宝山区校级期末）如图，AO 平分∠DAC，CO 平分∠ACE，求证：BO 平分∠EBD．
【分析】过点O 作OM⊥BD，ON⊥BE，OP⊥AC，根据角平分线性质推理即可．
【解答】解：过点O 作OM⊥BD，ON⊥BE，OP⊥AC，
∵AO 平分∠DAC，CO 平分∠ACE，
∴OM＝OP，ON＝OP，
∴OM＝ON，
∴BO 平分∠EBD．
【变式1-1】（2026 春•青羊区校级期中）如图，点D 是△ABC 外一点，连接AD，CD，过点C 作CE⊥AB，
垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC 的面积为14．
（1）求证：AC 是∠BAD 的平分线．
（2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC．
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【分析】（1）过点C 作CF⊥AD 交AD 的延长线于点F，根据△ADC 的面积为14 得CF＝4，由此得CF
＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）在AB 上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE 得BE
＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE 是线段BH 的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC 和△DAC 全
等得HC＝CD，据此即可得出结论．
【解答】证明：（1）过点C 作CF⊥AD 交AD 的延长线于点F，如图1 所示：
∵△ADC 的面积为14，AD＝7，
∴
1
2AD•CF＝14，
∴CF= 2×14
𝐴𝐷= 28
7 =4，
∵CE＝4，
∴CF＝CE＝4，
又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD 交AD 的延长线于点F，点C 在∠BAD 的内部，
∴点C 在∠BAD 的平分线上，
∴AC 是∠BAD 的平分线；
（2）在AB 上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示：
∵AB＝13，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6，
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∵AB﹣AD＝2BE，
∴2BE＝6，
∴BE＝3，
∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3，
∴EH＝BH＝3，
∵CE⊥AB，垂足为E，
∴CE 是线段BH 的垂直平分线，
∴HC＝BC，
由（1）可知：AC 是∠BAD 的平分线，
∴∠HAC＝∠DAC，
在△HAC 和△DAC 中，
{
𝐴𝐻= 𝐴𝐷
∠𝐻𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△HAC≌△DAC（SAS），
∴HC＝CD，
∴CD＝BC．
【变式1-2】（2025 秋•蜀山区校级期末）如图，△ABC 的外角∠ACD 的角平分线CE 与内角∠ABC 的角平
分线BE 交于点E，点F 在边BA 的延长线上，AE 的延长线交边BC 的延长线于点D，过点E 作EH⊥BD
于点H．
（1）求证：AE 平分∠CAF；
（2）若∠BAC＝30°，求∠BEC 的度数；
（3）若AB＝6，AC＝5，CD＝8，且S△ABE＝12，求△ACD 的面积．
【分析】（1）过点E 作EM⊥BF 于点M，作EN⊥AC 于点N，先根据角平分线的性质可得EM＝EH，
EN＝EH，从而可得EM＝EN，再根据角平分线的判定即可得证；
（2）由BE 为∠ABC 的角平分线，CE 为∠ACD 的角平分线，可得∠𝐸𝐵𝐶= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐷= 1
2 ∠𝐴𝐶𝐷，
再由∠ECD＝∠EBC+∠BEC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC，可得∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐸𝐵𝐶= 1
2 (∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝐶)，
∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC，再求解即可；
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（3）设EM＝EH＝EN＝x，再根据S△ABE＝12 求得x＝4，再利用三角形的面积公式可得答案．
【解答】（1）证明：如图，过点E 作EM⊥BF 于点M，作EN⊥AC 于点N，
∵BE 平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，CE 平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD，
∴EM＝EH，EN＝EH，
∴EM＝EN（等量代换），
又∵点E 在∠CAF 的内部，
∴AE 平分∠CAF；
（2）解：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，BE 为∠ABC 的角平分线，CE 为∠ACD 的角平分线，
∴∠𝐸𝐵𝐶= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐷= 1
2 ∠𝐴𝐶𝐷（角平分线的性质），
∵∠ECD＝∠EBC+∠BEC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐸𝐵𝐶= 1
2 (∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝐶)，∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 × 30° = 15°．
则∠BEC 的度数为15°；
（3）解：由（1）已得：EM＝EH＝EN，
设EM＝EH＝EN＝x，
∵S△ABE＝12，
∴
1
2 × 6𝑥= 12，
解得x＝4，
∴EM＝EH＝EN＝4，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸+ 𝑆△𝐸𝐶𝐷= 1
2 𝐴𝐶⋅𝐸𝑁+ 1
2 𝐶𝐷⋅𝐸𝐻= 1
2 × 5 × 4 + 1
2 × 8 × 4 = 26．
【变式1-3】（2026 春•龙岗区校级期中）如图，点A，B 分别在射线OP，OQ 上，点C 在∠POQ 的内部，
CA＝CB，CD⊥OP，CE⊥OQ，垂足分别为D，E，AD＝BE．
（1）求证：OC 平分∠POQ；
（2）如果OD＝6，OB＝4，求OA 的长．
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【分析】（1）证明出Rt△CDA≌Rt△CEB（HL），得到CD＝CE，即可得到OC 平分∠POQ；
（2）证明出Rt△OCD≌△OCE（HL），得到OD＝OE＝6，然后利用线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥OP，CE⊥OQ，
∴∠CDA＝90°，∠CEB＝90°（垂直的定义），
在Rt△CDA 和Rt△CEB 中，
{𝐶𝐴= 𝐶𝐵
𝐴𝐷= 𝐵𝐸，
∴Rt△CDA≌Rt△CEB（HL），
∴CD＝CE（全等三角形对应边相等），
∴点C 在∠POQ 的平分线上，
∴OC 平分∠POQ；
（2）解：在Rt△OCD 和Rt△OCE 中，
{𝑂𝐶= 𝑂𝐶
𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∴Rt△OCD≌△OCE（HL），
∴OD＝OE＝6（全等三角形对应边相等），
∴AD＝BE＝OE﹣OB＝6﹣4＝2，
∴OA＝OD+AD＝6+2＝8．
▌题型06 角平分线的性质与判定综合
1. 角平分线性质（正方向）
点在角平分线上⇒点到两边距离相等
角平分线判定（逆方向）
点到角两边距离相等⇒点在角平分线上
2. 解题四步法
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（1）看目标
① 要证线段相等：优先找角平分线，使用性质
② 要证角相等/射线平分角：优先证明垂线段相等，使用判定
（2）缺垂线，辅助线必做：过平分线上一点，向角两边作垂直！
（3）利用得到的相等线段、相等角，结合全等（HL、AAS、SAS）推导
（4）规范书写，不要混用性质与判定.
【典例1】（2026 春•郑州校级期中）课本再现
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分
线上．
（1）如图1，已知BG，CG 是△ABC 的角平分线，求证：点G 到三边AB，BC，AC 的距离相等；
（2）如图2，BP，CP 分别是△ABC 的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝
60°，求∠PAC 的度数．
【分析】（1）过点G 作GD⊥AB 于点D，GE⊥BC 于点E，GF⊥AC 于点F，根据角平分线性质得GE＝
GD，GE＝GF，进而得GE＝GD＝GF，由此即可得出结论；
（2）过点P 作PM⊥BD 于点M，PN⊥BA，交BA 的延长线于点N，根据角平分线性质得PM＝PN，PM
＝PQ，进而得PN＝PQ，由此的AP 是∠NAC 的平分线，则∠PAC= 1
2∠NAC，再根据∠BAC＝60°得∠
NAC＝120°，据此即可得出∠PAC 的度数．
【解答】（1）证明，过点G 作GD⊥AB 于点D，GE⊥BC 于点E，GF⊥AC 于点F，如图所示：
∵BG，CG 是△ABC 的角平分线，
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∴GE＝GD，GE＝GF，
∴GE＝GD＝GF，
∴点G 到三边AB，BC，AC 的距离相等；
（2）解：过点P 作PM⊥BD 于点M，PN⊥BA，交BA 的延长线于点N，如图所示：
∵BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACD 的平分线，
∴PM＝PN，PM＝PQ，
∴PN＝PQ，
又∵点P 在∠NAC 的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA，
∴点P 在∠NAC 的平分线上，
∴AP 是∠NAC 的平分线，
∴∠PAC= 1
2∠NAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠PAC= 1
2∠NAC＝60°．
【变式1-1】（2026•桐城市开学）如图，在△ABC 中，∠ABC，∠EAC 的平分线BP，AP 交于点P，延长
BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF．求证：
（1）CP 平分∠ACF；
（2）∠ABC+2∠APC＝180°．
【分析】（1）作PQ⊥AC 于点Q，由∠ABC，∠EAC 的平分线BP，AP 交于点P，根据角平分线的性质
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得PM＝PN，PM＝PQ，则PN＝PQ，所以点P 在∠ACF 的平分线上，即可证明CP 平分∠ACF．
（2）由∠PAC= 1
2∠EAC= 1
2（180°﹣∠BAC），∠PCA= 1
2∠ACF= 1
2（180°﹣∠BCA），推导出∠APC
＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA= 1
2（∠BAC+∠BCA），则2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC，所以∠
ABC+2∠APC＝180°．
【解答】证明：（1）作PQ⊥AC 于点Q，
∵∠ABC，∠EAC 的平分线BP，AP 交于点P，
∴PM＝PN，PM＝PQ，
∴PN＝PQ，
∴点P 在∠ACF 的平分线上，
∴CP 平分∠ACF．
（2）∵AP 平分∠EAC，CP 平分∠ACF，
∴∠PAC= 1
2∠EAC= 1
2（180°﹣∠BAC），∠PCA= 1
2∠ACF= 1
2（180°﹣∠BCA），
∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA
＝180°−1
2（180°﹣∠BAC）−1
2（180°﹣∠BCA）
= 1
2（∠BAC+∠BCA），
∴2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°．
【变式1-2】（2025 秋•山丹县校级期末）已知△ABC，BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC
的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点P．
（1）如图1，求证：点P 到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等；
（2）如图2，连接AP，若∠BPC＝75°，求∠PAC 的度数．
【分析】（1）作PH⊥AE，PM⊥BC，PN⊥AD，由角平分线的性质，即可证得结论；
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（2）先借助（1）的结论得出AP 平分∠BAC，得∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐴𝐵= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶，再利用BF、CG 分别平分△
ABC 的外角，结合△PBC 内角和求出∠PBC+∠PCB 的度数，进而算出外角和；最后通过三角形外角性质
推导∠BAC 的度数，再根据角平分线求出∠PAC 的度数．
【解答】（1）证明：过点P 分别作PH⊥AE，PM⊥BC，PN⊥AD，垂足分别为H，M，N．
∵BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，
∴PM＝PN，PM＝PH，
∴PH＝PM＝PN（等量代换），
∴点P 到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等；
（2）解：根据（1）得PH＝PN，PH⊥AE，PN⊥AD，
∴∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐴𝐵= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶．
∵BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，
∴∠CBD＝2∠PBC，∠BCE＝2∠PCB．
在△PBC 中，∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠CBD+∠BCE＝2（∠PBC+∠PCB）＝210°，
又∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB+∠BCE＝210°，
∴∠BAC+180°＝210°（等量代换），
解得∠BAC＝30°，
∴∠PAC= 1
2∠BAC= 1
2 ×30°＝15°，
则∠PAC 的度数为15°．
【变式1-3】（2025 秋•甘井子区期末）如图1，△ABC 的内角∠ABC 的平分线BE 和一个外角∠ACD 的平
分线CE 相交于点E．
（1）若∠A＝m°，则∠E 的大小是
1
2m °；（用含m 的式子表示）
（2）如图2，连接AE．求证：AE 平分另一个外角∠FAC．
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【分析】（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即
可；
（2）过点E 分别作EM⊥BF 于M，EN⊥AC 于N，EH⊥BC 于H，利用角平分线的性质解答即可．
【解答】（1）解：设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则可得：{2𝑦= 2𝑥+ 𝑚°
𝑦= 𝑥+ ∠𝐸
，
可得：∠E= 1
2m，
故答案为：
1
2m；
（2）证明：过点E 分别作EM⊥BF 于M，EN⊥AC 于N，EH⊥BC 于H，
∵EB，EC 分别平分∠ABC，∠ACD，
∴EM＝EH，EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴E 在∠EAC 的平分线上，
∴EA 平分∠FAC．
▌题型07 补充依据
1.证明全等的5 条判定（写在最后一行）
（1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等
（2）SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
（3）ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
（4）AAS：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
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（5）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
2.用来推出角相等
（1）对顶角相等
（2）公共角
（3）两直线平行，同位角相等
（4）两直线平行，内错角相等
（5）同角（等角）的余角相等
（6）同角（等角）的补角相等
（7）角平分线定义
（8）垂直定义 ⇒ 直角相等（90°）
（10）等边对等角
（11）等量加等量，和相等；等量减等量，差相等（等角±公共角）
4.用来推出线段相等
（1）公共边
（2）中点定义
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等
（4）角平分线上的点到角两边的距离相等
（5）等量加等量，和相等；等量减等量，差相等
（7）等角对等边
5.全等之后，得到结论的依据
（1）全等三角形的对应边相等
（2）全等三角形的对应角相等
【典例1】（2026 春•重庆期中）完成下面的推理证明：
已知：如图，点A，B，C 在一条直线上，已知BF 平分∠EBC，∠D+∠CBF＝90°，DB⊥BF．求证：∠
DAB＝∠EBC．
证明：∵DB⊥BF（已知），
∴∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（① 垂直的定义 ）．
∵BF 平分∠EBC（已知），
∴∠EBF＝∠CBF（② 角的平分线的定义 ）．
∵∠D+∠CBF＝90°（已知），
∴∠DBE＝③ ∠D （④ 等角的余角相等 ）．
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
∴∠DAB＝∠EBC（⑤ 两直线平行，同位角相等 ）．
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【分析】利用垂直的定义，角的平分线的定义以及等角的余角相等等知识完成证明即可．
【解答】证明：由条件可知：∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（①垂直的定义），
∵BF 平分∠EBC（已知），
∴∠EBF＝∠CBF（②角的平分线的定义），
∵∠D+∠CBF＝90°（已知），
∴∠DBE＝③∠D（④等角的余角相等），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠DAB＝∠EBC（⑤两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，角的平分线的定义，∠D，等角的余角相等，两直线平行，同位角相等．
【变式1-1】（2026 春•深圳期中）如图2，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D，点E、F 分别在AB、
AC 边上，
（1）请用直尺和圆规，过点D 作DH∥AC 交BC 于点H．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠1+∠HDC＝180°，∠1＝148°，则：
①证明EF∥CD；
②求∠BHD 的度数．
请完成如下的几何推导：
解：∵∠1+∠HDC＝180°，
∴∠HDC＝180°﹣ ∠1 ＝180°﹣148°＝32°，（等式的性质）
∵DH∥AC，
∴∠2＝∠HDC＝32°，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠1+∠2＝148°+32°＝180°，
∴EF∥CD，（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∵CD 平分∠ACB，
∴∠ACB＝ 2∠2 ＝2×32°＝64°，（角平分线的定义）
∵DH∥AC，
∴∠BHD＝ ∠ACB ＝64°．（两直线平行，同位角相等）
小学
初中
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【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）①根据平行线的判定与性质进行证明即可；②根据平行线的判定与性质将所给推导过程补充完整即
可．
【解答】解：（1）如图所示，
DH 即为所求作的直线；
（2）①∵DH∥AC，
∴∠2＝∠HDC．
∵∠1+∠HDC＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴EF∥CD；
②∵∠1+∠HDC＝180°，
∴∠HDC＝180°﹣∠1＝180°﹣148°＝32°，（等式的性质）．
∵DH∥AC，
∴∠2＝∠HDC＝32°，（两直线平行，内错角相等）．
∴∠1+∠2＝148°+32°＝180°，
∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）．
∵CD 平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠2＝2×32°＝64°，（角平分线的定义），
∵DH∥AC，
∴∠BHD＝∠ACB＝64°．（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；2∠2；∠ACB．
【变式1-2】（2026 春•海淀区校级期中）如图，直线AD，BC 被直线CD 所截，AC 平分∠BAD，∠1+∠BCD
＝180°．
求证：∠BCA＝∠BAC．
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下面是小军的解答过程，请补充完整．
证明：∵直线AD 与CD 相交于点D，
∴∠1＝∠ADC（① 对顶角相等 ）（填推理的依据）．
∵∠1+∠BCD＝180°，
∴∠ADC+∠BCD＝180°．
∴AD∥BC（② 同旁内角互补，两直线平行 ）（填推理的依据）．
∴∠BCA＝∠DAC（③ 两直线平行，内错角相等 ）（填推理的依据）．
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC（④ 角平分线的定义 ）（填推理的依据）．
∴∠BCA＝∠BAC（等量代换）．
【分析】先根据对顶角的性质得到∠1＝∠ADC，所以∠ADC+∠BCD＝180°，则根据平行线的判定方法
得到AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠BCA＝∠DAC，接着根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠DAC，
然后利用等量代换得到∠BCA＝∠BAC．
【解答】证明：∵直线AD 与CD 相交于点D，
∴∠1＝∠ADC（对顶角相等），
∵∠1+∠BCD＝180°，
∴∠ADC+∠BCD＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠BCA＝∠DAC（两直线平行，内错角相等），
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC（角平分线的定义），
∴∠BCA＝∠BAC（等量代换）．
【变式1-3】（2025 秋•旺苍县期中）如图，B、E、F、C 在同一直线上，AF⊥BC 于点F，DE⊥BC 于E，
AB＝DC，BE＝CF，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答：
理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知），
∴∠AFB＝∠DEC＝ 90° （垂直的定义）．
在Rt△ABF 和Rt△DEC 中，
{_____ = _____
_____ = _____，
∴ Rt△ABF ≌ Rt△DEC （HL ）．
∴∠B ＝∠C （ 全等三角形的对应角相等 ）．
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∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）．
【分析】先根据垂直的定义得出∠AFB＝∠DEC＝90°，再由HL 定理得出Rt△ABF≌Rt△DEC，故可得
出∠B＝∠C，由此可得出结论．
【解答】解：理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AFB＝∠DEC＝90°．
在Rt△ABF 和Rt△DEC 中，
{𝐴𝐵= 𝐷𝐶
𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∴Rt△ABF≌Rt△DEC（HL）．
∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：90°；ABF；DEC；Rt△ABF；Rt△DEC；HL；B；C；全等三角形的对应角相等；AB∥CD．
▌题型08 尺规作图
1. 作已知线段的垂直平分线的方法：
已知：如图，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O 是MN 的中点）.
作法：
（１）分别以M、N 为圆心，大于
MN
2
1
的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ 交MN 于O．则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。
2. 作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
O
Q
P
N
M
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求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP 平分∠AOB）。
作法：
（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB 于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于
MN
2
1
的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；
（3）作射线OP，则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，点C 在∠AOB 的平分线OM 上，点D 在边OB 上，且OD＝12，
△OCD 的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA 上求作一点E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作
法）
【分析】以C 为圆心画弧交OA 于K、L，分别以K、L 为圆心大于
1
2KL 的长为半径画弧交于点F，作直
线CF 交OA 于点E，点E 即为所求作的点．
【解答】解：如图所示：点E 即为所求作的点，理由如下：
过C 作CH⊥OB 于H，
由作图知CE⊥OA，
∵OM 平分∠AOB，
∴CE＝CH，
∵△OCD 的面积= 1
2OD•CH＝24，
∵OD＝12，
∴CH＝4，
∴CE＝4．
O
N
M
B
P
A
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【变式1-1】（2025 秋•上海校级期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加
油站P，要求加油站P 的位置到三条公路的距离都相等．
（1）符合要求的位置有 4 个；
（2）请你找出所有加油站P 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）；
（3）你的作图依据是 角平分线的判定定理 ．
【分析】（1）利用角平分线的性质即可得出结论；
（2）利用角平分线的性质作出图形即可；
（3）利用角平分线的判定解答即可．
【解答】解：（1）三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）
的平分线交点到三角形三边的距离相等，
故符合要求的位置有4 个，
故答案为：4；
（2）利用角平分线的性质作出图形，如图所示，P1、P2、P3、P4 即为加油站的位置，
（3）作图的依据是角平分线的判定定理，
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故答案为：角平分线的判定定理．
【变式1-2】（2025 春•渭滨区期末）两个城镇A、B 与两条公路ME，MF 位置如图所示，其中ME 是东西
方向公路．现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B 的距离必须相等，到
两条公路ME，MF 的距离也必须相等，且在∠FME 的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点
C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【分析】到城镇A、B 距离相等的点在线段AB 的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所
夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
【解答】解：如图：
点C 即为所求作的点．
【变式1-3】（2025 秋•鞍山月考）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°．
（1）尺规作图作射线BP，交AC 于点D，并使D 到BC，AB 的距离相等．
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，求CD 的长．
【分析】（1）步骤：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、CB 于点M、N；②分别以点M、
N 为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁为半径作弧，相交于点P；③作射线BP，交AC 于点D，BP 即为所求的平分线，则
点D 到BC，AB 的距离相等；
（2）过点D 作DE⊥AB 于点E，则DE＝DC，设DE＝DC＝x，根据𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐵𝐶× 𝐴𝐶= 1
2 𝐴𝐵× 𝐷𝐸+
1
2 𝐵𝐶× 𝐶𝐷，列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
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（2）如图所示，过点D 作DE⊥AB 于点E，
由条件可知DE＝DC，
设DE＝DC＝x，
在Rt△ABC 中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐵𝐶× 𝐴𝐶= 1
2 𝐴𝐵× 𝐷𝐸+ 1
2 𝐵𝐶× 𝐶𝐷，
∴
1
2 × 6 × 8 =
1
2 × 10𝑥+
1
2 × 6𝑥，
解得：x＝3，
即CD 的长为3．
