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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第一章 三角形·培优冲刺
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（25-26 八年级上·浙江衢州·期中）满足下列条件的△𝐴𝐵𝐶，不是直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴∶∠𝐵∶∠𝐶= 3 ∶4 ∶5
B．𝑎∶𝑏∶𝑐= 6 ∶8 ∶10
C．∠𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵
D．𝑏2 = 𝑐2 −𝑎2
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆
定理，判断各选项是否表示直角三角形即可．
【详解】A、设∠𝐴= 3𝑘，∠𝐵= 4𝑘，∠𝐶= 5𝑘，则3𝑘+ 4𝑘+ 5𝑘= 12𝑘= 180°，∴𝑘= 15°，∠𝐶= 75° ≠90°，
不是直角三角形，符合题意；
B、∵(6𝑘)2 + (8𝑘)2 = 36𝑘2 + 64𝑘2 = 100𝑘2，(10𝑘)2 = 100𝑘2，∴(6𝑘)2 + (8𝑘)2 = (10𝑘)2，是直角三
角形，不符合题意；
C、∵∠𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵，且∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，∴2∠𝐶= 180°，∠𝐶= 90°，是直角三角形，不符合题
意；
D、∵𝑏2 = 𝑐2 −𝑎2，∴𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2，是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
2．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）能说明命题“若|𝑎| > |𝑏|，则𝑎> 𝑏”是假命题的反例为（ ）
A．𝑎= √3，𝑏= √2
B．𝑎= −π，𝑏= 2π
C．𝑎= 2，𝑏= 1
D．𝑎= −2，𝑏= 1
【答案】D
【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的绝
对值、假命题的概念解答．反例需满足|𝑎| > |𝑏|但𝑎≤𝑏，只有选项D 符合条件．
【详解】解：∵|𝑎| = | −2| = 2，|𝑏| = |1| = 1，
∴|𝑎| > |𝑏|；
但𝑎= −2，𝑏= 1，
∴𝑎< 𝑏，
故命题不成立，选项D 为反例．
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选项A、C 中|𝑎| > |𝑏|且𝑎> 𝑏，选项B 中|𝑎| < |𝑏|，均不满足反例条件．
故选：D．
3．（25-26 八年级上·浙江金华·期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．若𝑎2 = 𝑏2，则𝑎= 𝑏
C．无限小数是无理数
D．两个无理数的和一定是无理数
【答案】A
【分析】本题考查命题与定理．根据对顶角的性质、平方运算，实数的运算法则和无理数的定义逐项
判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，该选项符合题意；
B、若𝑎2 = 𝑏2，则𝑎= ±𝑏，原命题是假命题，该选项不符合题意；
C、无限不循环小数是无理数，原命题是假命题，该选项不符合题意；
D、两个无理数的和不一定是无理数，如√2和−√2，它们的和就不是无理数，原命题是假命题，该选项
不符合题意；
故选：A．
4．如图，三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1 + ∠2 + ∠3的度数是（ ）
A．360°
B．270°
C．180°
D．540°
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，平角的定义，找出角度之间的数量关系
是解题关键．根据全等三角形对应角相等，得到∠6 + ∠4 + ∠9 = 180°，再根据平角和三角形内角和定理求
解即可．
【详解】解：如图，
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∵三个三角形全等，
∴∠6 + ∠4 + ∠9 = 180°，
∵∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°，∠2 + ∠6 + ∠8 = 180°，∠3 + ∠7 + ∠9 = 180°，∠5 + ∠7 + ∠8 = 180°
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° × 3 −(∠6 + ∠4 + ∠9) −(∠5 + ∠7 + ∠8) = 540° −180° −180° = 180°，
故选：C．
5．如图，𝐵𝐶= 𝐵𝐷，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷的是（ ）
A．∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷
B．∠𝐶= ∠𝐷= 90°
C．∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵
D．𝐴𝐶= 𝐴𝐷
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：𝐵𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝐵= 𝐵𝐴，
A．若添加∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷，满足边角边，能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，故该选项不符合题意；
B．若添加∠𝐶= ∠𝐷= 90°，满足斜边直角边对应相等，能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，故该选项不符合题意；
C．若添加∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵，满足边边角，不能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，故该选项符合题意；
D．若添加𝐴𝐶= 𝐴𝐷，满足边边边，能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，故该选项不符合题意；
故选：C．
6．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点𝐸，𝐹分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上，𝐴𝐸= 𝐸𝐹，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，过
点𝐹作𝐹𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，且𝐸𝐹= 𝐹𝐷．若∠𝐴= 75°，则∠𝐴𝐵𝐶的度数为（ ）
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A．50°
B．60°
C．45°
D．55°
【答案】C
【分析】可证得△𝐵𝐸𝐴≌△𝐵𝐸𝐹与△𝐵𝐸𝐹≌△𝐵𝐷𝐹，得到∠𝐴= ∠𝐸𝐹𝐵= 75°，∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐵𝐹𝐷= 75°，
再计算出∠𝐴𝐶𝐵，即可求解∠𝐴𝐵𝐶．
【详解】解：∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐵𝐸𝐹，
∵𝐴𝐸= 𝐸𝐹，𝐵𝐸= 𝐵𝐸，
∴△𝐵𝐸𝐴≌△𝐵𝐸𝐹(SAS)，
∴∠𝐴= ∠𝐸𝐹𝐵= 75°，
∵𝐹𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐷𝐹= 90°，
又∵𝐸𝐹= 𝐹𝐷，𝐵𝐹= 𝐵𝐹，
∴△𝐵𝐸𝐹≌△𝐵𝐷𝐹(HL)，
∴∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐵𝐹𝐷= 75°，
∴∠𝐶𝐹𝐷= 180° −∠𝐸𝐹𝐵−∠𝐵𝐹𝐷= 180° −75° −75° = 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐶𝐹𝐷= 180° −90° −30° = 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐵= 180° −75° −60° = 45°．
7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷是高，𝐵𝐸是中线，𝐶𝐹是角平分线，𝐶𝐹交𝐴𝐷于点𝐺，交𝐵𝐸于点𝐻，
给出以下结论：①𝐵𝐹= 𝐴𝐹；②∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐴𝐺𝐹；③∠𝐹𝐴𝐺= 2∠𝐴𝐶𝐹；④𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐶𝐸；⑤𝐵𝐻= 𝐶𝐻；⑥𝐴𝐷⋅
𝐵𝐶= 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶，其中结论正确的有( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的
中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断
③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥．
【详解】解：∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，
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∴𝑆Δ𝐴𝐵𝐸= 𝑆Δ𝐵𝐶𝐸，
故④正确，符合题意；
∵𝐶𝐹是角平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐹，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐶𝐹+ ∠𝐶𝐺𝐷= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐹𝐺= 90°，
∴∠𝐶𝐺𝐷= ∠𝐴𝐹𝐺，
∵∠𝐶𝐺𝐷= ∠𝐴𝐺𝐹，
∴∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐴𝐹𝐺，
故②正确，符合题意；
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐹𝐴𝐺= ∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐹，
故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定∠𝐻𝐵𝐶= ∠𝐻𝐶𝐵，
∴𝐵𝐻与𝐶𝐻的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
∵𝐹不一定是𝐴𝐵的中点，无法证明𝐵𝐹= 𝐴𝐹，故①错误，不符合题意；
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷是高，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵× 𝐴𝐶=
1
2 𝐵𝐶× 𝐴𝐷
∴𝐴𝐷⋅𝐵𝐶= 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶，故⑥正确
综上，符合题意的有4 个，
故选：C
8．（25-26 八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边△𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐺= 𝐶𝐹，𝐴𝐺与𝐵𝐹交于点D，𝐴𝐸⊥𝐵𝐹于点
E，若𝐴𝐷= 9，则𝐷𝐸的长为（ ）
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A．
9
4
B．
9
2
C．3
D．
7
2
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，结合𝐵𝐺= 𝐶𝐹，可以证出△𝐴𝐵𝐺≌△𝐵𝐶𝐹，从而得到∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐵𝐹．利
用等量代换和外角的性质，求得∠𝐴𝐷𝐸= 60°．根据直角三角形的性质，得到𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐷，代入𝐴𝐷的值，求
出答案．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 60°，
在△𝐴𝐵𝐺和△𝐵𝐶𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐵𝐶𝐹
𝐵𝐺= 𝐶𝐹
∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐵𝐶𝐹(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐵𝐹，
∵∠𝐴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐷的一个外角，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐷𝐵𝐴+ ∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐵𝐴+ ∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= 90° −∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
∴在Rt △𝐴𝐸𝐷中，𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐷=
9
2．
9．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸，𝐹分别为𝐵𝐶，𝐴𝐷，𝐵𝐸上的中点，
已知△𝐴𝐵𝐶的面积为16，则阴影部分的面积为（ ）
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A．
16
5 cm2
B．6cm2
C．7cm2
D．8cm2
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形中线的性质，掌握“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”是
解题的关键．根据三角形中线的性质分别计算𝑆△𝐷𝐸𝐹、𝑆△𝐶𝐷𝐸，即得答案．
【详解】∵点𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝐴𝐷是三角形中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
又∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 16，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 16 = 8，
∵点𝐸是𝐴𝐷的中点，同理，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 8 = 4，𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 8 = 4，
∵点𝐹是𝐵𝐸的中点，
∴𝑆△𝐷𝐸𝐹=
1
2 𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 × 4 = 2，
∵阴影部分面积为𝑆△𝐷𝐸𝐹+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∴阴影部分面积= 2 + 4 = 6．
故选：B．
10．（25-26 八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷、𝐵𝐸分别是高线和角平分线，点𝐹在
𝐶𝐴的延长线上，𝐹𝐻⊥𝐵𝐸交𝐵𝐷于𝐺，交𝐵𝐶于𝐻，下列结论：①∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐹；②2∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐹+ ∠𝐶；③
∠𝐹=
1
2 (∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶)；④∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐶，正确的是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角
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相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键．
①根据𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐹𝐻⊥𝐵𝐸，以及∠𝐹𝐺𝐷= ∠𝐵𝐺𝐻即可推出∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐹；②根据角平分线的定义和三角
形外角的性质证明即可；③证明∠𝐴𝐵𝐷= 90° −∠𝐵𝐴𝐶，由①知：∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐹即可证明∠𝐹=
1
2 (∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶)；
④由同角的余角相等证明∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐵𝐸𝐷，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出∠𝐵𝐺𝐻=
∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐶，即可判断．
【详解】解：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐹+ ∠𝐹𝐺𝐷= 90°．
∵𝐹𝐻⊥𝐵𝐸，
∴∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐺𝐻= 90°．
∵∠𝐹𝐺𝐷= ∠𝐵𝐺𝐻，
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐹．故①符合题意；
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶．
∵∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐶，
∴2∠𝐵𝐸𝐹= 2(∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐶) = ∠𝐴𝐵𝐶+ 2∠𝐶．
∵∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶，
∴2∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐹+ ∠𝐶．故②符合题意；
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶=
1
2 (180° −∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶) = 90° −
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶−
1
2 ∠𝐶．
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 90° −∠𝐵𝐴𝐶．
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸−∠𝐴𝐵𝐷= (90° −
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶−
1
2 ∠𝐶) −(90° −∠𝐵𝐴𝐶) =
1
2 (∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶)．
由①知：∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐹，
∴∠𝐹=
1
2 (∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶)．故③符合题意；
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐹𝐻⊥𝐵𝐸，
∴∠𝐵𝐺𝐻+ ∠𝐷𝐵𝐸= 90°，∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐸= 90°．
∴∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐶．
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
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∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐶．故④符合题意；
综上可知，正确的有①②③④，共4 个，
故选：D．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．（2026·四川攀枝花·中考真题）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 6，∠𝐵= 30°，
则△𝐴𝐵𝐷的面积为_______．
【答案】
3
2
【分析】先根据中线定义求出𝐵𝐷长度，再过𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐷构造含30°角的直角三角形，利用30°直角三
角形性质求高𝐴𝐻，最后用三角形面积公式计算△𝐴𝐵𝐷面积。
【详解】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐵𝐶= 6，
∴𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐶= 3，
过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐷于𝐻，
∴∠𝐴𝐻𝐵= 90°，
∵∠𝐵= 30°，𝐴𝐵= 2，
∴𝐴𝐻=
1
2 𝐴𝐵= 1，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐻=
1
2 × 3 × 1 =
3
2 ．
12．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，D，E 分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶 的中点，点F 在𝐷𝐸 的延
长线上．若△𝐴𝐷𝐸 的面积是3，则△𝐵𝐶𝐹 的面积是_______．
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10 /
【答案】6
【分析】连接𝐶𝐷，利用三角形中线的性质先后求得𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐷𝐸= 6，𝑆△𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 6，再利用
三角形中位线的性质求得𝐷𝐸∥𝐵𝐶，即可得到△𝐵𝐶𝐹 的面积是6．
【详解】解：连接𝐶𝐷，
∵点E 是𝐴𝐶 的中点，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐷𝐸= 6，
∵点D 是𝐴𝐵的中点，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 6，
∵D，E 分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶 的中点，
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐹= 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 6，即△𝐵𝐶𝐹 的面积是6．
13．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形𝐴𝐵𝐶（∠𝐴≠∠𝐵）中，∠𝐴= 80°，则∠𝐵的度数为________．
【答案】20°或50°
【分析】本题分∠𝐴是顶角，∠𝐴是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件
∠𝐴≠∠𝐵，排除不符合条件的情况后求解．
【详解】已知等腰△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 80°，且∠𝐴≠∠𝐵．
若∠𝐴是顶角，则∠𝐵= ∠𝐶，所以∠𝐵=
1
2 (180° −80°) = 50°，符合∠𝐴≠∠𝐵；
若∠𝐴是底角，当∠𝐵是顶角时，∠𝐶= ∠𝐴= 80°，所以∠𝐵= 180° −80° −80° = 20°，符合∠𝐴≠∠𝐵；
当∠𝐶是顶角时，∠𝐵= ∠𝐴= 80°，与∠𝐴≠∠𝐵矛盾，故舍去．
综上，∠𝐵的度数为20°或50°．
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14．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，以点𝐵为圆心，适当长为
半径作弧，交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐵𝐶于点𝑁，分别以𝑀，𝑁为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径作弧，两弧在∠𝐴𝐵𝐶内部
交于点𝑃，作射线𝐵𝑃交𝐴𝐶于点𝐷．若𝐶𝐷= 2，𝐴𝐵= 7，则△𝐴𝐵𝐷的面积为___________．
【答案】7
【分析】过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，由题意可得𝐶𝐷= 𝐸𝐷= 2，然后进行求解即可．
【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交于点E，如图所示，
由题可知，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
又∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐶𝐷= 𝐸𝐷= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 × 7 × 2 = 7．
15．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6cm，𝐵𝐶= 10cm．动点P 从点A 出发沿𝐴→𝐶的路径向终点
C 运动；动点Q 从点B 出发沿𝐵→𝐶→𝐴的路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm和3cm的运动速
度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P 和点Q 分别作𝑃𝐸⊥𝑀𝑁于点
E，𝑄𝐹⊥𝑀𝑁于点F，则点P 的运动时间为______s 时，△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶全等．
【答案】2 或4
【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是
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解题的关键．
根据题意分为P在𝐴𝐶上，Q在𝐵𝐶上和当P、Q都在𝐴𝐶上两种情况，根据全等三角形的性质得出𝐶𝑃= 𝐶𝑄，
代入得出关于t 的方程，求出即可．
【详解】解：作𝑃𝐸⊥𝑀𝑁于E，作𝑄𝐹⊥𝑀𝑁于F．
分以下情况：①如图1，P 在𝐴𝐶上，Q 在𝐵𝐶上，
∵𝑃𝐸⊥𝑀𝑁, 𝑄𝐹⊥𝑀𝑁，
∴∠𝑃𝐸𝐶= ∠𝑄𝐹𝐶= 90°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐸𝑃𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐸= 90°, ∠𝑃𝐶𝐸+ ∠𝑄𝐶𝑃= 90°，
∴∠𝐸𝑃𝐶= ∠𝑄𝐶𝐹，
∵△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶全等，
∴𝑃𝐶= 𝐶𝑄，
即6 −𝑡= 10 −3𝑡,
𝑡= 2；
②当P、Q 都在𝐴𝐶上时，此时P，Q 两点重合，如图3，
𝐶𝑃= 6 −𝑡= 3𝑡−10，
𝑡= 4．
综上所述，点𝑃运动时间为2 或4，△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶全等，
故答案为：2 或4．
16．（25-26 八年级上·浙江·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是三角形外一点，连接𝐴𝐷、𝐶𝐷、𝐵𝐷，若𝐴𝐷平
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分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐷= 140∘，∠𝐴𝐶𝐵+ 2∠𝐵𝐶𝐷= 180∘，则∠𝐴𝐷𝐵的度数为______．
【答案】50∘
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180∘，三角形外角性质和角平分线的性质．通
过数形结合发现角与角之间的数量关系是解题的关键．如图，先计算出∠𝐵𝐶𝐷= 40∘，则∠𝐴𝐶𝐵= 100∘，
∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐹，再根据角平分线的性质得到点D 到𝐵𝐶和𝐴𝐵的距离相等，所以𝐵𝐷平分∠𝐶𝐵𝐸，即∠𝐸𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐶𝐵𝐸，接着利用三角形外角性质证明∠𝐴𝐷𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵.
【详解】解：如图，∵∠𝐴𝐶𝐵+ 2∠𝐵𝐶𝐷= 180∘，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180∘，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 180∘−140∘= 40∘，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 100∘，∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐹，
∴𝐷𝐶平分∠𝐵𝐶𝐹，
∴点D 到𝐶𝐵和𝐴𝐶的距离相等，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴点D 到𝐴𝐵和𝐴𝐶的距离相等，
∴点D 到𝐵𝐶和𝐴𝐵的距离相等，
∴𝐵𝐷平分∠𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐸𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐶𝐵𝐸，
∵∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐷=
1
2 (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶+
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵+
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵+
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶+
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 1
2 × 100∘= 50∘.
故答案为：50∘.
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三、解答题（共8 小题，共72 分）
17．（8 分）（25-26 八年级上·浙江金华·期中）如图，直线𝐴𝑀⊥𝐴𝑁，𝐴𝐵平分∠𝑀𝐴𝑁，过点𝐵作𝐵𝐶⊥𝐵𝐴交
𝐴𝑁于点𝐶；动点𝐸、𝐷同时从𝐴点出发，其中动点𝐸以2cm/s的速度沿射线𝐴𝑁方向运动，动点𝐷以1cm/s的速
度沿射线𝐴𝑀上运动；已知𝐴𝐶= 6cm，设动点𝐷，𝐸的运动时间为𝑡．
(1)试求∠𝐴𝐶𝐵的度数；
(2)若𝑆△𝐴𝐵𝐷: 𝑆△𝐵𝐸𝐶 = 2: 3，试求动点𝐷，𝐸的运动时间𝑡的值；
(3)试问当动点𝐷，𝐸在运动过程中，是否存在某个时间𝑡，使得△ 𝐴𝐷𝐵与△ 𝐵𝐸𝐶全等？若存在，请求出时间
𝑡的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)45°
(2)𝑡= 12
(3)存在，𝑡= 2
【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判
定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题．
（1）根据直线𝐴𝑀⊥𝐴𝑁，𝐴𝐵平分∠𝑀𝐴𝑁，得出∠𝐵𝐴𝐶= 45°，结合𝐵𝐶⊥𝐵𝐴即可得出∠𝐴𝐶𝐵的度数；
（2）作𝐵𝐹⊥𝐴𝑀，𝐵𝐺⊥𝐴𝐶，则𝐵𝐹= 𝐵𝐺，根据𝑆△𝐴𝐵𝐷：𝑆△𝐵𝐸𝐶= 2：3可得𝐴𝐷: 𝐶𝐸的值，分别用𝑡表示𝐴𝐷，
𝐶𝐸即可求得𝑡的值，即可解题；
（3）当𝐷点在𝐴点上方时，易得𝐴𝐷= 𝐶𝐸时，△𝐴𝐷𝐵≌△𝐵𝐸𝐶，分别用𝑡表示𝐴𝐷，𝐶𝐸即可求得𝑡的值；
【详解】（1）解：∵𝐴𝑀⊥𝐴𝑁，𝐴𝐵平分∠𝑀𝐴𝑁，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 45°，
∵𝐵𝐶⊥𝐵𝐴，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 45°；
（2）作𝐵𝐹⊥𝐴𝑀，𝐵𝐺⊥𝐴𝐶，
∵𝐴𝐵平分∠𝑀𝐴𝑁，则𝐵𝐹= 𝐵𝐺，
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15 /
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐷: 𝑆△𝐵𝐸𝐶 = 2: 3，
∴𝐴𝐷: 𝐶𝐸= 2: 3，
∵𝐴𝐷= 𝑡，𝐶𝐸= 6 −2𝑡，
∴3𝑡= 2(6 −2𝑡)，
解得：𝑡 =
12
7 s；
当𝐸点在𝐶点右侧时，𝐶𝐸= 2𝑡−6，
∴3𝑡= 2(2𝑡−6)，解得𝑡= 12．
（3）∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐵𝐶𝐴= 45°，
∴当𝐴𝐷= 𝐶𝐸时，△𝐴𝐷𝐵≌△𝐵𝐸𝐶(SAS)，
即6 −2𝑡= 𝑡，或2𝑡−6 = 𝑡，
解得：𝑡= 2或6(舍弃)，
答：𝑡= 2，△𝐴𝐷𝐵≌△𝐵𝐸𝐶．
18．（8 分）（25-26 八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐸为𝐶𝐷的中点，连
接𝐴𝐸、𝐵𝐸，延长𝐴𝐸交𝐵𝐶的延长线于点𝐹．
(1)求证：△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸；
(2)若𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷，求证：𝐵𝐸⊥𝐴𝐹；
(3)在（2）的条件下，若∠𝐷= 90°，𝐴𝐷= √11，𝐴𝐹= 14，求点𝐸到𝐴𝐵的距离．
【答案】(1)
证明：∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐶𝐹，
∵E 是𝐶𝐷的中点，
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∴𝐷𝐸= 𝐸𝐶，
∵在△𝐴𝐷𝐸与△𝐹𝐶𝐸中，
{
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐶𝐹
𝐷𝐸= 𝐸𝐶
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹
，
∴△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸(ASA)；
(2)
证明：由（1）知△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐹，𝐴𝐷= 𝐶𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐹，即𝐴𝐵= 𝐵𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸与△𝐹𝐵𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐵𝐹
𝐴𝐸= 𝐸𝐹
𝐵𝐸= 𝐵𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸(SSS)，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵= 90°，
∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐸；
(3)√38
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、勾股定理、
矩形的性质等知识．证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据𝐴𝐷∥𝐵𝐶可知∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐶𝐹，再根据E 是𝐶𝐷的中点，可证明△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸；
（2）由（1）知△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸，得到𝐴𝐸= 𝐸𝐹，𝐴𝐷= 𝐶𝐹，由于𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷，等量代换得到𝐴𝐵=
𝐵𝐶+ 𝐶𝐹，即𝐴𝐵= 𝐵𝐹，证得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸，即可得到结论；
（3）在（2）的条件下由△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸，得到∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐹𝐵𝐸，再证明∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸，得𝐴𝐸为∠𝐵𝐴𝐷
的平分线，由勾股定理求𝐷𝐸的长，根据角平分线性质定理即可得到结果．
【详解】（1）略
（2）略
（3）过点E 作𝐸𝑁⊥𝐴𝐵于N，如图所示：
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由（1）知△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐶𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐹=
1
2 𝐴𝐹=
1
2 × 14 = 7，
∵∠𝐷= 90°，
∴𝐸𝐷= √𝐴𝐸2 −𝐴𝐷2 = √72 −(√11)
2 = √38，
由（2）得：𝐴𝐵= 𝐹𝐵，
∴∠𝐵𝐹𝐴= ∠𝐵𝐴𝐹，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐹𝐴= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸，
即𝐴𝐸为∠𝐵𝐴𝐷的平分线，
∵∠𝐷= 90°，
∴𝐸𝐷⊥𝐴𝐷，
又∵𝐸𝑁⊥𝐴𝐵，
∴𝐸𝑁= 𝐸𝐷= √38，
即点E 到𝐴𝐵的距离为√38．
19．（8 分）（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，等边△𝐴𝐵𝐶，在𝐴𝐶, 𝐵𝐶边上各取一点，分别为𝑃, 𝑄，使
𝐴𝑃= 𝐶𝑄，连接𝐴𝑄, 𝐵𝑃相交于点𝑂．
(1)求∠𝐵𝑂𝑄的度数；
(2)连接𝑂𝐶，若𝑂𝐶⊥𝐵𝑃, 𝑂𝐵= 2，求𝑂𝐴的值．
【答案】(1)60°
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(2)１
【分析】（1）由∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐴𝐶𝑄= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，证明△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝐴𝑄(SAS)，得∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐴𝑄，由
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝑄+ ∠𝐶𝐴𝑄= 60°，即得∠𝐵𝐴𝑄+ ∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐵𝑂𝑄= 60°；
（2）延长𝑂𝑃到点D，使𝑂𝐷= 𝐴𝑂，连接𝐴𝐷，𝐶𝐷，可得△𝐴𝑂𝐷是等边三角形，证明△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐶𝐷(SAS),
得𝐶𝐷= 𝑂𝐵= 2，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵= 120°，得∠𝐶𝐷𝑂= 60°，得∠𝐷𝐶𝑂= 30°，即得𝑂𝐴= 𝑂𝐷=
1
2 𝐶𝐷= 1 ．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐴𝐶𝑄= ∠𝐴𝐵𝑄= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐶．
在△𝐴𝐵𝑃和△𝐶𝐴𝑄中，
{
𝐴𝐵= 𝐶𝐴
∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐴𝐶𝑄
𝐴𝑃= 𝐶𝑄
，
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝐴𝑄(SAS)，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐴𝑄，
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝑄+ ∠𝐶𝐴𝑄= 60°，
∴∠𝐵𝑂𝑄= ∠𝐵𝐴𝑄+ ∠𝐴𝐵𝑃= 60°；
（2）解：如解图，延长𝑂𝑃到点D，使𝑂𝐷= 𝐴𝑂，连接𝐴𝐷，𝐶𝐷，
∵∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝐵𝑂𝑄= 60°，
∴△𝐴𝑂𝐷是等边三角形，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝑂，∠𝑂𝐴𝐷= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝑂𝐴𝐷= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐶𝐴𝑄= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝑄= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝐷，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐶𝐷(SAS),
∴𝐶𝐷= 𝑂𝐵= 2，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵，
∵∠𝐴𝑂𝐵= 180° −∠𝐵𝑂𝑄= 120°，
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∴∠𝐴𝐷𝐶= 120°，
∴∠𝐶𝐷𝑂= ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐷𝑂= 60°，
∵𝑂𝐶⊥𝐵𝑃，
∴∠𝐶𝑂𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐶𝑂= 90° −∠𝐶𝐷𝑂= 30°，
∴𝑂𝐷=
1
2 𝐶𝐷= 1，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐷= 1．
【点睛】本题考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判
定和性质，含30 度的直角三角形性质，是解题的关键．
20．（8 分）如图1，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷；
(2)若𝑆△𝐴𝐵𝐶: 𝑆△𝐶𝐴𝐷= 3: 2，设𝐴𝐸: 𝐶𝐸= 𝑘，求𝑘的值；
(3)如图2，若𝐴𝐷= 𝐷𝐶，延长𝐷𝐸交𝐵𝐶于𝐹，设𝐸𝐹= 𝑚，𝐴𝐷= 𝑛，猜想𝑚，𝑛满足的关系式并证明．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)𝑚2 =
2−√2
2
𝑛2，证明见解析
【分析】（1）利用“角角边”证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐶𝐴𝐷，再由𝑆△𝐴𝐵𝐶: 𝑆△𝐶𝐴𝐷= 3: 2，可得𝐴𝐶: 𝐴𝐸= 3: 2，从而
得到𝐴𝐸: 𝐶𝐸= 2: 1，即可求解；
（3）根据△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷，可得𝐴𝐸= 𝐶𝐷= 𝑛，证明△𝐴𝐷𝐶为等腰直角三角形，可
𝐶𝐸= (√2 −1)𝑛，∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐴𝐸𝐷= 67.5°，再由△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，以及𝐴𝐵= 𝐴𝐶，可得𝐸𝐹= 𝐶𝐹，
𝐵𝐹= 𝐸𝐹，从而得到𝐵𝐶= 2𝐸𝐹= 2𝑚，在Rt △𝐵𝐶𝐸中，𝐵𝐸2 + 𝐶𝐸2 = 𝐵𝐶2利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
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∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐸= 90° = ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐷中，
∵∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷(AAS)；
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐶𝐴𝐷，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶: 𝑆△𝐶𝐴𝐷= 3: 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶: 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 3: 2，
∴𝐴𝐶: 𝐴𝐸= 3: 2，
∴𝐴𝐸: 𝐶𝐸= 2: 1，
∵𝐴𝐸: 𝐶𝐸= 𝑘，
∴𝑘= 2；
（3）解：𝑚2 =
2−√2
2
𝑛2，证明如下：
∵△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐷= 𝑛，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸，
∵𝐴𝐷= 𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐷𝐶为等腰直角三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷= 45°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= √𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = √2𝑛，
∴𝐶𝐸= (√2 −1)𝑛，∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐴𝐸𝐷=
1
2 (180° −∠𝐶𝐴𝐷) = 67.5°，
∵∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐸= 𝑛，∠𝐵𝐴𝐸= 45°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵=
1
2 (180° −∠𝐵𝐴𝐶) = 67.5°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹，∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐸= 22.5°，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐸𝐶−∠𝐶𝐸𝐹= 22.5°，
∴𝐸𝐹= 𝐶𝐹，∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐵𝐸𝐹，
∴𝐵𝐹= 𝐸𝐹，
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∴𝐵𝐶= 2𝐸𝐹= 2𝑚，
在Rt △𝐵𝐶𝐸中，𝐵𝐸2 + 𝐶𝐸2 = 𝐵𝐶2，
∴𝑛2 + [(√2 −1)𝑛]
2 = (2𝑚)2，
∴𝑚2 =
2−√2
2
𝑛2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练
掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
21．
（8分）问题背景：
“半角模型”问题．如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 120°，∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
点E，F 分别是𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 60°，连接𝐸𝐹，探究线段𝐵𝐸，𝐸𝐹，𝐷𝐹之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长𝐹𝐷到点G．使𝐷𝐺= 𝐵𝐸．连结𝐴𝐺，先证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，再证明△
𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，E、F 分别是边𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，且
∠𝐸𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，E、F 分别是边𝐵𝐶，𝐶𝐷延长线
上的点，且∠𝐸𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷，请探究线段𝐵𝐸，𝐸𝐹，𝐷𝐹具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】(1)𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷
(2)
解：（1）中的结论𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷仍然成立．
理由是：如图2，延长𝐸𝐵到𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺．
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐷= 180°，∠𝐴𝐵𝐺+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
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∴∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐷，
∵在△𝐴𝐵𝐺与△𝐴𝐷𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐷
𝐵𝐺= 𝐷𝐹
，
∴ △𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐹，∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 =
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐹．
∴∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹．
又𝐴𝐸= 𝐴𝐸，
∴ △𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹，
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐹．
∵𝐸𝐺= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐺．
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，
(3)
解：结论：𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐹𝐷．
证明：如图③中，在𝐵𝐸上截取𝐵𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺．
∵∠𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐹．
在△𝐴𝐵𝐺与△𝐴𝐷𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐴𝐷𝐹
𝐵𝐺= 𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)．
∴∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐹，𝐴𝐺= 𝐴𝐹．
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∴∠𝐵𝐴𝐺+ ∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐹+ ∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷．
∴∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹．
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐹，
∵𝐸𝐺= 𝐵𝐸−𝐵𝐺，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐹𝐷．
【分析】（1）延长𝐹𝐷到点G．使𝐷𝐺= 𝐵𝐸．连接𝐴𝐺，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）延长𝐸𝐵到𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺．证明△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹，由全等三角形的性质得出𝐴𝐺= 𝐴𝐹，
∠1 = ∠2，再得到△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹，再利用全等三角形的性质则可得出结论；
（3）在𝐵𝐸上截取𝐵𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺．证明△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹．由全等三角形的性质得出∠𝐵𝐴𝐺=
∠𝐷𝐴𝐹，𝐴𝐺= 𝐴𝐹．证明△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹，由全等三角形的性质得出结论．
【详解】（1）解：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷．
延长𝐹𝐷到点G．使𝐷𝐺= 𝐵𝐸．连接𝐴𝐺，
∵∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐺= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺(SAS)．
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐺，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐺．
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐺+ ∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹= 60°．
∴∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹= 60°．
又∵𝐴𝐹= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐺𝐹≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)．
∴𝐹𝐺= 𝐸𝐹．
∵𝐹𝐺= 𝐷𝐹+ 𝐷𝐺．
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷．
故答案为：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷；
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（2）略
（3）略
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，
构造全等三角形解决问题．
22．（10 分）（25-26 八年级上·浙江舟山·期中）如图1，已知线段𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，连接𝐴𝐶、𝐵𝐷，
则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷；
(2)如图2，若∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐵𝐷𝐶的平分线𝐴𝑃和𝐷𝑃相交于点𝑃，与𝐶𝐷、𝐴𝐵分别相交于点𝑀、𝑁．
①以线段𝐴𝐶为边的“8字型”有______个，以点𝑂为交点的“8字型”有______个；
②若∠𝐵= 100°，∠𝐶= 120°，求∠𝑃的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠𝐶𝐴𝐵= 3∠𝐶𝐴𝑃，∠𝐶𝐷𝐵= 3∠𝐶𝐷𝑃”，试探究∠𝑃与∠𝐵、∠𝐶之间存在的数
量关系，并证明理由．
【答案】(1)
证明：△𝐴𝑂𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐶= 180° −∠𝐴𝑂𝐶，△𝐵𝑂𝐷中，∠𝐵+ ∠𝐷= 180° −∠𝐵𝑂𝐷，
∵∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
∴∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷；① 3，4；② ∠𝑃= 110°；③ 3∠𝑃= ∠𝐵+ 2∠𝐶，理由见解析．
(2)
解：①以线段𝐴𝐶为边的“8字型”有：△𝐴𝐶𝑀和△𝑃𝐷𝑀，△𝐴𝐶𝑂和△𝐵𝑂𝐷，△𝐴𝐶𝑂和△𝐷𝑁𝑂，共3个；
以点𝑂为交点的“8字型”有：△𝐴𝐶𝑂和△𝐵𝐷𝑂，△𝐴𝐶𝑂和△𝐷𝑁𝑂，△𝐴𝑀𝑂和△𝐵𝐷𝑂，△𝐴𝑀𝑂和△𝐷𝑁𝑂，
共4个；
故答案为：3，4；
② △𝐴𝑀𝐶和△𝐷𝑀𝑃中，∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐷𝑀，△𝐵𝐷𝑁和△𝑃𝐴𝑁中，∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑁= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝑁，
∴∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑀+ ∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑁= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐷𝑀+ ∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝑁，
∵𝑃𝐴平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑃𝐷平分∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝑃𝐴𝑁，∠𝐵𝐷𝑁= ∠𝑃𝐷𝑀，
∴∠𝐶+ ∠𝐵= 2∠𝑃，
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初中
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∴120° + 100° = 2∠𝑃，
∴∠𝑃= 110°；
③ 3∠𝑃= ∠𝐵+ 2∠𝐶，理由如下：
∵∠𝐶𝐴𝐵= 3∠𝐶𝐴𝑃，∠𝐶𝐷𝐵= 3∠𝐶𝐷𝑃，
∴∠𝐶𝐴𝑀=
1
3 ∠𝐶𝐴𝐵，∠𝑃𝐴𝑁=
2
3 ∠𝐶𝐴𝐵，∠𝐵𝐷𝑁=
2
3 ∠𝐵𝐷𝐶，∠𝑃𝐷𝑀=
1
3 ∠𝐵𝐷𝐶，
在△𝐴𝑀𝐶和△𝐷𝑀𝑃中，∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐷𝑀，∠𝐶−∠𝑃= ∠𝑃𝐷𝑀−∠𝐶𝐴𝑀=
1
3 ∠𝐵𝐷𝐶−
1
3 ∠𝐶𝐴𝐵，
∴3(∠𝐶−∠𝑃) = ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐶𝐴𝐵，
在△𝐵𝐷𝑁和△𝑃𝐴𝑁中，∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑁= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝑁，∠𝑃−∠𝐵= ∠𝐵𝐷𝑁−∠𝑃𝐴𝑁=
2
3 ∠𝐵𝐷𝐶−
2
3 ∠𝐶𝐴𝐵，
∴
3
2 (∠𝑃−∠𝐵) = ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐶𝐴𝐵，
∴3(∠𝐶−∠𝑃) =
3
2 (∠𝑃−∠𝐵)，
∴2∠𝐶−2∠𝑃= ∠𝑃−∠𝐵，
∴3∠𝑃= ∠𝐵+ 2∠𝐶．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用
是解题的关键．
（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据“8字型”的定义判断即可；
②由（1）结论可得△𝐴𝑀𝐶和△𝐷𝑀𝑃中，∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐷𝑀，△𝐵𝐷𝑁和△𝑃𝐴𝑁中，∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑁=
∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝑁，两式相加再由角平分线的定义即可解答；
③根据∠𝐶𝐴𝐵= 3∠𝐶𝐴𝑃，∠𝐶𝐷𝐵= 3∠𝐶𝐷𝑃，得∠𝐶𝐴𝑀=
1
3 ∠𝐶𝐴𝐵，∠𝑃𝐴𝑁=
2
3 ∠𝐶𝐴𝐵，∠𝐵𝐷𝑁=
2
3 ∠𝐵𝐷𝐶，
∠𝑃𝐷𝑀=
1
3 ∠𝐵𝐷𝐶，然后可得3(∠𝐶−∠𝑃) = ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐶𝐴𝐵，
3
2 (∠𝑃−∠𝐵) = ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐶𝐴𝐵，最后进行等量
代换即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
23．（10 分）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手
全等模型”．例如，如图①，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸都是等腰三角形，其中∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，则△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)．
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26 /
(1)如图②，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸都是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，且∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，求证：𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
(2)如图③若△𝐴𝐶𝐵和△𝐷𝐶𝐸均为等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，点A，D，E 在同一条直线上，𝐶𝑀
为△𝐷𝐶𝐸中𝐷𝐸上的高，连接𝐵𝐸，求∠𝐴𝐸𝐵的度数以及线段𝐶𝑀，𝐴𝐸，𝐵𝐸之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图④，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 3，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 45°，求𝐵𝐷的长．
【答案】(1)
证明：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴ △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
(2)
∠𝐴𝐸𝐵= 90°，𝐴𝐸= 𝐵𝐸+ 2𝐶𝑀；理由如下：
设𝐴𝐸交𝐵𝐶于𝐾，如图：
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷，即∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∴ △𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，
∵∠𝐴𝐾𝐶= ∠𝐵𝐾𝐸，∠𝐵𝐸𝐾+ ∠𝐵𝐾𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐾+ ∠𝐶𝐾𝐴+ ∠𝐶𝐴𝐷= 180°，
∴∠𝐵𝐸𝐾= ∠𝐴𝐶𝐾= 90°，
即∠𝐴𝐸𝐵= 90°；
∵𝐶𝑀为等腰直角△𝐷𝐶𝐸中𝐷𝐸边上的高，
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∴𝐷𝐸= 2𝐶𝑀，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸+ 2𝐶𝑀；
(3)√41
【分析】（1）证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，即得𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
（2）设𝐴𝐸交𝐵𝐶于𝐾，证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，可得𝐴𝐷= 𝐵𝐸，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，即可得∠𝐵𝐸𝐾=
∠𝐴𝐶𝐾= 90°，即∠𝐴𝐸𝐵= 90°；而𝐷𝐸= 2𝐶𝑀，故𝐴𝐸= 𝐵𝐸+ 2𝐶𝑀；
（3）作𝐴𝐸⊥𝐴𝐷，且𝐴𝐸= 𝐴𝐷= 4，连接𝐷𝐸，𝐶𝐸，证明△𝐷𝐴𝐵≌△𝐸𝐴𝐶(SAS)，可得𝐵𝐷= 𝐶𝐸，而𝐶𝐸2 =
𝐷𝐶2 + 𝐷𝐸2 = 32 + (4√2)2 = 41，故𝐵𝐷= 𝐶𝐸= √41．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：作𝐴𝐸⊥𝐴𝐷，且𝐴𝐸= 𝐴𝐷= 4，连接𝐷𝐸，𝐶𝐸，如图，
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 45°，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐶，
即∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴ △𝐷𝐴𝐵≌△𝐸𝐴𝐶(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐷= 4，
∴∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐷𝐸𝐴= 45°，
在Rt △𝐸𝐴𝐷中，∵𝐷𝐸2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐸2，
∴𝐷𝐸= 4√2，
∵∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐸𝐷𝐴= 90°，
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∴𝐶𝐸2 = 𝐷𝐶2 + 𝐷𝐸2 = 32 + (4√2)2 = 41，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸= √41．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及勾股定理及应用，解题的关键是利用“手拉手全等
模型”作辅助线，构造全等三角形．
24．（12 分）综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1），△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，点D 在𝐵𝐶的延长线上，在𝐵𝐷的同侧以𝐶𝐷为边构造等边三角形𝐶𝐷𝐸，
连接𝐵𝐸，𝐴𝐷交于点F．
求证：𝐵𝐸= 𝐴𝐷，并直接写出∠𝐴𝐹𝐵的度数．
【应用模型】
（2）①如图（2），在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐴𝐷= 𝐴𝐶，点E 在𝐴𝐷的延长线上，且𝐴𝐵= 𝐴𝐸，连接𝐵𝐸，
𝐶𝐸，求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐸．
②如图（3），△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等腰三角形，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，点C 恰好在𝐸𝐷延长线上，连接𝐵𝐷，
若𝐴𝐵= 4，𝐴𝐸= 2，求△𝐵𝐷𝐶的面积．
【答案】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶,△𝐶𝐷𝐸都是等边三角形，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐶, 𝐶𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸，即∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐷
∵△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
∵∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= 60°；
（2）①证明：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
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∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐴𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶，
∵∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐵，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐸，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸；
②6
【分析】（1）根据△𝐴𝐵𝐶,△𝐶𝐷𝐸都是等边三角形，得出𝐵𝐶= 𝐴𝐶, 𝐶𝐷= 𝐶𝐸，由∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
证明∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，易证△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(SAS)，即可得出结论；再通过三角形外角的性质结合全等三角
形的性质即可求出∠𝐴𝐹𝐵的度数；
（2）①根据角平分线的定义得到∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，再结合𝐴𝐷= 𝐴𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶(SAS)，
得到𝐵𝐷= 𝐶𝐸，再证明∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶，推出∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐵，得到𝐵𝐷= 𝐵𝐸，即可得出结论；②
先证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)，推出𝐵𝐷= 𝐶𝐸, ∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐸= 45°，求出∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵𝐷𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，利
用勾股定理求出𝐵𝐶= 4√2, 𝐷𝐸= 2√2，设𝐶𝐷= 𝑥，则𝐵𝐷= 𝐶𝐸= 2√2 + 𝑥，在Rt △𝐵𝐶𝐷中，求出𝑥2 + 2√2𝑥=
12，再根据△𝐵𝐷𝐶的面积为
1
2 𝐵𝐷· 𝐶𝐷=
1
2 𝑥(2√2 + 𝑥) =
1
2 (𝑥2 + 2√2𝑥)即可解答．
【详解】（1）略
（2）①略
②解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等腰三角形，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝐷= 𝐴𝐸, ∠𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸, ∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐸= 45°；
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵𝐷𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∵𝐴𝐵= 4，𝐴𝐸= 2，
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∴𝐴𝐶= 4, 𝐴𝐷= 2，
∴𝐵𝐶= √𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 4√2, 𝐷𝐸= √𝐴𝐷2 + 𝐴𝐸2 = 2√2，
∵点C 恰好在𝐸𝐷延长线上，
∴𝐷𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
设𝐶𝐷= 𝑥，则𝐵𝐷= 𝐶𝐸= 2√2 + 𝑥，
在Rt △𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶2 = 𝐵𝐷2 + 𝐶𝐷2，
∴(4√2)
2 = (2√2 + 𝑥)
2 + 𝑥2，即𝑥2 + 2√2𝑥= 12，
∴△𝐵𝐷𝐶的面积为
1
2 𝐵𝐷· 𝐶𝐷=
1
2 𝑥(2√2 + 𝑥) =
1
2 (𝑥2 + 2√2𝑥) = 6．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，
证明三角形全等时解题的关键．
