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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第一章 三角形·基础通关
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．C
2．B
3．C
4．B
5．D
6．A
7．C
8．D
9．B
10．C
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．两角是同位角．
12．两个角是相等的角的余角 这两个角相等
13．
10
3
14．1
15．𝐴𝐵= 𝐷𝐸（答案不唯一，如∠𝐴= ∠𝐷或∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹等）．
16．】
100
3 /33
1
3
三、解答题（共8 小题，共72 分）
17．（8 分）
【详解】（1）解：∵ |𝑎−2| + |𝑏−3| = 0，
∴ 𝑎= 2，𝑏= 3，
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则𝑎+ 𝑏= 5；
根据三角形三边关系，𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑎+ 𝑏−𝑐> 0，
则|𝑎+ 𝑏−𝑐| = 𝑎+ 𝑏−𝑐= 5 −𝑐；
∵ 𝑏−𝑐−𝑎= 𝑏−(𝑐+ 𝑎)且𝑎+ 𝑐> 𝑏，
∴ 𝑏−(𝑎+ 𝑐) < 0，
∴ |𝑏−𝑐−𝑎| = −(𝑏−𝑐−𝑎) = −𝑏+ 𝑐+ 𝑎= 𝑐−1．
答：5，5 −𝑐，𝑐−1．
6 分
（2）解：∵ |𝑎−𝑏| + |𝑏−𝑐| = 0，且|𝑎−𝑏| ≥0，|𝑏−𝑐| ≥0，
可得{𝑎−𝑏= 0
𝑏−𝑐= 0
，
解得{𝑎= 𝑏
𝑏= 𝑐
，
∴ 𝑎= 𝑏= 𝑐，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．
答：△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．
8 分
18．（8 分）
【答案】(1)
如图，𝐴𝐷即为所求；
2 分
(2)
如图，𝐵𝐸即为所求；
4 分
(3)（3）𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=
1
2 × 3 × 4 = 6，
∵𝐵𝐸为中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3．
8 分
19．（8 分）
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【详解】（1）解：△𝐴𝐵𝐷的周长= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，△𝐴𝐶𝐷的周长= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷，
∵𝐴𝐷是中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差：(𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷) −(𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷) = 𝐴𝐵−𝐴𝐶= 4cm
2 分
（2）解：由图可知：△𝐵𝐷𝐸的周长= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸，四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 𝐷𝐶+ 𝐷𝐸，
①当△𝐵𝐷𝐸的周长-四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长= 2cm时，
∵𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∴(𝐵𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸) −(𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 𝐷𝐶+ 𝐷𝐸) = 2，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 2，
又∵𝐴𝐵= 10cm，𝐴𝐶= 6cm，𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸，
∴𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 2 = 𝐴𝐵−𝐴𝐸，
∴10 −𝐴𝐸= 𝐴𝐸+ 6 + 2
∴𝐴𝐸= 1cm；
5 分
②四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长− △𝐵𝐷𝐸的周长= 2cm时，
∵𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∴(𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 𝐷𝐶+ 𝐷𝐸) −(𝐵𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸) = 2，
∴𝐴𝐸+ 𝐴𝐶= 𝐵𝐸+ 2，
又∵𝐴𝐵= 10cm，𝐴𝐶= 6cm，𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸，
∴𝐴𝐸+ 𝐴𝐶= 𝐴𝐵−𝐴𝐸+ 2，
∴𝐴𝐸+ 6 = 10 −𝐴𝐸+ 2
∴𝐴𝐸= 3cm；
综上，线段𝐴𝐸的长为1cm或3cm．
8 分
20．（8 分）
【详解】（1）解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −40° −80° = 60°；
3 分
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（2）解：∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 60° = 30°，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，即∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐷是直角三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐵= 90° −40° = 50°，
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐸= 50° −30° = 20°．
8 分
21．（8 分）
【答案】证明：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐵𝐷中，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵，𝐴𝐵= 𝐴𝐵，
4 分
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷(SAS)，
6 分
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷．
8 分
22．（10 分）
【详解】（1）解：如图所示；
2 分
（2）解：连接𝐴𝐸，
△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
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∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −30° −45° = 105°，
∵𝐷𝐸为𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐸𝐵𝐴= 30°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐸= 105° −30° = 75°；
6 分
（3）解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷，𝐵𝐸= 𝐴𝐸，
∵△𝐴𝐸𝐶的周长为𝑛，
∴𝐴𝐶+ 𝐴𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐴𝐶+ 𝐸𝐶+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 𝑛，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为𝑚，
∴𝐴𝐶+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 𝑚，
即𝑛+ 2𝐴𝐷= 𝑚，
∴𝐴𝐷=
1
2 (𝑚−𝑛)．
10 分
23．（10 分）
【详解】（1）解：∵𝐸是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐹𝐶𝐸中，
{
𝐸𝐹= 𝐴𝐸
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹𝐸𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐶𝐸(SAS)．
故选：B；
2 分
（2）解：如图，延长𝐴𝐷至点𝐸，使得𝐴𝐷= 𝐸𝐷，连接𝐵𝐸，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
在△𝐴𝐷𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
{
𝐴𝐷= 𝐸𝐷
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶
𝐷𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(SAS)，
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∴𝐴𝐶= 𝐵𝐸，
∵𝐴𝐷= 𝑥，
∴𝐴𝐸= 2𝑥，
∵𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 9，
∴𝐵𝐸−𝐴𝐵< 𝐴𝐸< 𝐵𝐸+ 𝐴𝐵，
∴9 −5 < 2𝑥< 9 + 5，
∴4 < 2𝑥< 14，
∴2 < 𝑥< 7，
故答案为：2 < 𝑥< 7；
6 分
（3）证明，如图，延长𝐴𝐸至点𝐻，使得𝐸𝐻= 𝐴𝐸，连接𝐶𝐻，
∵点𝐸是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐻𝐶𝐸中，
{
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶𝐸𝐻
𝐴𝐸= 𝐸𝐻
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐻𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐻，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐻，
∵𝐷𝐸∥𝐺𝐹，
∴∠𝐶𝐺𝐹= ∠𝐷，∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐴𝐺𝐹，
∵𝐹𝐺平分∠𝐵𝐺𝐶，
∴∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐶𝐺𝐹，
∴∠𝐷= ∠𝐷𝐴𝐺，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐺，
∴∠𝐻= ∠𝐷，
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∴𝐶𝐷= 𝐶𝐻，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷．
10 分
24．（12 分）
【详解】[模型呈现]解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐸．
故答案为：𝐷𝐸．
2 分
[模型应用]解：如图2 中，
由“𝐾字”模型可知，△𝐸𝑃𝐴≌△𝐴𝐺𝐵，△𝐵𝐺𝐶≌△𝐶𝐻𝐷，
∴𝐸𝑃= 𝐴𝐺= 6，𝑃𝐴= 𝐵𝐺= 3，𝐵𝐺= 𝐶𝐻= 3，𝐺𝐶= 𝐷𝐻= 4，
∴𝑃𝐻= 𝑃𝐴+ 𝐴𝐺+ 𝐺𝐶+ 𝐶𝐻= 3 + 6 + 4 + 3 = 16，
∴图中实线所围成的图形的面积=梯形𝐸𝑃𝐻𝐷的面积−△𝐸𝑃𝐸的面积−△𝐴𝐵𝐺的面积−△𝐵𝐺𝐶的面积
−△𝐶𝐻𝐷的面积
= 1
2 × (6 + 4) × 16 −2 × 1
2 × 3 × 6 −2 × 1
2 × 3 × 4
= 50．
故答案为：50．
6 分
[深入探究]证明：如图3，过𝐷作𝐷𝑀⊥𝐴𝐹于𝑀，过𝐸作𝐸𝑁⊥𝐴𝐹于𝑁，
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由“𝐾字”模型得：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐴𝑀(AAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐷𝑀，
同理：𝐴𝐹= 𝐸𝑁，
∴𝐸𝑁= 𝐷𝑀，
∵𝐷𝑀⊥𝐴𝐹，𝐸𝑁⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐺𝑀𝐷= ∠𝐺𝑁𝐸= 90°，
在△𝐷𝑀𝐺与△𝐸𝑁𝐺中
{
∠𝐷𝐺𝑀= ∠𝐸𝐺𝑁
∠𝐷𝑀𝐺= ∠𝐸𝑁𝐺,
𝐷𝑀= 𝐸𝑁
∴△𝐷𝑀𝐺≌△𝐸𝑁𝐺(AAS)，
∴𝐷𝐺= 𝐸𝐺，
即点𝐺是𝐷𝐸的中点．
12 分
