文档文本内容
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
1 / 20
2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第一章 三角形·能力提升
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 2∠𝐵，∠𝐶= 30°，则△𝐴𝐵𝐶是（ ）三角形
A．直角
B．锐角
C．钝角
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用．利用三角形内角和定理，结合已知条件求出各角大小，
再判断三角形类型．
【详解】解：设∠𝐵= 𝑥，则∠𝐴= 2𝑥．
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，∠𝐶= 30°，
∴2𝑥+ 𝑥+ 30 = 180，
∴3𝑥= 150，
∴𝑥= 50，
∴∠𝐴= 100°，∠𝐵= 50°，∠𝐶= 30°．
∵∠𝐴= 100° > 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形．
故选：C．
2．（25-26 八年级上·浙江金华·期中）已知三角形三条边的长分别为1、4、𝑥，则𝑥的值可能是（）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据此
关系列出不等式，求出𝑥的取值范围．
【详解】解：∵三角形的三边长为1、4、𝑥，
∴由三边关系得：4 −1 < 𝑥< 4 + 1
∴3 < 𝑥< 5．
选项中，只有4满足条件．
故选：C．
3．（25-26 八年级下·宁夏银川·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，M，N 分别是边𝐴𝐵，𝐵𝐶上的点，将△𝐵𝑀𝑁沿
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
2 / 20
𝑀𝑁折叠；使点B 落在点𝐵′处，若∠𝐵= 35°，∠𝐵𝑁𝑀= 28°，则∠𝐴𝑀𝐵′的度数为（ ）
A．63°
B．54°
C．42°
D．37°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠𝐵𝑀𝑁的度数，再根据折叠的性质得出∠𝐵′𝑀𝑁= ∠𝐵𝑀𝑁，最后利
用平角的定义及角的和差关系计算即可．
【详解】解：∵∠𝐵= 35°，∠𝐵𝑁𝑀= 28°，
∴∠𝐵𝑀𝑁= 180° −∠𝐵−∠𝐵𝑁𝑀= 180° −35° −28° = 117°，
∵△𝐵𝑀𝑁沿𝑀𝑁折叠，点B 落在点𝐵′处，
∴∠𝐵′𝑀𝑁= ∠𝐵𝑀𝑁= 117°，
∵点A，M，B 在同一直线上，
∴∠𝐴𝑀𝐵′ = ∠𝐵′𝑀𝑁+ ∠𝐵𝑀𝑁−180° = 117° + 117° −180° = 54°．
4．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．在同一平面内两条直线不平行就相交
B．邻补角的角平分线互相垂直
C．过直线l 外一点P，作直线𝑎∥𝑙
D．𝑎∥𝑏，a 与c 相交，则b 与c 也相交
【答案】C
【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键．
根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可．
【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假，
选项A、B、D 均为陈述句，可判断真假，是命题；
选项C 为操作指令，不是陈述句，不是命题，
故选：C．
5．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
3 / 20
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查的是全等形的识别，观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等形”
即可得到答案．
【详解】解：属于全等形的是D 选项，其他选项的两个图形大小不一致，不符合题意，
故选：D．
6．（25-26 八年级下·广东梅州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐶𝐵，D 为𝐴𝐵延长线上一
点，点E 在𝐵𝐶边上且𝐵𝐸= 𝐵𝐷，连结𝐴𝐸、𝐷𝐶．若∠𝐶𝐴𝐸= 25°，则∠𝐷的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
【答案】B
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得出∠𝐴𝐶𝐵= 45°，再利用SAS 证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷，得出
∠𝐷= ∠𝐴𝐸𝐵，最后利用三角形外角的性质求出∠𝐴𝐸𝐵即可得出答案．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐶= 45°，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷= 90°，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐵𝐷中，
{
𝐴𝐵= 𝐶𝐵
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷
𝐵𝐸= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐸𝐵，
∵∠𝐴𝐸𝐵是△𝐴𝐸𝐶的外角，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 25° + 45° = 70°，
则∠𝐷= 70°．
𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 7 + 13 = 20．
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
4 / 20
7．（25-26 八年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 7，直线𝐷𝐸垂直平分𝐵𝐶，
垂足为E，交𝐴𝐶于点D，则△𝐴𝐵𝐷的周长是（ ）
A．10
B．12
C．13
D．14
【答案】B
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到𝐵𝐷= 𝐶𝐷，进而推出△𝐴𝐵𝐷的周长为𝐴𝐵+ 𝐴𝐶
的长，即可得出结果．
【详解】解：∵直线𝐷𝐸垂直平分𝐵𝐶，垂足为E，交𝐴𝐶于点D，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷的周长= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 5 + 7 = 12；
故选：B．
8．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，以点𝐴为圆心，小于𝐴𝐶长为半径
画弧分别交𝐴𝐶、𝐴𝐵于点𝑃、𝑄，又分别以𝑃、𝑄为圆心，大于
1
2 𝑃𝑄为半径画弧交于点𝑀，连接𝐴𝑀交𝐵𝐶于点D．已
知𝐴𝐵= 5，𝐶𝐷= 2，则△𝐴𝐵𝐷的面积是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据作图痕迹可知𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，利用角平分线的性质可得点𝐷到𝐴𝐵的距离等于𝐶𝐷的
长，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由作图痕迹可知，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，
过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
5 / 20
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，即𝐷𝐶⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 × 5 × 2 = 5．
9．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于
1
2 𝐴𝐵的长为半径
画弧，两弧交于点D，点E，作直线𝐷𝐸 交𝐵𝐶于点F，连接𝐴𝐹，若∠𝐵= 50°，∠𝐶= 60°，则∠𝐶𝐴𝐹的度数为
（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【答案】B
【分析】根据作图过程可知直线𝐷𝐸 是线段𝐴𝐵 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得𝐹𝐴=
𝐹𝐵 ，进而得到∠𝐹𝐴𝐵= ∠𝐵 ，再根据三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶的度数，最后利用∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐹𝐴𝐵
求解即可．
【详解】由作图可知，直线𝐷𝐸 是线段𝐴𝐵 的垂直平分线，
∴𝐹𝐴= 𝐹𝐵 ，
∴∠𝐹𝐴𝐵= ∠𝐵 ，
∵∠𝐵= 50°，
∴∠𝐹𝐴𝐵= 50°，
∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 50°，∠𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −50° −60° = 70°，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐹𝐴𝐵= 70° −50° = 20°．
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
6 / 20
10．如图，𝐴𝐵= 𝐷𝐵，∠1 = ∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸的是（）
A．𝐴𝐶= 𝐷𝐸
B．𝐵𝐶= 𝐵𝐸
C．∠𝐴= ∠𝐷
D．∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有
SSS、SAS、ASA(AAS)、HL．注意：SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参
与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
本题要判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，已知𝐴𝐵= 𝐷𝐵，∠1 = ∠2，得∠𝐴𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸，具备了一组边一对角对应相
等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐷𝐵，∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠𝐴𝐵𝐸= ∠2 + ∠𝐴𝐵𝐸，
即∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸，
A、添加𝐴𝐶= 𝐷𝐸，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，
该选项符合题意；
B、添加𝐵𝐶= 𝐵𝐸，根据SAS，故能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，该选项不符合题意；
C、添加∠𝐴= ∠𝐷，根据ASA，故能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，该选项不符合题意；
D、添加∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵，根据AAS，故能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，该选项不符合题意．
故选：A．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．（25-26 八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段𝐴𝐷，𝐶𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶中边𝐵𝐶，𝐴𝐵上的高．若𝐴𝐷= 5，
𝐶𝐸= 4，𝐴𝐵= 6，则𝐵𝐶的长是_______．
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
7 / 20
【答案】4.8
【分析】本题考查了三角形的高线的定义，根据三角形的面积求解是解题的关键；根据题意，利用等
面积法即可求解．
【详解】解：∵线段𝐴𝐷，𝐶𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶，𝐴𝐵上的高，𝐴𝐷= 5，𝐶𝐸= 4，𝐴𝐵= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐴𝐷⋅𝐵𝐶= 1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐸
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵⋅𝐶𝐸
𝐴𝐷
= 6 × 4
5
= 24
5 = 4.8
故答案为：4.8．
12．（25-26 八年级上·安徽安庆·期中）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于点F．若
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 30，𝐵𝐶= 10，则𝐸𝐹长为________．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三
角形的面积公式是解题的关键．
由𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷，推出𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐶=
1
2 × 10 = 5
∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
4 × 30 =
15
2 ，
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
8 / 20
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 𝐵𝐷⋅𝐸𝐹，
∴
1
2 𝐵𝐷⋅𝐸𝐹=
15
2 ，
即
1
2 × 5 × 𝐸𝐹=
15
2 ，
解得：𝐸𝐹= 3，
故答案为：3．
13．如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于E，若∠𝐵= 40°，∠𝐶= 70°，则∠𝐷𝐴𝐸的度数为______度．
【答案】15
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线与高．
根据三角形的内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶，再由𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线可求出∠𝐶𝐴𝐷，根据𝐴𝐸⊥𝐵𝐶得到
∠𝐴𝐸𝐶= 90°，从而可求出∠𝐶𝐴𝐸，进而求得∠𝐷𝐴𝐸的度数．
【详解】解：∵∠𝐵= 40°，∠𝐶= 70°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −40° −70° = 70°，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 70° = 35°，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 90° −∠𝐶= 90° −70° = 20°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐸= 35° −20° = 15°．
故答案为：15．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，若∠𝐴𝐶𝐸= 36°，∠𝐴𝐷𝐶= 80°，则∠𝐵的度数为
__________．
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
9 / 20
【答案】53°/53 度
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题关键是牢记相关概念．本题
先求出∠𝐵𝐴𝐶，再利用角平分线的定义求出∠𝐵𝐴𝐷后即可求解．
【详解】解：∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐴𝐸𝐶−∠𝐴𝐶𝐸= 180° −90° −36° = 54°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 27°，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐵𝐴𝐷= 80° −27° = 53°
故答案为：53° ．
15．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 6，𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐵𝐶，𝐴𝐶于点D，E，则△𝐴𝐵𝐷的周长为
______．
【答案】10
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
根据线段垂直平分线的性质，可得𝐷𝐴= 𝐷𝐶，从而可得△𝐴𝐵𝐷的周长．
【详解】解：∵𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐵𝐶，𝐴𝐶于点𝐷，𝐸，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐶，
∵𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 6，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐴= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 4 + 6 = 10
∴△𝐴𝐵𝐷的周长为10，
故答案为：10．
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
10 /
16．如图，△𝐴𝐵𝐶中，由尺规作图痕迹得到的射线𝐵𝐹交𝐴𝐶于点𝐺．若∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶= 40°，则∠𝐴𝐺𝐵的
度数为______．
【答案】70°/70度
【分析】本题考查了作角平分线、三角形内角和定理的应用，先根据三角形内角和定理求得∠𝐴𝐵𝐶，根
据作图可得𝐵𝐺是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，得出∠𝐴𝐵𝐺= 30°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶= 40°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −80° −40° = 60°
根据作图可得𝐵𝐺是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐺=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠𝐴𝐺𝐵= 180° −∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐵𝐴𝐶= 180° −30° −80° = 70°
故答案为：70°．
三、解答题（共8 小题，共72 分）
17．（8 分）（25-26 八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐴𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的中线
和高，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的角平分线．
(1)若∠𝐵𝐸𝐷= 60°，∠𝐵𝐴𝐷= 40°，求∠𝐵𝐴𝐹的度数．
(2)若△𝐴𝐵𝐶的面积为40，𝐶𝐷= 5，求𝐴𝐹的长．
【答案】(1)50°
(2)8
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高以及角平分线，解题
的关键是熟练掌握相关性质．
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
11 /
（1）由三角形外角的性质可得，∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐸，得到∠𝐴𝐵𝐸= 20°，根据角平分线的定义可
得，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐸= 40°，再根据𝐴𝐹为高可得∠𝐴𝐹𝐵= 90°，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）由𝐴𝐷是中线可得𝐵𝐶= 10，再根据面积求解即可．
【详解】（1）解：由三角形外角的性质可得，∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐷−∠𝐵𝐴𝐸= 60° −40° = 20°，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐸= 40°，
∵𝐴𝐹为高，
∴∠𝐴𝐹𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐹= 180° −∠𝐴𝐹𝐵−∠𝐴𝐵𝐹= 50°；
（2）解：∵𝐴𝐷是中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 5，即𝐵𝐶= 10，
则𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶× 𝐴𝐹= 40，解得𝐴𝐹=
2×40
10 = 8．
18．（8 分）如图1，点𝐴，𝐵分别在射线𝑂𝑀，𝑂𝑁上运动（不与点𝑂重合），𝐴𝐶，𝐵𝐶分别是∠𝐵𝐴𝑂和∠𝐴𝐵𝑂的
平分线，延长𝐵𝐶交𝑂𝑀于点𝐺．
(1)若∠𝑂= 60°，求∠𝐴𝐶𝐺的度数；
(2)如图2，若∠𝑂= 72°，过点𝐶作𝐶𝐹∥𝑂𝐴交𝐴𝐵于点𝐹，求∠𝐵𝐺𝑂与∠𝐴𝐶𝐹的数量关系．
【答案】(1)∠𝐴𝐶𝐺= 60°
(2)∠𝐵𝐺𝑂−∠𝐴𝐶𝐹= 54°
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三
角形外角性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，再根据三角形的外角性质求出∠𝐴𝐶𝐺的度数；
（2）根据角平分线的定义得到∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 108°，再根据三角形的外角性质求出∠𝐴𝐶𝐺= 54°，根
据平行线的性质得到∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐶𝐴𝐺，进而得到∠𝐵𝐺𝑂−∠𝐴𝐶𝐹= 54°．
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
12 /
【详解】（1）解：∵∠𝑂= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂= 120°，
𝐴𝐶，𝐵𝐶分别是∠𝐵𝐴𝑂和∠𝐴𝐵𝑂的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝑂𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝑂，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝑂𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝑂，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 (∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂) = 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 60°．
（2）∵∠𝑂= 72°，
∴∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂= 108°，
𝐴𝐶，𝐵𝐶分别是∠𝐵𝐴𝑂和∠𝐴𝐵𝑂的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝑂𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝑂，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝑂𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝑂，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 (∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂) = 54°，
∴∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 54°，
∵𝐶𝐹∥𝑂𝐴，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐶𝐴𝐺，
∴∠𝐵𝐺𝑂−∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵𝐺𝑂−∠𝐶𝐴𝐺= ∠𝐴𝐶𝐺= 54°，
故∠𝐵𝐺𝑂与∠𝐴𝐶𝐹的数量关系为∠𝐵𝐺𝑂−∠𝐴𝐶𝐹= 54°．
19．（8 分）已知：如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，∠𝐴= 78°，∠𝐵= 35°，𝐵𝐶= 18．
(1)写出△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹的对应边和对应角．
(2)求∠𝐹的度数和边𝐸𝐹的长．
【答案】(1)
△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹的对应边为：𝐴𝐵和𝐷𝐸，𝐵𝐶和𝐸𝐹，𝐴𝐶和𝐷𝐹，
对应角为：∠𝐴和∠𝐷，∠𝐵和∠𝐷𝐸𝐹，∠𝐴𝐶𝐵和∠𝐹．
(2)67°，18
【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
13 /
题的关键．
（1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可．
【详解】（1）解：∵ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴ △𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹的对应边为：𝐴𝐵和𝐷𝐸，𝐵𝐶和𝐸𝐹，𝐴𝐶和𝐷𝐹，
对应角为：∠𝐴和∠𝐷，∠𝐵和∠𝐷𝐸𝐹，∠𝐴𝐶𝐵和∠𝐹．
（2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −78° −35° = 67°．
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，𝐵𝐶= 18，
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 67°，𝐸𝐹= 𝐵𝐶= 18．
答：∠𝐹的度数为67°，边𝐸𝐹的长为18．
20．（8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= ∠𝐶，点D 在𝐵𝐶边上，点E 在𝐴𝐶边上，连接𝐴𝐷，𝐷𝐸．已
知∠1 = ∠2，𝐴𝐷= 𝐷𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸；
(2)若𝐵𝐷= 3，𝐶𝐷= 5，求𝐴𝐸的长．
【答案】(1)
证明：在△𝐴𝐵𝐷与△𝐷𝐶𝐸中，
{
∠𝐵= ∠𝐶
∠1 = ∠2
𝐴𝐷= 𝐷𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(AAS)；
(2)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据AAS可证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸；
（2）得出𝐴𝐵= 𝐷𝐶= 5，𝐶𝐸= 𝐵𝐷= 3，求出𝐴𝐶= 5，则𝐴𝐸可求出．
【详解】（1）略
（2）∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸, 𝐴𝐶= 𝐴𝐵，
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
14 /
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐶= 5, 𝐶𝐸= 𝐵𝐷= 3，
∴𝐴𝐶= 5,𝐴𝐸= 5 −3 = 2．
21．（8 分）用圆规与直尺作图：如图，有两条国道相交于O 点，在∠𝐴𝑂𝐵的内部有两村庄C、D，现要修
建一加油站P，使点P 到𝑂𝐴、𝑂𝐵的距离相等，且使𝑃𝐶= 𝑃𝐷，用尺规作图，作出加油站P 的位置（不写作
法）．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了角平分线、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分
线、线段垂直平分线的基本作图方法．
作∠𝐴𝑂𝐵的平分线，再作线段𝐶𝐷的垂直平分线，两线的交点P 就是所求点．
【详解】解：如图所示：P 点即为所求．
22．（10 分）（25-26 八年级上·河南安阳·阶段检测）如图（1），线段𝐴𝐵= 6，过点A、B 分别作垂线，
在其同侧取𝐴𝐶= 4，另一条垂线上任取一点D．动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位的速度沿𝐴𝐵向终点B
运动；同时动点Q 从点B 出发，以每秒a 个单位的速度沿射线𝐵𝐷运动．当点P 停止时，点Q 也随之停止运
动．设点P 的运动的时间为𝑡(s)．
(1)当𝑡= 1时，𝐴𝑃= ______，𝐵𝑃= ______，用含a 的代数式表示𝐵𝑄的长为______．
(2)当𝑎= 2，𝑡= 1时，
①求证：△𝐴𝐶𝑃≌△𝐵𝑃𝑄；
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
15 /
②求证：𝐶𝑃⊥𝑃𝑄．
(3)如图（2），将“过点A、B 分别作垂线”改为“在线段𝐴𝐵的同侧作∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴”，其它条件不变．若
△𝐴𝐶𝑃与△𝐵𝑃𝑄全等，直接写出对应的a、t 的值．
【答案】(1)2，4，𝑎
(2)
证明：①当𝑎= 2，𝑡= 1时，𝐴𝑃= 2，𝐵𝑄= 2，𝐵𝑃= 4，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝑃，𝐴𝑃= 𝐵𝑄，
∵𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝑃𝐵𝑄= 90°，
∴△𝐴𝑃𝐶≌△𝐵𝑄𝑃(SAS)；
②∵△𝐴𝑃𝐶≌△𝐵𝑄𝑃，
∴∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐵𝑃𝑄，
∵∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐴𝑃𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝑃𝑄+ ∠𝐴𝑃𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝑃𝑄= 180° −(∠𝐴𝑃𝐶+ ∠𝐵𝑃𝑄) = 90°，
∴𝐶𝑃⊥𝑃𝑄；
(3)𝑎= 2，𝑡= 1或𝑎=
8
3，𝑡=
3
2
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，列代数，熟知全等三角形的性质与判定定理是解
题的关键．
（1）根据路程等于速度乘以时间可得𝐴𝑃，𝐵𝑄的长，进而可得𝐵𝑃的长；
（2）①可证明𝐴𝐶= 𝐵𝑃，𝐴𝑃= 𝐵𝑄，再由垂线的定义可得∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝑃𝐵𝑄= 90°，据此可证明结论；②
由全等三角形的性质得到∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐵𝑃𝑄，则可证明∠𝐵𝑃𝑄+ ∠𝐴𝑃𝐶= 90°，再由平角的定义即可证明结论；
（3）分△𝐴𝑃𝐶≌△𝐵𝑄𝑃和△𝐴𝑃𝐶≌△𝐵𝑃𝑄两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，当𝑡= 1时，𝐴𝑃= 2，𝐵𝑄= 𝑎，
∴𝐵𝑃= 𝐴𝐵−𝐴𝑃= 6 −2 = 4，
故答案为：2，4，𝑎；
（2）略
（3）解：当△𝐴𝑃𝐶≌△𝐵𝑄𝑃时，则𝐵𝑄= 𝐴𝑃，𝐵𝑃= 𝐴𝐶= 4，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝐵−𝐵𝑃= 2，
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
16 /
∴𝑡=
2
2 = 1，
∴𝑎=
2
1 = 2；
当△𝐴𝑃𝐶≌△𝐵𝑃𝑄时，则𝐵𝑄= 𝐴𝐶= 4，𝐵𝑃= 𝐴𝑃=
1
2 𝐴𝐵= 3，
∴𝑡=
3
2，
∴𝑎=
4
3
2
=
8
3；
综上所述，𝑎= 2，𝑡= 1或𝑎=
8
3，𝑡=
3
2．
23．（10 分）（25-26 八年级上·安徽池州·期末）如图，△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐹𝐶是等边三角形，𝐴𝐸⊥𝐴𝐹，连接
𝐵𝐹、𝐶𝐸，交于点D．
(1)求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
(2)连接𝐴𝐷，求证：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐷𝐶．
(3)连接𝐴𝐷，求证：𝐵𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐸𝐷．
【答案】(1)150°
(2)
证明：过点A 作𝐴𝑀⊥𝐵𝐸于点M，𝐴𝑁⊥𝐶𝐸于点N，如图所示：
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐸𝐴𝐹= 150°，
即∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐶= 150°，
在△𝐵𝐴𝐹和△𝐸𝐴𝐶中，
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
17 /
𝐴𝐵= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐶，𝐴𝐹= 𝐴𝐶，
∴△𝐵𝐴𝐹≌△𝐸𝐴𝐶(SAS)，
∴𝐵𝐹= 𝐸𝐶，𝑆△𝐵𝐴𝐹= 𝑆△𝐸𝐴𝐶，
∴𝐴𝑀= 𝐴𝑁，
∴点A 在∠𝐵𝐷𝐶的平分线上，
∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐷𝐶．
(3)
证明：在𝐵𝐷上截取𝐵𝑃= 𝐸𝐷，连接𝐴𝑃，𝐴𝐷，设𝐴𝐸与𝐵𝐹交于点H，如图所示：
∵△𝐵𝐴𝐹≌△𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶，
在△𝐴𝐵𝑃和△𝐴𝐸𝐷中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐸
∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶
𝐵𝑃= 𝐸𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐴𝐸𝐷(SAS)，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝐷，∠𝐵𝑃𝐴= ∠𝐸𝐷𝐴，
在△𝐸𝐷𝐻中，∠𝐸𝐷𝐻+ ∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐸𝐻𝐷= 180°，
∵∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶，∠𝐸𝐻𝐷= ∠𝐵𝐻𝐴，
∴∠𝐸𝐷𝐻+ ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐻𝐴= 180°，
在△𝐴𝐵𝐻中，∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐻𝐴= 180°，
∴∠𝐸𝐷𝐻= ∠𝐵𝐴𝐸= 60°，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 120°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐶𝐷𝐴= 60°，
∴△𝐴𝑃𝐷是等边三角形，
∴𝑃𝐷= 𝐴𝐷，
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
18 /
∴𝐵𝐷= 𝑃𝐷+ 𝐵𝑃= 𝐴𝐷+ 𝐸𝐷．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐴𝐶= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹= 60°，再根据𝐴𝐸⊥𝐴𝐹得
∠𝐸𝐴𝐹= 90°，由此可得∠𝐵𝐴𝐶的度数；
（2）过点A 作𝐴𝑀⊥𝐵𝐸于点M，𝐴𝑁⊥𝐶𝐸于点N，先证明△𝐵𝐴𝐹和△𝐸𝐴𝐶全等得𝐵𝐹= 𝐸𝐶，𝑆
△𝐵𝐴𝐹=
𝑆△𝐸𝐴𝐶，再根据三角形的面积公式得𝐴𝑀= 𝐴𝑁，然后根据角平分线的性质可得结论；
（3）在𝐵𝐷上截取𝐵𝑃= 𝐸𝐷，连接𝐴𝑃，设𝐴𝐸与𝐵𝐹交于点H，先证明△𝐴𝐵𝑃和△𝐴𝐸𝐷全等得𝐴𝑃= 𝐴𝐷，
进而再证明△𝐴𝑃𝐷是等边三角形得𝑃𝐷= 𝐴𝐷，进一步即可得出答案．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐹𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐴𝐶= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹= 60°，
又∵𝐴𝐸⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐸𝐴𝐹= 90°，
∠𝐵𝐴𝐶= 360° −(∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐹+ 𝐶𝐴𝐹) = 150°．
（2）略
（3）略
24．（12 分）阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取
一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关
知识来解决数学问题．
(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 12，𝐴𝐶= 8，求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长𝐴𝐷到点𝐸使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，再连接𝐵𝐸，把𝐴𝐵、𝐴𝐶、2𝐴𝐷集中在△𝐴𝐵𝐸中．利
用三角形三边的关系即可判断中线𝐴𝐷的取值范围是______．
(2)解决问题：如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶, 𝐶𝐷上的两
点，且∠𝐸𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷，求证𝐵𝐸+ 𝐷𝐹= 𝐸𝐹．
【答案】(1)2 < 𝐴𝐷< 10
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
19 /
(2)
证明：延长𝐶𝐵到𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹如下图所示，
∵∠𝐴𝐵𝐶＋∠𝐴𝐷𝐶= 180∘，∠𝐴𝐵𝐶＋∠𝐴𝐵𝐺= 180∘，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐺，
在△𝐴𝐵𝐺和△𝐴𝐷𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐴𝐷𝐹
𝐵𝐺= 𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹（SAS），
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐹，∠𝐺𝐴𝐵= ∠𝐹𝐴𝐷，
∵∠𝐸𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐺𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸，
在△𝐴𝐸𝐺和△𝐴𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐺= 𝐴𝐹
∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹（SAS），
∴𝐸𝐹= 𝐺𝐸，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸＋𝐵𝐺= 𝐵𝐸＋𝐷𝐹.
【分析】求解本题的关键是熟练掌握 “截长补短”的方法，结合全等三角形的判定条件 “SAS”，证
明构造的三角形全等，
（1）掌握全等三角形的判定，证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵（SAS），然后，利用三角形三边关系“两边长度
之和大于第三边，两边长度之差小于第三边” 即可得出范围；
（2）关键是作辅助线，延长𝐶𝐵到𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，利用全等三角形的判定条件得到△𝐴𝐵𝐺≌△
𝐴𝐷𝐹（SAS）和△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹（SAS），即可证明结论．
【详解】（1）解：延长𝐴𝐷到点𝐸使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，在△𝐴𝐷𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
20 /
{
𝐴𝐷= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐵
𝐶𝐷= 𝐷𝐵
，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵（SAS），
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 8，
𝐴𝐵−𝐵𝐸< 𝐴𝐸< 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸，即12 −8 < 2𝐴𝐷< 12 + 8，
∴2 < 𝐴𝐷< 10，
故答案为：2 < 𝐴𝐷< 10；
（2）略
