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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 18 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第十三章 三角形·基础通关 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．（25-26 七年级下·四川内江·期末）下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（ ） A．2cm，3cm，5cm B．3cm，3cm，7cm C．5cm，6cm ，7cm D．2cm ，2cm ，5cm 【答案】C 【详解】解：A、 2 3 5 + = ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、 3 3 6 7 + = ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； C、满足三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形； D、 2 2 4 5 + = ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形． 2．若三角形的两条边的长度分别是4cm 和8cm ，则第三条边的长度不可能是（ ） A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为cm x ， 根据三角形三边关系可得：8 4 8 4 x − + ，即4 12 x ， ∵12cm不在4 12 x 的范围内， 第三条边的长度不可能是12cm． 3．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理 是（ ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的两边之和大于第三边 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，构造三角形支架比较牢固稳定. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 18 4．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若1 55 = ，则 2 的 度数是（ ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】D 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行， ∴ 3 1 55 = = ， ∴ 4 180 90 55 35 = − − = ， ∴ 2 4 35 = = ． 5．如图，四个图形中，线段BE是ABC 的高的图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高的画法知，过点B 作AC 边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC 的高． 【详解】解：由图可得，线段BE是△ABC 的高的图是D 选项． 6．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）下列说法正确的是（ ） A．三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形的外角等于两个内角之和 C．在ABC 中， : : 1:3:4 A B C = ， 则ABC 为钝角三角形 D．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 18 【答案】D 【分析】结合三角形高线，外角，内角和，重心的相关概念逐一判断选项正误． 【详解】A 项：因为钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶 点上，所以不是所有三角形高线交点都在三角形内部，A 错误； B 项：因为三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以选项缺少限制条件，B 错误； C 项：因为三角形内角和为180， : : 1:3:4 A B C = ，所以最大角为 4 180 90 1 3 4 = + + ，ABC 是直角 三角形，不是钝角三角形，C 错误； D 项：由三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，D 正确． 7．如图，AD是ABC 的角平分线．若 34 , 66 B BAC = = ，则 ADC 的度数为（ ） A．54 B．57 C．64 D．67 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得 BAD 的大小，再由三角形外角定理可得 ADC 的大小． 【详解】解： AD 平分 BAC ， 1 33 2 BAD BAC = = ， 34 33 67 ADC B BAD = + = + = ． 8．（25-26 七年级下·河南周口·期末）一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1 所示的地锁，图 2 为其示意图．若 3 105 = ，则 2 1 −的值为（ ） A．55 B．65 C．75 D．85 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质可得 3 1 4 105 = + = ∠ ∠ ∠ ，根据邻补角的定义可得 2 4 180 += ，进而即 可求解． 【详解】解：如图， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 18 ∵ 3 1 4 105 = + = ∠ ∠ ∠ ， 2 4 180 += ∴ ( ) ( ) 2 1 2 4 1 4 180 105 75 −= + −+ = − = 9．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）如图，在 ABC 中，AD平分 BAC ，点F 在线段AD上，过点F 作 EF AD ⊥ ，垂足为F，EF 与BC 的延长线交于点E．若 30 B = ， 25 E = ，则 ACB 的度数是（ ） A．55 B．65 C．70 D．80 【答案】D 【分析】先观察EFD ，因为EF AD ⊥ ，所以 90 EFD = ，结合已知 E 的度数，可求出 EDF 的度数．结 合已知 B 的度数，可求出 BAD 的度数．因为AD平分 BAC ，所以 2 BAC BAD = ，可得到 BAC 的 度数．最后在ABC 中，利用三角形内角和为180，可求出 ACB 的度数． 【详解】解： EF AD ⊥ ， 90 DFE = ， 在DFE 中， 90 90 25 65 ADE E = − = − = ． 180 ADE ADB B BAD = − = + ， 代入已知得： 65 30 35 BAD ADE B = − = − = ． AD 平分 BAC ， 2 70 BAC BAD = = ． 在ABC 中， 180 180 30 70 80 ACB B BAC = − − = − − = ． 10．如图，已知 , 64 AM BN A = ∥ ，点P 是射线AM 上一动点（与点A不重合）， , BC BD 分别平分 ABP 和 PBN ，分别交射线AM 于点 , C D ．① ACB CBN = ；② 64 CBD = ；③当 ACB ABD = 时， 29 ABC = ；④当点P 运动时， : 2:1 APB ADB = 的数量关系不变．其中正确的有（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 18 A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】根据AM BN ，可以得到 ACB CBN = （可以判断①），PDB DBN = ，根据角平分线的性质 得到 1 = 2 CBP CBA ABP = ∠ ∠ ∠ ， 1 = 2 DBP DBN NBP = ∠ ∠ ∠ ，从而得到 PBD PDB = ， ( ) 1 1 = = = 2 2 CBD CBP DBP ABP PBN ABN = + + ∠ ∠ ∠ 58，可以判断②，根据 ACB ABD = ， 180 A ABC ACB + + = ，可以得到 180 A ABC ABD + + = ，即可得到 2 180 A ABC CBD + + = ， 从而可以判断③， 根据 APB ADB PBD = + ，得到 2 APB ADB = ，可以判断④. 【详解】解： AM BN ， 64 A = ACB CBN = ，故①正确， 180 A ABN + = ， 116 ABN = ， BC 、BD分别平分 ABP 和 PBN ， 1 = 2 CBP CBA ABP = ∠ ∠ ∠ ， 1 = 2 DBP DBN NBP = ∠ ∠ ∠ ， ( ) 1 1 2 2 CBD CBP DBP ABP PBN ABN = + = + = = 58，故②错误 ∵ ACB ABD = ， 180 A ABC ACB + + = ， ∴ 180 A ABC ABD + + = ， ∵ ABD ABC CBD = + ， ∴ 2 180 A ABC CBD + + = ， 即64 2 58 180 ABC + + = ， 解得 29 ABC = ，故③正确， AM BN ， PDB DBN = ， 又 DBP DBN = ∠ ∠ PBD PDB = ， APB ADB PBD = + ， 2 APB ADB = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 18 : 2:1 APB ADB = ，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④． 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11． （25-26 七年级下·山东聊城·期末）若三角形的三边长分别是2，4，x，写出一个x 可以取的整数值_____． （写 出一个即可） 【答案】 3（答案不唯一，3，4，5 都正确） 【分析】根据三角形三边关系求出x 的取值范围，再在范围内找出符合要求的整数值即可． 【详解】根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得4 2 4 2 x − + ， 化简得2 6 x ， x 为整数， x 可取的值为3，4，5（答案不唯一）． 12．（25-26 七年级下·上海金山·期末）在ABC 中，若 1 2 6 A B C = ∶ ∶ ∶∶，则 C B −=________． 【答案】80 【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即 可． 【详解】解：由题意设 A x = ，则 2 B x = ， 6 C x = 根据三角形内角和定理，得 2 6 180 x x x + + = 解得 20 x = 因此 6 20 120 C = = ， 2 20 40 B = = 则 120 40 80 C B −= − = ． 13．如图，ABC 中， 90 ACB = ， 3 AC = ， 4 BC = ， 5 AB = ，P 为直线AB 上一动点，连接PC ，则线段 PC 的最小值是_______． 【答案】12 5 【分析】根据当PC AB ⊥ 时，PC 的值最小，利用面积法求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 18 【详解】解： 3 AC = ， 4 BC = ， 5 AB = ， 90 ACB = ， 当PC AB ⊥ 时，PC 的值最小， 此时：ABC 的面积 1 1 2 2 AB PC AC BC = = ， 1 1 5 4 3 2 2 PC = ， 12 5 PC = ． ∴线段PC 的最小值是12 5 ． 14．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）如图，AD是ABC 的中线，E ，F 是AD的三等分点，连接BE，CE ， BF ，CF ．如果ABC 的面积是24，那么图中阴影部分的面积和为_______． 【答案】16 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，以及等高三角形的面积比等于底边比的性质， 分别求出各部分阴影三角形的面积，最后求和即可． 【详解】解： AD 是ABC 的中线，ABC 的面积是24 ， 1 1 24 12 2 2 ABD ACD ABC S S S = = = = ， E F ， 是AD的三等分点 ， 1 3 AF FE ED AD = = = ， 1 1 12 4 3 3 ABF BDE ABD S S S = = = = ， 1 1 12 4 3 3 CEF CDE ACD S S S = = = = ， ∴图中阴影部分的面积和为 4 4 4 4 16 ABF BDE CEF CDE S S S S + + + = + + + = ． 15．（25-26 八年级下·广东河源·期末）在ABC 中，AB AC = ，O为BC 上任意一点，OM AB ⊥ ，ON AC ⊥ ， CH AB ⊥ ，垂足分别为M 、N 、H ，连接AO ．已知 2 OM = ， 5 CH = ，则ON 的长为__________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 18 【答案】3 【分析】根据 ABC AOB AOC S S S = + △ △ △ ，结合三角形面积公式可得1 1 1 2 2 2 AB CH AB OM AC ON = + ，进而得 到CH OM ON = + ，据此可得答案． 【详解】解：∵OM AB ⊥ ，ON AC ⊥ ，CH AB ⊥ ， ∴ 1 1 , 2 2 AOB AOC S AB OM S AC ON = = △ △ ， 1 2 ABC S AB CH = ， ∵ ABC AOB AOC S S S = + △ △ △ ， ∴1 1 1 2 2 2 AB CH AB OM AC ON = + ， ∵AB AC = ， ∴CH OM ON = + ， ∵ 2 OM = ， 5 CH = ， ∴ 3 ON = ． 16．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）如图，BD是ABC 的角平分线，CE 是ABC 的高， 50 ABC = ， 80 ACB = ，点F 为边AB 上一点，当ADF 为直角三角形时， BDF 的度数为__________________． 【答案】15或65 【分析】分 90 AFD = 和 90 ADF = 两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和 定理求解即可． 【详解】解：BD是ABC 的角平分线， 50 ABC = ， 1 25 2 ABD CBD ABC = = = ， 当 90 AFD = 时， 90 BFD = ， 90 90 25 65 BDF ABD = − = − = ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 18 当 90 ADF = 时， 90 CDF = ， 25 CBD = ， 80 ACB = ， 180 180 25 80 75 BDC CBD ACB = − − = − − = ， 90 75 15 BDF CDF BDC = − = − = 综上， BDF 的度数为15或65． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17．如图，在ABC 中，AE BC ⊥ ，点E 是垂足，点D 是边BC 上的一点，连接AD． (1)写出ABE 的三个内角； (2)在ABD 中， B 的对边是__________；在ABC 中， B 的对边是__________． (3)图中共有________个三角形， ADC 是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1) ABE 的三个内角是： BAE ， B ， AEB (2) AD；AC (3)6， ADC 是ADE ，ADC 的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结 合图形明确三角形的组成元素及相互关系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / （1）根据三角形内角的定义，直接从ABE 中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在ABD 、△ABC 中确定 B 的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含 ADC 的三角形． 【详解】（1）ABE 的三个内角是： BAE ， B ， AEB ； （2）在ABD 中， B 的对边是AD；在ABC 中， B 的对边是AC ． 故答案为：AD；AC ； （3）图中共有6 个三角形，分别是：ABD ，ABE ，ABC ，ADE ，ADC ， AEC △ ． 故答案为：6； ADC 是ADE ，ADC 的公共角； 18．已知ABC 的三边长分别为a，b，c． (1)若 9 a = ， 5 b = ，且c 为整数，求ABC 周长的最大值． (2)化简：b c a c a b a b c + − − − − − − + ． 【答案】(1)27 (2) 3a b c − + + 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c 的取值范围，进而求得c 的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定b c a + − 、c a b −−、a b c −+ 的正负，再化简绝对值，然后再合并同类 项即可解答． 【详解】（1）解：∵ 9 a = ， 5 b = ， 9 5 9 5 c − + ，即4 14 c ， ∵c 为整数， ∴当 13 c = ，ABC 周长的最大值为 9 5 13 27 a b c + + = + + = ； （2）解： ABC 的三边长为a，b，c， 0 b c a + − ， 0 c a b −− ， 0 a b c −+ ， ∴b c a c a b a b c − − − − + − − + ( ) ( ) b c a a b c a b c − − − − = + + − + b c a a b c a b c = + −−−+ −+ − 3a b c = − + + ． 19．如图在方格纸中，ABC 的顶点都在方格纸的格点上． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / (1)画出ABC 向上平移6 格后的图形 A B C △ ； (2)画出 A B C △ 的高C H ； (3)直接写出BB和CC的关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可； （3）根据平移的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：画出 A B C △ 如图所示： （2）解：画出 A B C △ 的高C H 如图所示； （3）解：由平移的性质可得：BB和CC的关系平行且相等． 20．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，ABC 中，D 为AC 边上一点，过D 作DE AB ∥ ，交BC 于E ， F 为AB 边上一点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于G ，且 DFA A =． 小学 初中 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / (1) DE 平分 CDF 吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若 80 C = ， 60 ABC = ，求 G 的度数． 【答案】(1)是， 证明：∵DE AB ， ∴ CDE A = ， DFA FDE = ∠ ∠ ， ∵ DFA A =， ∴ CDE FDE = ， ∴DE 平分 CDF ； (2)20 【分析】（1）根据DE AB 得到 CDE A = ， DFA FDE = ∠ ∠ ，结合 DFA A =，得到 CDE FDE = 即 可． （2）先求得 180 40 A ABC C = − − = ∠ ∠ ∠ ，结合 BFG DFA A = = ，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 80 C = ， 60 ABC = ， ∴ 180 40 A ABC C = − − = ∠ ∠ ∠ ， ∵ BFG DFA A = = ， ∴ 40 BFG = ， ∵ BFG G ABC + = ， ∴ 60 40 20 G ABC BFG = − = − = ． 21．（25-26 七年级下·山西临汾·期末）如图，CD、CE 分别是ABC 的高和中线，若 5cm AC = ， 12 BC cm = ， 13cm AB = ， 90 ACB = (1)求CD的长 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / (2)求BCE 与 ACE △ 的周长差 【答案】(1) 60 cm 13 (2)7cm 【分析】( ) 1 根据三角形的面积公式解答即可； ( ) 2 利用三角形中线的定义可得AE BE = ，即得BCE 的周长 ACE − 的周长 BC AC = − ，代入已知数据即可 求解． 【详解】（1）解：∵CD是ABC 的高， 90 ACB = ， ∴ 1 1 2 2 ABC S AB CD AC BC = = ， ∵ 5cm AC = ， 12 BC cm = ， 13cm AB = ， ∴1 1 13 5 12 2 2 CD = ， ∴ 60 cm 13 CD = ； （2）解：∵CE 是ABC 的中线， ∴AE BE = ， ∴BCE 的周长 ACE − 的周长 ( ) BC CE BE AC CE AE = + + − + + BC AC = − 12 5 = − 7cm = ． 22．如图，AD平分ABC 的外角 CAE 交BC 的延长线于点D． (1)若 100 ACD = ， 30 D = ，求 B 的度数是 ； (2)若 ACB B −= ，求 D 的度数(用含的式子表示)． 【答案】(1)20 (2) 2 【分析】（1）根据 100 ACD = ， 30 D = ，得到 50 CAD = ， 80 ACB = ，根据三角形外角性质，求解 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / 即可； （2）根据三角形外角性质，三角形内角和求解即可； 【详解】（1）解： 100 = ACD ， 30 D = ， 180 50 CAD ACD D = − − = ， 180 80 ACB ACD = − = ， AD 平分ABC 的外角 CAE ， 2 100 CAE CAD = = ， 20 B CAE ACB = − = ； （2）解： AD 平分ABC 的外角 CAE ， 1 2 CAD CAE = ， CAE B ACB = + ， 2 CAD B ACB = + ， 2 B ACB CAD + = ， ACB CAD D = + ， D ACB CAD = − 2 2 ACB B ACB B ACB + − = − = ， ACB B −= ， 2 D = ． 23．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2 倍角三角形”，其中称为 “倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2 倍角三角形”． (2)已知ABC 为“2 倍角三角形”，且ABC 为锐角三角形， B 为“倍角”，求 B 的取值范围． 【答案】(1)是“2 倍角三角形” (2)60 90 B 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）设 2 B x = （x 为另一个内角），则第三个内角为180 2 180 3 x x x − − = − ，根据定义，结合三角形内角 和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为90、45、45， ∴90 2 45 = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / ∴符合“2 倍角三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“2 倍角三角形”； （2）解：设 2 B x = （x 为另一个内角），则第三个内角为180 2 180 3 x x x − − = − ， ∵ABC 是锐角三角形，三个内角均小于90， ∴ 90 x 且2 90 x 且180 3 90 x − ， ∴ 90 x 且 45 x 且 30 x ， ∴30 45 x ， ∵ 2 B x = ， ∴60 90 B ． 24．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，CD是ABC 的高，AE 是ABC 的角平分线，AE 、CD 相交于点F ，且 ACD B = ． (1)试判断ABC 的形状，并说明理由； (2)若 32 B = ∠ ，求 AEB 的度数； (3)求证： CFE CEF = ． 【答案】(1)解：ABC 是直角三角形，理由如下： ∵在ABC 中，CD是高， ∴ 90 CDB = ， ∴ 90 B BCD + = ， 又∵ ACD B = ， ∴ 90 ACD BCD + = ， ∴ 90 ACB = ， ∴ABC 是直角三角形； (2)119； (3)证明：∵AE 是ABC 的角平分线， ∴ BAE CAE = ， 又 ACD B = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / ∴ BAE B CAE ACD += + ， ∵ CEF BAE B = +， CFE CAE ACD = + ， ∴ CFE CEF = ． 【分析】( ) 1 根据题意可以求得 90 BCD ACD + = ，从而得到ABC 是直角三角形； ( ) 2 由直角三角形的性质可得 58 BAC = ，又AE 是ABC 的角平分线，所以 1 29 2 CAE BAE BAC = = = ， 最后通过三角形内角和定理即可求解； ( ) 3 根据AE 是ABC 的角平分线，则 BAE CAE = ，然后通过 ACD B = ，三角形的外角性质即可得出 结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在Rt ABC △ 中， 32 B = ∠ ， ∴ 90 32 58 BAC = − = ， ∵AE 是ABC 的角平分线， ∴ 1 29 2 CAE BAE BAC = = = ， 在ABE 中， 180 AEB BAE B = − − 180 29 32 = − − 119 ； （3）略． 25．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）结合图形，解决问题． (1)已知：如图1，在ABC 中， 60 A = ，BP，CP 分别平分 ABC 和 ACB ，BPC 的度数是_________． (2)已知：如图2，DBC 与 ECB 分别是ABC 的两个外角，且 210 DBC ECB + = ．则 A =_________． (3)如图3，在四边形ABCD中，F 为四边形ABCD的 ABC 的平分线及外角 DCE 的平分线所在的直线构 成的锐角，若设 A = ， D = ，求 F 的度数．（用含，的式子表示） 【答案】(1)120 (2)30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / (3) ( ) 1 90 2 + − 【分析】（1）在ABC 中，根据三角形内角和定理可求得 ABC ACB + ，结合角平分线的含义可得 PBC PCB + ，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）先求解 ABC ACB + ，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长BA，CD交于点Q ，同（2）可得 180 Q = + − ，证明 1 2 FBE QBC = ， 1 2 FCE DCE = ， 结合外角的性质可得 Q DCE QBC = − ，2 2 2 F FCE FBC DCE QBC = − = − ，可得 2 Q F = ， 进一步求解即可； 【详解】（1）解：在ABC 中， 60 A = ， ∴ 180 60 120 ABC ACB − + = = ， ∵BP，CP 分别平分 ABC 和 ACB ， ∴ 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCB ACB = ， ∴ ( ) 1 60 2 PBC PCB ABC ACB + = + = ， ∴ ( ) 180 120 BPC PBC PCB = − + = ； （2）解：∵ DBC 与 ECB 分别是ABC 的两个外角，且 210 DBC ECB + = ， ∴ ( ) 180 180 360 210 150 ABC ACB DBC ECB + = + − + = − = ， ∴ ( ) 180 180 150 30 A ABC ACB = − + = − = ； （3）解：延长BA，CD交于点Q ，如图， ∵ BAD = ， ADC = ， ∴ ( ) ( ) 180 180 360 360 QAD QDA BAD ADC BAD ADC + = − + − = − + = − + ， ∴ ( ) ( ) 180 180 360 180 Q QAD QDA = − + = − − + = + − ， ∵ F 为四边形ABCD的 ABC 的平分线及外角 DCE 的平分线所在的直线构成的锐角， ∴ 1 2 FBC QBC = ， 1 2 FCE DCE = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / ∵ DCE QBC Q = + ， FCE FBC F = + ， ∴ Q DCE QBC = − ，2 2 2 F FCE FBC DCE QBC = − = − ， ∴ 2 Q F = ， ∴ ( ) ( ) 1 1 1 180 90 2 2 2 F Q = = + − = + − ．
