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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第一章 三角形·基础通关
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2𝑥−5 ≤0的正整
数解．则等腰三角形的周长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．4 或5
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，
根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案．
【详解】解：解不等式2𝑥−5 ≤0，移项得2𝑥≤5．
∴𝑥≤
5
2．不等式的正整数解为1和2．
∵等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为1和2，
分两种情况讨论：①若腰长为1，底边长为2，三边长为1,1,2．
∵1 + 1 = 2，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去．
②若腰长为2，底边长为1，三边长为2,2,1，满足三角形三边关系，
此时周长为2 + 2 + 1 = 5．
因此等腰三角形的周长为5，
故选C．
2．（2026·广西·中考真题）根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】根据每个选项的尺规作图痕迹逐选项即可判断．
【详解】解：由尺规作图的作图痕迹，可判断：
A．作的是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，不符合题意；
B． 作的是𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，符合题意；
C． 作的是𝐵𝐶边上的垂直平分线，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，不符合题意；
D． 作的是∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵，𝐴𝐷不是△𝐴𝐵𝐶的高，不符合题意．
3．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸, ∠𝐴= 40°,∠𝐸= 62°，则∠𝐸𝐷𝐹的度数为（ ）
A．40°
B．62°
C．78°
D．102°
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出∠𝐹= ∠𝐴= 40°，再根据三角形的内角和定理求出∠𝐸𝐷𝐹的度数即
可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸，∠𝐴= 40°，∠𝐸= 62°，
∴∠𝐹= ∠𝐴= 40°，
∴∠𝐸𝐷𝐹= 180° −∠𝐸−∠𝐹= 180° −40° −62° = 78°．
4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，若𝐴𝐵= 𝐴𝐷, 𝐶𝐵= 𝐶𝐷，则称四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为
筝形．筝形一定具有的性质是（ ）
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A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．两组对边分别平行
D．两组对边分别相等
【答案】B
【分析】连接𝐴𝐶, 𝐵𝐷，交于点𝑂，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论.
【详解】解：连接𝐴𝐶, 𝐵𝐷，交于点𝑂，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷, 𝐶𝐵= 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷, 𝐷𝑂= 𝐵𝑂，
∴𝐵正确，𝐴, 𝐶, 𝐷错误.
5．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm,2cm,4cm
B．2cm, 3cm,6cm
C．12cm, 5cm,6cm
D．8cm, 6cm,4cm
【答案】D
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得解，熟练
掌握三角形三边关系的应用是解此题的关键．
【详解】解：选项A：1 + 2 = 3 < 4，则不能组成三角形，故本选项不符合题意；
选项B：2 + 3 = 5 < 6，则不能组成三角形，故本选项不符合题意；
选项C：5 + 6 = 11 < 12，则不能组成三角形，故本选项不符合题意；
选项D：6 + 4 = 10 > 8，则能组成三角形，故本选项符合题意；
故选：D
6．下列句子中，属于命题的是（ ）
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A．垂线段最短
B．作一个角等于已知角
C．将16 开平方
D．负数小于正数吗？
【答案】A
【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键；命题是能判断真假的陈述句；选项A
是陈述句且为真；选项B 和C 是操作指令，不是陈述句；选项D 是疑问句，不是陈述句．
【详解】解：∵命题是能判断真假的陈述句，
∴A.“垂线段最短”是陈述句，且为真；
B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句；
C.“将16 开平方”是操作指令，不是陈述句；
D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句；
故选：A．
7．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板𝐴𝐵𝐶放置在直线𝑀𝑁、𝑃𝑄之间，点B、C 分
别落在直线𝑃𝑄、𝑀𝑁上，若∠𝐴𝐶𝑁= 40°，则∠𝐴𝐵𝑄=（）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，建立角度之间的等量关系进行求解．
【详解】解：∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄，
∴∠𝑁𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐵𝑄= 180°，
由图可知∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝑁+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐶𝐵𝑄= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝑄，
∴∠𝐴𝐶𝑁+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝑄= 180°，
∵△𝐴𝐵𝐶为直角三角板，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∵∠𝐴𝐶𝑁= 40°，
∴40° + 90° + ∠𝐴𝐵𝑄= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝑄= 50°．
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8．在下列条件：①∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶；②∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 2: 3；③∠𝐴= ∠𝐵= 2∠𝐶；④∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶，能确
定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的条件有（ ）
A．1 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】D
【分析】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形内角和为180°．利用三角形内角和定
理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为90°．
【详解】解：①∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，则∠𝐶= 90°，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
②∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶= 1：2：3，则∠𝐵= 2∠𝐴，∠𝐶= 3∠𝐴，由三角形内角和定理，得∠𝐴+ 2∠𝐴+ 3∠𝐴= 180°，
解得，∠𝐴= 30°，于是有∠𝐶= 90°，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
③∠𝐴= ∠𝐵= 2∠𝐶，则由三角形内角和定理，得2∠𝐶+ 2∠𝐶+ ∠𝐶= 180°，解得，∠𝐶= 36°，则∠𝐴= ∠𝐵=
72°，不是直角三角形；
④∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= 60°，不是直角三角形，是等边三角形，
能确定△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的条件有2个，
故选：D．
9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知点D，E，F 分别为边𝐵𝐶，𝐴𝐷，𝐶𝐸的中点，且△𝐴𝐵𝐶的面积等于8cm2，则阴
影部分图形面积等于（ ）
A．1cm2
B．2cm2
C．4cm2
D．8cm2
【答案】B
【分析】本题考查三角形的面积、中线，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解
题的关键．
根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到阴影部分的面积与△𝐴𝐵𝐶的面积的数量关
系，从而求出△𝐵𝐸𝐹的面积．
【详解】解：如图，点F 是𝐶𝐸的中点，
∴△𝐵𝐸𝐹的底是𝐸𝐹，△𝐵𝐸𝐶的底是𝐸𝐶，即𝐸𝐹=
1
2 𝐸𝐶，而高相等，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹=
1
2 𝑆△𝐵𝐸𝐶，
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∵E 是𝐴𝐷的中点，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷，𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐸𝐵𝐶=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹=
1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 8cm2，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹= 2cm2，即阴影部分的面积为2cm2．
故选：B．
10．（2026·湖北·中考真题）如图、在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 4，𝐴𝐵= 5，分别以点𝐵和点𝐶为圆心，以大于
1
2 𝐵𝐶的
长为半径作弧、两弧交于𝐸，𝐹两点，作直线𝐸𝐹与边𝐴𝐵交于点𝐷，连接𝐶𝐷，则△𝐴𝐷𝐶的周长是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．12
【答案】C
【分析】利用垂直平分线的性质把𝐶𝐷的长替换成𝐵𝐷的长求解即可．
【详解】解：由题意得𝐸𝐹垂直平分𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵ 𝐴𝐶= 4，𝐴𝐵= 5，
∴△𝐴𝐷𝐶的周长为𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐴= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐴= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐵= 9．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．命题“同位角相等”的条件是______．
【答案】两角是同位角
【分析】本题主要考查了命题的定义，命题“同位角相等”是省略形式，可转化为“如果两角是同位
角，那么它们相等”的标准命题形式，从而确定条件部分．
【详解】解：命题“同位角相等”的完整表述是“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，其中
“如果”后面的部分是条件，即“两个角是同位角”，简写为“两角是同位角”．
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故答案为：两角是同位角．
12．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”．
【答案】 两个角是相等的角的余角 这两个角相等
【分析】本题考查了命题的改写，将命题改写成“如果…那么…”形式，需明确题设和结论，“如果”
后接题设，“那么”后接结论．
【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角的余角”是题设；“相等”是结论．因此改写成“如
果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等”．
故答案为：两个角是相等的角的余角，这两个角相等．
13．（25-26 八年级上·河南三门峡·期中 ）如图，𝐴𝐷，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条高，𝐴𝐵= 4，𝐶𝐵= 3，𝐶𝐸=
5
2，
则𝐴𝐷=___________．
【答案】
10
3
【分析】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握等面积法求高．
利用三角形的等面积法求高即可．
【详解】解：根据等面积得，
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐸=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷，
∴𝐴𝐷=
𝐴𝐵⋅𝐶𝐸
𝐵𝐶
=
4×5
2
3 =
10
3 ，
故答案为：
10
3 ．
14．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P 是∠𝐴𝑂𝐵的平分线上一点，过点P 作𝑃𝐶∥𝑂𝐵交𝑂𝐴于点C，
若𝑂𝐶= 2，∠𝑃𝑂𝐵= 15°，则点P 到𝑂𝐵的距离𝑃𝐷的长是_______．
【答案】1
【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得△𝑂𝐶𝑃是等腰三角形，求出𝑃𝐶的长，过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于
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点𝐸，求出𝑃𝐸= 1，根据角平分线的性质得出点𝑃到𝑂𝐵的距离．
【详解】解：∵𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，∠𝑃𝑂𝐵= 15°，
∴∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝑃𝑂𝐵= 15°，
∴∠𝐴𝑂𝐵= 30°，
∵𝑃𝐶∥𝑂𝐵，
∴∠𝑃𝐶𝐴= ∠𝐴𝑂𝐵= 30°,∠𝐶𝑃𝑂= ∠𝑃𝑂𝐷= 15° = ∠𝑃𝑂𝐶,
∴𝑃𝐶= 𝑂𝐶= 2，
过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于点𝐸，
∴𝑃𝐸=
1
2 𝑃𝐶= 1，
∵𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑃𝐸⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵
∴𝑃𝐷= 𝑃𝐸= 1,
即点𝑃到𝑂𝐵的距离为1．
15．
（2026·四川达州·中考真题）如图，𝐴𝐵∥𝐷𝐸、𝐵𝐸= 𝐹𝐶．请你添加一个条件________，使得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
【答案】𝐴𝐵= 𝐷𝐸（答案不唯一，如∠𝐴= ∠𝐷或∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹等）．
【分析】根据平行线的性质得出∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹，根据线段的和差关系得出𝐵𝐶= 𝐸𝐹，此时具备了一边一
角对应相等，根据全等三角形的判定定理SAS、ASA或AAS添加相应的条件即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹．
∵𝐵𝐸= 𝐹𝐶，
∴𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐹𝐶+ 𝐸𝐶，即𝐵𝐶= 𝐸𝐹．
若添加𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
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在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)．
若添加∠𝐴= ∠𝐷
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，{
∠𝐴= ∠𝐷
∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)．
若添加∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，{
∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(ASA)．
16．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂，𝐶𝑂分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于
点𝐷．若𝑂𝐷= 3，△𝐴𝐵𝐶的面积是50，则△𝐴𝐵𝐶的周长为____．
【答案】
100
3 /33
1
3
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接𝑂𝐴，
过点O 作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于点E，作𝑂𝐹⊥𝐴𝐶于点F，由角平分线的性质定理可得，𝑂𝐹= 𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 3，再结合
三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：连接𝑂𝐴，过点O 作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于点E，作𝑂𝐹⊥𝐴𝐶于点F，如图所示：
由𝐵𝑂，𝐶𝑂分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝑂𝐷= 3，
故𝑂𝐹= 𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 3，
故
1
2 𝑂𝐹⋅𝐴𝐶+
1
2 𝑂𝐸⋅𝐴𝐵+
1
2 𝑂𝐷⋅𝐵𝐶= 50，
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1
2 × 3 × (𝐴𝐶+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶) = 50，
解得𝐴𝐶+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶=
100
3 ，
故答案为：
100
3 ．
三、解答题（共8 小题，共72 分）
17．（8 分）（25-26 八年级上·江西宜春·期中）已知𝑎，𝑏，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边长．
(1)若|𝑎−2| + |𝑏−3| = 0，则𝑎+ 𝑏=___________，化简：|𝑎+ 𝑏−𝑐| =___________．|𝑏−𝑐−
𝑎| =___________．
(2)若𝑎，𝑏，𝑐满足|𝑎−𝑏| + |𝑏−𝑐| = 0，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由．
【答案】(1)5，5 −𝑐，𝑐−1．
(2)△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，
判断绝对值内表达式的正负是解题关键．
（1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可；
（2）根据非负数的性质可判断出𝑎= 𝑏= 𝑐，进而确定△𝐴𝐵𝐶的形状．
【详解】（1）解：∵ |𝑎−2| + |𝑏−3| = 0，
∴ 𝑎= 2，𝑏= 3，
则𝑎+ 𝑏= 5；
根据三角形三边关系，𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑎+ 𝑏−𝑐> 0，
则|𝑎+ 𝑏−𝑐| = 𝑎+ 𝑏−𝑐= 5 −𝑐；
∵ 𝑏−𝑐−𝑎= 𝑏−(𝑐+ 𝑎)且𝑎+ 𝑐> 𝑏，
∴ 𝑏−(𝑎+ 𝑐) < 0，
∴ |𝑏−𝑐−𝑎| = −(𝑏−𝑐−𝑎) = −𝑏+ 𝑐+ 𝑎= 𝑐−1．
答：5，5 −𝑐，𝑐−1．
（2）解：∵ |𝑎−𝑏| + |𝑏−𝑐| = 0，且|𝑎−𝑏| ≥0，|𝑏−𝑐| ≥0，
可得{𝑎−𝑏= 0
𝑏−𝑐= 0
，
解得{𝑎= 𝑏
𝑏= 𝑐
，
∴ 𝑎= 𝑏= 𝑐，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．
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答：△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．
18．（8 分）如图是由边长为1 的小正方形组成的4 × 8网格，点𝐴, 𝐵, 𝐶均在小正方形的顶点上．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶边上的高𝐴𝐷．
(2)画出△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐸．
(3)求△𝐴𝐵𝐸的面积．
【答案】(1)
如图，𝐴𝐷即为所求；
(2)
如图，𝐵𝐸即为所求；
(3)3
【分析】本题考查画三角形的高线，中线，与三角形的高有关的计算：
（1）根据高线的定义，作高即可；
（2）取𝐴𝐶的中点𝐸，连接𝐵𝐸即可；
（3）求出△𝐴𝐵𝐶的面积，根据中线平分面积求出△𝐴𝐵𝐸的面积即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=
1
2 × 3 × 4 = 6，
∵𝐵𝐸为中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3．
19．（8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是中线，𝐴𝐵= 10cm,𝐴𝐶= 6cm．
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(1)求△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差；
(2)点E 在边𝐴𝐵上，连接𝐸𝐷．若△𝐴𝐵𝐶的周长被𝐷𝐸分成的两部分的差是2cm，求线段𝐴𝐸的长．
【答案】(1)4cm
(2)线段𝐴𝐸的长为1cm或3cm
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）△𝐴𝐵𝐷的周长= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，△𝐴𝐶𝐷的周长= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷，由中线的定义可得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
即可解答；
（2）由图可知三角形𝐵𝐷𝐸的周长= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸，四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 𝐷𝐶+ 𝐷𝐸，𝐵𝐷=
𝐷𝐶，进而分当△𝐵𝐷𝐸的周长-四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长= 2cm和四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长-当△𝐵𝐷𝐸的周长= 2cm两种
情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：△𝐴𝐵𝐷的周长= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，△𝐴𝐶𝐷的周长= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷，
∵𝐴𝐷是中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差：(𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷) −(𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷) = 𝐴𝐵−𝐴𝐶= 4cm
（2）解：由图可知：△𝐵𝐷𝐸的周长= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸，四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 𝐷𝐶+ 𝐷𝐸，
①当△𝐵𝐷𝐸的周长-四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长= 2cm时，
∵𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∴(𝐵𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸) −(𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 𝐷𝐶+ 𝐷𝐸) = 2，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 2，
又∵𝐴𝐵= 10cm，𝐴𝐶= 6cm，𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸，
∴𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 2 = 𝐴𝐵−𝐴𝐸，
∴10 −𝐴𝐸= 𝐴𝐸+ 6 + 2
∴𝐴𝐸= 1cm；
②四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长− △𝐵𝐷𝐸的周长= 2cm时，
∵𝐷是𝐵𝐶的中点，
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∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∴(𝐴𝐸+ 𝐴𝐶+ 𝐷𝐶+ 𝐷𝐸) −(𝐵𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸) = 2，
∴𝐴𝐸+ 𝐴𝐶= 𝐵𝐸+ 2，
又∵𝐴𝐵= 10cm，𝐴𝐶= 6cm，𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸，
∴𝐴𝐸+ 𝐴𝐶= 𝐴𝐵−𝐴𝐸+ 2，
∴𝐴𝐸+ 6 = 10 −𝐴𝐸+ 2
∴𝐴𝐸= 3cm；
综上，线段𝐴𝐸的长为1cm或3cm．
20．（8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°．
(1)求∠𝐵𝐴𝐶的度数；
(2)𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于𝐸，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，求∠𝐸𝐴𝐷的度数．
【答案】(1)∠𝐵𝐴𝐶= 60°
(2)∠𝐸𝐴𝐷= 20°
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的性质等知识.
（1）根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线可得∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 60 = 30°，由垂直可得△𝐴𝐵𝐷是直角三角形，
根据直角三角形两锐角互余可得∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐵= 90° −40° = 50°，由此即可求解．
【详解】（1）解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −40° −80° = 60°；
（2）解：∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 60° = 30°，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，即∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐷是直角三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐵= 90° −40° = 50°，
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∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐸= 50° −30° = 20°．
21．（8 分）（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵．求证：𝐵𝐶= 𝐵𝐷．
【答案】证明：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐵𝐷中，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵，𝐴𝐵= 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷(SAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷．
【分析】利用SAS证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，即可证明𝐵𝐶= 𝐵𝐷．
【详解】略
22．（10 分）（25-26 八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作𝐴𝐵边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）中所作的垂直平分线分别交𝐴𝐵, 𝐵𝐶于点𝐷, 𝐸，求∠𝐶𝐴𝐸的度数；
(3)在（2）的条件下，若△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐸𝐶的周长分别为𝑚, 𝑛，试用含𝑚, 𝑛的代数式表示𝐴𝐷的长．
【答案】(1)见解析
(2)75°
(3)
1
2 (𝑚−𝑛)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂线，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂
直平分线的性质是解题的关键．
（1）分别以点𝐵，𝐴为圆心，大于
1
2 𝐵𝐴的长为半径作弧，两弧在𝐵𝐴左侧交于点𝑃，在𝐵𝐴右侧交于点𝑄，
作直线𝑃𝑄交𝐴𝐵，𝐵𝐶于点𝐷，𝐸即可；
（2）连接𝐴𝐸，由三角形内角和定理可得∠𝐵𝐴𝐶，根据𝐷𝐸为𝐴𝐵的垂直平分线得到∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐸𝐵𝐴，即可
解答；
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（3）由𝐷𝐸是𝐴𝐵的垂直平分线可得𝐴𝐷= 𝐵𝐷，𝐵𝐸= 𝐴𝐸，根据三角形的周长可得𝐴𝐶+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 𝑚，
即可解答．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：连接𝐴𝐸，
△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −30° −45° = 105°，
∵𝐷𝐸为𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐸𝐵𝐴= 30°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐸= 105° −30° = 75°；
（3）解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷，𝐵𝐸= 𝐴𝐸，
∵△𝐴𝐸𝐶的周长为𝑛，
∴𝐴𝐶+ 𝐴𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐴𝐶+ 𝐸𝐶+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 𝑛，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为𝑚，
∴𝐴𝐶+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 𝑚，
即𝑛+ 2𝐴𝐷= 𝑚，
∴𝐴𝐷=
1
2 (𝑚−𝑛)．
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23．（10 分）（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】
数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知𝐸是𝐵𝐶的中点，点𝐴在𝐷𝐸上，且∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸．求
证：𝐴𝐵= 𝐶𝐷．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长𝐴𝐸至点𝐹，使得𝐸𝐹= 𝐴𝐸，连结𝐶𝐹．易证△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐶𝐸，
故对应角∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐹𝐸，所以∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，因此可得𝐴𝐵= 𝐶𝐷．以上解法称之为“倍长中线”法，在利
用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题：
(1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐶𝐸，依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)【灵活运用】如图2，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 9，设𝐴𝐷= 𝑥，则𝑥的取值范围是___________；
(3)【拓展延伸】如图3，在△𝐵𝐺𝐶中，𝐺𝐹平分∠𝐵𝐺𝐶，𝐸为𝐵𝐶的中点，过点𝐸作𝐸𝐷∥𝐺𝐹，𝐸𝐷交𝐶𝐺的延长线
于点𝐷，交𝐵𝐺于点𝐴．求证：𝐴𝐵= 𝐶𝐷．
【答案】(1)B；
(2)2 < 𝑥< 7；
(3)见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理．
（1）根据题干证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐶𝐸即可；
（2）延长𝐴𝐷至点𝐸，使得𝐴𝐷= 𝐸𝐷，连接𝐵𝐸，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则△𝐴𝐷𝐶≌
△𝐸𝐷𝐵，可得𝐴𝐶= 𝐵𝐸，根据三角形三边的关系，可𝐵𝐸−𝐴𝐵< 𝐴𝐸< 𝐵𝐸+ 𝐴𝐵，即可；
（3）延长𝐴𝐸至点𝐻，使得𝐸𝐻= 𝐴𝐸，连接𝐶𝐻，根据全等三角形的判定和性质，则△𝐴𝐵𝐸≌△𝐻𝐶𝐸，
根据平行线的性质，则∠𝐶𝐺𝐹= ∠𝐷，∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐴𝐺𝐹，根据角平分线的性质，可得∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐶𝐺𝐹，根据等
量代换，等角对等边，即可证明．
【详解】（1）解：∵𝐸是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐹𝐶𝐸中，
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{
𝐸𝐹= 𝐴𝐸
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹𝐸𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐶𝐸(SAS)．
故选：B；
（2）解：如图，延长𝐴𝐷至点𝐸，使得𝐴𝐷= 𝐸𝐷，连接𝐵𝐸，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
在△𝐴𝐷𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
{
𝐴𝐷= 𝐸𝐷
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶
𝐷𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(SAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐸，
∵𝐴𝐷= 𝑥，
∴𝐴𝐸= 2𝑥，
∵𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 9，
∴𝐵𝐸−𝐴𝐵< 𝐴𝐸< 𝐵𝐸+ 𝐴𝐵，
∴9 −5 < 2𝑥< 9 + 5，
∴4 < 2𝑥< 14，
∴2 < 𝑥< 7，
故答案为：2 < 𝑥< 7；
（3）证明，如图，延长𝐴𝐸至点𝐻，使得𝐸𝐻= 𝐴𝐸，连接𝐶𝐻，
∵点𝐸是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐻𝐶𝐸中，
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{
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶𝐸𝐻
𝐴𝐸= 𝐸𝐻
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐻𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐻，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐻，
∵𝐷𝐸∥𝐺𝐹，
∴∠𝐶𝐺𝐹= ∠𝐷，∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐴𝐺𝐹，
∵𝐹𝐺平分∠𝐵𝐺𝐶，
∴∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐶𝐺𝐹，
∴∠𝐷= ∠𝐷𝐴𝐺，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐺，
∴∠𝐻= ∠𝐷，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐻，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷．
24．（12 分）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]
如图1，∠𝐵𝐴𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，过点𝐵作𝐵𝐶⊥𝐴𝐶于点𝐶，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸．由∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠𝐷=
90°，得∠1 = ∠𝐷．又∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，可以推理得到△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸．进而得到𝐴𝐶= ，𝐵𝐶= 𝐴𝐸．我
们把这个数学模型称为“𝐾字”模型或“一线三等角”模型；
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[模型应用]
如图2，𝐴𝐸⊥𝐴𝐵且𝐴𝐸= 𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷且𝐵𝐶= 𝐶𝐷，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图
形的面积．
[深入探究]
如图3，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，连接𝐵𝐶，𝐷𝐸，且𝐵𝐶⊥𝐴𝐹于点𝐹，𝐷𝐸与直线𝐴𝐹交于
点𝐺．求证：点𝐺是𝐷𝐸的中点．
【答案】[模型呈现]𝐷𝐸；
[模型应用]50；
[深入探究]证明：如图3，过𝐷作𝐷𝑀⊥𝐴𝐹于𝑀，过𝐸作𝐸𝑁⊥𝐴𝐹于𝑁，
由“𝐾字”模型得：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐴𝑀(AAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐷𝑀，
同理：𝐴𝐹= 𝐸𝑁，
∴𝐸𝑁= 𝐷𝑀，
∵𝐷𝑀⊥𝐴𝐹，𝐸𝑁⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐺𝑀𝐷= ∠𝐺𝑁𝐸= 90°，
在△𝐷𝑀𝐺与△𝐸𝑁𝐺中
{
∠𝐷𝐺𝑀= ∠𝐸𝐺𝑁
∠𝐷𝑀𝐺= ∠𝐸𝑁𝐺,
𝐷𝑀= 𝐸𝑁
∴△𝐷𝑀𝐺≌△𝐸𝑁𝐺(AAS)，
∴𝐷𝐺= 𝐸𝐺，
即点𝐺是𝐷𝐸的中点．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键；
[模型呈现]根据题意可直接进行求解；
[模型应用] 由“𝐾字”模型可知，△𝐸𝑃𝐴≌△𝐴𝐺𝐵，△𝐵𝐺𝐶≌△𝐶𝐻𝐷，则有𝐸𝑃= 𝐴𝐺= 6，𝑃𝐴= 𝐵𝐺= 3，
𝐵𝐺= 𝐶𝐻= 3，𝐺𝐶= 𝐷𝐻= 4，然后根据割补法求面积即可；
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[深入探究] 过𝐷作𝐷𝑀⊥𝐴𝐹于𝑀，过𝐸作𝐸𝑁⊥𝐴𝐹于𝑁，由“𝐾字”模型得：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐴𝑀(AAS)，则
有𝐴𝐹= 𝐷𝑀，然后可证△𝐷𝑀𝐺≌△𝐸𝑁𝐺(AAS)，进而问题可求解．
【详解】[模型呈现]解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐸．
故答案为：𝐷𝐸．
[模型应用]解：如图2 中，
由“𝐾字”模型可知，△𝐸𝑃𝐴≌△𝐴𝐺𝐵，△𝐵𝐺𝐶≌△𝐶𝐻𝐷，
∴𝐸𝑃= 𝐴𝐺= 6，𝑃𝐴= 𝐵𝐺= 3，𝐵𝐺= 𝐶𝐻= 3，𝐺𝐶= 𝐷𝐻= 4，
∴𝑃𝐻= 𝑃𝐴+ 𝐴𝐺+ 𝐺𝐶+ 𝐶𝐻= 3 + 6 + 4 + 3 = 16，
∴图中实线所围成的图形的面积=梯形𝐸𝑃𝐻𝐷的面积−△𝐸𝑃𝐸的面积−△𝐴𝐵𝐺的面积−△𝐵𝐺𝐶的面积
−△𝐶𝐻𝐷的面积
= 1
2 × (6 + 4) × 16 −2 × 1
2 × 3 × 6 −2 × 1
2 × 3 × 4
= 50．
故答案为：50．
[深入探究]略
