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专题24 等腰三角形中的分类讨论
（题型突破·举一反三）
题型01 顶角或底角不明
题型02 腰与底边不明
题型03 图形未知
题型04 新定义中的分类讨论
题型05 高与腰的夹角
题型06 一腰上的中线
题型07 一（两）腰上的垂直平分线
题型08 两圆一线
题型09 等腰三角形的存在性
▌题型01 顶角或底角不明
题目只说等腰三角形给出一个内角度数，没有说明这个角是顶角还是底角，必须分两类讨论！
1. 等腰三角形两个底角相等；
2. 三角形内角和 180°；
3. 底角一定是锐角（＜90°）；顶角可以锐角、直角、钝角。
【典例1】（2026 春•碑林区校级月考）已知△ABC 是等腰三角形，若∠A＝70°，则△ABC 的底角度数为
（ ）
A．70°
B．55°
C．40°
D．70°或55°
【分析】等腰三角形ABC 的顶角和底角都有可能是70°，由等边对等角和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：当等腰△ABC 的顶角是70°时，
∵等腰三角形的两个底角相等，
∴△ABC 的底角= 1
2 ×（180°﹣70°）＝55°；
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等腰△ABC 的底角也可能是70°，
∴△ABC 的底角度数为70°或55°．
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•金山区期末）在一个等腰三角形中，与顶角相邻的其中一个外角是100°，那么它的
一个底角的度数是 50 °．
【分析】先求出该等腰三角形的顶角为80°，进而得两个底角之和为100°，然后根据等腰三角形的两
个底角相等即可得出它的一个底角的度数是50°．
【解答】解：∵与等腰三角形顶角相邻的其中一个外角是100°，
∴该等腰三角形的顶角为：180﹣100＝80°，
∴该等腰三角形的两个底角之和为：180﹣80°＝100°，
又∵等腰三角形的两个底角相等，
∴该等腰三角形一个底角的度数是50°．
故答案为：50．
【变式1-2】（2026 春•周村区期末）等腰三角形的一个内角为50°，则它的一个底角的度数为（ ）
A．80°
B．65°
C．50°或80°
D．50°或65°
【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°时；当等腰三角形的一个底角为50°时，然后分别进
行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°时，则它的两个底角度数都= 180°−50°
2
=65°；
当等腰三角形的一个底角为50°时，则它的顶角度数＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
综上所述：它的一个底角的度数为65°或50°，
故选：D．
【变式1-3】（2025 秋•杭州期中）已知等腰三角形的一个外角是80°，则它的底角度数是（ ）
A．40°
B．100°
C．40°或100°
D．20°
【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为80°，
∴相邻角为180°﹣80°＝100°，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴100°角为顶角，
∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°．
故选：A．
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▌题型02 腰与底边不明
题目给出两条边长，没有指定哪条是腰，哪条是底边，必须分两种情况讨论，最后一定要用三角形三边关
系检验！
1. 等腰三角形：两条腰长度相等；
2. 三边关系：任意两边之和＞第三边（不满足直接舍去）；
3. 不要忘记检验！ 很多情况其中一组构不成三角形，需要舍去；
4. 看清题干：是否说明“腰”“底边”，有说明就不用分类；
5. 最终答案有几种情况，看检验结果。
【典例1】（2026 春•南山区期末）已知等腰三角形一边长是12cm，另一边长是5cm，则它的周长是 29
cm．
【分析】由已知条件结合三角形任意两边之和大于第三边，判断第三边的值为12cm，从而求出它的周长．
【解答】解：∵等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，又三角形任意两边之和大于第三边，
∴这个等腰三角形的第三边的长为12cm．
∴这个等腰三角形的周长为：5+12+12＝29（cm）．
故答案为：29．
【变式1-1】（2026 春•惠济区校级期末）若等腰△ABC 的周长为20，其中一边长为8，则这个等腰三角形
的底边长与其腰长的比值为（ ）
A．
1
2
B．
4
3
C．
4
3或2
D．
4
3或
1
2
【分析】分边长8 为腰长和底边长两种情况，根据等腰三角形的定义求出该三角形的三边长，再根据构
成三角形的条件判断能否构成三角形，并计算对应的底边长与其腰长的比值．
【解答】解：当8 为腰长时，底边长为20﹣2×8＝4，此时三边长为4，8，8，
∵4+8＝12＞8，
∴能构成三角形，
∴底边长与腰长的比值为
4
8 =
1
2；
②当8 为底边长时，腰长为
1
2 × (20 −8) = 6，此时三边长为6，6，8，
∵6+6＝12＞8
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∴能构成三角形，符合题意，
∴底边长与腰长的比值为
8
6 =
4
3；
综上，底边长与腰长的比值为
4
3或
1
2．
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•上海校级月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、3x﹣2、x+1，求x 的值，并求这
个等腰三角形三边的长．
【分析】在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．分三种情况讨
论．
【解答】解：根据题意，分三种情况讨论如下：
∴①当7＝3x﹣2 时，解得：x＝3，
∴等腰三角形的三边分别为7，7，4，此时能组成三角形；
②当x+1＝3x﹣2 时，解得：𝑥= 3
2，
∴等腰三角形的三边分别为7，5
2 ，5
2，此时不能组成三角形；
③当x+1＝7 时，解得：x＝6，
∴等腰三角形的三边分别为7，16，7，此时不能组成三角形；
综上所述，x＝3，三角形三边长为7，7，4．
【变式1-3】（2025 秋•重庆期中）一个等腰三角形的周长是35cm．
（1）已知腰长是底边长的3 倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为7cm，求各边的长．
【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm，代入求出即可；
（2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角
形．
【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm，
x+3x+3x＝35，
解得：x＝5，
所以3x＝15（cm），
故各边长为：5cm，15cm，15cm；
（2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论：
①若底边长为 7 cm，设腰长为ycm，
则：7+2y＝35，y＝14，
所以三边长分别为：7cm，14cm，14cm，
②若腰长为 7 cm，设底边长为acm，则：7+7+a＝35，得a＝21，
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又因为7+7＝14＜21，故舍去，
综上所述，三边长分别为：7cm，14cm，14cm．
▌题型03 图形未知
题干只描述条件，没有给出图形，点位置不确定、三角形摆放不确定，需要画图分类讨论，极易漏解。
【典例1】（2026•阿城区二模）在△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝20°，点D 在AB 边上，连接CD，若△
BCD 为等腰三角形时，则∠ACD 的度数为 20°或80° ．
【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠ACB，再分类讨论，最后根据三角形的内角和定理得结论．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝20°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
①当BC＝BD 时，如图：
此时∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，
∴∠ACD＝100°﹣80°＝20°；
②当BD＝CD 时，如图：
此时∠DBC＝∠DCB＝20°，
∴∠ACD＝100°﹣20°＝80°；
当BC＝CD 时，∠BCD＝180°﹣2×20°＝140°，
此时点D 不在边AB 上（舍去），
综上所述，∠ACD 的度数为20°或80°．
故答案为：20°或80°．
【变式1-1】（2026 春•兴庆区校级期中）若一等腰三角形的腰长为4cm，腰上的高为2cm，则等腰三角形的
顶角为（ ）
A．30°
B．150°
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C．30°或150°
D．以上都不对
【分析】根据题意作出图形分两种情况，高线在三角形内、高线在三角形外，然后再解直角三角形即可．
【解答】解：由题意我们可作图
（1）∵AC＝4，CD＝2，CD⊥AB，
∴∠A＝30°，
（2）∵AC＝4，CD＝2，CD⊥BD，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝150°．
故选：C．
【变式1-2】（2025 秋•庐阳区校级期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三
角形的顶角的度数为（ ）
A．56°
B．146°
C．56°或146°
D．34°或146°
【分析】通过分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，进行分类讨论即可．
【解答】解：设该等腰三角形为△ABC，且AB＝AC，
当等腰三角形为钝角三角形时，如图，
由题意得：∠ABD＝56°，BD⊥CD，
∴∠BAD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BAC＝180°﹣34°＝146°，
∴此等腰三角形的顶角的度数为146°；
当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示，
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由题意得∠ABD＝56°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°﹣56°＝34°，
∴此等腰三角形的顶角的度数为34°；
综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为146°或34°，
故选：D．
【变式1-3】（2025 秋•龙江县期末）已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角
为 75°或15° ．
【分析】分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，由此即可求解．
【解答】解：如图①，AB＝AC，BD⊥AC，BD= 1
2AB，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵BD= 1
2AB，
∴∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C= 1
2 ×（180°﹣30°）＝75°；
如图②，AB＝AC，BH⊥CA，交CA 的延长线于H，BH= 1
2AB，
∵BH⊥CA，
∴∠BHA＝90°，
∵BH= 1
2AB，
∴∠BAH＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ABC+∠C＝∠BAH，
∴2∠C＝30°，
∴∠C＝15°，
∴该等腰三角形的底角为75°或15°．
故答案为：75°或15°．
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▌题型04 新定义中的分类讨论
1. 题干给出全新定义（如：和谐三角形、倍角三角形、优等腰三角形、奇异三角形等）；
2. 结合等腰三角形；
3. 无图 / 顶点不固定 / 边角身份不明确，必须分类讨论；
4. 核心陷阱：等腰三角形谁是顶角顶点不预先说明。
【典例1】（2025•洞口县校级模拟）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫做“倍
长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，腰AB 的长为6，则底边BC 的长为 3 ．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC 是腰长AB 的2 倍时，当等腰三角形的腰长AB 是底边
长BC 的2 倍时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的底边长BC 是腰长AB 的2 倍时，
∵腰长AB＝AC＝6，
∵底边BC 的长为12，
∵6+6＝12，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长AB 是底边长BC 的2 倍时，
∵腰长AB＝AC＝6，
∴底边BC 的长为3；
综上所述：底边BC 的长为3，
故答案为：3．
【变式1-1】（2026 春•埇桥区期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰
三角形的“特征值”．若在等腰△ABC 中，∠A＝50°，则它的特征值k 等于（ ）
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A．
10
13
B．
5
8
C．
13
10或
5
8
D．
10
13或
8
5
【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°；当等腰三角形的一个底角为50°时，然后分别进行
计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°，
∴等腰三角形的两个底角都= 1
2 ×（180°﹣50°）＝65°，
∴这个等腰三角形的“特征值”k= 50°
65° = 10
13；
当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×50°＝80°，
∴这个等腰三角形的“特征值”k= 80°
50° = 8
5；
综上所述：
10
13或
8
5，
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•高新区校级月考）定义：如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么
称这条线段为这个三角形的奇妙线，称这个三角形为奇妙三角形．若△ABC 是奇妙三角形，∠A＝36°，
∠ABC 为钝角，则∠ABC 所有可能的度数 108°或126°或132° ．
【分析】根据奇妙线的定义可得出奇妙线必经过三角形的顶点，然后分奇妙线经过点A、点B、点C 讨
论，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：∵奇妙线将原三角形分成两个等腰三角形，
∴奇妙线必经过三角形的顶点，
当奇妙线经过点A 时，如图，
∵∠ADC＞∠ABC，∠ABC 是钝角，
∴∠ADC 是钝角，
∵△ADC 是等腰三角形，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
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∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠DAC
同理∠DAB＝∠ADB，
∴∠BAC＝∠DAC+∠DAB＝3∠DAC＝36°，
∴∠DAC＝12°＝∠C，
∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝132°；
当奇妙线经过点C 时，如图，
同理可求AD＝CD，BC＝BD，
∴∠ACD＝∠A＝36°，∠BCD＝∠BDC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ACD+∠A＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝36°，不符合题意，舍去；
当奇妙线经过点B 时，如图，
当AD＝BD 时，∠DBA＝∠A＝36°，
∴∠CDB＝72°，
若BC＝CD，则∠CBD＝∠CDB＝72°，
∴∠C＝36°，
∴∠ABC＝108°，符合题意；
若BC＝BD，则∠C＝∠CDB＝72°，
∴∠ABC＝72°，不符合题意，舍去；
若BD＝CD，则∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶= 180°−∠𝐵𝐷𝐶
2
= 54°，
∴∠ABC＝90°，不符合题意，舍去；
当AB＝BD 时，
则∠ADB＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝144°，
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若△BCD 是等腰三角形，则BD＝CD，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶= 180°−∠𝐵𝐷𝐶
2
= 18°，
∴∠ABC＝126°，符合题意；
当AD＝AB 时，
则∠𝐷𝐵𝐴= ∠𝐴𝐷𝐵= 180°−∠𝐴
2
= 72°，
∴∠CDB＝108°，
若△BCD 是等腰三角形，则BD＝CD，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶= 180°−∠𝐵𝐷𝐶
2
= 36°，
∴∠ABC＝108°，符合题意；
综上，∠ABC 所有可能的度数为108°或126°或132°．
故答案为：108°或126°或132°．
【变式1-3】（2025 秋•姑苏区校级期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫
做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，腰AB 的长为6，求△ABC 的周长．
【分析】分两种情况讨论：①腰是底的2 倍；②底是腰的2 倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之
和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案．
【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当腰是底的2 倍时，底边为6÷2＝3，
∵3+6＞6，6﹣3＜6，
∴可以构成三角形；
②当底是腰的2 倍时，底边为6×2＝12，
∵6+6＝12，
∴不能构成三角形．
∴△ABC 的周长＝6+6+3＝15．
▌题型05 高与腰的夹角
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为𝛼，求顶角。
没有给出图形，必须分两类：锐角等腰三角形、钝角等腰三角形。
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情况1：等腰三角形为锐角三角形（顶角是锐角）
高在三角形内部，顶角 =90° −𝛼；
情况2：等腰三角形为钝角三角形（顶角是钝角）
高在三角形外部，顶角 =90° + 𝛼。
【典例1】已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（ ）
A．50°
B．50°或130°
C．130°
D．65°或25°
【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【解答】解：在等腰△ABC 中，AB＝AC，BD 为腰AC 上的高，∠ABD＝40°，
当BD 在△ABC 内部时，如图1，
∵BD 为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB= 1
2（180°﹣50°）＝65°；
当BD 在△ABC 外部时，如图2，
∵BD 为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB= 1
2∠BAD＝25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
故选：D．
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【变式1-1】（2026 春•沙坪坝区校级月考）若某等腰三角形一内角为50°，则等腰三角形一腰上的高与底
边的夹角为（ ）
A．25°或30°
B．40°或35°
C．25°或40°
D．30°或50°
【分析】如图，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D，分两种情况，当∠C＝50°时，当∠A＝50°时，即可解
答．
【解答】解：如图，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D，
当∠C＝50°时，则∠DBC＝90°﹣50°＝40°；
当∠A＝50°时，
∵AB＝AC，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 180°−50°
2
= 65°，
∴∠DBC＝90°﹣65°＝25°；
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•虹口区期末）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于底角，那么这个
等腰三角形顶角的度数为 120 度．
【分析】等腰三角形一腰上的高不可能在等腰三角形的内部，当等腰三角形一腰上的高在等腰三角形的
外部时，由直角三角形的性质求出底角的度数，即可求出这个等腰三角形顶角的度数．
【解答】解：当等腰三角形一腰上的高在等腰三角形的内部时，如图：AB＝AC，BD⊥AC，
∵∠ABD＜∠ABC，
∴此种情况不存在；
当等腰三角形一腰上的高在等腰三角形的外部时，如图：AB＝AC，BH⊥AC，交AC 的延长线于H，
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∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠BHC＝90°，
∴∠C+∠ABC+∠ABH＝90°，
∵∠ABH＝∠ABC，
∴3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30﹣30°＝120°，
∴这个等腰三角形顶角的度数为120°，
故答案为：120．
【变式1-3】（2026 春•龙岗区期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是56°，那么这个等
腰三角形的顶角的度数是 124°或56° ．
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【解答】解：等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为56°，根据等腰三角形的性质，分两种情
形画出图形分别求解如下：
①如图1，当∠BAC 是钝角时，
由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝56°，
∴∠BAC＝∠EAD＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，
②如图2，当∠A 是锐角时，
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由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝56°，
∴∠DHE＝124°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，
故答案为：124°或56°．
▌题型06 一腰上的中线
已知：等腰三角形一腰上的中线将周长分为 m、n 两部分，
解题步骤
（1）设腰长 2x（设2x 方便消分母，中线分得线段为x），底边长 y；
（2）分两种情况列方程：
情况①：腰+半腰 = m，底+半腰 = n
即{2𝑥+ 𝑥= 𝑚
𝑥+ 𝑦= 𝑛
情况②：腰+半腰 = n，底+半腰 = m
即{2𝑥+ 𝑥= 𝑛
𝑥+ 𝑦= 𝑚
（3）解出 x，,y 后检验三边关系：两腰之和＞底边，不成立舍去。
【典例1】（2026 春•榆中县期中）等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12 与
15，则腰长为 8 或10 ．
【分析】分腰长和腰长的一半的和是12 和15 两种情况求出腰长，再求出底边，然后根据三角形的任意
两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，从而得解．
【解答】解：①若腰长和腰长的一半的和是12，则腰长为8，
底边长为15−1
2 ×8＝11，
能组成三角形，
②若腰长和腰长的一半的和是15，则腰长为10，
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底边长为12−1
2 ×10＝7，
能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是8 或10．
故答案为：8 或10．
【变式1-1】（2026 春•杨浦区校级月考）在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，周长为16cm，AC 边上的中线
BD 把△ABC 分成周长差为4cm 的两个三角形，求△ABC 底边BC 的长
8
3 cm．
【分析】设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角
形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符
合条件的BC 的长．
【解答】解：设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm，
由△ABC 周长为16cm 得：
2x+y＝16，
∵BD 是AC 边上的中线，
∴AD＝CD，
又BD 是△ABD 和△BCD 的公共边，
∴|x﹣y|＝4，
分两种情况讨论：
（1）当x＞y 时，x﹣y＝4，
联立方程组{2𝑥+ 𝑦= 16
𝑥−𝑦= 4 ，
两式相加得3x＝20，解得𝑥= 20
3 ，
代入x﹣y＝4 得𝑦= 8
3，
此时三边长为
20
3 𝑐𝑚，
20
3 𝑐𝑚，
8
3 𝑐𝑚，满足三角形三边关系，符合题意．
（2）当x＜y 时，y﹣x＝4，
联立方程组{2𝑥+ 𝑦= 16
𝑦−𝑥= 4 ，
解得{𝑥= 4
𝑦= 8，
此时三边长为4cm，4cm，8cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去．
综上，底边BC 的长为
8
3 𝑐𝑚．
故答案为：
8
3．
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【变式1-2】（2026•雅安模拟）在等腰△ABC 中，AB＝AC，中线CD 将这个三角形的周长分为12 和15 两
个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7
B．7 或11
C．10
D．8 或10
【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关
系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，等腰三角形的两腰相等，寻找问题中
的等量关系，列方程可得：
①{
𝑥+ 𝑦
2 = 15
𝑦+ 𝑦
2 = 12
或②{
𝑥+ 𝑦
2 = 12
𝑦+ 𝑦
2 = 15
，
解方程组①得：{𝑥= 11
𝑦= 8 ，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；
解方程组②得：{𝑥= 7
𝑦= 10，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，
即等腰三角形的底边长是11 或7；
故选：B．
【变式1-3】（2025 秋•涪城区校级期末）等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周长分为1：2 两部分，
则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．4
B．10
C．20
D．4 或20
【分析】设等腰三角形的腰长与底边长分别为xcm、ycm，根据题意分两种情况列出方程组求解，然后利
用三角形的三边关系判断即可得解．
【解答】解：设等腰三角形的腰长与底边长分别为x、y，
根据题意得{
2𝑥+ 𝑦= 36
1.5𝑥
0.5𝑥+𝑦= 1
2
或{
2𝑥+ 𝑦= 36
0.5𝑥+𝑦
1.5𝑥
= 1
2
，
解得{𝑥= 8
𝑦= 20或{𝑥= 16
𝑦= 4 ，
当x＝8，y＝20 时，三角形的三边分别为8、8、20，
∵8+8＝16＜20，
∴不能组成三角形，
当x＝16，y＝4 时，三角形的三边分别为16、16、4，
能够组成三角形，
所以这个等腰三角形的底边长为4．
故选：A．
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▌题型07 一（两）腰上的垂直平分线
线段垂直平分线性质：线上任意一点到线段两端距离相等。
等腰△ABC，AB＝AC，AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点𝐸
1.交点落在腰上（锐角等腰三角形）
2.交点落在腰的延长线上（钝角等腰三角形）
无图必须分两类！
【典例1】（2025 秋•监利市期末）已知等腰△ABC，AB＝AC，若AB 边上的垂直平分线与直线AC 所夹的
锐角为50°，则等腰△ABC 顶角的度数为（ ）
A．65°
B．65°或25°
C．50°
D．40°或140°
【分析】分两种情况：当△ABC 是锐角三角形时；当△ABC 是钝角三角形时；分别画出图形，求解即可．
【解答】解：如图，当△ABC 是锐角三角形时，
，
∵DE 垂直平分AB，∠ADE＝50°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ADE＝40°；
如图，当△ABC 是钝角三角形时，
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，
∵DE 垂直平分AB，∠ADE＝50°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAE＝140°；
综上所述，等腰△ABC 顶角的度数为40°或140°，
故选：D．
【变式1-1】（2025 秋•讷河市期末）在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交AB 于点D，交直线AC 于
点E．若∠EBC＝42°，则∠BAC 的度数为（ ）
A．32°或152°
B．32°或88°
C．88°或152°
D．32°或88°或152°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，得到∠
ABE＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：如图1，
∵△ABC 是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∵DE 垂直且平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A，
∴∠EBC+∠ACB＝∠AEB，
42°+（180°﹣∠A）＝180°﹣2∠A，
解得∠BAC＝32°．
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如图2，同理可得∠BAC＝152°，
如图3，同理可得∠BAC＝88°，
综上所述∠BAC＝32°或152°或88°，
故选：D．
【变式1-2】（2025 秋•天河区期末）已知等腰△ABC 中．AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC
＝100°，则等腰三角形的顶角为 50°或130° ．
【分析】分两种情况：（1）当P 在△ABC 的内部时，连接AP，根据垂直平分线性质可得AP＝BP＝CP，
根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当P 在△ABC 的外部，连接
AP，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果．
【解答】解：分两种情况：
当P 在△ABC 的内部，连接AP，如图1，
∵两腰的垂直平分线交于点P，
∴AP＝BP＝CP，
∴∠CAP＝∠ACP，∠BAP＝∠ABP，
∵∠BAC＝∠BAP+∠CAP，∠BPC＝100°，
∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠ABP＝2∠BAC，
∵∠BPC＝100°，
∴∠BPA+∠CPA＝360°﹣100°＝260°，
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∵∠BPA+∠CPA+2∠BAC＝360°，
∴∠BAC＝50°；
当P 在△ABC 的外部，连接AP，如图2，
由题意得：AP＝BP＝CP，
∴∠PAC＝∠PCA，∠PBA＝∠PAB，
∴∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC＝2∠BAC，
∵∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC+∠BPC＝360°，
∵∠BPC＝100°，
∴2∠BAC＝360°﹣100°＝260°，
∴∠BAC＝130°，
则等腰三角形的顶角为50°或130°，
故答案为：50°或130°．
【变式1-3】（2026 春•峄城区月考）等腰△ABC，AB＝AC，线段AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D，交直
线AC 于点E，若∠DEA＝50°，则∠BAC 的度数是 40°或140° ．
【分析】分点E 在线段AC，点E 在CA 的延长线上和点E 在线段AC 的延长线上三种情况，分别画出示
意图，讨论求解即可．
【解答】解：①当点E 在线段AC 上时，如图，
∵线段AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D，
∴∠EDA＝90°，
又∵∠DEA＝50°，
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∴∠BAC＝90°﹣∠DEA＝40°；
②当点E 在CA 的延长线上时，如图，
∵线段AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D，
∴∠EDA＝90°，
∵∠DEA＝50°，
∴∠EAD＝90°﹣∠DEA＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠EAD＝140°；
③当点E 在线段AC 的延长线上时，如图，
同理可得∠BAC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−40°
2
= 70°；
∵线段AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D，
∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠EAB，与∠EBA＞∠ABC＞∠BAC 矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述，∠BAC 的度数是40°或140°；
故答案为：40°或140°．
▌题型08 两圆一线
已知定点A、B，找点P 使△ABP 为等腰三角形
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1. 圆1（以A 为圆心，AB 为半径画圆）
顶角顶点为A，满足：AB=AP，圆周上所有点均可作P。
2. 圆2（以B 为圆心，AB 为半径画圆）
顶角顶点为B，满足：BA=BP，圆周上所有点均可作P。
3. 一线（线段AB 的垂直平分线）
顶角顶点为P，满足：PA=PB，垂直平分线上所有点均可作P。
【典例1】（2025 秋•海州区校级月考）如图，在4×4 方格中，以AB 为一边，第三个顶点也在格点上的等
腰三角形可以作出（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B 为圆心，AB 长为半径画圆，两个圆与格点的交点，即可
得出第三个顶点的位置．
【解答】解：分别以A、B 为圆心，AB 长为半径作弧，有7 个点，
作线段AB 的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点，
故以AB 为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7 个，
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•碑林区校级期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B 是两
格点，使得△ABC 为等腰三角形的格点C 的个数是（ ）
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A．3
B．5
C．6
D．8
【分析】根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解．
【解答】解：如图：
分三种情况讨论如下：
①当AB＝AC 时，以点A 为圆心，以AB 长为半径作圆，则点C1 即为所求；
②当BA＝BC 时，以点B 为圆心，以BA 长为半径作圆，则点C2 即为所求；
③当CA＝CB 时，作AB 的垂直平分线，则点C3，C4，C5，C6 即为所求，
故选：C．
【变式1-2】（2025 秋•镇平县期末）如图，在3×3 的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B 两点都在
格点上，点C 也是一格点，并且△ABC 是等腰三角形，那么满足条件的点C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解．
【解答】解：当AB 为底时，作线段AB 的垂直平分线，点C 满足条件，
当BC 为底时，以A 为圆心，AB 长为半径，画圆，点C″满足条件，
当AC 为底时，以B 为圆心，AB 长为半径，画圆，点C′满足条件，
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故选：C．
【变式1-3】（2026•海口二模）如图，在5×5 的正方形网格中，点A，B 都在格点处，若以线段AB 为腰的
等腰三角形ABC 另一顶点C 也在格点处，则点C 所处的位置个数为 .
分析】根据网格结构，分别以A、B 为圆心，AB 为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C 的
个数．
【解答】解：点A，B 都在格点处，若以线段AB 为腰的等腰三角形ABC 另一顶点C 也在格点处，
如图，以AB 为等腰△ABC 其中的一条腰时，符合条件的C 点有6 个．
故答案为：6．
▌题型09 等腰三角形的存在性
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使△PAB 为等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当A 为顶角顶点，AP=AB，……计算
② 当B 为顶角顶点，BP=BA，……计算
③ 当P 为顶角顶点，PA=PB，……计算
检验：排除三点共线情况
【典例1】（2025 秋•广信区期末）如图，△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP 平分∠ABC；点
D 是射线BP 上一点，如果点D满足△BCD 是等腰三角形，那么∠BDC 的度数是 40°、70°或100° ．
【分析】由于△BCD 中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：当BC＝CD 时，如图所示，
∵∠A＝20°，AB＝AC，
∴∠ABC＝80°，
∵BP 平分∠ABC，
∴∠CBD＝40°，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC＝40°，
当BD＝BC 时，如图所示，
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∵∠A＝20°，AB＝AC，
∴∠ABC＝80°，
∵BP 平分∠ABC，
∴∠CBD＝40°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝70°．
当DB＝DC 时，如图所示，
∵∠A＝20°，AB＝AC，
∴∠ABC＝80°，
∵BP 平分∠ABC，
∴∠CBD＝40°，
∵BD＝CD，
∴∠BDC＝100°，
故答案为：40°、70°或100°．
【变式1-1】（2025 秋•瑶海区校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝120°，AC＝BC．已知∠MPN 的顶
点P 是线段AB 上一点，PM 经过顶点C，PN 与AC 交于点D，∠MPN＝30°，设PM 与BC 的夹角为∠
1（∠1≠0°）．
（1）若AP＝AC，则∠BPC 的度数为 105° ；
（2）当△CDP 是等腰三角形时，∠1 的度数为 45°或90° ．
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【分析】（1）根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出∠A 的度数，结合AP＝AC，求出∠ACP 的度
数，最终可得∠BPC 的度数；
（2）由于未明确哪两条边为腰，故对DP＝CP、DP＝DC、DC＝CP 进行分类讨论，同样依据等腰三角形
的角度性质解出∠1 的大小．
【解答】解：（1）已知AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°（等边对等角），
又∵AP＝AC，
∴∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐴𝑃𝐶= 1
2 (180° −30°) = 75°，
∴∠BPC＝∠ACP+∠A＝75°+30°＝105°，
则∠BPC 的度数为105°，
故答案为：105°；
（2）分类讨论：
当DP＝CP 时，如图：
∵∠CPD＝30°，DP＝CP，
∴∠𝑃𝐷𝐶= ∠𝑃𝐶𝐷= 1
2 (180° −30°) = 75°，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠1＝∠ACB﹣∠PCD＝120°﹣75°＝45°；
当DP＝DC 时，如图：
∵∠CPD＝30°，DP＝DC，
∴∠CPD＝∠PCD＝30°，
又∵∠ACB＝120°，
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∴∠1＝∠ACB﹣∠PCD＝120°﹣30°＝90°；
当DC＝CP 时，此时点P 与点B 重合，点D 与点A 重合，
∠1＝0°，题干要求∠1≠0°，故该情况不存在；
综上所述，∠1 的度数为45°或90°．
故答案为：45°或90°．
【变式1-2】已知在△ABC 中，AB＝AC，点D 是边AB 上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB 的理由；
（2）如图2，过点B 作BE⊥AC，垂足为点E，BE 与CD 相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE 的理由；
②如果△BDF 是等腰三角形，求∠A 的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+
∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD
＝CB，即可解答；
（2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝
90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠
BCD＝2α，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF 时；当DB＝DF 时；当FB＝FD
时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC 是△ADC 的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
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∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD 是△CBF 的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三种情况：
当BD＝BF 时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF 时，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD 时，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF 是等腰三角形，∠A 的度数为45°或36°．
【变式1-3】（2025 秋•松原校级期末）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，
P、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A→B 方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点
B 开始沿BC→CA 方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q 两点同时出发，当点P 运动到点B 时两点停止运
动，设运动时间为t 秒．
（1）BP＝ （16﹣t） cm（用含t 的式子表示）；
（2）当点Q 在边BC 上运动时．
①出发几秒后，△PQB 是等腰三角形？
②通过计算说明PQ 能否把△ABC 的周长平分？
（3）当点Q 在边CA 上运动时，若△BCQ 是以BC 或BQ 为底边的等腰三角形，直接写出此时t 的值．
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【分析】（1）根据题意即可用t 可表示出AP，BQ 即可求得BP；
（2）①结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t 的
方程，可求得t；②当Q 在BC 上，0≤t≤6，如图，AP＝t，BQ＝2t，则BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t，利用
PQ 把△ABC 的周长平分，再建立方程求解即可；
（3）用t 分别表示出BQ 和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC 和BQ＝CQ 三种情况，分别得到
关于t 的方程，可求得t 的值．
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
（2）①当点Q 在边BC 上运动，△PQB 为等腰三角形时，
即16﹣t＝2t，解得𝑡= 16
3 ，
∴出发
16
3 秒后；
②当Q 在BC 上，0≤t≤6，如图，
而AP＝t，BQ＝2t，
∴BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t，
∵PQ 把△ABC 的周长平分，
∴16﹣t+2t＝t+12﹣2t+20，
解得：t＝8，不符合题意舍去，
∴点Q 在边BC 上运动时．PQ 不能把△ABC 的周长平分．
（3）①当△BCQ 是以BC 为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1 所示，
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则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当△BCQ 是以BQ 为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2 所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t 为11 秒或12 秒时，△BCQ 是以BC 或BQ 为底边的等腰三角形．
故答案为：11 或12．
