文档文本内容
2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第十三章 三角形·能力提升（参考答案）
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
D
A
C
D
D
D
B
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．40°
12．稳定性
13．30
14．36°/36 度
15．4
7
16．75或15或105
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．
【详解】（1）解：∵a，b，c 是ABC
V
的三边长
且
2
a =
，
5
b =
，
∴5
2
5
2
c
-
<
<
+ ，即3
7
c
<
<
，
∵c 是奇数，
∴
5
c =
，
∴b
c
=
∴ABC
V
是等腰三角形；..................3 分
（2）解：∵a，b，c 是ABC
V
的三边长
∴a
b
c
-
<
，b
c
a
-
<
，c
a
b
-
<
，
∴
0
0
0
a
b
c
b
c
a
c
a
b
-
-
<
- -
<
-
-
<
，
，
，
∴原式
(
)
(
)
a
b
c
b
c
a
c
a
b
= - +
+
+ -
+
+
+ -
+
+
a
b
c
=
+
+ ．..................6 分
18．
【详解】（1）解：
AE
Q
是ABC
V
的中线，
5
BE =
，
2
2 5
10
BC
BE
\
=
=
´ =
，
ABC
QV
的面积为20，AD 是ABC
V
的高，
1
5
20
2
ABC
S
BC AD
AD
\
=
×
=
=
V
，
4
AD
\
=
．..................3 分
（2）解：
BFE
BAE
ABF
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，且
45
BFE
Ð
=
°，
30
BAE
Ð
=
° ．
15
ABF
Ð
\
=
°，
BF
Q
是ABE
V
的角平分线，
2
30
ABE
ABF
\Ð
= Ð
=
° ，
60
AED
ABE
BAE
\Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
AD
Q
是ABC
V
的高，
90
ADE
\Ð
=
° ，
90
AED
EAD
\Ð
+ Ð
=
° ，
90
90
60
30
EAD
AED
°
\Ð
=
- Ð
=
°
-
=
°
° ．
AD
Q
平分
CAE
Ð
，
30
CAD
EAD
\Ð
= Ð
=
° ，
90
60
C
CAD
\Ð
=
- Ð
=
°
° ．..................6 分
19．
【详解】（1）解：
CD
Q
是
ACB
Ð
的平分线，
1
1
56
28
2
2
ACD
ACB
\Ð
=
Ð
=
´
° =
° ．
BE
AC
^
Q
，则
90
CEF
Ð
=
°．
在Rt CEF
V
中，
90
90
28
62
EFC
ACD
-
-
Ð
=
°
Ð
=
°
° =
° ，
62
DFB
EFC
\Ð
= Ð
=
° ；..................3 分
（2）解：∵
CD
Q
是
ACB
Ð
的平分线，
1
1
56
28
2
2
ECF
ACB
\Ð
=
Ð
=
´
° =
°．
∵BE
CD
^
，
∴
90
CFE
Ð
=
°，
90
62
CEB
ECF
-
\Ð
=
°
Ð
=
° ，
62
50
12
ABE
CEB
A
-
-
\Ð
= Ð
Ð
=
°
° =
° ．..................6 分
20．
【详解】（1）解：
25
A
Ð
=
°
Q
，
40
B
Ð
=
°，
25
40
65
ACF
A
B
\Ð
= Ð + Ð
=
°+
° =
°；
DF
AC
^
Q
，
90
CEF
\Ð
=
° ，
180
180
90
65
25
F
CEF
FCE
\Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
° ，..................2 分
（2）
A
B
F
Ð + Ð
+ Ð
是定值，定值为90°．
ACF
Ð
Q
是ABC
V
的外角，
ACF
A
B
\Ð
= Ð + Ð
；
DF
AC
^
Q
，
90
CEF
\Ð
=
° ，
180
F
CEF
FCE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
Q
，
90
180
F
FCE
\Ð
+
°+ Ð
=
°，
90
F
FCE
\Ð
+ Ð
=
°．
90
A
B
F
\Ð + Ð + Ð
=
°，
即
A
B
F
Ð + Ð
+ Ð
是定值，定值为90°．..................6 分
21．
【详解】（1）解：∵AE 是边BC 上的高，
∴
90
AEB
Ð
=
°，
∴
180
60
BAE
B
AEB
-
-
Ð
=
°
Ð
Ð
=
° ，
∵
20
DAE
Ð
=
° ，
∴
40
BAD
BAE
DAE
-
Ð
= Ð
Ð
=
°，
∵AD 是
BAC
Ð
的平分线，
∴
2
80
BAC
BAD
Ð
= Ð
=
°，
∴
180
70
C
B
BAC
-
-
Ð
=
°
Ð
Ð
=
° ．..................4 分
(2)
2
C
B
F
-
Ð
Ð
= Ð
，理由如下：
∵AE 是边BC 上的高，
∴AE
BC
^
，
90
AEB
Ð
=
°，
∴
180
90
BAE
B
AEB
B
-
-
-
Ð
=
°
Ð
Ð
=
°
Ð
，
∴
90
BAD
BAE
DAE
B
DAE
-
-
-
Ð
= Ð
Ð
=
°
Ð
Ð
，
∵AD 是
ABC
Ð
的平分线，
∴
2
180
2
2
BAC
BAD
B
DAE
-
-
Ð
= Ð
=
°
Ð
Ð
，
∴
180
2
C
B
BAC
B
DAE
-
-
Ð
=
°
Ð
Ð
= Ð + Ð
，
∵FG
BC
^
，AE
BC
^
，
∴FG
AE
∥
，
∴
F
DAE
Ð
= Ð
，
∴
2
C
B
F
Ð
= Ð + Ð
，即
2
C
B
F
-
Ð
Ð
= Ð
．..................8 分
22．
【详解】(1)∵
180
A
D
AED
Ð + Ð
=
°- Ð
，
180
B
C
BEC
Ð + Ð
=
°- Ð
，
又
AED
BEC
Ð
= Ð
，
∴
A
D
B
C
Ð + Ð
= Ð + Ð
；..................2 分
(2)设
ABF
a
Ð
=
，设BF 与CD交于点G ，
∵AF
BF
^
，
∴
180
90
90
FAB
a
a
Ð
=
°-
°-
=
°-
，
∵AE 平分
DAF
Ð
，
∴
90
DAB
FAB
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∵AD
BC
∥
，
∴
90
ABC
DAB
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∴
90
2
CBF
ABC
ABF
a
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
，
∵AF
CD
∥
，
∴
90
BGE
F
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
90
BGC
BGE
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
180
90
2
C
CBF
a
Ð
=
°-
°- Ð
=
，即
2
C
ABF
Ð
= Ð
；..................5 分
(3)
2
180
M
N
Ð
+ Ð
=
°，理由如下：
设
1
DAN
Ð
= Ð ，
2
DCN
Ð
= Ð ，
∵AN 平分
BAD
Ð
，CN 平分
BCD
Ð
，
∴
2 1
DAE
Ð
= Ð ，
2 2
BCE
Ð
= Ð ，
∵AD
BC
∥
，
∴
2 2
ADE
BCE
Ð
= Ð
= Ð ，
由（1）的结论得
DAN
ADC
DCN
N
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，即
1
2 2
2
N
Ð + Ð = Ð + Ð
，
∴
1
2
N
Ð
= Ð + Ð ，
在AED
V
中，
180
180
2
1
2
AED
EAD
EDA
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
Ð + Ð
，
∵DM
AB
^
，BM
CD
^
，
由四边形内角和定理知
360
90
90
180
M
AEC
AEC
AED
Ð
=
°-
°-
°- Ð
=
°- Ð
= Ð
，
∴
180
2
1
2
M
Ð
=
°-
Ð + Ð
，
∴
180
2
M
N
Ð
=
°- Ð
，
∴
2
180
M
N
Ð
+ Ð
=
°．.................8 分
23．
【详解】（1）解：∵AB
OM
^
，
∴
90
OAB
Ð
=
° ，
∵
60
MON
Ð
=
°，即
60
AOB
Ð
=
° ，
∴
180
90
60
30
ABC
Ð
=
°-
°-
° =
° ，
∵
3
OAB
ABC
Ð
= Ð
，
∴AOB
V
是“梦想三角形”；
∵
80
ACB
Ð
=
° ，
∴
180
80
100
ACO
Ð
=
°-
° =
°，
∴
180
100
60
20
OAC
Ð
=
°-
°-
° =
°，
∵
3
AOB
OAC
Ð
= Ð
，
∴AOC
V
是“梦想三角形”；..................2 分
（2）解：∵DE 平分
ADC
Ð
，
∴
ADE
FDE
Ð
= Ð
，
∵EF
AB
P
，
∴
ADE
DEF
Ð
= Ð
，
∴
ADE
FDE
DEF
Ð
= Ð
= Ð
，
∴
180
180
2
BDC
ADE
FDE
DEF
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°- Ð
，
∵
B
DEF
Ð
= Ð
，
∴
180
2
BDC
B
Ð
=
°- Ð ，
∴
180
180
2
BCD
B
B
B
Ð
=
°- Ð -
°- Ð
= Ð
，
∵BCD
V
是“梦想三角形”，
当3 B
BDC
Ð
= Ð
，即3
180
2
B
B
Ð
=
°- Ð
，解得
36
B
Ð
=
° ，
此时BCD
V
中
36
B
BCD
Ð
= Ð
=
°，
108
BDC
Ð
=
° ，满足条件；
当3 BDC
B
Ð
= Ð
，即
3 180
2 B
B
°- Ð
= Ð ，解得
540
7
B
æ
ö
Ð
=
°
ç
÷
è
ø ，
此时BCD
V
中
540
7
B
BCD
æ
ö
Ð
= Ð
=
°
ç
÷
è
ø ，
180
7
BDC
æ
ö
Ð
=
°
ç
÷
è
ø ，满足条件；
综上，
B
Ð 的度数为36°或540
7
æ
ö°
ç
÷
è
ø ；..................5 分
（3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为72°，
设该“梦想三角形”的另外两个内角为,x y ，
则有
180
72
108
x
y
+
=
°-
° =
°，
当3
72
x =
° 时，解得
24
x =
° ，
此时
84
y =
° ，故最小内角的度数为24°；
当3 72
x
´
° =
时，解得
216
180
x =
° >
° ，不满足题意；
当3x
y
=
时，则有
3
108
x
x
+
=
° ，解得
27
x =
° ，
此时
81
y =
° ，故最小内角的度数为27 ；
综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为24°或27°．..................8 分
24．
【详解】（1）解：①Q BP 平分
ABC
Ð
，CP 平分
ACB
Ð
，
\
1
2
PBC
ABC
Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
ACB
Ð
=
Ð
，
\
1
1
180
(
)
180
(
18
1
1
1
)
90
2
0
(180
)
18
2
0
( 80
)
2
2
PBC
PCB
A
C
B
ACB
BP
C
A
a
a
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
Ð
=
°-
°-
°-
°- Ð
=
°-
°+
°-
=
，
\当
70
a =
°时，
1
90
70
125
2
BPC
°+
´
° =
°
Ð
=
；
②由①可知，
1
90
2
BPC
a
Ð
=
°+
．..................4 分
（2）解：
MBC
A
ACB
Ð
= Ð + Ð
Q
，Ð
= Ð + Ð
NCB
A
ABC ，
2
180
MBC
NCB
A
ABC
ACB
a
\Ð
+ Ð
= Ð + Ð
+ Ð
=
°+
．
Q点Q 是ABC
V
的外角
MBC
Ð
，
NCB
Ð
的角平分线的交点，
1
2
QBC
MBC
\Ð
=
Ð
，
1
2
QCB
NCB
Ð
=
Ð
，
1
1
1
(180
)
90
2
2
2
(
)
QBC
QCB
MBC
NCB
a
a
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°+
=
°+
，
1
1
180
180
90
(
)
90
2
2
BQC
QBC
QCB
a
a
æ
ö
\Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
°+
=
°-
ç
÷
è
ø
．..................8 分
（3）解：
180
A
ABC
ACB
Ð + Ð
+ Ð
°
=
Q
，
180
180
ABC
ACB
A
a
\Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
°-
．
ABC
n PBC
Ð
= Ð
Q
，
ACB
n PCB
Ð
= Ð
，
1
1
(
)
80
PBC
PCB
ABC
ACB
n
n
a
°-
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
，
1 180
18
(
)
0
n
BPC
PBC
PCB
n
a
-
°+
\Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
．
由（2）可知，
=180
MBC
NCB
a
Ð
+ Ð
°+
．
MBC
n QBC
Ð
= Ð
Q
，
NCB
n QCB
Ð
= Ð
，
(
)
1
180
QBC
QCB
MBC
NCB
n
n
a
°+
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
，
1 180
18
(
)
0
n
BQC
QBC
QCB
n
a
-
°-
\Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
．..................12 分
25．
【详解】（1）解：
AD
Q
是三角形ABC 的中线，
BD
CD
\
=
，
ABD
QV
和ACD
V
的底边分别是BD 和CD ，它们共用同一个顶点A ，
\它们的高相等，设为h ，
1
1
2
2
ABD
ACD
S
BD
h
DC
h
S
\
=
´
´
=
´
´
=
V
V
．..................3 分
(2)
EC
BFG
G
S
S
=
△
△
，理由如下：
Q点G 是ABC
V
的重心，
1
1
,
2
2
BF
AF
AB AE
EC
AC
\
=
=
=
=
，
BCF
QV
和ABC
V
同高，设高为H ，
1
1
1
1
2
2
2
2
BCF
ABC
S
BF
H
AB
H
S
\
=
´
´
=
´
´
´
=
V
V
，
同理得
1
2
BCE
ABC
S
S
=
V
V
，
∴
1
2
BCE
ABC
BCF
S
S
S
=
=
V
V
V
，
BCF
BGC
BCE
BGC
S
S
S
S
\
-
=
-
V
V
V
V
，
∴
EC
BFG
G
S
S
=
△
△
；..................6 分
（3）解：Q点G 是ABC
V
的重心，
1
2
BD
DC
BC
\
=
=
，
ADC
QV
和ABC
V
同高，设高为a ，
1
1
1
1
2
2
2
2
ADC
ABC
S
CD
a
BC
a
S
\
=
´
´
=
´
´
´
=
V
V
，
1
2
ADC
ABC
BCE
S
S
S
\
=
=
V
V
V
，
∴
BDG
AEG
S
S
=
V
V
，
同理：
,
BDG GDC
QV
V
等底同高，
,
CGE
AEG
V
V
等底同高，
BDG
GDC
S
S
\
=
V
V
，
EG
CGE
A
S
S
=
△
△
，
∴
2
GDC
AGC
S
S
=
△
△
，
∴
1
2
DG
AG =
．..................9 分
（4）解：如图，连接AG 交BC 于点M ，
G
Q
是ABC
V
的重心，
\由（3）可得出，
1
2
DG
GM
BG
AG
=
=
，AE
BE
=
，AD
DC
=
，
设DG
x
=
，
2
BG
x
=
，
∴
2
2
2
3
BG
BG
x
BD
BG
GD
x
x
=
=
=
+
+
，
同理得
2
3
CG
AG
CE
AM
=
=
，
1
3
GM
AM
AG
AM
AM
-
=
=
，
∵
6
BD =
，
4
CE =
，
∴
8
4
3
BG
CG
=
=
，
，
∵BD
CE
^
，
∴
1
1
8
16
4
2
2
3
3
BGC
S
BG CG
=
×
=
´ ´
=
V
，
,
AGE
ABG
QV
V
同高，
\设它们的高为b ，
1
2
AEG
S
AE
b
=
´
V
Q
，
1
2
ABG
S
AB b
=
´
V
，且
1
2
AE
BE
AB
=
=
，
1
1
1
2
2
2
2
2
2
ABG
AEG
S
AB b
AE
b
AE
b
S
\
=
´
=
´
´
=
´
´
´
=
V
V
，
ABG
QV
、BGM
V
和ABM
V
同高，设高为c ，
1
2
ABG
S
AG
c
\
=
´
V
，
1
2
BGM
S
GM
c
=
´
V
，
1
2
ABM
S
AM
c
=
´
V
，
2
3
AG
AM =
Q
，
1
1
2
2
1
2
2
2
3
3
2
3
ABG
ABM
S
AG
c
AM
c
AM
c
S
\
=
´
=
´
´
´
=
´
´
´
=
V
V
，
\
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
3
3
BGM
ABG
ABM
ABM
S
GM
c
AG
c
S
S
S
=
´
=
´
´
=
=
´
=
V
V
V
V
，
2
ABG
AEG
S
S
=
V
V
Q
，
1
1
2
1
2
2
3
3
AEG
ABG
ABM
ABM
BGM
S
S
S
S
S
\
=
=
´
=
=
V
V
V
V
V
，
同理可得，
ADG
CGM
S
S
=
V
V
，
∴
16
3
AEG
ADG
BGM
CGM
BGC
AEGD
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
=
V
V
V
V
V
四边形
．..................12 分
