文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1 / 14
2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第三十章 直线与圆的位置关系
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC = 35∘，则∠ACB的大小为( )
A. 35∘
B. 45∘
C. 55∘
D. 65∘
【答案】C
【分析】利用切线性质：切线垂直于过切点的直径，结合直角三角形内角和求解。
【详解】
∵BC 是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴ AB⊥BC，即∠ABC=90°。
在Rt △ABC 中，∠BAC=35°，
∴ ∠ACB=90°-35°=55°。
故选 C。
2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B.如果OP = 4，∠AOB = 120∘，那么PA的长度为( )
A. 2
B. 2√ 3
C. 4
D. 4√ 3
【答案】B
【分析】切线性质、切线长定理、等腰三角形、直角三角形边角计算。
【详解】
∵ PA，PB是⊙O的两条切线
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2 / 14
∴ OA⊥ PA，OP 平分 ∠AOB。
∵∠AOB=120°
∴ ∠AOP=60°
∴∠APO=30°
∵在Rt△AOP 中，OP=4，
∴PA=2
∴PA=
3
2
2
4
2
2
=
−
故选 B。
3.下列说法中，不正确的是( )
A. 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
B. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C. 与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D. 垂直于半径的直线是圆的切线
【答案】D
【分析】辨析切线的定义与判定定理，找出错误说法。
【详解】
A：与圆只有一个公共点的直线是切线，定义正确；
B：经过半径外端且垂直半径的直线是切线，判定定理正确；
C：圆心到直线距离等于半径的直线是切线，等价判定正确；
D：垂直于半径的直线未说明“过半径外端”，不一定是切线，错误。
故选 D。
4.根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为△ABC的内心的是( )
A.
B.
C.
D.
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3 / 14
【答案】C
【分析】三角形内心为三条内角平分线交点，根据尺规作图痕迹判断。
【详解】
内心的定义：三角形内角平分线的交点。
只有C 选项作图痕迹为三角形内角平分线，交点即为内心。
故选 C。
5.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个
氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图 ①)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图 ②
是其平面示意图，则∠1的度数为( )
A. 130∘
B. 120∘
C. 110∘
D. 60∘
【答案】B
【分析】正多边形内角、外角与夹角计算。
【详解】
正六边形每个内角为120°，根据平面角度关系可得∠1=180°—30°－30°=120°。
故选 B。
6.如图是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心、AB长为半径画圆，则阴影部分的
面积是( )
A.
7
2 π
B.
7
2
C.
21
2 π
D.
21
2
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
4 / 14
【分析】正多边形内角求扇形圆心角，利用扇形面积公式计算。
【详解】
正八边形内角135°，正六边形内角120°，
阴影扇形圆心角：n=360°-135°-120°=105°，半径r=6。
扇形面积：S=
Π
Π
2
21
360
6
105
2
=
。
故选 C。
7.魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周
率建立了严密的理论和完善的算法.如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接FB.若AB = 2，则FB
的长为( )
A. 3
B. √ 5
C. 2√ 2
D. 2√ 3
【答案】D
【分析】圆内接正六边形性质、直径所对圆周角为直角、勾股定理。
【详解】连接AO,与BF 交于点H
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形
∴AB=AF，∠A=120°∠ABF=∠AFB=30°
∴AH=1
∴BF=2BH=2√ 3
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5 / 14
8.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了我国数学发展史上
圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若⊙O的半
径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为( )
A. 1
B. 3
C. π
D. 2π
【答案】B
【分析】圆内接正十二边形面积拆分，利用中心角三角形面积求和。
【详解】
圆半径R=1，正十二边形每条边对应中心角30°，
单个三角形面积：S1=
4
1
2
1
1
2
1
=
，
总面积：S=
3
4
1
12
=
。
故选 B。
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OB交⊙O于C，半径OD//AC，若∠B = 28∘，则∠DAC的度数
是 ∘．
【答案】29.5
【分析】分析：切线性质、平行线性质、等腰三角形角度推导。
【详解】连接OA
∵AB是⊙O的切线
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6 / 14
∴∠AOB=62°
∵OA=OC
∴∠OCA=59°
∵OD//AC
∴∠DOC=59°
∴∠DAC=29.5°
∴∠OAB=90°
10.如图，在△ABC中，AB = 5，AC = 4，BC = 3，则△ABC的内切圆半径为 ．
【答案】1
【分析】勾股定理判定直角三角形，直角三角形内切圆半径公式求解
【详解】
∵32 + 42 = 52，即BC2 + AC2 = AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠C = 90∘，
∴△ABC的内切圆半径r =
3+4−5
2
= 1．
11.如图，在⊙O中，BC是切线，B为切点，直线CO交⊙O于点D，A，点E为⊙O上的一点且在AD上方，
连接BE，DE.若∠C = 24∘，则∠E = ．
【答案】33∘
【分析】切线垂直半径、圆心角与圆周角关系
【解析】如图，连接OB．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
7 / 14
∵BC是⊙O的切线，切点是B，
∴OB ⊥BC．
∵在Rt △OBC中，∠OBC = 90∘，∠C = 24∘，
∴∠BOD = 90∘−∠C = 66∘．
∴∠E =
1
2 ∠BOD = 33∘．
12.如图，⊙O的弦AB = 8，C是⊙O上的一个动点，且∠ACB = 45∘，D，E分别为AB，AC的中点，则DE的
最大值为 ．
【答案】4√ 2
【分析】三角形中位线定理、圆周角定值、圆中弦最值问题
【详解】
∵D、E 为中点
∴DE=
2
1 BC，DE 最大即BC 最大。
∵∠ACB = 45∘，AB=8，当BC 为直径时最长，
∴最大直径为8√ 2
∴DE=4√ 2
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
8 / 14
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13.(10 分)
如图，在△ABC中，AB = AC，点D为BC的中点．
(1)以点O为圆心作圆，使该圆经过A，B，D(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(2)过点D作DE ⊥AC于点E，判断直线DE与(1)中所作的⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)如图,⊙O 即为所作.
(2)直线DE 与⊙O 相切.
理由如下:
如图,连接OD,
∵点D 为BC 的中点,点O 为AB 的中点,
∴OD//AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∵直线DE 经过半径OD 的外端,
∴直线DE 与⊙O 相切.
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
9 / 14
14.(7分)
如图，在△ABC中，BA = BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE ⊥BC，垂足为E．
(1)求证：AD = CD;
(2)求证：DE为半圆O的切线．
【答案】
(1) 证明:
∵AB 为半圆O 的直径,
∴∠ADB=90∘.
又∵BA=BC,
∴AD=CD.
(2)连接OD.
∵AD=CD,AO=OB,
∴OD 为△ABC 的中位线.
∴OD//BC.
∵DE⊥BC,
∴OD⊥DE.
又∵OD 是半圆O 的半径,
∴DE 为半圆O 的切线.
15.(10分)
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
10 /
如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
(1)若∠ADE = 25∘，求∠ABE的度数;
(2)若AB = AC，CE = 2，求⊙O半径的长．
【答案】
(1) ∵AE
⏜=AE
⏜,∠ADE=25∘,
∴∠ABE=∠ADE=25∘.
(2)如图,连接OA
由圆周角定理,得∠AOC=2∠B.
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∴∠AOC=2∠C.
∵AC 切⊙O 于点A,
∴∠OAC=90∘,
∴∠C=30∘,∴OA=
1
2OC.
∵OA=OE,∴OA=OE=CE=2,
∴⊙O 半径的长为2.
16.(12 分)
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
11 /
如图，在△ABC中，∠C = 90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)如果AC = 6，BC = 8，求内切圆⊙O的半径．
【答案】
(1) 证明：
∵⊙O 是△ABC 的内切圆
∴OD⊥BC，OE⊥AC．
又∵∠C＝90°，
∴四边形ODCE 是矩形．
∵OD＝OE，
∴四边形ODCE 是正方形．
(2)∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB = √ AC2 + BC2 = 10．
由切线长定理，得AF＝AE，BD＝BF，CD＝CE，
∴CD+CE＝BC+AC-BD-AE＝BC+AC-AB＝4，
则CE＝2．
即⊙O 的半径为2．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
12 /
17. (12 分)
如图，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，
过点D作DE ⊥AC，垂足为点E．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】
(1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AD ⊥BC，
在Rt △ADB和Rt △ADC中，
{AB = AC
AD = AD,
∴Rt △ABD≌Rt △ACD(HL)；
(2)直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：
由△ABD≌△ACD知：BD = DC，
又∵OA = OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD//AC，
∵DE ⊥AC，
∴OD ⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O相切．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
13 /
18.(13 分)
如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO的延长线于点E，连接OC，
PB，已知PB = 6，DB = 8，∠EDB = ∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BE，求BE的长．
【答案】
(1) 证明：
∵DE ⊥PE，
∴∠DEO = 90 ∘.
∵∠EDB = ∠EPB，∠BOE = ∠EDB + ∠DEO，∠BOE = ∠EPB + ∠OBP，
∴∠OBP = ∠DEO = 90 ∘，
∴OB ⊥PB，
∴PB 是⊙O的切线.
(2)解：在Rt △PBD中，PB = 6，DB = 8，
根据勾股定理，得PD = √ 62 + 82 = 10.
∵PD，PB 均为⊙O的切线，
∴PC = PB = 6，
∴DC = PD −PC = 10 −6 = 4.
在Rt △CDO中，设OC = r，则OD = 8 −r，
根据勾股定理，得(8 −r)2 = r2 + 42，
解得r = 3，
则⊙O的半径为3.
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
14 /
(3)解：如图，延长PB，DE 相交于点F.
∵PD，PB 均为⊙O的切线，
∴PO 平分∠CPB，
∴∠DPE = ∠FPE.
∵PE ⊥DF，
∴∠PED = ∠PEF = 90 ∘.
又∵PE = PE，
∴△PED ≌△PEF(ASA)，
∴PD = PF = 10，DE = EF，
∴BF = PF −PB = 10 −6 = 4.
在Rt △DBF中，DF = √ DB2 + BF2 = √ 82 + 42 = 4√ 5，
∵∠DBF = 90 ∘，DE = EF，
∴BE =
1
2 DF = 2√ 5.
