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1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 专题24 圆的有关位置关系（4 考点36 题） 答案版 考点01 切线的判定定理 1．证明：连接OC ∵ 100 AOB = ， 40 OAB = ∴ 180 40 OBA AOB OAB = − − = ∴ OAB OBA = ∠ ∠ ∴OA OB = ∵AC BC = ∴OC AB ⊥ ∵点C 在 O 上， ∴OC 为半径， ∴直线AB 是 O 的切线． 2．(1)证明：连接OA， BC 是 O 直径，点C 在 O 上， D 是AC 的中点， AOF COF = ， 在 AOF △ 和COF 中， OA OC AOF COF OF OF = = = ， ( ) , , AOF COF S A S ≌ ， 90 OCF OAF = = ， OC FC ⊥ ， OC是 O 的半径， CF 与 O 相切． (2)4 3 2 − 3．(1)证明：连接OC ， ∵OA OC = ∴ OAC OCA = ∵ BCF BAC = ∴ BCF OCA = ∵AB 是 O 的直径 ∴ 90 ACB = ∴ 90 OCA OCB + = ∴ 90 BCF OCB OCF + = = 又∵点C 在 O 上 ∴CF 是 O 的切线； (2)10 3 4．(1) 4π 3 (2)证明：如图2，连接CD． 3 / 19 学科网（北京）股份有限公司 由（1）可得 // AB OC， 60 A = ， ∴ 60 A COD = = ， OC OD = ， COD 是等边三角形， 2 CD OD = = ， 60 OCD ODC = = ． 2 DP = ， DP CD = ， 1 30 2 DCP P ODC = = = ． 90 OCP OCD DCP = + = ， 又∵OC 是 O 的半径， PC 是 O 的切线． 5．(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线OP 是 AOB 的角平分线， ∵OA OB = ， ∴OAB是等腰三角形， ∴OC AB ⊥ ， 又∵OC 是 O 的半径，且点C 在AB 上， ∴AB 与 O 相切； (2) O 的半径为8 6．(1)解： O 如下图所示． 作法：（1）作 DBC A = ，边BD 交AC 于点D ； （2）作AD 的垂直平分线EF ，交AB 于点O； （3）连接OD，则OA OD = ；（4）以OA为半径作 O ． (2) 3 5 4 7．(1)证明：连接DC ， ECA B BAC = + ， EAB CAE BAC = + ， ∵ ECA EAB = ， B BAC CAE BAC + = + ， B CAE = ， AD 是 O 的直径， 90 ACD = ， 90 D DAC + = ， B D = ， CAE D = ， 90 CAE DAC + = ， DA AE ⊥ ， AE 是 O 的切线． (2)3 2 8．(1) 证明：∵OA OC = ∴ ACO OAC = ∵ CBD ACO = ∴ CBD OAC = ∵AB 是 O 的直径， ∴ 90 ACB = ∴ 90 OAC ABC + = ∴ 90 CBD ABC + = ∴ 90 ABD = ， ∵OB 为半径， ∴BD 是 O 的切线； 5 / 19 学科网（北京）股份有限公司 (2)10 13 13 (3)如图，点P 即为所求 9．(1)证明：如图，连接OC ， ∵OC OB = ， ∴ OBC OCB = ． ∵CB平分 ECD ， ∴ BCE DCB = ． ∵CD AB ⊥ ， ∴ 90 OBC DCB + = ， ∴ 90 OCB BCE + = ， ∴OC CE ⊥ ． ∵OC 为 O 的半径， ∴CE是 O 的切线； (2)① 1 tan 2 BCE = ；②2 5 10．(1)证明：连接OD， AOD 与 B 分别是弧AD 所对的圆心角和圆周角， 2 AOD B = ， 又 2 180 C B + = ， 180 AOD C + = ， 在四边形OACD中， 360 OAC C ODC AOD ++ + = ， 360 180 180 OAC ODC + = − = ， AC 为 O 的切线，AB 为直径， OA AC ⊥ ，即 90 OAC = ， 180 90 ODC OAC = − = ，即OD CD ⊥ ， 又 OD 为 O 的半径， CD 是 O 的切线． (2)10 11．(1)证明：∵D 为BC 中点，E 在OD的延长线上， ∴OE BC ⊥ ， ∵EM BC ， ∴OE EM ⊥ ， ∴EM 是 O 的切线； (2) PC PA PB = + 或PC PB PA = − ，理由如下： 当点P 在AB 上时，如图，在PC 上取点T 使得，PT PA = ∵ABC是等边三角形， ∴ 60 ABC ACB = = ，AB AC = ， ∵AC AC = ， ∴ 60 APC ABC = = ， ∴ APT △ 是等边三角形， ∴AT AP = ， 60 PTA = ， ∴ 120 ATC = ， ∵四边形APBC是 O 的内接四边形， ∴ 180 APB ACB + = ， 7 / 19 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 120 APB = ， ∴ APB ATC = ， 又∵AP AP = ， ∴ ABP ACT = ， ∴ ( ) ABP ACT AAS ≌ ， ∴PB TC = ， ∴PC PT TC PA PB = + = + ；即PC PA PB = + ， 当点P 在AC 上时，如图所示，在CP的延长线上取PS PA = ， 同理可得 60 APB ACB = = ， ∵四边形APBC是 O 的内接四边形， ∴ 180 APB ACB + = ， ∴ 120 APB = ， ∴ 60 APS = ， ∴ APS △ 是等边三角形， ∴ S APB = ， 又∵AB AC = ， ABP ACP = ， ∴ ( ) SAC PAB AAS ≌ ， ∴PB SC PC PS PC PA = = + = + ，即PC PB PA = − ； 12．(1)证明：连接OD OC OD = ， ODC OCD = ． ABD OCD = ， ODC ABD = ． 90 CDE ABD + = ， 90 CDE ODC + = ，即 90 ODE = ． OD DE ⊥ OD 为 O 的半径， DE 是 O 的切线； (2) 25 25 π 3 3 4 − 13．(1)连接BC ， ∵AB 是 O 的直径， ∴ 90 ACB BCN = = ， 在 BNC △ 中， 90 CNB NBC + = ， ∵CM BD ⊥ ，垂足为E， ∴ 90 CED BEM = = ， 在BME 中， 90 EMB MBE + = ， ∵CN CM = ， ∴ CNB EMB = ， ∴ NBC MBE = ， ∵CD AB ⊥ ，垂足为P， ∴CP DP = ， ∴BC BD = ， 9 / 19 学科网（北京）股份有限公司 ∴BCD是等腰三角形， ∴ CBP DBP = ， ∵ 180 NBC CBP DBP MBE + + + = ， ∴2 2 180 NBC CBP + = ， ∴ 90 NBC CBP + = ， ∴ 90 ABN = ， ∵OB 为 O 的半径， ∴BM 是 O 的切线； (2) 3 7 CE = ． 14．(1)证明：如图，连接 , OC OF ， 在BOC和FOC中， ∵ , , OC OC OB OF BC FC = = = ， ∴ ( ) SSS BOC FOC ≌ ， ∴ OFC OBC = ， ∵ 90 ABC = ， ∴ 90 OFC = ， ∵OF 为半径， ∴CF 为半圆O的切线； (2)10 2 3 15．(1)证明：∵四边形ABCD内接于 O ， ∴ 180 ADC ABC + = ， ∵ 180 ADC EDC + = ， ∴ EDC ABC = ， ∵AC BC = ， ∴ BAC ABC = ， BDC BAC = ， ∴ BDC EDC = ， ∴DC 平分 BDE ． (2)证明：连接OC ， ∵OC OD = ， ∴ ODC OCD = ， 由（1）可知， ODC EDC = ， ∴ OCD EDC = ， ∴OC DE ， ∵CE DE ⊥ ， ∴OC CE ⊥ ， ∵OC 是 O 的半径， ∴CE是 O 的切线． (3) 30 11 DF = 16．(1)证明：连接DO 并延长交 O 于点F ，连接BF ， ∵BD BD = ∴1 3 = 11 / 19 学科网（北京）股份有限公司 ∵DF 是直径， ∴ 90 FBD = ∴1 2 90 += ∵AD 平分 BAC ∴ 1 3 2 BAC = ∵ 1 2 BDE BAC = ， ∴ 3 BDE = ∴ 1 BDE = ∴ 2 90 BDE EDF += = ∵OD是半径， ∴DE 是 O 的切线； (2) 4 13 17．(1)证明： PA为 O 的切线， PA OA ⊥ ， ∴ 90 PAO = ， ∵BC OP ∥ ， ∴ , AOP B COP OCB = = ． ∵OB OC = ， ∴ B OCB = ， ∴ AOP COP = ． ∵在AOP 和COP 中， OA OC AOP COP OP OP = = = ∴ ( ) AOP COP SAS ≌ ， ∴ 90 PCO PAO = = ． OC是 O 的半径， PC 为 O 的切线． (2) 4 5 5 ① = BC ；② 24 tan 7 = PEC 18．(1)证明：连接OC ，如图所示： ∵AB 是 O 的直径， ∴ 90 ACB = ， ∴ 90 CAB ABC + = ， ∵ BCH CAB = ， ∴ 90 BCH ABC + = ， ∵OC OB = ， ∴ OCB OBC = ， ∴ 90 BCH OCB + = ，即 90 OCH = ， ∴OC CH ⊥ ， ∵OC 是 O 的半径， ∴CH 为 O 的切线． (2)证明：∵D 是AC 的中点， ∴AD CD = ， ∴ ABD DAC = ， ∵DE AB ⊥ ，AB 是 O 的直径， ∴ 90 ADB AED = = ， ∴ 90 ADE DAE DAE ABD + = + = ， ∴ ADE ABD DAC = = ， ∴AF DF = ． (3) 10 AD = 19．(1)证明：如图1，连接OC ， 13 / 19 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 2 PC PA PB = ， ∴PC PA PB PC = ， 又∵ P P = ， ∴PCB PAC ∽ ， ∴ PCA PBC = ， ∵AB 是 O 的直径，OA OC = ， ∴ 90 , ACB OAC OCA = = ， ∴ 90 PBC OAC PCA OCA OCP + = + = = ， 又∵OC 是 O 的半径， ∴直线PC 是 O 的切线； (2)14 21 11 (3) 1 2 S S ，证明如下： 如图2，连接BD ， ∵O 为AB 的中点，点M 是BE 的中点， ∴OM 是ABE 的中位线， ∴ // OM AE， ∴ 90 ACB ONB = = ， ∵DH AB ⊥ ， ∴ 90 OHD = ， ∴ 90 ODF DOH OBF DOH + = + = ， ∴ ODF OBF = ， ∵OD OB = ， ∴ ODB OBD = ， ∴ ODB ODF OBD OBF − = − ，即 BDF DBF = ， ∴DF BF = ， 在Rt BFH 中， 90 BHF = ，BF BH ， ∴DF BF FH = ， ∵ 1 2 1 1 , 2 2 OFD OFH S S DF OH S S FH OH = = = = ， ∴1 1 2 2 DF OH FH OH ，即 1 2 S S ． 考点02 切线的性质定理 1．A 2．B 3．A 4．150 5．(1)解：OB OC ⊥ ，理由如下： 如图所示，连接 , , OE OF OG ， ， ∵AB ，BC ，CD分别与 O 相切于E ，F ，G 三点， ∴ 90 OEB OFC OGC = = = ， 15 / 19 学科网（北京）股份有限公司 在Rt OBE △ 和Rt OBF △ 中， OE OF OB OB = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL OBE OBF ≌ ， ∴ EOB FOB = ， 同理可证Rt Rt OFC OGC ≌ ， ∴ FOC GOC = ， ∵ 2 2 2 180 EOB FOB FOC GOC FOB FOC BOC + + + = + = = ， ∴ 90 BOC = ， 即OB OC ⊥ ． (2) O 的半径为12 5 6．(1)证明：连接 , , OE OD CO ，并延长CO交DE 于点G ， ∵BC 为 O 的切线，CO为半径， ∴ 90 OCB = ∵DE BC ∥ ∴ 90 CGE OCB = = ，即CG DE ⊥ ∵OE OD = ∴CG 垂直平分DE ∴CE CD = ； (2)144 25 7．(1)证明：连接OA，OB ， BD AC ⊥ ， 45 BAC = ， 90 45 ABD BAC BAC = − = = ， DA DB = ， OA OB = ，DO DO = ，DA DB = ， ( ) SSS DOA DOB ≌ ， ADO BDO = ， OD 平分 ADB ； (2) 6 AC = ， 15 CBD = 8．(1)证明：连接OC ，则OC OB = ， ∴ OCB OBC = ， ∵过点C 作 O 的切线交AB 的延长线于点D ， ∴OC CD ⊥ ， ∴ 90 BCD OCB + = ， ∵AB 是 O 的直径， ∴ 90 ACB = ， ∴ 90 CAD ABC + = ， ∵ OCB OBC = ，即： OCB ABC = ， ∴ CAD BCD = ； (2) 8 30 7 9．(1)证明：如图，连接OF ， ∵AC 是 O 的切线， ∴1 2 90 += 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 90 C = ， ∴ 4 2 90 += ∴ 1 4 = 又∵OF OB = ∴1 3 = ∴ 3 4 = ∴EF FD = ； (2) 2 BE BD CD = + ， 证明：如图，连接FD ，过点F 作FG BE ⊥ 于点G ， ∴ 90 FGB C = = 由（1）可得 FBC FBE = 又∵FB FB = ∴ ( ) FBC FBG AAS ≌ ∴ , FC FG BC BG = = ， ∵EF FD = ∴FD FE = ， ∴ ( ) Rt EFG Rt DFC HL ≌ ∴CD EG = ∴ 2 BE BG EG BC CD BD CD = + = + = + ，即 2 BE BD CD = + 10．(1)证明：连接OB ，OD ， A，C，D 是 O 上的点， 1 2 ACD AOD = ， PA，PB 是 O 的两条切线， PA PB = ，PA OA ⊥ ，PB OB ⊥ ， 点P 在 AOB 的平分线上， OP 平分 AOB ， 1 2 POA AOB = ， BD AC ⊥ ，AC 为 O 的直径， AB AD = ， AOB AOD = ， ACD POA = ． (2) 2 BF = 考点03 三角形的内切圆 1．B 2．A 3．21 8 2 7 t t − − 考点04 圆内接四边形 1．C 2．110 3． 13 解法一：如图，取格点D ，连接CD，与网格线交于点E ，连接AE ，与BC 交于点M ， 与半圆相交于点F ，连接BF ，与网格线相交于G ，取BC 与网格线的交点H ，连接GH 并延长，与网格线 相交于I ，连接CI 并延长，与AM 相交于点N ，则点 , M N 即为所求. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 解法二：如图， 设 , AC BC 分别与格线交于点O，点D，连接OD并延长交格线于点E，连接AE 交BC 于点M，交格线于点 F，设AB 交格线于点G，连接FG 并延长交格线于点H ，连接BH 交半圆于点K，连接KG交AB 于点N， 则点M，点N 即为所求． 4．(1)60 (2)证明： 60 ACD ABD = = ， ACD E = ． AC EF ∥ ． ∵四边形AFBD 是 O 的内接四边形， 180 AFB ADB + = ． ABD是等边三角形， 60 ADB = ， 120 AFB = ． 180 AFB E += ． AF CE ∥ ． ∴四边形AFEC是平行四边形． (3) 7 3
