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专题15 二次函数的基础知识综合
（4 考点24 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 二次函数
图象与性质
基础必考考点，覆盖开口、对称轴、
顶点、增减性等核心性质，以选填辨
析题为主，常结合表格数据、多函数
对比考查，侧重基础性质灵活辨析。
考法创新：多结论正误判断、跨函数
大小对比；细节创新：结合函数平移、
直线交点判别，强化数形结合辨析能
力。
考点02 二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的图象和性质
高频重难点，依托函数图象判定a、b、
c 及判别式符号，结合定点、对称轴
范围设问，侧重参数推理与条件综合
分析。
设问升级：结合参数取值范围、图象
平移限制条件命题；逆向创新：由图
象特征反推参数取值，弱化机械记忆。
考点03 二次函数
最值问题
核心计算考点，包含纯函数最值与几
何最值，结合矩形动点、区间取值考
查最值求解，侧重二次函数性质的实
际运用。
场景创新：融合几何动点、区间限定
求最值；应用创新：结合农业产量模
型，将最值计算与实际数据分析结合。
考点04 二次函数
实际应用
解答高频考点，结合运动轨迹、销售
利润、工程模型、体育竞技等场景建
模，考查解析式求解、最值应用、数
据测算。
情境创新：新增体育风速、校园设施
改造、文旅销售等真实场景；探究创
新：结合项目式学习，融合跨学科知
识考查建模能力。
考点01 二次函数的图象和性质
1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线
(
)
2
3
5
4
y
x
=
−
−
，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴为直线
5
x =
C．顶点坐标为(
)
5,4
D．当
5
x 时，y 随x 的增大而减小
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【答案】B
【分析】根据抛物线顶点式
2
(
)
y
a x
h
k
=
−
+
的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即
可得到正确选项．
【详解】解：∵抛物线解析式为
(
)
2
3
5
4
y
x
=
−
−
∴
3
0
a =
∴抛物线开口向上，故A 错误
对称轴为直线
5
x = ，故B 正确
顶点坐标为(
)
5, 4
−
，故C 错误
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
5
x =
∴当
5
x 时，y 随x 的增大而增大，故D 错误．
2．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数
2
1
4
y
x
x
=
−
，下列说法正确的个数是（ ）
①它的图象经过第一、二、三象限；
②当
3
x 时，y 随x 的增大而增大；
③它的图象可由
2
1
4
y
x
=
向右平移2 个单位，再向下平移1 个单位得到；
④直线
1
y
kx
=
+ （k 为常数）与它的图象一定有两个交点．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐
个判断即可得结论．
【详解】解：∵
2
2
1
1 (
2)
1
4
4
y
x
x
x
=
−
=
−
−，
∵
1
0
4
a =
，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为
2
x =
，顶点坐标为(
)
2, 1
−
，
①令
0
y =
，得
2
1
0
4 x
x
−
=
，解得
0
x =
或
4
x =
，即抛物线与x 轴交于(
)
0,0 和(
)
4,0 ，
∵抛物线开口向上，
∴当
0
x
时，
2
1
0
4
y
x
x
=
−
恒成立，不存在
0
x
且
0
y
的点，
∴图象不经过第三象限，故①错误；
②∵ 开口向上，对称轴为
2
x =
，
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∴
2
x
时，y 随x 的增大而增大，又3
2
，
∴
3
x 时y 随x 的增大而增大，故②正确；
③根据平移规律可得，
2
1
4
y
x
=
向右平移2 个单位，再向下平移1 个单位，得到的二次函数解析式为
2
1 (
2)
1
4
y
x
=
−
−，与原函数一致，故③正确；
④联立
2
1
4
1
y
x
x
y
kx
=
−
=
+
，整理得
(
)
2
4
1
4
0
x
k
x
−
+
−
=
，
∵
(
)
(
)
2
2
Δ
[ 4
1 ]
4 1
4
16(
1)
16
0
k
k
= −
+
−−
=
+
+
恒成立，
∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确；
综上所述，正确的说法共3 个．
3．（2026·湖北·中考真题）已知点(
)
1
1
,
A x y
在函数
1
y
x
=
的图象上，点(
)
2
2
,
B x y
在函数
2
y
x
=
的图象上，点
(
)
3
3
,
C x y
在函数y
x
=
的图象上，
1x ，
2x ，
3x 均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当
1
2
3
y
y
y
=
=
时，下列大小关系不可能
．．．的是（ ）
A．
1
2
3
x
x
x
B．
1
2
3
x
x
x
=
=
C．
3
2
1
x
x
x
D．
3
1
2
x
x
x
【答案】D
【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可；
【详解】解：联立
1
y
x
=
与
2
y
x
=
得
2
1
x
x =
，整理得
3
1
x = ，解得：
1
x = ，
联立y
x
=
与
2
y
x
=
得
2
x
x
=
，解得：
0
x =
或
1
x = ，
联立y
x
=
与
1
y
x
=
得
1
x
x
=
，整理得
2
1
x = ，解得：
1
x = −或
1
x = ，
∴函数
1
y
x
=
、函数
2
y
x
=
、函数y
x
=
的图象在第一象限交于点(
)
1,1 ，
故三个函数的图象位于第一象限的部分，
当
1
2
3
1
y
y
y
=
=
= 时，
1
2
3
1
x
x
x
=
=
= ，B 选项可能；
4 / 25
当
1
2
3
1
y
y
y
=
=
时，根据图象可得，
1
2
3
x
x
x
，A 选项可能；
当
1
2
3
1
y
y
y
=
=
时，根据图象可得，
3
2
1
x
x
x
，C 选项可能；
综上，D 选项不可能．
4．（2026·广西·中考真题）二次函数
2
(
20)
26
y
x
=
−
+
的最小值为__________．
【答案】26
【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最
小值．
【详解】解：由二次函数解析式
2
(
20)
26
y
x
=
−
+
可知，该解析式为顶点式，二次项系数
1
0
a =
，
因此抛物线开口向上，函数存在最小值，
该二次函数的顶点坐标为(
)
20,26 ，
因此当
20
x =
时，二次函数取得最小值26 ．
5．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数
2
3
4
4
y
x
ax
=
−
+ ，其中a 为常数．
(1)若
3
2
a =
，求此函数图象的顶点坐标；
(2)当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小；当8
12
x
时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围．
【答案】(1)(
)
1,1
(2)6
12
a
【分析】（1）将
3
2
a =
代入二次函数
2
3
4
4
y
x
ax
=
−
+ 中，得到
(
)
2
3
1
1
y
x−
=
+ ，即可得到函数图象的顶点坐
标为(
)
1,1 ；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线
2
3
a
x =
，根据当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小；当8
12
x
时，y 随
x 的增大而增大，得到
2
4
8
3 a
，即可求得a 的取值范围．
【详解】（1）解：∵
3
2
a =
，
∴二次函数
(
)
2
2
2
2
3
3
4
4
3
4
4
3
6
4
3
1
1
2
y
x
ax
x
x
x
x
x−
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
+ ，
∴函数图象的顶点坐标为(
)
1,1 ；
（2）解：∵二次函数为
2
3
4
4
y
x
ax
=
−
+ ，
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∴对称轴为直线
4
2
2 3
3
a
a
x
−−
=
=
，
∵当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小，
∴2
4
3 a
，解得
6
a
；
∵当8
12
x
时，y 随x 的增大而增大，
∴2
8
3 a
，解得
12
a
，
∴a的取值范围是6
12
a
．
考点02 二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象和性质
1．（2026·山东·中考真题）如图，点P 是抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （
0
a
）的顶点．下列结论正确的是（ ）
A．2
0
a
b
+
=
B．
3
1
4
2
a
−
−
C．对任意实数t ，
2
4
2
at
bt
a
b
+
+
总成立
D．若点
1
(1
,
)
A
m y
−
，
2
(1
,
)
B
m y
+
在抛物线上，则
1
2
y
y
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与y 轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判
断选项．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则
0
a
.
顶点P 的坐标为(2,3) ，
对称轴为直线
2
x =
，即
2
2
b
a
−
=
，
4
b
a
−
=
，即4
0
a
b
+
=
，故A 错误；
设抛物线的解析式为
2
(
2)
3
y
a x
=
−
+ .
令
0
x =
，得
4
3
y
a
=
+ ，即抛物线与y 轴的交点坐标为(0,4
3)
a +
.
6 / 25
由图象可知，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方且在
1
y = 的下方，
0
4
3 1
a
+ ， 解得
3
1
4
2
a
−
−
，故B 正确；
根据图象得：当
2
x =
时，
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 取得最大值为：
4
2
y
a
b
c
=
+
+ ，
对任意实数t ，
2
4
2
at
bt
c
a
b
c
+
+
+
+
，
∴
2
4
2
at
bt
a
b
+
+
，故C 错误；
∵对称轴为
2
x =
，
∴1
2
1
m
m
=
+
−
−
，1
2
1
m
m
+
=
−
−
，
当
0
m =
时，两点到对称轴的距离相等，
1
2
y
y
=
，故D 错误．
2．（2026·福建·中考真题）已知抛物线
2
2
y
x
nx
=
−
经过点(
)
3,
A
a ，(
)
5,
B
b ．若a
b
，且
0
ab
，则n 的
取值可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】先将A、 B 两点横坐标代入抛物线解析式，得到,a b 关于n 的表达式，再结合a
b
和
0
ab
的
条件列不等式，求出n 的取值范围，即可判断符合条件的选项．
【详解】解：∵ 抛物线
2
2
y
x
nx
=
−
经过点(
)
3,
A
a ，(
)
5,
B
b ，
∴将
3
x = 代入解析式得
23
2
3
9
6
a
n
n
=
−
=
−
，
将
5
x = 代入解析式得
2
5
2
5
25 10
b
n
n
=
−
=
−
，
∵a
b
， 且
0
ab
，
∴
0
a
b
，
∴
9
6
0
25 10
0
n
n
−
−
解得1.5
2.5
n
观察选项，只有
2
n =
符合该范围．
3．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （
0
a
）的部分图象如图所示，则下列结论中正
确的是（ ）
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A．
0
abc
B．
4
0
b
a
+
=
C．5
>0
a
c
+
D．当
5
x −或
1
x 时，
0
y
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对
称性的特点对选项逐一判断即可．
【详解】解：
抛物线的开口向上，
0
a
，
抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，
0
c
，
抛物线的对称轴
2
0
2
b
x
a
= −
= −
，
4 ,
0
b
a b
=
，
<0
abc
，选项A 错误；
4
4
4
8
0
b
a
a
a
a
+
=
+
=
，选项B 错误；
抛物线关于对称轴
2
x = −对称，
(
)
5,0
−
关于
2
x = −的对称点为(
)
1,0 ，
将(
)
1,0 代入抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，得
0
a
b
c
+ + =
，
4
b
a
=
，
4
0
a
a
c
+
+ =
，即5
0
a
c
+ =
，选项C 错误；
由图象可知，当
5
x −或
1
x 时，
0
y
，选项D 正确．
4．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于点(
)
1,0
A −
，顶点坐标(
)
1,n ，与y
轴的交点在(
)
0, 2
−
，(
)
0, 3
−
之间（包含端点），下列结论：①3
0
a
b
+
；②2
1
3
a
；③对于任意实数m，
(
)
a
b
m am
b
+
+
总成立；④关于x 的方程
2
1
ax
bx
c
n
+
+
=
− 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数
为（ ）
8 / 25
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点A 坐标可得
2 ,
3
b
a c
a
= −
= −
，利用c 的范围求a 的
范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，
0
a
， 对称轴为直线
1
2
b
x
a
= −
= ，
∴
2
b
a
= −
，
∴3
3
2
0
a b
a
a
a
+ =
−
=
，
故①错误；
∵抛物线过点(
)
1,0
A −
，
∴
0
a b
c
−+ = ，即
(
)
2
0
a
a
c
−−
+
=
，
∴
3
c
a
= −
，
∵3
2
c
−− ，
∴3
3
2
a
−−
− ，
∴2
1
3
a
，
故②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
1
x = ，
∴当
1
x = 时，y 有最小值a b c
+ + ，
∴对于任意实数m ，都有
2
am
bm
c
a
b
c
+
+
+
+
，
∴
2
am
bm
a
b
+
+ ，即
(
)
a
b
m am
b
+
+
，
故③正确；
抛物线顶点坐标为(
)
1,n ，且开口向上，
∴y 的最小值为n，
∴直线
1
y
n
=
− 与抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 没有交点，
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∴关于x 的方程
2
1
ax
bx
c
n
+
+
=
− 没有实数根，
故④错误．
综上所述，正确的结论有②，共2 个．
5．（2026·四川成都·中考真题）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的自变量x 与函数y 的几组对应值如表：
x
…
2
−
1
−
0
1
3
…
y
…
3
4
3
0
12
−
…
下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的对称轴是直线
1
x = −
C．2
0
a
c
+ =
D．
2
4
0
b
ac
−
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可．
【详解】解：将点(
) (
) (
)
1,4 , 1,0 , 0,3
−
代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 得：
4
0
3
a
b
c
a
b
c
c
−+
=
+
+
=
=
，
解得
1
2
3
a
b
c
= −
= −
=
，
∴二次函数的解析式为
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ，
∵
1
0
a = −
，
∴函数图象的开口向下，则选项A 正确；
将二次函数
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ 化成顶点式为
(
)
2
1
4
y
x
= −
+
+
，
∴函数图象的对称轴是直线
1
x = −，则选项B 正确；
又∵
1,
2,
3
a
b
c
= −
= −
= ，
∴
(
)
2
2
1
3 1
a
c
+ = −
+ = ，则选项C 错误；
(
)
(
)
2
2
4
2
4
1
3
16
0
b
ac
−
= −
−−
=
，则选项D 正确．
6．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象经过点
(1,0)
A
、
(5,0)
B
，下列说法正
10 /
确的是（ ）
A．
0
c
B．4
2
0
a
b c
−
+
C．
2
4
0
b
ac
−
D．图象的对称轴是直线
2
x =
【答案】B
【详解】解：由函数图象知抛物线与y 轴交点在原点下方，则
0
c
，故选项A 不符合题意；
当
2
x = −时，
2
0
y
ax
bx
c
=
+
+
，即4
2
0
a
b c
−
+
，故选项B 符合题意；
由图象知抛物线与x 轴有两个不同的交点，则
2
4
0
b
ac
=
−
，故选项C 不符合题意；
图象的对称轴是直线
1 5
3
2
x
+
=
=
，故选项D 不符合题意．
7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于x 的二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
=
−
+
+ 的图像为抛物线C ，直线y
a
=
与抛物线C 交于A ，B 两点，过抛物线C 的顶点作x 轴的平行线l ，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足为M ，N ．若
四边形ABNM 为正方形，则a =_________．
【答案】5
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出
1,
2
a
B m
a
−
+
，然后代入抛物线
的表达式解方程即可．
【详解】解：
(
)
2
2
2
2
1
1
y
x
mx
m
x
m
−
=
−
+
+ =
+ ，
∴顶点为(
)
,1
m
，
∵四边形ABNM 为正方形，过抛物线C 的顶点作x 轴的平行线l ，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足为M ，N ，
∴
1
AB
NB
a−
=
=
，
,
A B 关于抛物线的对称轴对称，
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11 /
∴
1,
2
a
B m
a
−
+
，
将点
1,
2
a
B m
a
−
+
代入
(
)
2
1
y
x
m
−
=
+ ，则
2
1
1
2
a
m
m
a
−−
+
+ =
，
整理得，
2
6
5
0
a
a
−
+
=
，
解得
1
5
a =
，
2
1
a = （舍），
∴
5
a =
．
8．
（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，函数
2
4
4
y
x
x
=
+
+
的图象经过点(
)
1
,
m y
和(
)
2
1,
m
y
+
．若
0
m
，则
1y ________
2y （填“”“=”或“”）．
【答案】
【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合
0
m
判断两点横坐标的位置，即可比较
1y 与
2y 的大小．
【详解】解：对函数解析式配方得
2
2
4
4
(
2)
y
x
x
x
=
+
+
=
+
，
1
0
a =
，
抛物线开口向上，对称轴为直线
2
x = −，
当
2
x
−
时，y 随x 的增大而增大，
0
m
，
1
0
2
m
m
+
−，
1
2
y
y
．
9．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
(
)
2
1 :
0
C
y
ax
bx
c a
=
+
+
经过点
1
0,
a
a
−
，对
称轴为
1
x
a
=
．
(1)求b 的值，并用含a 的式子表示c；
(2)已知M 是抛物线
1
C 上的点，M 的横坐标为t，抛物线
2
C 的顶点为M，且可以由抛物线
1
C 平移得到（特别
地，当M 是
1
C 的顶点时，
2
C 即为
1
C ）．若无论t 为何值，抛物线
2
C 都不经过点O，求a 的取值范围．
【答案】(1)
2
b = −，
1
a
c
a
−
=
(2)
1
2
a
且
0
a
12 /
【分析】（1）利用抛物线过
1
0,
a
a
−
直接得c ，再套用对称轴公式
1
2
b
x
a
a
= −
=
，化简求出b ；
（2）先写出顶点为
(
)
1
,
M t y
的平移后抛物线
2
C ，代入原点(
)
0,0 得到关于t 的一元二次方程，方程无实数根
则判别式
0
，解不等式得到a 范围．
【详解】（1）解：
抛物线
(
)
2
1 :
0
C
y
ax
bx
c a
=
+
+
经过点
1
0,
a
a
−
，
1
a
c
a
−
=
．
抛物线
1
C 的对称轴为
1
x
a
=
，
1
2
b
a
a
−
=
．
2
b
= −；
（2）解：设点
(
)
1
,
M t y
，
M 是抛物线
1
C 上的点，
2
1
1
2
a
y
at
t
a
−
=
−
+
．
由题意，抛物线
(
)
2
2
2
1
:
2
a
C
y
a x
t
at
t
a
−
=
−
+
−
+
，
设抛物线
2
C 与y 轴交于点
(
)
2
0,
N
y
，则
2
2
1
2
2
a
y
at
t
a
−
=
−
+
．
无论t 为何值，抛物线
2
C 都不经过点O，
无论t 为何值，都有
2
0
y
，
关于t 的方程
(
)
2
1
2
2
0
0
a
at
t
a
a
−
−
+
=
没有实数根．
0
，即
1
4
8
0
a
a
a
−
−
．
(
)
4 8 1
0
a
−
−
，
化简得：8
4
0
a−
，
解得：
1
2
a
，
1
2
a
且
0
a
．
10．（2026·陕西·中考真题）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表：
x
…
2
−
1
−
0
1
4
…
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13 /
y
…
5
0
3
−
4
−
5
…
(1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）；
①
0
a
；②
2
4
0
b
ac
−
；③当
1
x = 时，y 有最小值为4
−；④当
0
x
时，y 的值随x 值的增大而增大
(3)若将该二次函数的图象沿y 轴向下平移6 个单位长度，交x 轴于A ，B 两点，求AB 的长．
【答案】(1)如图，二次函数图象即为所求：
(2)①②③
(3) 2 10
【分析】（1）先描点，再连线即可作图象；
（2）根据函数图象分析即可；
（3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令
0
y =
，求出其与x 轴的两个交点坐
标，即可求解AB ．
【详解】（1）略
（2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故
0
a
，①正确；
抛物线与x 轴有两个交点，故
2
4
0
b
ac
−
，②正确；
14 /
由图象可得，当
1
x = 时，y 有最小值为4
−，③正确；
由图象可得，当
1
x 时，y 的值随x 值的增大而增大，④错误，
∴正确的有①②③；
（3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为(
)
1, 4
−
，故设表达式为
(
)
2
1
4
y
a x
=
−
−
将点(
)
0, 3
−
代入得，
4
3
a −
= −，
解得
1
a =
∴抛物线表达式为
(
)
2
1
4
y
x
=
−
−
∴沿y 轴向下平移6 个单位长度后的抛物线表达式为
(
)
2
1
4
6
y
x
=
−
−
−
，即为
(
)
2
1
10
y
x
=
−
−
，
令
0
y =
，则(
)
2
1
10
0
x −
−
=
解得
1
2
10 1,
10 1
x
x
=
+
= −
+
∴抛物线
(
)
2
1
10
y
x
=
−
−
与x 轴的交点为(
) (
)
10
1,0 ,
10
1,0
+
−
+
，
∴
(
)
10
1
10
1
2 10
AB =
+ −−
+
=
．
考点03 二次函数的最值
1．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
3
AB =
，
2
BC =
，E 是AB 边上的动点（点E 在A，
B 之间运动，不与A，B 重合），过E 作CE 的垂线交AD 边于点F，则AE
AF
+
的最大值是（ ）
A．21
8
B．3
C．25
8
D．27
8
【答案】C
【分析】设AE
x
=
，则
3
BE
AB
AE
x
=
−
= −，然后证明AEF
BCE
∽
，表示出
(
)
2
3
1
5
2
2
2
x
x
AE
AF
x
x
x
−
−
+
=
+
=
+
，再由二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设AE
x
=
，则
3
BE
AB
AE
x
=
−
= −
∵四边形ABCD是矩形，
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15 /
∴
90
A
B
= =
∵CE
EF
⊥
∴
90
AEF
BCE
BEC
−
=
=
∴AEF
BCE
∽
∴AF
AE
BE
BC
=
∴3
2
AF
x
x
−
=
∴
(
)
3
2
x
x
AF
−
=
∴
(
)
2
3
1
5
2
2
2
x
x
AE
AF
x
x
x
−
−
+
=
+
=
+
，
∵
1
0
2
−
，0
3
x
，
∴当
5
5
2
1
2
2
2
x
−
=
=
−
时，AE
AF
+
取得最大值，
将
5
2
x =
代入
2
1
5
2
2
AE
AF
x
x
−
+
=
+
得，(
)max
1
25
5
5
25
2
4
2
2
8
AE
AF
−
+
=
+
=
．
2．（2026·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同
的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每
亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0
28
x
．设
中肥力麦田每亩的产量为
1y （千克），低肥力麦田每亩的产量为
2y （千克）．已知点(
)
0,160
A
，(
)
18,646
B
，
(
)
28,496
C
均在描述
1y 与x 关系的抛物线上，且点B 是这条抛物线的顶点．
(1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量
1y 与x 的函数关系式；
(2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量
2y 与x 的函数关系式为
2
2
26
140
y
x
x
−
=
+
+
．
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以
16 /
及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1 亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到
最大时，两块麦田的总产量为m 千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n 千克．经
判断n小于m ，请直接写出m 与n 的差．
【答案】(1)
(
)
2
1
3
18
646
2
y
x
−
−
=
+
（0
28
x
）
(2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13 千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5
千克；②15
【分析】（1）根据点
(18,646)
B
是描述
1y 与x 关系的抛物线的顶点，则设
(
)
2
1
18
646
y
a x−
=
+
，将点(
)
0,160
A
代入即可求解；
（2）①根据二次函数的性质得到当
13
x =
时，
2y 取得最大值，此时
2
309
y =
，求出当
13
x =
时，
1y 的值，计
算
1
2
y
y
−
即可求解；
②根据二次函数的性质求出
1y ，
2y 的最大值，即可得到m 的值，令
1
2
y
y
y
=
+
，求出y 的最大值，即可得到
n 的值，计算m
n
−
即可．
【详解】（1）解：由题意得，点
(18,646)
B
是描述
1y 与x 关系的抛物线的顶点，
设
(
)
2
1
18
646
y
a x−
=
+
，
点(
)
0,160
A
在描述
1y 与x 关系的抛物线上，
2
(0 18)
646
160
a
−
+
=
，解得
3
2
a = −
，
1y
与x 的函数关系式为
(
)
(
)
2
1
3
18
646 0
28
2
y
x
x
= −
−
+
；
（2）解：①
(
)
2
2
2
26
140
13
309
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
．
∴
1
0
a = −
，开口向下，
又0
28
x
，
当
13
x =
时，
2y 取得最大值，此时
2
309
y =
．
两种麦田每亩施氮量相同，
当
13
x =
时，
(
)
2
1
3
13 18
646
608.5
2
y
−
=
−
+
=
，
此时
1
2
608.5 309
299.5
y
y
−
=
−
=
．
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17 /
答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13 千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5 千
克．
②∵
(
)
2
1
3
18
646
2
y
x
−
−
=
+
，
(
)
2
2
13
309
y
x
−
−
=
+
，
∴
1y 的最大值为646，
2y 的最大值为309．
646 309
955
m
=
+
=
．
令
(
)
(
)
2
2
1
2
3
18
646
13
309
2
y
y
y
x
x
=
+
= −
−
+
−
−
+
2
5
80
300
2 x
x
= −
+
+
(
)
2
5
16
940
2 x
= −
−
+
，
当
16
x =
时，y 有最大值，为940．
940
n
=
，
955 940
15
m
n
−
=
−
=
．
考点04 实际问题与二次函数
1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水
流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度
(
)
y cm 与水平距离(
)
x cm 的关系可以表示为
2
0.1
6
y
x
x
= −
+
，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ）
A．9cm
B．30 cm
C．90 cm
D．360 cm
【答案】C
【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解：
(
)
(
)
2
2
2
0.1
6
0.1
60
0.1
30
90
y
x
x
x
x
x
= −
+
= −
−
= −
−
+
，
∵0.1
0
−
，
∴当
30
x =
时，y 有最大值，最大值为90，
18 /
∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是90 cm ．
2．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕
食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2 是一次捕食中一条射水鱼发
现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度(
)
cm
y
与水平距离(
)
cm
x
近似满足函
数关系
(
)
2
1
4
0
10
y
x
x x
= −
+
．若这只昆虫在点(
)
20,50
P
，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不
能”）
【答案】不能
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把
20
x =
代入
(
)
2
1
4
0
10
y
x
x x
= −
+
，把结果与50 比较
即可．
【详解】解：把
20
x =
代入
2
1
4
10
y
x
x
=
+
−
，得
2
1
20
4 20
40
10
y =
+
=
−
，
40
50
∵
，
不能击中昆虫．
3．
（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价
1y（元）与销售月份x 满足一次函数关系
1
2
21
y
x
= −
+
，
单件水果进价
2y （元）与销售月份x 满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为(
)
6,3 并
且经过(
)
3,12 ，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元．
【答案】7
【分析】先求解
2
2
12
39
y
x
x
=
−
+
，设单件水果利润为：w元，可得
1
2
w
y
y
=
−
，再进一步求解即可．
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19 /
【详解】解：由题意设
(
)
2
2
6
3
y
a x−
=
+
，
把(
)
3,12 代入得：9
3 12
a+ =
，
解得：
1
a = ，
∴抛物线为
(
)
2
2
2
6
3
12
39
y
x
x
x
−
=
+
=
−
+
，
设单件水果利润为：w元，
∴
(
)
2
2
2
1
2
2
21
12
39
10
18
5
7
w
y
y
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
−
=
−
=
+
−
+
=
+
=
+
，
∵
1
0
a = −
，
∴当
5
x = 时，单件利润w的最大值为7 元．
4．（2026·内蒙古·中考真题）综合与实践
下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务．
项目
名称
为学校操场主席台遮阳棚设置灯带
问题
情境
如图是某学校操场上坐南朝北的主
席台，由地台（长方体）、四根立柱、
遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由
两条抛物线形线条组成，从正面看，
上方有一矩形，其一边与地台的长
度相同．项目式学习小组想为该矩
形四周设置灯带，测量了地台的长
度，在测量矩形另一边的长度时遇
到了困难，需要解决．
收集
信息
查找图纸：立柱
5m
ED =
，
7m
FG =
，
两根立柱ED 与FG 之间的距离
8m
DG =
．点F 是过点E ，N 的抛物线
的最高点，地台高
1m
AB =
，立柱FG 到
地台前边缘的距离
2m
AG =
．
查阅资料：小组通过查阅资料知道本地
20 /
春分日正午太阳光线与地面夹角的度数
为49．
实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M 点的
影子落在操场上的H 点处，测得影长
7.5 m
HB =
．
抽象
模型
说明：①测量时间为春分日正午；
②点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，
M ，N 在同一竖直平面内；点M ，N ，
A ，B 在同一竖直方向上，点H ，B ，C
在同一水平线上；
③各组选取不同的点作为坐标原点建立
平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”
小组以点D 为原点，AD 所在直线为x
轴，DE 所在直线为y 轴建立的平面直角
坐标系．
…
…
(1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点E ，F ，N 的抛物线的函数表达式；
(2)任务二：请你求出矩形另一边MN 的长度．
（参考数据：sin49
0.75
，cos49
0.66
，tan49
1.15
）
【答案】(1)
(
)
2
1
8
7
32
y
x
= −
+
+
(2)0.75m
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）连接AN ，可得(
)
10,0
A −
，然后求出
55
10, 8
N
−
，再解Rt
HMB
△
即可．
【详解】（1）解：由题意得，顶点
(
)
8,7
F −
，
(
)
0,5
E
，
∴设过点E ，F ，N 的抛物线的表达式为
(
)
(
)
2
8
7
0
y
a x
a
=
+
+
，
代入点
(
)
0,5
E
得，64
7
5
a+
= ，解得
1
32
a = −
，
∴过点E ，F ，N 的抛物线的表达式为
(
)
2
1
8
7
32
y
x
= −
+
+
；
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21 /
（2）解：连接AN ，由题意可得M ，N ，A ，B 共线，
∵
2m
AG =
，
8m
DG =
，
∵
( )
2 8
10 m
AD
AG
DG
=
+
=
+ =
，
∴(
)
10,0
A −
，
∴将
10
x
−
=
代入
(
)
2
1
8
7
32
y
x
= −
+
+
，则
(
)
2
1
55
10
8
7
32
8
y = −
−
+
+
=
，
∴
55
10, 8
N
−
，
在Rt
HMB
△
中，
49
H
=
，
7.5m
HB =
，
∴
( )
tan
7.5 1.15
8.625 m
BM
HB
H
=
=
=
∴
(
)
55
8.625
1
0.75 m
8
MN
BM
NA
AB
=
−
−
=
−
−=
．
答：矩形另一边MN 的长度为0.75m．
5．（2026·四川眉山·中考真题）2025 年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济
发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000 件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880
件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
(2)该食品厂原来每天可销售60 件芝麻糕，每件盈利30 元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1 元，就可
多售出5 件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)每月产量的增长率为20% .
(2)应降价9元，最大利润为2205 元.
【分析】（1）设每月产量的增长率为x ，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负
根即可得到结果；
（2）设降价x 元，每天总利润为y 元，根据总利润=每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据
二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额．
【详解】（1）解：设每月产量的增长率为x ，
根据题意列方程得:
2
2000(1
)
2880
x
+
=
，
22 /
解得
1
0.2
20%
x =
=
,
2
2.2
x = −
，增长率不能为负，不符合实际，舍去，
答: 每月产量的增长率为20%；
（2）解：设降价x 元，每天总利润为y 元，
根据题意，每件盈利为(
)
30
x
−
元，每天销售量为(
)
60
5x
+
件，
∴
(
)(
)
2
2
30
60 5
5
90
1800
5(
9)
2205
y
x
x
x
x
x
−
−
−
−
=
+
=
+
+
=
+
，
5
0
−
，
当
9
x =
时，y 取得最大值，最大值为2205 ，
答: 该食品厂应降价9元，才能使利润最大，最大利润为2205 元．
6．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造．
问题
圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷
出抛物线形水柱．现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，
圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外．
过程
方法
说明
利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算．
操作
说明
以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管
所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
数据
测量
原喷水池直径为16 米，喷水头距离地面0.8 米，喷出的抛物线形水柱
在与水池中心的水管水平距离为3.5 米处达到最高．
建立
模型
计算，交流展示……
请根据上述信息，完成下列问题：
(1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为
(
)
2
0.8
0
y
ax
bx
a
=
+
+
，求a，b 的值；
(2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？
【答案】(1)
0.1
a = −
，
0.7
b =
(2)18米
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23 /
【分析】（1）抛物线经过(
)
8,0 ，对称轴为直线
3.5
x =
，再由待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令
0
y =
，求出x ，即可求解半径．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过(
)
8,0 ，对称轴为直线
3.5
x =
，
∴
64
8
0.8
0
3.5
2
a
b
b
a
+
+
=
−
=
解得
0.1
0.7
a
b
−
=
=
；
∴
0.1
a = −
，
0.7
b =
；
（2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为
2
0.1
0.7
0.8
y
x
x
−
=
+
+
，
配方可得
(
)
2
0.1
3.5
2.025
y
x
−
−
=
+
，
∵现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变
∴新抛物线的表达式为
(
)
2
0.1
3.5
2.025 1
y
x
−
−
=
+
+ ，即
(
)
2
0.1
3.5
3.025
y
x
−
−
=
+
，
当
0
y =
时，
(
)
2
0.1
3.5
3.025
0
x−
−
+
=
，
解得
1
9
x =
，
2
2
x = −（舍去），
∴9 2
18
=
（米）
∴改造后圆形喷水池的直径至少18米．
7．（2026·广西·中考真题）综合与实践
风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100 米和200 米、110 米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风
速超过2 m/s ，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100 米比
赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平．
【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据．
【模型假设】假设1：用w（单位：m / s ）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示．
(1)逆风风速1 m / s 记为____m / s ．
假设2：风速w影响下的成绩记为T（单位：s ），零风速状态下的成绩记为
0T （单位：s ）．成绩变化量
0T
T
−
记为y ，y 与w的关系用函数近似描述．
(2)描述y 与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合
0T 和T 的关系解释原因．
假设3：用二次函数
2
y
aw
bw
=
+
描述y 与w的关系．
24 /
【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：
2
0.004
0.07
y
w
w
= −
+
．
【模型应用】
(3)请你估计顺风风速2 m / s 时的成绩变化量y ．
(4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100 米比赛，第一次在顺风2 m / s 的条件下跑出11.12 s 的成绩，第
二次在逆风1 m / s 的条件下跑出11.30 s 的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平
是否有提升．
【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2 m / s 以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数
模型．
【答案】(1) 1
−
(2)
理由如下：∵坐标原点为(0,0) ，对应风速
0
=
w
表示零风速，此时风速影响下的成绩T 就是零风速下的成绩
0T ，即
0
T
T
=
∴
0
0
y
T
T
=
−
=
∴函数图象经过坐标原点
(3)0.124s
(4)该运动员训练后的竞技水平有提升
【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果；
（2）根据原点对应的风速w和y 的实际意义，结合
0T 与T 的关系推导说明.；
（3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量；
（4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升．
【详解】（1）解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示，
∴逆风风速1m/ s 记为1m/s
−
．
（2）略
（3）已知二次函数模型为
2
0.004
0.07
y
w
w
= −
+
，
将
2
w =
代入得：
2
0.004 2
0.07 2
0.016
0.14
0.124
y = −
+
= −
+
=
即顺风风速2m/ s时的成绩变化量y 为0.124s．
（4）解：由题意得
0
y
T
T
=
−
，变形得
0T
T
y
=
+
第一次比赛：顺风
1
2m / s
w =
，成绩
1
11.12s
T =
，
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由（3）得
1
0.124s
y =
，则零风速成绩
( )
'
0
11.12
0.124
11.244 s
T =
+
=
第二次比赛：逆风
2
1m / s
w = −
，成绩
2
11.30s
T =
，将
2
1
w = −代入函数得：
2
2
0.004 ( 1)
0.07 ( 1)
0.004
0.07
0.074
y = −
−
+
−
= −
−
= −
则零风速成绩
(
)
( )
''
0
11.30
0.074
11.226 s
T =
+ −
=
∵11.226 11.244
，100 米跑成绩越小说明竞技水平越高
∴该运动员训练后的竞技水平有提升．
