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专题23 三角形全等的判定思路
（题型突破·举一反三）
▌题型01 已知两边找第三边（SSS）
【典例1】
【解答】解：∵点A、B、E、D 在同一条直线上，AE＝BD，
∴AE﹣BE＝BD﹣BE，
∵AB＝AE﹣BE，DE＝BD﹣BE，
∴AB＝DE．
在△ABC 和△DEF 中，
{
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【变式1-1】
【解答】证明：∵点E 是线段BC 的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE 和△DCE 中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
𝐴𝐸= 𝐷𝐸
，
∴△ABE≌△DCE（SSS）．
【变式1-2】
【解答】证明：连接BD，
在△ABD 和△CDB 中，
{
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
𝐵𝐷= 𝐷𝐵
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A＝∠C．
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【变式1-3】
【解答】解：（1）∵在△ADE 和△CBF 中，
{
𝐴𝐸= 𝐶𝐹
𝐴𝐷= 𝐵𝐶
𝐷𝐸= 𝐵𝐹
，
∴△ADE≌△CBF（SSS），
∴∠D＝∠B．
（2）由（1）得，△ADE≌△CBF，
∴∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠AEO＝180°，∠CFB+∠CFO＝180°，
∴∠AEO＝∠CFO，
∴AE∥CF．
▌题型02 已知两边找夹角（SAS）
【典例1】
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE．
∵BF＝CE，
∴BF﹣BE＝CE﹣BE，
即EF＝CB．
在△ABC 和△DEF 中，
{
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸
𝐶𝐵= 𝐸𝐹
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【变式1-1】
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
∵BC＝BF+FC，EF＝CE+FC，
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∴BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E（两直线平行，内错角相等），
在△ABC 和△DEF 中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐸
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【变式1-2】
【解答】证明：∵∠ECB＝∠ACD，
∴∠ECB﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，
即∠ACB＝∠ECD，
∵AC＝EC，BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
【变式1-3】
【解答】解：（1）等腰△ABC 和等腰△ADE 的位置如图1 所示，分别连接BD、EC 并延长交于点F，
则：
①因为∠BAC＝∠DAE，
所以∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
所以∠BAD＝∠CAE，
∵在△ABD 和△ACE 中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
所以△ABD≌△ACE（SAS），
所以CE＝BD＝7．
②因为AD＝AE，∠DAE＝130°，
所以∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 1
2 (180° −∠𝐷𝐴𝐸) = 25°，
因为△ABD≌△ACE，
所以∠ADB＝∠AEC，
因为∠F＝∠EDB﹣∠FED
＝∠EDA+∠ADB﹣∠FED，
＝∠ADE+∠AEC﹣∠FED
＝∠ADE+∠AED
＝25°+25°
＝50°．
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（2）现计划对该种植田进行扩建，在AC 右侧找一点D，连接BD、AD、CD，沿BD、CD、BC 设置隔
离栏（宽度忽略不计），
因为EG＝ED，AE⊥BD，
所以AG＝AD，
所以∠AGD＝∠ADG，
所以∠GAD＝180°﹣∠ADG﹣∠AGD＝180°﹣2∠ADG．
因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB，
所以∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ACB，
因为∠ADB＝∠ACB，
所以∠BAC＝∠GAD，
所以∠BAC﹣∠GAC＝∠GAD﹣∠GAC，
即∠BAG＝∠CAD，
因为在△ABG 和△ACD 中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐺= 𝐴𝐷
，
∴△ABG≌△ACD（SAS），
所以BG＝CD，
因为BE＝100 米，EG＝ED，
所以BD+CD＝BG+EG+ED+CD＝2（BG+EG）＝2BE＝200 米，
所以总长度为BD+CD+BC＝200+160＝360（米）．
▌题型03 已知一角与邻边找该角的另一边（SAS）
【典例1】
【解答】解：△BCE 与△BDE 全等，理由如下：
∵AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，AB＝AB，
∴△ACB≌△ADB（SAS），
∴BC＝BD，∠CBE＝∠DBE，
∵BE＝BE，
∴△BCE≌△BDE（SAS）．
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【变式1-1】
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
在△ABF 与△CDE 中，
{
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
∠𝐴= ∠𝐶
𝐴𝐹= 𝐶𝐸
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠D；
（2）解：BF＝DE，BF∥DE，
理由：∵△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED，
∴DE∥BF．
【变式1-2】
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
则∠BAC＝∠DAE，
在△ABC 和△ADE 中，
{
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐸
∠𝐶= ∠𝐸
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC＝DE．
【变式1-3】
【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴BC＝CA，
在△BCE 和△ACD 中，
{
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°
𝐶𝐸= 𝐶𝐷
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BDP＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠DCA＝90°，
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∵AB＝AE，
∴AD 平分∠BAE．
（3）AD⊥BE 不发生变化．
如图2，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BFP＝∠AFC，
∴∠BPF＝∠ACF＝90°，
∴AD⊥BE．
▌题型04 已知一角与邻边找该边的另一角（ASA）
【典例1】
【解答】（1）∵DE∥BC，
∴∠GBH＝∠E（两直线平行，内错角相等），
∵BE 平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠E，
∴BD＝DE；
（2）∵G 为BE 的中点，
∴BG＝EG，
在△BGH 和△EGF 中，
{
∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐸𝐺𝐹
𝐵𝐺= 𝐸𝐺
∠𝐺𝐵𝐻= ∠𝐸
，
∴△BGH≌△EGF（ASA），
∴BH＝EF，
∴BD＝DE＝DF+EF＝DF+BH．
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【变式1-1】
【解答】证明：∵DC＝DE+EC，且CE+BC＝DC，
∴CE+BC ＝ DE+EC，
∴BC＝DE，
∵DF∥BC，
∴∠FDE＝∠ACB，
在△ABC 和△FED 中，
{
∠𝐵= ∠𝐹𝐸𝐷
𝐵𝐶= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹𝐷𝐸
，
∴△ABC≌△FED（ASA），
∴AC＝DF．
【变式1-2】
【解答】证明：∵∠ACE＝∠B+∠A，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠B＝∠ACD，
∴∠A＝∠DCE，
在△ABC 和△CED 中，
{
∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐸
𝐴𝐵= 𝐶𝐸
∠𝐵= ∠𝐸
∴△ABC≌△CED（ASA），
∴AC＝CD．
【变式1-3】
【解答】证明：∵E 是AC 的中点，
∴AE＝CE，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△AEF 与△CED 中，
{
∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐶𝐸𝐷
𝐴𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐸
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴AF＝CD．
▌题型05 已知一角与邻边找该边的对角（AAS）
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【典例1】
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠A＝∠B，
∵AD＝BC，
∴AC＝BD，
在△ACE 和△BDF 中，
{
∠𝐴= ∠𝐵
∠𝐸= ∠𝐹
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）．
【变式1-1】
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
∵DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF，
∴DF＝BE．
在△AEB 和△CFD 中，
{
∠𝐴= ∠𝐶
∠𝐵= ∠𝐷
𝐵𝐸= 𝐷𝐹
，
∴△AEB≌△CFD（AAS）．
【变式1-2】
【解答】证明：∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD 和△ACD 中，
{
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△ABD≌△ACD（AAS）．
【变式1-3】
【解答】证明：∵AB 与CD 相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，
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在△AOC 和△BOD 中，
{
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△AOC≌△BOD（AAS）．
▌题型06 已知一边与对角找另一角（AAS）
【典例1】
【解答】证明：∵AB∥DE，点A、C、D 在同一条直线上，
∴∠BAC＝∠D，
∵∠BAE＝∠BAD+∠B，且∠BAE＝∠BAD+∠DAE，
∴∠BAD+∠B＝∠BAD+∠DAE，
∴∠B＝∠DAE，
在△ABC 和△DAE 中，
{
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷
∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐵𝐶= 𝐴𝐸
，
∴△ABC≌△DAE（AAS）．
【变式1-1】
【解答】解：（1）∵∠A＝∠B，∠BOE＝∠AOD，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O，
∴∠AEB＝∠1，
又∵∠1＝∠2，∠2＝40°，
∴∠AEB＝∠1＝∠2＝40°；
（2）证明：∵∠EDC＝∠C，
∴EC＝ED，
由（1）知∠AEB＝∠1，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED，
即∠AEC＝∠BED，
在△AEC 和△BED 中，
{
∠𝐴= ∠𝐵
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷
𝐸𝐶= 𝐸𝐷
，
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∴△AEC≌△BED（AAS）．
【变式1-2】
【解答】证明：∵BD＝EC，
∴BD+DC＝EC+DC，
即BC＝ED，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠FDE，
在△ABC 与△FED 中，
{
∠𝐴= ∠𝐹
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹𝐷𝐸
𝐵𝐶= 𝐸𝐷
，
∴△ABC≌△FED（AAS）．
【变式1-3】
【解答】证明：（1）∵MP 平分∠AMB，MQ 平分∠AMC，
∴∠AMP= 1
2∠AMB，∠AMQ= 1
2∠AMC，
∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ= 1
2∠AMB+ 1
2∠AMC
= 1
2（∠AMB+∠AMC）
= 1
2 ×180°
＝90°，
∴MP⊥MQ；
（2）由（1）知，MP⊥MQ，
∵BP⊥MP，
∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°，
∴∠PBM＝∠QMC，
∵AM 是△ABC 的中线，
∴BM＝MC，
在△BMP 和△MCQ 中
{
∠𝐵𝑃𝑀= ∠𝑀𝑄𝐶
∠𝑀𝐵𝑃= ∠𝐶𝑀𝑄
𝐵𝑀= 𝑀𝐶
，
∴△BMP≌△MCQ（AAS）．
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▌题型07 已知两角找夹边（ASA）
【典例1】
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠PAC＝∠CAE+∠PAC，
∴∠BAC＝∠DAE．
在△ABC 和△ADE 中
{
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵= ∠𝐷
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，
∴∠E＝∠ACE．
∵∠BAD＝∠CAE＝40°，
∴∠E＝∠ACE= 1
2 ×（180°﹣40°）＝70°．
【变式1-1】
【解答】证明：在△ABC 中，D 为边AB 上的一点，E 为AC 的中点，
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，
∵E 为AC 的中点，
∴AE＝CE，
∵∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴AD＝CF．
【变式1-2】
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【解答】（1）证明∵CD 是AB 边上的中线，
∴AD＝BD，
∵AE∥BF，
∴∠EAD＝∠FBD，
在△ADE 和△BDF 中，
{
∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐵𝐷
𝐴𝐷= 𝐵𝐷
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹
，
∴△ADE≌△BDF（ASA）；
（2）解：∵CF＝15，CE＝8，
∴EF＝CF﹣CE＝15﹣8＝7，
∵△ADE≌△BDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝7，
∴DE= 1
2EF= 1
2 ×7＝3.5．
【变式1-3】
【解答】（1）证明：在正方形ABCD 和OEFG 中，
∠OAB＝∠OBC＝45°，AO＝BO，∠AOB＝90°，
∵∠MOB+∠BON＝90°，∠AOM+∠MOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON．
在△AOM 和△BON 中，
{
∠𝑂𝐴𝑀= ∠𝑂𝐵𝑁
𝑂𝐴= 𝑂𝐵
∠𝐴𝑂𝑀= ∠𝐵𝑂𝑁
，
∴△AOM≌△BON（ASA）；
（2）解：∵△AOM≌△BON，
∴S△AOM＝SBON，
∴𝑆四边形𝑂𝑀𝐵𝑁= 𝑆△𝑀𝑂𝐵+ 𝑆△𝑂𝐵𝑁= 𝑆△𝑀𝑂𝐵+ 𝑆△𝐴𝑂𝑀= 𝑆△𝐴𝑂𝐵= 1
4 𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
4 × 𝑎2 = 1
4 𝑎2
▌题型08 已知直角与直角边找斜边（HL）
【典例1】
【解答】证明：A，E，B，D 在同一直线上，FE⊥AD，CB⊥AD，
∵AE＝DB，
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∴AE+EB＝EB+BD，
即AB＝DE，
在Rt△ABC 与Rt△DEF 中，
{𝐴𝐵= 𝐷𝐸
𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
即△ABC≌△DEF．
【变式1-1】
【解答】证明：∵点A、C、D、E 在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，AD＝CE，
∴∠ACB＝∠EDF＝90°，AD﹣CD＝CE﹣CD，即AC＝ED．
在Rt△ABC 和Rt△EFD 中，
{𝐴𝐶= 𝐸𝐷
𝐴𝐵= 𝐸𝐹，
∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL）
【变式1-2】
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC，
在Rt△ADE 和Rt△BEC 中，
{𝐷𝐸= 𝐸𝐶
𝐴𝐸= 𝐵𝐶，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．
【变式1-3】
【解答】证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
在Rt△ACD 和Rt△BCE 中，
{𝐴𝐶= 𝐵𝐶
𝐴𝐷= 𝐵𝐸，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），
∴CD＝CE，
∵点C 在∠MON 的内部，且点C 到OM、ON 的距离相等，
∴点C 在∠MON 的平分线上，
∴OC 平分∠MON．
