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1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题05 实际问题与一元二次方程 常考题型·精准突破 题型1 传播问题（重） 题型2 增长率问题（重） 题型3 与图形有关的问题（高频） 题型4 数字问题 题型5 营销问题（高频） 题型6 动态几何（难） 题型7 握手、循环赛问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 传播问题 1．（25-26 九年级上·北京·阶段检测）有5 个人患了流感，经过两轮传染后共有245 个人患了流感，则每轮 传染中平均一个人传染多少人？ 2．（24-25 九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81 人患了 流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700 人患流感吗？请说明理由． 3．（25-26 九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150 台学生电脑和1 台教师电脑，现在教师电脑被 某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1 台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25 台电脑被 感染． (1)每轮感染中平均1 台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ ◆题型2 增长率问题 4．（25-26 八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A 旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026 年5 月1 日当天查干湖景区累计客流量为1.6 万人次， 第三天客流量达到2.5 万人次． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 5．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行 走的总路程为10000 米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计， 第三周时，单周路程达到了12100 米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 6．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙BA ”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感 受篮球魅力．某篮球馆，今年3 月份共计接待观众1 万人，5 月份接待观众增加到了1.44万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6 月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6 月份预计接待观众多少万人？ ◆题型3 与图形有关的问题 7．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形ABCD和EFCG 均为矩形， 9m, 6m, m AD AB BG DF x = = = = ，休 闲区的储水量为3 2 L/m ． (1)种菜区的面积为 2 m ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x 的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要6L水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x 的值． 8．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN ，现利用围墙 和木栏围出一块矩形菜地ABCD，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右两边的 门均不消耗木栏． (1)如图1，当AD MN 时，设AB 长为x 米． ①请用含x 的代数式表示BC 的长，并写出x 的取值范围． ②若围成的菜地面积为96平方米，求AB 的长． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图2 ，当 AD MN 时，围成的菜地面积是否可以达到121平方米？说明理由． 9．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN ，小西打算利 用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为20 米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2 米 的门，门不消耗木栏，设AB 长为x 米． (1)如图①，当AD MN 时， ①AD =___________米（用含x 的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为56平方米，求AB 的长． (2)如图②，当 AD MN 时，养蜂场的面积是否可以达到70 平方米？请说明理由． ◆题型4 数字问题 10．（25-26 九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7 ．将该数的十位 数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 11．（25-26 九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知整数a 与b 的平方和可以表示为 2 2 a b + ，现有两个连续的正 整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 12．（25-26 八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历 表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x ，那么最中间的数可用x 表示为________，最大 的数可用x 表示为________； (2)若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型5 营销问题 13．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80 元，销 售价为120 元时，每天可售出20 件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120 元的基础上，采取适 当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．设每件童装降价x 元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x 的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200 元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 14．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的 方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻 的社会共鸣．截至6 月初，《给阿嬷的情书》票房已超16亿元． (1)已知5月12日至5月14日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为2100 万，第三天日票房为3024万， 那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打 卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为8 元时，每天约有300名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少20 人，经涨价后发现 每天营收增加了200 元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 15．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30 元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50 元时，每天可卖出100 个，在此基础上，售价每降低1 元，该玩偶每天可多卖出10 个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40 元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240 元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500 元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． ◆题型6 动态几何问题 16．（25-26 八年级下·安徽亳州·期中）在Rt ABC △ 中， 90 C = ， 18cm AC = ， 16cm BC = ，点P，Q 都从 点C 出发，点P 以1cm / s 的速度沿CA 向A 运动，点Q 从点C 出发，以2cm / s的速度沿CB 向B 运动，两点 同时出发，设运动时间为st ( ) 0 8 t ． (1)当 1s t = 时，求PQ 长． 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)当PCQ 的面积为 2 6cm 时，求t 的值． (3)当 3 5cm PQ = 时，求t 的值． 17．（25-26 九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形ABCD中， 6cm AB = ， 12cm BC = ，点P 从点A出 发沿AB 以1cm/s的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s的速度向点C 移动．设运动时间 为t 秒． (1)当 2 t = 时， DPQ △ 的面积为__________ 2 cm ； (2)在运动过程中 DPQ △ 的面积能否为 2 26cm ？如果能，求出t 的值，若不能，请说明理由； 18．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中， 6cm AB = ， 8cm BC = ，点P 从A开始沿AB 边 向点B 以1cm / s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/ s 的速度移动，P ，Q 两点分别从A， B 同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，PBQ 的面积等于 2 8cm ？ ②PBQ 的面积能否等于 2 10cm ？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点P 到达B 后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q 到达C 后不停止，继续以原速沿射线BC 方向运动， 直到点P 第一次回到A时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒PBQ 的面积等于 2 6cm ？ ◆题型7 握手、循环赛问题 19．（25-26 九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”， 其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15 场比赛，问共有多 少个队参加“单脚拔河”比赛？ 20．（25-26 九年级上·天津河西·阶段检测）列方程解决下列问题． 2023 年7 月6 日～8 日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工 智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3 天，每天安排145 场 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 比赛，求共有多少支队伍参赛？ 21．（25-26 九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍 与其它参赛队伍各比赛1 场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6 个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）某商品原价289 元，经连续两次降价后售价为256 元，设平均每次降 价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A． ( ) 2 289 1 256 x − = B． ( ) 2 256 1 289 x − = C． ( ) 2 289 1 256 x − = D． ( ) 2 256 1 289 x − = 2．（25-26 八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口 罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81 个人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意，列方程为（ ） A． ( ) 1 81 x x + + = B． 2 1 81 x x + + = C． ( ) 1 1 81 x x x + + + = D． ( ) 1 81 x x x + + = 3．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问 题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平 方步，长和宽共60 步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法， 如图：用四个完全相同的面积为864平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为x ，则可列方程 为（ ） 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． 2 2 (60 2 ) 60 4 864 x − = − B．( ) 60 864 x x + = C． 2 2 (60 2 ) 60 4 864 x + = − D．( ) 60 2 864 x x − = 二、填空题 4．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物， 礼物数共计72 件，那么该小组有_____人． 5．（25-26 八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10 件，每件盈利40 元， 为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平 均每天可多售出1 件．若商场平均每天盈利600 元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x 元，则 可列方程为________． 6．（25-26 八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3 3 积幻方中，9个小方格中的 正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“3 3 积幻方”只呈现 了4 个小方格中的数，则其中x 的值是_________． 三、解答题 7．（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4 月 15 日定制出2000 本，16 日、17 日定制量持续增加，到4 月17 日当天的定制量达到3380 本，若16 日、17 日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 8．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为 2 1320m ，停车场内共设计 了如图所示的40 个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2 倍还多1m．停车场内所有横、纵向的 通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为m x ． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)请用含x 的代数式表示横向通车道的长； (2)求该停车场的每个停车位的宽． 9．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销 售单价为60 元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每降价1元，每星期就可以多卖出2 个．现网店 决定降价销售，设销售单价为x 元，每星期的销售量为y 个． (1) y 关于x 的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于50元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个40 元，该网店能否达到2600元的利润？ 10．（24-25 九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025 年1 月的日历表，用虚线方框按如图所示的 方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80 吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理 由． 11． （25-26 八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 米）， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1 米的两扇小门． (1)设花圃的一边AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边AD的长； (2)若此时花圃的面积刚好为 2 45m ，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为 2 50m 的花圃？请说明理由． 12．（25-26 八年级下·广西百色·期末）【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能 化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材 1 该车间4 月份生产该零件100 个，到6 月份产量增加至144 个，且每月增长率相同． 素材 该零件的生产成本为每个30 元．市场调研发现：当售价定为每个40 元时，每月可销售600 个；若 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 售价每上涨1 元，月销售量就会减少10 个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4 月份到6 月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000 元．同时，为了让更多消费 者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 13．（24-25 九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形ABCD中， 10cm AB = ， 12cm BC = ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以2cm / s的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以4cm/ s 的速 度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒， （0 3 t ）． (1)当t 为何值时，点B 在PQ 的垂直平分线上？ (2)当t 为何值时，PQ 的长度等于10cm？ (3)连接PC ，是否存在t 的值，使得 PQC △ 的面积等于 2 32cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请 说明理由． 14．（25-26 八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结 果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是30 120 x ． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本 1y （元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价 2y （元）与日产量x（千克）之间的关系式为： 2 1 90 3 y x = − + ． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本 1y （元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本 1y 是x 的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价 2y 的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200 元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该 定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500 元，能否实现？请通过计算说明理由．
