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专题38 综合与实践-几何综合压轴题（37 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点 综合与实践
-几何综合压轴题
核心考查三角形基础线段与角、垂直
平分线与全等三角形、图形旋转、折
叠综合压轴、最短路径与定角定圆模
型、 新定义几何与尺规网格作图等考
点
几何压轴三大变化：一是变换综合
化，旋转、折叠、对称叠加考查，
分层设问梯度明显，多解分类成为
区分难点；二是模型生活化，行车
转弯、古测量工具、农田规划、手
工实物入题，弱化纯几何模型；三
是素养导向强化，新增新定义探究、
网格限尺作图、隐圆最值，侧重现
场建模、逻辑说理，不再单纯考证
明，融合代数计算、分类讨论、实
际方案分析。
一、解答题
1．（2026·四川眉山·中考真题）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．
已知，如图1，ABC中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，
10
BC =
，点D 是BC 边上的动点（不与点B，C
重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90 得到线段AE ，连接DE ，CE ，DE 与AC 交于点F．
(1)【初步探究】如图1，在点D 的运动过程中，试探究CE 与BD 的数量关系，并说明理由．
(2)【深入探究】如图2，当点D 运动到
4
CD =
时，求EF 的长．
(3)【拓展延伸】如图3，点M 为ED 延长线上一点，且满足MC
MF
=
，当
(
)
1
BD
k k
DC =
时，求MD
DF 的值
（用含k 的式子表示）．
2．（2026·内蒙古·中考真题）综合与探究
问题情境：有一张边长为15 的正方形纸片ABCD，将一张腰长为9 的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶
点A 重合放置，记该三角形为AEF ．顶点E，F 分别在正方形的AB ，AD 边上，如图1．现将AEF 绕点
A 按逆时针方向旋转角，其中0
90
，得到
AE F
△
，连接BE，DF，如图2．
(1)初步探究：猜想线段BE与线段DF的数量关系，并说明理由；
(2)深入探究：在AEF 绕点A 按逆时针方向旋转过程中，当AE与BE互相垂直时，AE交EF 边于点M，
E F交AD 边于点N，如图3．
①求证NA NF
ND NE
=
；
②求
AEM
△
与
AFM
△
面积的比值．
3．（2026·甘肃天水·中考真题）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部
分探究内容，请你思考并解答．
【初步尝试】
(1)如图1，在ABC中，AB
AC
=
，过点B 作BQ
AC
∥
，
2
BQ =
，连接AQ ．点P 在线段AB 上，满足
BPC
CAQ
=
，求AP 的长．
【类比探究】
(2)如图2 ，在ABC中，AB
AC
=
，以AB 为对角线的矩形AEBD 的顶点D 在AC 上，P ，Q 分别是线段AB ，
BE 上的动点（不含端点），AP
BQ
=
．当
BPC
BCD
=
时，用等式表示出CD和QE 的数量关系，并说明
理由．
【拓展迁移】
(3)如图3，在矩形AEBD 中，P ，Q 分别是线段AB ，BE 上的动点（不含端点），AP
BQ
=
．当
1
2
EAQ
DAP
=
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时，用等式表示出BP 和QE 的数量关系，并说明理由．
4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．
已知有公共顶点的矩形ABCD和矩形EBFG，
2
BA =
，
1
BE = ，BC
BF
k
BA
BE
=
=
．先将矩形EBFG的边BE ，BF
分别落在矩形ABCD的边BA ，BC 上，再将矩形EBFG绕点B 顺时针旋转，旋转角为，连接AE ，CF ．
(1)【问题初探】如图1，当
1
k = ，0
90
时，AEB
与
CFB
的数量关系是 ，AE 与CF 的数量关系是 ；
(2)【类比推理】如图2 ，当
3
k =
，0
90
时，试探究AE 与CF 的数量关系，请写出结论，并说明理
由；
(3)【深入探究】如图3，当
3
k =
，0
360
时，点M 为边BC 的中点，直线EG 交线段BC 于点N ，
若EN
MN
=
，则CF 的长为 ；
(4)【拓展延伸】如图4 ，当
3
k =
，0
90
时，过点E 作EQ
BC
⊥
，垂足为Q ，在线段BE 上取点P ，
使
2
3
BP
EQ
=
，连接AP ．若ABP 的面积为S ，则S 的取值范围是 ．
5．（2026·四川广元·中考真题）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将
其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律．
在AOB 与
COD
△
中，
90
ABO
CDO
=
=
，
30
AOB
COD
=
=
，
6
OA=
，
4
OC =
，将
COD
△
绕点O
顺时针旋转，旋转角为(
)
0
180
，直线BD 与直线AC 相交于点E ．
【初步探究】
(1)如图2，
AEB
的度数为__________；
【尝试应用】
(2)如图2，若BE
OA
∥
，求CE 的长；
【创新提升】
(3)若C ，D ，E 三点构成以CD为腰的等腰三角形，请直接写出AC 的长．
6．（2026·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探
究．
如图，
ABC
EAD
△
△
≌
，AB
AC
nBC
=
=
（
1
n ），点D 在AC 边上，延长ED 交AB 于点F．
(1)【初步感知】求证：
2
AF
FD FE
=
；
(2)【深入探究】如图1，当
2
n =
，
1
AD = 时，求BF 的长；
(3)【拓展延伸】如图2，将EAD 绕点E 按逆时针方向旋转一定角度（小于90）得到
EA D
△
，若F，A，
D三点共线，且点A 的对应点A满足A A
A B
⊥
，求n 的值．
7．（2026·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图1，在ABC中，AB
BC
=
，BO是ABC 的中线．将BOC 绕点O顺时针旋转得到DOE ，
其中点B ，C 的对应点分别为点D ，E ，线段DE 分别与线段OA，AB 交于点M ，F ，线段OE 与AB 交于
点N ．
(1)推理证明：求证：AON
EOM
≌
；
(2)拓展延伸：在旋转过程中，当OD
AB
∥
时，探究下列问题．
①如图2，判断DO 与DF 的数量关系，并说明理由；
②已知
2
OB =
，
3
OA = ．在射线DO 上取一点G ，在射线BO上取一点H ，使OH
OG
=
．当以点A ，G ，H
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为顶点的三角形是直角三角形，且GH 为直角边时，请直接写出线段BH 的长．
8．（2026·贵州·中考真题）小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下：
【动手操作】如图①，在直线l 的两侧有两点A ，B ，小红要在直线l 上确定一点P ，使AP
BP
+
最短．
(1)请帮小红确定点P 的位置，并画出图形；
(2)解决该问题的依据是________；
【问题探究】
(3)如图②，在四边形ABCD中，点E 是边BC 的中点，点F 是对角线BD 上一个动点，连接EF ，CF ，
30
DBC
=
，
2 3
BC =
，当EF
CF
+
的值最小时，求线段EF 的长；
【拓展延伸】
(4)如图③，在四边形ABCD中，AD
BC ，BD
CD
=
，CE
BD
⊥
，垂足为E ，
2
A
ADB
=
，
1
AD = ，
3
AB =
，
若点P 是线段BC 垂直平分线上的一个动点，连接BP ，EP ．确定点P 的位置使BPE 周长最小，并求出该
周长的最小值．
9．（2026·四川达州·中考真题）综合与探究
【方法探究】
(1)如图1，直线1
2
l
l ，A，B 两点在直线1l 上，
1
C ，
2
C ，
3
C 三点在直线2l 上，连接
1
AC ，
2
AC ，
3
AC ，
1
BC ，
2
BC ，
3
BC ，我们发现
1
ABC ，
2
ABC ，
3
ABC
△
面积的数量关系是______，理由是______
(2)如图2，AB 是
O 的直径，C 是
O 上的动点（C 不与A 重合）、D 是AC 的中点，用圆规和无刻度直尺
在图2 中作出点D 的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由；
(3)【问题解决】如图3，直线AB
CD
∥
，M 是AB 上一点，MN
CD
⊥
，垂足为N，
4
MN =
、E 是射线NC
上的动点，连接EM ，过点M 在AB 上方作射线MF
ME
⊥
，G 是MF 上的一点，连接EG ，
12
EMG
S
=
△
，
求线段NG 的最大值．
10．（2026·山东·中考真题）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正
切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD为正方形，AG 为悬挂重物的铅垂线，AB 为
左矩，AD 为右矩，标有均匀刻度的BC 和DC 组成矩尺盘，以点A 为圆心，AB 为半径的标有均匀刻度的
弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩AB 或右矩AD 与视线PF 重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、
矩尺盘的交点的刻度为读数．
(1)如图2，左矩AB 与视线PF 重合，角度盘读数为31（
31
DAE
=
），矩尺盘读数为6（
6
DE =
），可
知仰角
31
P
DAE
=
=
，
6
tan
tan
0.6
10
DE
P
DAE
AD
=
=
=
=
．如图3，右矩AD 与视线PF 重合，角度盘读数为
29（
29
DAE
=
），矩尺盘读数为5.5（
5.5
DE =
），则仰角
P
= ________，tan
P
________（结果精确
到0.1）．
【应用探究】
(2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E 到地面的距离（EB 的长度）．如图5，某同学站在
城门楼一侧A 处，用矩盘的左矩与视线ME 重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB 前进，穿过城门BD 到达
城门楼另一侧C 处，在C 处将矩盘右矩与视线NE 重合，角度盘读数为45．已知
20m
AC =
，该同学眼睛到
地面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E 到地面的距离（结果精确到0.1m）．
11．（2026·重庆·中考真题）综合与实践
在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究．
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【动手操作】
如图，在
ABCD 中，AB
BC
．用尺规完成基本作图：作出
ABC
的平分线，交AD 于点E ．
【问题提出】
他们猜想DE ，BC ，AB 之间存在以下数量关系：DE
BC
AB
=
−
．
【问题解决】
任务：
(1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明．
12．（2026·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图：如图，在
AOB
的内部有一点P ．
(1)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN ，并使等腰三角形的底边MN 经
过点P ，点M ，点N 分别在射线OA，射线OB 上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹）
(2)【拓展探究】如图2，若
58
AOB
=
，连接OP ，
3
OP = ．以O为圆心，OP 为半径画圆，交射线OA，射
线OB 于C ，D 两点，则劣弧CD的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π的代
数式表示的结果）
13．（2026·四川南充·中考真题）在菱形ABCD中，对角线
,
AC BD 相交于点O，AP
AB
=
．
(1)【初步感知】如图1，点P 在线段AC 上，若
2
OP
CP
=
，
6
AC =
，求AB 的长．
(2)【深入探究】如图2，点P 在线段CD上，若CP
DP
=
，设AB 长为x，AC 长为y，求y 与x 之间的函数
关系式．
(3)【拓展运用】如图3，点P 在线段CD上，将ADP 沿直线AP 折叠，若点D 落在BC 边上，求DP
DC 的值．
14．（2026·河南·中考真题）在菱形ABCD中，
120
BAD
=
，
4
AB =
．将边AB 绕点A 逆时针旋转至AE ，
记旋转角为．作射线DE ，在射线DE 上取一点H ，使BH
BE
=
，连接CH ．
(1)【观察猜想】
当
30
=
时，如图1，
BEH
的度数为_________，CH 的长为_________．
(2)【探究证明】
当0
120
时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2 的情形进行证明；若不成立，
请说明理由．
(3)【拓展延伸】
当0
120
时，若DCH 的面积为4 2 ，请直接写出此时旋转角的度数．
15．（2026·山东·中考真题）在ABC中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
．
【观察与发现】
(1)如图1，将线段AC 绕点A 顺时针旋转60得到线段AD ，点D 与点C 是对应点．点E ，F 分别在边AB ，
AC 上，AE
CF
=
，连接DE ，DF ．求证：DE
DF
=
．
【思考与探究】
(2)如图2，过点A 作AH
AC
⊥
交BC 于点H ．点E ，F 分别在边AB ，AC 上，
2
CF
AE
=
，连接EF ，HE ，
HF ．猜想线段EF 与HE 的数量关系，并说明理由．
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【拓展与延伸】
(3)如图3，在（2）的条件下，延长FE 至点G ，使EG
FE
=
，连接GA，GH ．若
6
AB =
，
2 7
AG =
，求线
段AE 的长度．
16．（2026·山东烟台·中考真题）【尝试发现】
(1)如图1，ABC
ADE
∽
，
2
3
AB
AC =
．当点D ，E 分别在边AB 和AC 上时，BD
CE 的值是__________；
【变式探究】
(2)如图2，将（1）中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE ，BD ，
AC 与BD 交于点O ，CE 与BD 的延长线交于点F ．
①求BD
CE 的值；
②写出
BAC
和
BFC
的数量关系并证明；
【联系拓广】
(3)如图3，矩形ABCD 中，
3
AB = ，
6
BC =
，点E 在边BC 上且
2
BE =
，连接AE ．F 是直线BC 上
的动点，作
AFG
ABE
△
∽△
，连接CG ，EG ．
①当点F 在线段CB 的延长线上，且EG
EA
=
时，求EF 的长；
②当CG 的长度最小时，直接写出此时BF 的长．
17．（2026·湖南·中考真题）【问题背景】
如图1 ，给定平行四边形ABCD，点P 是AD 边上不与A ，D 重合的一动点．如图2 ，作XYZ ，使得XY
AD
=
，
且当点P 运动时，保持
X
ABP
=
，
Y
DCP
=
．
【动手操作】
将XYZ 拼接于平行四边形ABCD的上方：
操作一：如图3，使点X 与A 重合，点Y 与D 重合，将此时的Z 点记为Q ，作QS
AB 交AD 于点S ；
操作二：如图4 ，使点X 与D 重合，点Y 与A 重合，将此时的Z 点记为R ，连接RP ．
【问题解决】
(1)如图1 ，当
80
BPC
=
时，
APB
DPC
+
=________°；
(2)如图3，从结论①，②中选一个给出证明；
①ASQ
BAP
∽
，②DSQ
CDP
∽
；
(3)如图3，在点P 运动过程中，探究线段AP 与线段DS 的数量关系，并说明理由；
(4)如图4 ，设
4
AD =
，
3
AB = ，当点P 运动时，求PR
PD
+
的最大值．
18．（2026·四川甘孜·中考真题）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对
边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形AFDE 是平行四边形，
CE
AF
k
AE
BF
=
=
．
【初步感知】
(1)如图1，连接BD ，CD，则1
2
3
++= 度；
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【变化探寻】
(2)如图2，
10
AB =
，
15
AC =
，固定点D ，当k 为何值时，在移动点B 的过程中，始终有
AEF
与
B
相等．
【深入探究】
(3)如图3，固定点D ，若移动点B 到点B，则点C 随之移动到点C．
①判断线段CC与BB的位置关系与数量关系，并说明理由；
②在点B 处安装一支描图针，在点C 处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2 的等腰直角三角
形
1
L 描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形
2
L ，求图形
2
L 的面积．（用含k 的代数式表示）
19．（2026·广东深圳·中考真题）综合与探究
定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为
(
)1
k k
，则称该四边形为“k 倍四边形”．
(1)①如图1，在
ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，点E 为OB 中点．若四边形AECD为k 倍四边形，
则k 的值为__________；
②如图2，在k 倍四边形ABCD中，若对角线AC 被BD 平分，则
ACD
ACB
S
S
=
△
△
__________；（用含k 的代数式表
示）
(2)如图3，四边形ABCD为k 倍四边形，其对角线BD 平分对角线AC ，且满足
2
BDC
ABD
=
，
4
BD
CD
=
，
求k 的值；
(3)如图4，已知定点A ，B ，且AB
BM
⊥
，点C 为射线BM 上一动点，点D 为平面内一点，连接A ，B ，C ，
D 构成四边形ABCD．若BD 平分AC ，
BAC
DAC
=
，四边形ABCD为2 倍四边形，求tan ACD
的值．
20．（2026·四川攀枝花·中考真题）综合探究与应用
【阅读材料】
如图1，两定点A、B 在直线l 异侧，点P 是直线l 上任意一点，当点P 为线段AB 与直线l 的交点时，PA
PB
+
的值最小，最小值为线段AB 的长．理由：在直线l 上另取一点
1P ，连结
1
1
PA
PB
、
，因为三角形的两边之和
大于第三边，所以
1
1
PA
PB
AB
+
，即PA
PB
+
最小值为AB 的长．
【类比应用】
(1)根据阅读材料中的相同道理，类比解决下面的问题：
如图2，两定点A、B 在直线l 同侧，点P 是直线l 上任意一点，当点P 为线段AB 延长线与直线l 的交点时，
PA
PB
−
的值最大，最大值为线段AB 的长．请说明理由．
【拓展提升】
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(2)如图3，在矩形ABCD中，
2,
3
AB
AD
=
= ，O为对角线AC 的中点，点H 在AD 边上，且
1
AH = ，点E
在BC 边上，连结HE ，OE ，求HE
OE
−
的最大值．
21．（2026·陕西·中考真题）问题探究
(1)如图①，AD 是ABC的角平分线，若
:
3:2
ABD
ACD
S
S
=
，则
:
AB AC 的值为_________；
(2)如图②，在ABC中，AB
AC
=
，
80
BAC
=
，点D ，E 在边BC 上．若
2
BE CD
AB
=
，求
DAE
的度
数；
问题解决
(3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路
将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄
水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道．
如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ ，DP 为小路，小路的出口P ，Q 分别在农田边界AB ，BC 上，
AQ 与DP 相交于点M ，点M 为蓄水池，点B 为水源接入口，BM 为地下输水管道．根据种植需求，ADP
区域与ABQ 区域的面积之比为25:36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM 最短．
已知AD
BC ，AB
BC
⊥
，
400 m
AD =
，
480 m
AB =
，
720 m
BC =
，请你帮助该村计算在满足种植需求的
情况下，当地下输水管道BM 最短时，四边形MQCD 区域的面积．（结果精确到
2
1m ．小路的宽，蓄水池
的大小均忽略不计）
22．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】
(1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，
车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2 所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心
的距离）
1.5 m
AB =
，前轮转向角即
30
CBD
=
，则旋转半径OB =_____ m ．
【类比探究】
(2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与
自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向
与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）．
如图3，某款家用汽车宽AB 约为2 m ，轴心距BC 约为3m
．转弯时，若右前轮的转向角即
20.6
ECF
=
，
求此时左前轮的转向角
GDH
的度数．
（参考数据：
3
tan 20.6
8
，
1
tan 26.6
2
，
9
sin 20.6
25
，
2
tan33.6
3
，
1
tan18.5
3
）
【综合实践】
(3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C ，D 与直角拐点Q
共线位置时，其俯视图如图5 所示．若路宽均为5m
，车辆左侧与实线PQ 的距离为1m
．现右前轮欲以固
定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sin的范围．
23．（2026·湖北武汉·中考真题）将正方形ABCD的边CD绕点D 逆时针旋转得到DE ，连接AE 交边CD于
点F ，DG 平分
CDE
交AE 于点G ，连接CG 、CE．
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(1)如图1，求证：CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明
DAE
DEG
DCG
=
=
）．
(2)如图2，连接BD 交AE 于点H ，求证：
2
AF AE
AH AG
=
．
(3)如图3，点K 在线段AE 上，
1
2
AK
CG
=
，连接CK ．若
4
AB =
，直接写出CK 的最小值．
24．（2026·湖北武汉·中考真题）下图是由小正方形组成的6 6
网格，每个小正方形的顶点叫作格点，ABC
的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过五条．
(1)如图1，先在AB 上画点D ，使
45
BCD
=
，再画点A 关于点D 的对称点E ；
(2)如图2，P 是边AC 与网格线的交点，先将AB 平移到FP （P 是点B 的对应点），再在FP 上画点G ，使
BGP
APF
=
．
25．（2026·云南·中考真题）如图，
O 是ABC的外接圆，AB 是
O 的直径．点P 在BA 的延长线上，且
2
PC
PA PB
=
．点E 在AC 的延长线上．线段BE 的中点M 与点C 、点P 在同一条直线上．线段OM 与
O
相交于点D ，与线段BC 相交于点N ．DH
AB
⊥
于点H ，线段DH 与线段BC 相交于点F ，连接OF ．记
OFD
△
的面积为
1S ，OFH 的面积为
2
S ．
(1)求证：直线PC 是
O 的切线；
(2)若
2 21
AB =
，
6 6
BE =
，求线段PA 的长；
(3)观察，探究，发现与证明：
以下三个结论：
1
2
S
S
，
1
2
S
S
=
，
1
2
S
S
，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
26．（2026·江苏扬州·中考真题）如图1，在边长为1 的正方形ABCD中，E 是AD 边上的动点（不与点A，
D 重合）．将ABE 沿BE 翻折，得到
FBE
△
．过点F 作FM
BE
⊥
，FN
BC
⊥
，垂足分别为M，N．
(1)如图2，若FM
FN
=
，求FM
FN
+
的值；
(2)如图3，若E 为AD 中点，则FM 的长为_______，FN 的长为_______；
(3)求点E 运动过程中FM
FN
+
的最大值．
27．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
3
AB =
、
1
AD = ，点P 在线段CD上（点P 不
与点D 重合），连结AP ，将ADP 沿AP 翻折得到、点D 的对应点为D．
(1)求AD的长度；
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(2)求证：当
1
DP = 时，四边形AD PD
为正方形；
(3)若点Q 在线段AB 上，且
(
)
0
3
BQ
DP
a
a
=
=
，连接CQ 、将BCQ 沿CQ 翻折得到B CQ
、点B 的对
应点为B，设点B与点D之间的距离为d ，求d 的取值范围．
28．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，P 是以AB 为直径的
O 外一点，C 为
O 上的一点，PA 是
O 的
切线，BC
OP ，D 为OB 的中点，连接DP 交OC 于E ．
(1)求证：PC 是
O 的切线；
(2)若
2
OA=
，
4
PA =
．
①求BC 的长；
②求tan PEC
的值．
29．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，在ABC中，
5
8
AB
AC
BC
=
=
=
，
，点D 是BC 边上的一个动点，
连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转至线段AE ，使得
DAE
BAC
=
，连接CE
DE
、
．
(1)当AD
BD
=
时，求BD 的长；
(2)当ACD是等腰三角形时，求CD的长；
(3)当AD
AC
⊥
时，求DE 的长（用图2）．
30．（2026·湖北·中考真题）在Rt
ABC
△
中，
90
B
=
，将ABC 绕点C 顺时针旋转（0
90
）得
到
EDC
△
，使得AD
AE
=
．
(1)如图1，若AD
CE
∥
，DE 与AC 交于点F ，作AM
DE
⊥
，垂足为M ．
①证明：
ADM
CED
△
∽△
；
②求EF
DF 的值；
③若
3
AC = ，直接写出AB 的值．
(2)如图2，若
90
DAE
=
，直接写出AB
AC 的值．
31．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与实践
【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．在矩形ABCD中，点E ，
F 分别是边AD ，BC 上的动点．
(1)【观察感知】如图1，当点E ，F 运动到AE
BF
=
时，连接AF ，BE ．求证：ABE
BAF
≌
．
(2)【探索发现】如图2，连接AC ，点M 是AC 上的一点，
1 2
CM AM =
∶
∶，连接AF ，BE ，AF 与BE 相
交于点G ，连接GM ．当BE 平分
ABC
，AF 平分
BAC
时，且
2
AB
AC
BC
+
=
，试求出GM 与FC 的数
量关系，并说明你的理由．
(3)【问题拓展】如图3，当
2 3
AB =
，
8
BC = 时，作直线EF ，若直线EF 将矩形ABCD分成周长相等的两
部分，过点D 作DH
EF
⊥
于点H ，连接AH ．当矩形的边AD 与直线EF 的夹角成60时，请你直接写出
DAH
的正切值．（自行完成作图并作答）
32．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，等边ABC内接于
O ，D 为BC 中点，连接OD 并延长交
O 于
点E ，作EM
BC ．
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(1)求证：EM 是
O 的切线．
(2)如图2，点F 为射线EM 上的动点，连接FB 并延长与
O 的优弧BAC 交于点P （与点B ，C 不重合），
连接PA ，PC ．
①在点F 运动过程中，请探究线段PA ，PB ，PC 的数量关系并说明理由：
②连接CE，若
2 3
AB =
，当点P 到CE的距离最大时，请直接写出PA
BF
PB
+
的值．
33．（2026·福建·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于
O ，E 是DC 延长线上的一点，EB 的延长线
交
O 于点F ，AB
BD
=
，
60
CBE
ABD
=
=
．
(1)求
E
的度数；
(2)求证：四边形AFEC是平行四边形；
(3)设CF 交BD 于点G ，且
2
3
CG
FG =
，求BD
AC 的值．
34．（2026·上海·中考真题）在半圆AOQ 中，点O为圆心，线段AQ 为直径，B 、C 是半圆上两点，D 是AB
上一点，连接AB 、CD交于点P ，且AB
CD
=
．
(1)如图1，连接OP ；
①求证：
APO
CPO
=
；
②如图2，连接OB 交弦CD于点H ，若
4
AQ =
，
1
PB = ，PO
HO
=
，求PH 的长；
(2)如图3，连接PQ 、AC 交于点E ，线段AP 上有一点F 使得
4
PF
AF
=
，若PE
QE
=
，PEA
PFQ
=
，
求PE
EA 的值．
35．（2026·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
(1)在锐角ABC中，求作一点P，使PA PB
PC
+
+
的值最小．
下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理．
如图1，以AC 为边向外作等边三角形ACD，再作ACD的外接圆
O ，连接BD ，
与
O 交于点P．则点P 即为求作的点．
在PD 上取一点P，使PP
AP
=
，连接AP，在
O 中，根据“同弧所对的圆周角相等”，
得
APP
= ①
60
=
，故APP是等边三角形．所以AP
PP
=
．
进而可证得ADP
ACP
≌
．所以CP
DP
=
．
所以PB
PA PC
BP
PP
P D
BD
+
+
+
=
+
=
．
由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得，
BD 的长即为PA PB
PC
+
+
的最小值．
【方法迁移】
(2)如图2，已知点A，B 到直线l 的距离
4
AE
BF
=
=
，
6
EF =
．在图中找一点P，使点P 到点A、点B、直
线l 的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值．
【拓展应用】
(3)如图3，若村庄A，B，C，D 的连线构成一个矩形，且AB
a
=
，BC
b
=
（
3
a
b
a
）．
现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方
案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b 的代数式表示）．
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36．（2026·重庆·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，BC
AC
，以BC 为斜边在BC 上方作等
腰直角三角形BCD．
(1)如图1，若
30
ABC
=
，
3
BD =
，求AC 的长度；
(2)如图2，连接AD ，将线段DA 绕点D 顺时针旋转90得到线段DE ，延长ED 交BC 于点F ，连接CE ．点
G ，H 分别是AB ，CE的中点，连接DG ，GH ．求证：
2
BC
AC
GH
−
=
；
(3)如图3，
12
BC =
，
3
AC = ，点P 在直线BC 上，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90得到线段DQ ，
连接AQ ，点M 在直线AB 上，连接DM ，QM ，将
DMQ
△
沿直线DM 翻折至ABC所在平面内得到
DMN
△
，
连接CN ．当AQ
DQ
+
取得最小值时，连接CQ ，NQ ，请直接写出
CQN
△
面积的最大值．
37．（2026·四川广安·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E 是边BC （不与点B ，点C 重合）上
的一点，
90
AEF
=
，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．
(1)如图1，求证：AE
EF
=
；
(2)如图2，M ，E 分别为AB ，BC 的中点，连接DM 和AE 相交于点G ，连接ME ，DF ．试判断四边形DMEF
的形状，并说明理由；
(3)若点M 是边AB（不与点A ，点B 重合）上的一点，直接写出BM ，BE ，CD三边满足什么数量关系时，
四边形DMEF 是平行四边形．
