专题15几何综合与压轴问题（5年汇编）（浙江专用）（答案版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题15 几何综合与压轴问题
5 年真题1 年模拟
考点01
图形变换、动点与最值综合
1．ʹ ʹ
2．
【详解】（1）解：如图1，设ܣǡܥǡܦ交于点ܱ
，
∵在菱形ܣǡܦܥ中，ܣǡ 䁪ͷ，ܣܥ䁪ͺ，
∴ܣܥ٣ ǡܣܱǡܥ䁪
ͳ
ʹ ܣܥ䁪㐮，
∴ܱǡ 䁪
ܣǡʹ െܱ
ܣʹ 䁪͵，
∴sinסǡܣܥ䁪ܱ
ǡ
ܣǡ 䁪
͵
ͷ；
（2）解：①如图所示，连接ǡܦ，设ܣǡܥǡܦ交于点ܱ
，
∵四边形ܣǡܦܥ是菱形，
∴ܣܥ٣ ǡܦ，ܱܣ䁪
ͳ
ʹ ܣܥ䁪㐮，ǡܦ䁪ʹܱǡ，ܣܦ䁪ܣǡ 䁪ͷ，
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∴ܱǡ 䁪
ܣǡʹ െܱ
ܣʹ 䁪
ͷʹ െ㐮ʹ 䁪͵，
∴ǡܦ䁪㠮；
∵ܧܨ٣ ܣܥ，ܣܥ٣ ǡܦ，
∴ܧܨ∥ǡܦ，
∴סܦǡܧ䁪סܨܧǡ，
由轴对称的性质可得סܣܧǡ 䁪סܨܧǡ，
∴סܦܧǡ 䁪סܦǡܧ，
∴ܦܧ䁪ܦǡ 䁪㠮，
∴ܣܧ䁪ܣܦܧܦܣ䁪ͳͳ；
②∵菱形ܣǡܦܥ，
∴点A 与点C 关于ǡܦ对称，
当点E 与点D 重合时，此时点F 与点C、P 重合，
∵E 是ܣܦ延长线上的一点，
∴点P 一定在线段ܣܥ的延长线上，
在Rt ᇞǡܱ䁨中，由勾股定理得䁨ǡ 䁪ܱ
ǡʹܣܱ䁨ʹ 䁪ܱ
䁨ʹͻܣ
∵䁨ܣ䁪ܱ
ܣܣܱ䁨䁪㐮ܣܱ䁨，
∴䁨ܣെ䁨ǡ 䁪㐮ܣܱ䁨െܱ
䁨ʹͻܣ
䁪㐮ܣܱ
䁨െܱ
䁨ʹͻܣܱ
䁨ܣܱ
䁨ʹͻܣܱ
䁨ܣܱ
䁨ʹͻܣ
䁪㐮ܣܱ
䁨ʹ െܱ
䁨ʹ െͻܱ
䁨ܣܱ
䁨ʹͻܣ
䁪㐮െ
ͻܱ
䁨ܣܱ
䁨ʹͻܣ，
∵
ͻܱ
䁨ܣܱ
䁨ʹͻܣ൐Ͳ，
∴要使䁨ܣെ䁨ǡ 的值最小，则
ͻܱ
䁨ܣܱ
䁨ʹͻܣ要最大，
∴ܱ䁨ܣܱ
䁨ʹͻܣ要有最小值，
又∵ܱ
䁨ʹͻܣ的值随着ܱ
䁨的值增大而增大，
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∴ܱ䁨ܣܱ
䁨ʹͻܣ的值随着ܱ
䁨的值增大而增大，
∴当ܱ
䁨有最小值时，ܱ䁨ܣܱ
䁨ʹͻܣ有最小值，即此时
ͻܱ
䁨ܣܱ
䁨ʹͻܣ有最大值，
∴当ܱ
䁨有最小值时，䁨ܣെ䁨ǡ 有最小值；
如图所示，过点B 作ǡܪ٣ ܣܦ于H，ǡܶ
٣ ܨܧ于T，
∵ܵ菱形ܣǡܦܥ䁪
ͳ
ʹ ܣܥڄ ǡܦ䁪ܣܦڄ ǡܪ，
∴ǡܪ䁪
ͳ
ʹܣܥڄǡܦ
ܣܦ
䁪
ͳ
ʹൈ㠮ൈͺ
ͷ
䁪
ʹ㐮
ͷ ，
∴由轴对称的性质可得ǡܶ
䁪ǡܪ䁪
ʹ㐮
ͷ ，
在Rt ᇞ䁨ܱǡ 中，由勾股定理得ܱ
䁨䁪
䁨ǡʹ െܱ
ǡʹ 䁪
䁨ǡʹ െ͵ʹ，
∴当䁨ǡ 有最小值时，ܱ䁨有最小值，
由垂线段最短可知ǡ䁨൒ǡܶ
䁪
ʹ㐮
ͷ ，
∴当点P 与点T 重合时，ǡ䁨有最小值，最小值为
ʹ㐮
ͷ ，
∴ܱ䁨最小值䁪
ʹ㐮
ͷ
ʹ
െ͵ʹ 䁪
͵ ͵ͻ
ͷ ，
∴䁨ܣെ䁨ǡ 最小值䁪㐮െ
ͻ
͵ ͵ͻ
ͷܣʹ㐮
ͷ
䁪
͵ ͵ͻെ㐮
ͷ
．
3．
㠮㠮െ㠮ʹ
ͳʹߨെͳͺ ͵ͺͳܣ
4．
͵ͷ
㐮
5．
【详解】（1）解：∵DE=2，
∴AE＝AB＝6，
∵四边形ABCD 是矩形，
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∴∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
由对称性知∠BEM＝45°，
∴∠AEM=∠AEB+∠BEM＝90°；
（2）如图1，
∵AB=6，AD=8，
∴由勾股定理得BD=10，
∵当N 落在BC 延长线上时，BN＝BD＝10，
∴CN＝2．
由对称性得，∠ENC＝∠BDC，
∴cos∠ENC＝
ʹ
ܧܰ
䁪
㠮
ͳͲ，
∴EN＝
ͳͲ
͵ ，
∴DE＝EN＝
ͳͲ
͵ ；
直线MN 与直线BD 的位置关系是MN∥BD．
由对称性知BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，
又∵BN＝BD，
∴△BMN≌△DCB（SSS），
∴∠DBC＝∠BNM，
所以MN∥BD；
（3）①情况1：如图2，当E 在边AD 上时，直线MN 过点C，
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∴∠BMC＝90°，
∴MC＝ǡܥʹ െǡܯʹ 䁪ʹ ͹．
∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，∠BMC＝∠EDC＝90°，
∴△BCM≌△CED（AAS），
∴DE＝MC＝ʹ ͹；
②情况2：如图3，点E 在边CD 上时，
∵BM＝6，BC＝8，
∴MC＝ʹ ͹，CN＝8-ʹ ͹，
∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，
∴∠BCM＋∠ECN＝90°，
∵∠BCM＋∠MBC＝90°，
∴∠ECN＝∠MBC，
∴△BMC∽△CNE，
∴
ǡܯ
ܥܰ䁪
ܯܥ
ܧܰ，
∴EN䁪
ܯܥڄܥܰ
ǡܯ
䁪
ͺ ͹െͳ㐮
͵
，
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∴DE＝EN＝
ͺ ͹െͳ㐮
͵
．
综上所述，DE 的长为ʹ ͹或
ͺ ͹െͳ㐮
͵
．
考点02
四边形背景下的几何综合
1．C
2．
【详解】（1）解：∵ܣǡ 䁪㐮，点M 是边AB 的中点，
∴ܣܧ䁪ǡܧ䁪ʹ，
∵ܣܧ䁪ʹǡܨ，
∴ǡܨ䁪ͳ，
由勾股定理，得
ܧܨʹ 䁪ǡܧʹܣǡܨʹ 䁪ͷ，
∴正方形EFGH 的面积为5．
（2）①证明：由题意知סܭܣܧ䁪סǡ 䁪ͻͲι，
∴סܧܨǡܣסܨܧǡ 䁪ͻͲι，
∵四边形EFGH 是正方形，
∴סܪܧܨ䁪ͻͲι，
∴סܭܧܣܣסܨܧǡ 䁪ͻͲι，
∴סܭܧܣ䁪סܧܨǡ，
∴ᇞܭܧܣ∽ᇞܧܨǡ，
∴
ܭܧ
ܧܨ䁪
ܣܧ
ǡܨ䁪ʹ．
∴ܧܭ䁪ʹܧܨ䁪ʹܧܪ．
②证明：由①得ܪܭ䁪ܪܧ䁪ܩܨ，
又∵סܭܪ䁡䁪סܨܩܬ䁪ͻͲι，סܭ䁡ܪ䁪סܨܬܩ，
∴ᇞܭܪ䁡≌ᇞܨܩܬ，
设ᇞܭܪ䁡的面积为ܵͳ．
∵∠K=∠K，∠KHI=∠A=90°，
∴ᇞܭܪ䁡∽ᇞܭܣܧ，
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∴ܵ
ͳܣܵʹܵ
ͳ
䁪
ܭܣ
ܭܪ
ʹ
䁪
ܭܣ
ͳ
ʹܭܧ
ʹ
䁪
㐮ܭܣʹ
ܭܧʹ 䁪㐮sinʹߙ，
∴ܵʹܵ
ͳ 䁪㐮sinʹߙെͳ．
3．【答案】(1)ܣܥ٣ ܨܪ，
证明：∵四边形ܣǡܦܥ是正方形，
∴ܦܥ䁪ܥǡ，סܦ䁪סǡ 䁪ͻͲι，
又∵ܨܥ䁪ܪܥ，
∴Rt ᇞܨܦܥ≌Rt ᇞܥǡܪ（HL），
∴סܦܨܥ䁪סǡܪܥ．
又∵סܦܣܥ䁪סǡܣܥ䁪㐮ͷι，
∴סܨܣܥ䁪סܪܣܥ．
∵ܨܥ䁪ܪܥ
∴△CFH 是等腰三角形，
∴ܣܥ٣ ܨܪ．
(2)
证明：如图1，过点K 作ܭܩ٣ ܣǡ 于点G．
∵ܥǡ ٣ ܣǡ，
∴ܭܩ∥ܥǡ．
∴ᇞܣܭܩ∽ᇞܣܥǡ，
∴
ܣܭ
ܣܥ䁪
ܭܩ
ܥǡ．
∵ס䁨ܪܣ䁪סܦܨܥ，סܦܨܥ䁪סܪܥǡ，
∴סܭܪܩ䁪סܪܥǡ．
∴ᇞܭܪܩ∽ᇞܪܥǡ，
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∴
ܭܪ
ܪܥ䁪
ܭܩ
ܥǡ，
∴
ܣܭ
ܣܥ䁪
ܭܪ
ܪܥ．
（3）解：如图2，过点K 作ܭܩ٣ ܣǡ 点G．
∵点K 为ܣܥ中点：
由（2）得
ܭܪ
ܪܥ䁪
ܣܭ
ܣܥ䁪
ͳ
ʹ，
∴
ܩܪ
ǡܪ䁪
ܭܪ
ܪܥ䁪
ͳ
ʹ，
设ܩܪ䁪㠮，ǡܪ䁪ʹ㠮，则ܭܩ䁪ܣܩ䁪ܩǡ 䁪͵㠮，
∴ܥǡ 䁪ܣǡ 䁪㠮㠮，ܣܪ䁪㐮㠮，
∴ܪܥ䁪ܨܥ＝ǡܪʹܣǡܥʹ䁪ʹ ͳͲ㠮，
∵ܣܨ䁪ܣܪ，
∴ܨܪ䁪
ܣܪʹܣܣܨʹ䁪㐮ʹ㠮，ܧܪ䁪ʹ ʹ㠮，
∵סܨ䁨ܪܣסܨܣܪ䁪ͳͺͲι，
∴סܨ䁨ܪ䁪ͻͲι 䁪סܪܧܥ，
又∵סܧܪܥ䁪ס䁨ܨܪ，
∴ᇞܨ䁨ܪ∽ᇞܪܧܥ，
∴
䁨ܨ
ܧܪ䁪
ܨܪ
ܪܥ．
∴䁨ܨ䁪
㐮ͳͲ
ͷ
㠮，
∴ܥ䁨䁪ܨܥെ䁨ܨ䁪
㠮ͳͲ
ͷ
㠮，
∴
ܥ䁨
䁨ܨ䁪
͵
ʹ．
4【答案】(1)
证明：如图1，
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∵四边形ܣǡܦܥ是菱形，
∴ǡܣ䁪ǡܥ，
∴סǡܣܥ䁪סǡܣܥ．
∵FG∥BC，
∴סܨܩܣ䁪סǡܣܥ，
∴סǡܣܥ䁪סܨܩܣ，
∴△AFG 是等腰三角形，
∴ܨܣ䁪ܨܩ．
（2）解：记ܣܥ中点为点O．
①当点E 在ǡܥ上时，如图2，过点A 作ܣܯ٣ ǡܥ于点M，
∵在ܴ
ݐᇞܣǡܯ中，ܣܯ䁪
͵
ͷ ܣǡ 䁪㠮，
∴ǡܯ䁪
ܣǡʹ െܣܯʹ 䁪
ͳͲʹ െ㠮ʹ 䁪ͺ．
∴ܨܩ䁪ܧܨ䁪ܣܯ䁪㠮ǡܯܥ䁪ǡܥെǡܯ䁪ʹ，
∵ܱܣ䁪ܱܧܱǡܥ∥ܣܯ，
∴ܧܥ䁪ܯܧ䁪
ͳ
ʹܯܥ䁪
ͳ
ʹ ൈʹ 䁪ͳ，
∴ܣܨ䁪ܯܧ䁪ͳ，
∴ܣܩ䁪ܣܨܩܨܣ䁪ͳܣ㠮䁪͹．
②当点E 在ܦܥ上时，如图3，
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过点A 作ܣܰ
٣ܦܥ于点N．
同理，ܨܩ䁪ܧܨ䁪ܣܰ
䁪㠮ǡܥܰ䁪ʹ，
ܣܨ䁪ܰ
ܧ䁪
ͳ
ʹܥܰ䁪ͳ，
∴ܣܩ䁪ܨܩെܣܨ䁪㠮െͳ 䁪ͷ．
∴ܣܩ䁪͹ 或5．
（3）解：过点A 作ܣܯ٣ ǡܥ于点M，作ܣܰ
٣ܦܥ于点N．
①当点E 在线段ǡܯ上时，Ͳ 时，൑ͺ．设ܧܨ䁪͵ݔ，则ǡܧ䁪㐮ݔǡܩܪ䁪ܧܨ䁪͵ݔ，
ⅰ）若点H 在点C 的左侧，，ͺܣ൑ͳͲ，即Ͳ 时，൑ʹ，如图4，
ܪܥ䁪ǡܥെǡܪ䁪ͳͲ െሺ㐮ݔ൅ͺܣ䁪ʹ െ㐮ݔ．
∵ᇞܩܪܥ∽ᇞܨܧǡ，
∴
ܩܪ
ܧܨ䁪
ܪܥ
ǡܧ，
∴
ܩܪ
ܪܥ䁪
ܧܨ
ǡܧ，
∴
͵ݔ
ʹെ㐮ݔ䁪
͵
㐮，
解得ݔ䁪
ͳ
㐮，
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经检验，ݔ䁪
ͳ
㐮是方程的根，
∴，䁪㐮ݔ䁪ͳ．
∵ᇞܩܪܥ∽ᇞǡܧܨ，
∴
ܩܪ
ǡܧ䁪
ܪܥ
ܧܨ，
∴
ܩܪ
ܪܥ䁪
ǡܧ
ܧܨ，
∴
͵ݔ
ʹെ㐮ݔ䁪
㐮
͵，
解得ݔ䁪
ͺ
ʹͷ，
经检验，ݔ䁪
ͺ
ʹͷ是方程的根，
∴，䁪㐮ݔ䁪
͵ʹ
ʹͷ．
ⅱ）若点H 在点C 的右侧，，Ͳͳ൐ ͺܣ，即ʹ 时，൑ͺ，如图5，
ܪܥ䁪ǡܪെǡܥ䁪ሺ㐮ݔ൅ͺܣെͳͲ 䁪㐮ݔെʹ．
∵ᇞܩܪܥ∽ᇞܨܧǡ，
∴
ܩܪ
ܧܨ䁪
ܪܥ
ǡܧ，
∴
ܩܪ
ܪܥ䁪
ܧܨ
ǡܧ，
∴
͵ݔ
㐮ݔെʹ 䁪
͵
㐮，
此方程无解．
∵ᇞܩܪܥ∽ᇞǡܧܨ，
∴
ܩܪ
ǡܧ䁪
ܪܥ
ܧܨ，
∴
ܩܪ
ܪܥ䁪
ǡܧ
ܧܨ，
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∴
͵ݔ
㐮ݔെʹ 䁪
㐮
͵，
解得ݔ䁪
ͺ
͹，
经检验，ݔ䁪
ͺ
͹是方程的根，
∴，䁪㐮ݔ䁪
͵ʹ
͹ ．
②当点E 在线段ܯܥ上时，ͺ 时，൑ͳͲ，如图6，ܧܨ䁪㠮ǡܧܪ䁪ͺǡǡܧ䁪，．
∴ǡܪ䁪ǡܧܪܧܣ䁪，ܪܥǡͺܣ䁪ǡܪെǡܥ䁪，െʹ．
∵ᇞܩܪܥ∽ᇞܨܧǡ，
∴
ܩܪ
ܧܨ䁪
ܪܥ
ǡܧ，
∴
ܩܪ
ܪܥ䁪
ܧܨ
ǡܧ，
∴
㠮
，െʹ 䁪
㠮
，，
此方程无解．
∵ᇞܩܪܥ∽ᇞǡܧܨ，
∴
ܩܪ
ǡܧ䁪
ܪܥ
ܧܨ，
∴
ܩܪ
ܪܥ䁪
ǡܧ
ܧܨ，
∴
㠮
，െʹ 䁪
，
㠮，
解得，䁪ͳ േ
͵͹，
经检验，，䁪ͳ േ
͵͹是方程的根，
∵ͺ 时，൑ͳͲ，
∴，䁪ͳ േ
͵͹不合题意，舍去；
③当点E 在线段ܰܥ上时，ͳͲ ൑，൑ͳʹ，如图7，过点C 作ܬܥ٣ ܣǡ 于点J，
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在ܴ
ݐᇞǡܬܥ中，ǡܥ䁪ͳͲǡܬܥ䁪㠮ǡǡܬ䁪ͺ．
ܧܪ䁪ǡܬ䁪ͺǡܬܨ䁪ܧܥ，
∴ǡܬܨܬܣ䁪ܧܪܧܥܣ，
∴ܪܥ䁪ǡܨ，
∵ܩܪ䁪ܧܨǡסܩܪܥ䁪סܧܨǡ 䁪ͻͲι，
∴ᇞܩܪܥ≌ᇞܧܨǡ，符合题意，
此时，ͳͲ ൑，൑ͳʹ．
④当点E 在线段ܰ
ܦ上时，ͳʹ 时，时ʹͲ，
∵סܧܨǡ ൐ͻͲι，
∴ᇞܩܪܥ与ᇞǡܧܨ不相似．
综上所述，s 满足的条件为：，䁪ͳ 或，䁪
͵ʹ
ʹͷ或，䁪
͵ʹ
͹ 或ͳͲ ൑，൑ͳʹ．
考点03
圆背景下的几何综合
1．
【详解】（1）解：∵סܣܥǡ 䁪ߙ，ܣܥ䁪ܣܦ，
∴סܣܦܥ䁪סܣܦܥ䁪
ͳ
ʹ ͳͺͲι െߙ䁪ͻͲι െ
ͳ
ʹ ߙ，
∵סܣǡܧǡסܣܧܥ为ܣܧ
෼
所对的圆周角，
∴סܣǡܧ䁪סܣܦܥ䁪ͻͲι െ
ͳ
ʹ ߙ，
∵ܩܨ٣ܧܥ，
∴סܨܩǡ 䁪ͻͲι െסܣܦܥ䁪ͻͲι െͻͲι െ
ͳ
ʹ ߙ䁪
ͳ
ʹ ߙ．
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（2）证明：如图，连接ܱ
ܨǡܱܧ，
∵סܧܥǡǡסܣܥǡ 为ܥǡ
෼
所对的圆周角，
∴סܧܥǡ 䁪סܣܥǡ 䁪ߙ，
∵ܣǡ 为直径，
∴סܣܥǡ 䁪ͻͲι，
∴סܣǡܥ䁪ͻͲι െߙ，
∵סܧǡܦ䁪סܣܦܥ䁪ͻͲι െ
ͳ
ʹ ߙ，
∴סܥǡܧ䁪סܣǡܣܥסܧǡܦ䁪ͻͲι െߙͲͻܣι െ
ͳ
ʹ ߙ䁪ͳͺͲι െ
͵
ʹ ߙ，
∵ܦܥ䁪ܨܥ，ǡܨ䁪ܦܧ，
∴ܧܥ䁪ܥǡ，
∴סܧܥǡ 䁪סܥǡܧ䁪ͳͺͲι െ
͵
ʹ ߙ，
同理：סܣܥǡ 䁪סܧܥǡ，
∴ߙ䁪ͳͺͲι െ
͵
ʹ ߙ，
解得：ߙ䁪͹ʹι，
∴סܣܥǡ 䁪סܧܥǡ 䁪סܥǡܧ䁪͹ʹι，
∴סǡܦܥ䁪ͳͺͲι െ͹ʹι െ͹ʹι 䁪͵㠮ι，סܨܩǡ 䁪
ͳ
ʹ ߙ䁪͵㠮ι，
∴סǡܱܧ䁪ʹסǡܦܥ䁪͹ʹι，
∵ܱǡ 䁪ܱ
ܧ，
∴סܱǡܧ䁪סܱܧǡ 䁪ͷ㐮ι，
∴סܱܧܦ䁪סܱǡܨ䁪͹ʹι െͷ㐮ι 䁪ͳͺι，
∴ᇞܱ
ܧܦ≌ᇞܱ
ǡܨSAS ，
∴סܱܨǡ 䁪סܱܦܧ䁪סܣܦܥ䁪סܣܦܥ䁪ͻͲι െ
ͳ
ʹ ߙ䁪ͷ㐮ι，סܦܱܧ䁪סǡܱܨ，
∵סܦܱܧܣסǡܱܧ䁪ͳͺͲι，
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∴סǡܱܨܣסǡܱܧ䁪ͳͺͲι，
∴ܧǡܱǡܨ三点共线，
∴סܩܱܨ䁪סǡܱܧ䁪͹ʹι，
∴סܩܨܱ
䁪ͳͺͲι െסܨܩܱ
െסܩܱܨ䁪͹ʹι 䁪סܩܱܨ，
∴ܩܨ䁪ܩܱ．
（3）解：如图，连接ܣܧǡܱܧ，
∵סܣܥǡ 䁪ͻͲι，סܣܦܥ䁪סܣܦܥ䁪ͻͲι െ
ͳ
ʹ ߙ，
∴סǡܧܥ䁪
ͳ
ʹ ߙ䁪סܨܩǡ，
同理：סܦܣܧ䁪סǡܧܥ䁪
ͳ
ʹ ߙ，
∴סܨܩǡ 䁪סܦܣܧ，
结合（1）可得：סܣܦܥ䁪סܣܦܥ䁪סܧܦǡ 䁪סܱǡܧ䁪סܱܧǡ，
∵סܧǡܦ䁪סܱǡܧ，
∴ᇞǡܦܧ∽ᇞǡܧܱ，
∴
ǡܦ
ǡܧ䁪
ǡܧ
ǡܱ，即ǡܧʹ 䁪ǡܦڄ ǡܱ，
同理可得：סܣܧܦ䁪סܨǡܩ，
∵ǡܨ䁪ܦܧ，
∴ᇞܨܩǡ≌ᇞܦܣܧAAS ，
∴ܣܧ䁪ǡܩ，
设ܣܥ䁪ܣܦ䁪ݔ，
∵ܣܱ
䁪ͳ，
∴ܣǡ 䁪ʹ，ǡܦ䁪ʹ െݔ，ܱܦ䁪ݔെͳ，
∵ܱܦ䁪ʹܣܩ，
∴ܣܩ䁪
ݔെͳ
ʹ ，
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∴ܣܧ䁪ǡܩ䁪ʹ െ
ݔെͳ
ʹ 䁪
ͷെݔ
ʹ ，
∴ǡܧʹ 䁪ǡܦڄ ǡܱ
䁪ʹ െݔ，
∵ܣǡ 为直径，
∴סܣܧǡ 䁪ͻͲι，
∴ʹʹ 䁪ʹ െݔܣ
ͷെݔ
ʹ
ʹ
，
∴ݔʹ െͳ㐮ݔ͹ͳܣ䁪Ͳ，
解得：ݔ䁪͹ െ㐮ʹ（ݔ䁪͹ܣ㐮ʹ大于直径，舍去），
∴ܣܥ的长为͹ െ㐮ʹ．
2．
【详解】（1）解：∵סܣܨܧ䁪סܣܦܥ，סܣܨܧ䁪㠮Ͳι，
∴סܣܦܥ䁪㠮Ͳι，
∵ܦܥ为直径，
∴סܦܣܥ䁪ͻͲι，
∴סܣܦܥ䁪ͻͲι െ㠮Ͳι 䁪͵Ͳι，
∵ܣܦ
Ⴃ䁪ܣܦ
Ⴃ，
∴סܣǡܦ䁪סܣܦܥ䁪͵Ͳι；
（2）证明①：∵四边形ܣǡܦܥ是圆内接四边形，
∴סܣܦܣܥסܣǡܥ䁪ͳͺͲι，
∵סܣܨܧ䁪סܣܦܥ，
∴סܣܨܧܣסܣǡܥ䁪ͳͺͲι，
∴ܧܨ∥ǡܥ；
②过点D 作ܧܨ平行线交ܣܨ于点G，
∵ܦܩ∥ܧܨ，
∴סܨ䁪סܦܩܣ，ᇞܣܦܩ∽ᇞܣܧܨ，
∵סܨ䁪סܣܦܥ，
∴סܦܩܣ䁪סܣܦܥ，
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∵由（1）知סܣǡܦ䁪סܣܦܥ，
∴ᇞܣܦܥ∽ᇞǡܩܦ，
∴
ܣܥ
ǡܦ䁪
ܣܦ
ܩܦ，
∵ᇞܣܦܩ∽ᇞܣܧܨ，
∴
ܣܦ
ܣܧ䁪
ܩܦ
ܧܨ，
∴
ܣܦ
ܩܦ䁪
ܣܧ
ܧܨ，
∴
ܣܥ
ǡܦ䁪
ܣܧ
ܧܨ，
∵ܣܧ䁪ܣܥ，
∴ܧܨ䁪ǡܦ．
3．C
4．
【详解】（1）证明：∵ǡܥ平分סܧǡܩ，
∴סܩǡܥ䁪סܧǡܥ，
∵סܧǡܥ䁪סܧܣܥ，
∴סܩǡܥ䁪סܧܣܥ，
∵סܣܨܥ䁪ͻͲι，
∴סܧܣܣܥסܣܨܥ䁪ͻͲι，
∵סǡܩܥ䁪סܣܨܥ，
∴סܩǡܣܥסܩܥǡ 䁪ͻͲι，
∴סǡܩܥ䁪ͻͲι；
（2）①①证明：∵ܦ为ǡܥ中点，סǡܩܥ䁪ͻͲι，
∴ܦܩ䁪ܦǡ 䁪ܦܥ，
∴סܦܩܥ䁪סǡܩܥ，
∵סǡܩܥ䁪סܣܨܥ，
∴סܣܨܥ䁪סܦܩܥ，
∴ܨܥ䁪ܩܥ，
∵סǡܩܥ䁪סܣܨܥ䁪ͻͲι，סܥǡܩ䁪סܨܣܥ，
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∴ᇞܩǡܥ≌ᇞܨܣܥ，
∴ǡܥ䁪ܣܨ；
②设ܩܥ䁪ܨܥ䁪ݔ，ܦܥ䁪ǡܦ䁪ܩܦ䁪㠮，
∴ǡܥ䁪ܣܨ䁪ʹ㠮，ܣܩ䁪ܦܨ䁪
ͳ
ʹ 㠮，
∵סܣܨܥ䁪סǡܩܥ，סܦܩܥ䁪סܨܩܥ，
∴ᇞܩܦܥ∽ᇞܩܨܥ，
∴
ܩܥ
ܩܨ䁪
ܩܦ
ܩܥ，即ܩܥʹ 䁪ܩܨ൉ܩܦ，
∴ݔʹ 䁪㠮ܣ
ͳ
ʹ 㠮൉㠮䁪
͵
ʹ 㠮ʹ，即ܥܩʹ 䁪
͵
ʹ 㠮ʹ，
∴ǡܩʹ 䁪ǡܥʹ െܥܩʹ 䁪㐮㠮ʹ െ
͵
ʹ 㠮ʹ 䁪
ͷ
ʹ 㠮ʹ，
∴tanʹסܩǡܥ䁪
ܩܥʹ
ܩǡʹ 䁪
͵
ͷ，
∴tanסܩǡܥ䁪
͵
ͷ 䁪
ͳͷ
ͷ （负根舍去）；
（3）解法一：如图，设ٖܱ
的半径为ݎ，连接ܱܥ交ܣܧ于ܰ
，过ܱ
作ܱ
ܯ٣ ǡܧ于ܯ，
∵ܱǡ 䁪ܱܥ，
∴סܥǡܧ䁪סܱǡܥ䁪סܱܥǡ，
∴ܱܥ∥ǡܧ，
∵ǡܦ䁪ܦܥ，סǡܦܧ䁪סܰܦܥ，
∴ᇞܧǡܦ≌ᇞܰܦܥ，
∴ǡܧ䁪ܥܰ，
∵ܱܥ∥ǡܧ，
∴סܩܱܥ䁪סܱǡܯ，而סܱܩܥ䁪סܱܯǡ 䁪ͻͲι，ܱܥ䁪ܱ
ǡ，
∴ᇞܩܱܥ≌ᇞܱ
ǡܯ，
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∴ǡܯ䁪ܱ
ܩ䁪ͳ，
∵ܱܯ٣ ǡܧ，
∴ܥܰ䁪ǡܧ䁪ʹǡܯ䁪ʹ，
∵ܱܥ∥ǡܧ，
∴ᇞܩܱܰ
∽ᇞܩǡܧ，
∴
ܩܱ
ܩǡ 䁪ܱܰǡܧ，即
ͳ
ݎͳܣ䁪
ݎെʹ
ʹ ，
解得：ݎͳ 䁪
ͳܣͳ͹
ʹ
，（负根舍去），
由（2）①知ᇞܣܨܥ≌ᇞǡܩܥ，
∴ܣܥ䁪ǡܩ䁪ݎͳܣ䁪
͵ܣͳ͹
ʹ
．
解法二：如图，延长ǡܩ，分别交ܣܥ、ٖܱ
于M、N，连接ܥܰ，
׶ ܦǡ 䁪ܦܩ，
׵ סܦǡܩ䁪סܦܩǡ．
又׶ סܦǡܩ䁪סǡܩܣܥסǡܩܦ䁪סܣܩܯ，
׵ סܩܣܥ䁪סܣܩܯ，
׵ ܯܣ䁪ܯܩ．
׶ܱ
ǡ 䁪ܱܥ，
׵ סܱǡܥ䁪סܱܥǡ，
׵ סܯܱܥ䁪סܱǡܣܥסܱܥǡ 䁪ʹסܱǡܥ．
又׶ סܱܯܥ䁪סܣܩܯܣסܩܣܥ䁪ʹסܩܣܥ，
׵ סܯܱܥ䁪סܱܯܥ，
׵ܯܥ䁪ܱܥ䁪ݎ．
又׶ܩܥ٣ܱ
ܯ，
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׵ܱ
ܩ䁪ܯܩ，׵ ܯܣ䁪ܯܩ䁪ܱ
ܩ䁪ͳ．
׶ᇞܨܣܥ≌ᇞܩǡܥ，
׵ ܣܥ䁪ǡܩ䁪ݎͳܣ．
׶ סǡܣܯ䁪סǡܰǡܥסܣǡܯ䁪סܣܰܥ，
׵ᇞܣǡܯ∽ᇞܰܯܥ，
׵
ܣܯ
ܯܰ
䁪
ǡܯ
ܯܥ，
׵ ǡܯڄ ܯܰ
䁪ܣܯڄܯܥ，
即ሺݎݎሺ൅ʹܣെʹ൅䁪ͳ ڄ ݎ，
得ݎʹ െݎെ㐮䁪Ͳ，
解得：ݎͳ 䁪
ͳܣͳ͹
ʹ
，（负根舍去），
∴ܣܥ䁪ݎͳܣ䁪
͵ܣͳ͹
ʹ
．
5．
【详解】（1）解：连接ܱ
ܣ，
∵ٖܱ
的直径ܦܥ垂直弦AB 于点E，且ܧܥ䁪ͺ，ܦܧ䁪ʹ，
∴ܦܥ䁪ܧܦܣܧܥ䁪ͳͲ，ܣܧ䁪ǡܧ，
∴ܱܣ䁪ܱ
ܦ䁪
ͳ
ʹܦܥ䁪ͷ，ܱܧ䁪ܱ
ܦെܦܧ䁪͵，
在Rt ᇞܱ
ܣܧ中，ܣܧ䁪ܱ
ܣʹ െܱ
ܧʹ 䁪
ͷʹ െ͵ʹ 䁪㐮，
∴ܣǡ 䁪ʹܣܧ䁪ͺ；
（2）①证明：连接ܦܩ，
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∵点G 是ǡܥႣ的中点，
∴ܩܥႣ䁪ǡܩ
Ⴃ，
∴סܩܣܨ䁪סܦ，
∵ٖܱ
的直径ܦܥ垂直弦AB 于点E，
∴סܦܩܥ䁪סܨܧܥ䁪ͻͲι，
∴סܨ䁪ͻͲι െסܦܩܥ䁪סܦ，
∴סܩܣܨ䁪סܨ；
②∵ܧܥ䁪ͺ，ܣܧ䁪㐮，סܣܧܥ䁪ͻͲι，
∴ܣܥ䁪
ܣܧʹܥܣܧʹ 䁪
㐮ʹܣͺʹ 䁪㐮ͷ，
∵ٖܱ
的直径ܦܥ垂直弦AB 于点E，
∴ܣܥႣ䁪ǡܥႣ，
∴סܨܣܥ䁪סܣܩܥ，
∵סܣܨܥ䁪סܩܣܥ，
∴ᇞܨܣܥ∽ᇞܣܩܥ，
∴
ܣܥ
ܩܥ䁪
ܨܥ
ܣܥ，即
㐮ͷ
ݔ䁪
ݕ
㐮ͷ，
∴ݕ䁪
ͺͲ
ݔ；
③当ܨܥ䁪ܦܥ䁪ͳͲ 时，
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在Rt ᇞܨܧܥ中，ܧܨ䁪ܥܨʹ െܥܧʹ 䁪
ͳͲʹ െͺʹ 䁪㠮，
∴ǡܨ䁪ܧܨെǡܧ䁪ʹ，
∵סܨܩǡ 䁪ͳͺͲι െסǡܩܥ䁪סܨܣܥ，
∴ᇞܨܩǡ ∽ᇞܨܣܥ，
∴
ǡܩ
ܣܥ䁪
ǡܨ
ܨܥ，即
ǡܩ
㐮ͷ 䁪
ʹ
ͳͲ，
∴ǡܩ䁪
㐮ͷ
ͷ ；
当ܦܨ䁪ܦܥ䁪ͳͲ 时，
在Rt ᇞܦܧܨ中，ܧܨ䁪
ܦܨʹ െܦܧʹ 䁪
ͳͲʹ െʹʹ 䁪㐮㠮，
在Rt ᇞܨܧܥ中，ܨܥ䁪ܥܧʹܧܣܨʹ 䁪
ͺʹܣ㐮㠮
ʹ 䁪㐮ͳͲ，
∴ǡܨ䁪ܧܨെǡܧ䁪㐮㠮െ㐮，
同理ᇞܨܩǡ ∽ᇞܨܣܥ，
∴
ǡܩ
ܣܥ䁪
ǡܨ
ܨܥ，即
ǡܩ
㐮ͷ 䁪
㐮㠮െ㐮
㐮ͳͲ ，
∴ǡܩ䁪㐮͵ െʹ ʹ；
综上，ǡܩ的长为
㐮ͷ
ͷ 或㐮͵ െʹ ʹ．
6．
【详解】（1）解：如图1，连接ܱ
䁨，设סǡܱ䁨的度数为݊
．
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׶ ܣǡ 䁪㠮，ǡ䁨
෼
的长为π，
׵݊
ڄπڄ͵
ͳͺͲ 䁪π．
׵݊
䁪㠮Ͳ，即סǡܱ䁨䁪㠮Ͳι．
׵ סǡܣ䁨䁪
ͳ
ʹ סǡܱ䁨䁪͵Ͳι．
׶直线݈
是ٖܱ
的切线，
׵ סܣǡܥ䁪ͻͲι．
∴ǡܥ䁪
ܣǡ
͵ 䁪ʹ ͵．
（2）解：如图2，连接ǡܳ，过点ܥ作ܨܥ٣ ܣܦ于点ܨ，
׶ ܣǡ 为直径，
׵ סǡܳܣ䁪ͻͲι．
׵ cosסǡܣܳ
䁪
ܣܳ
ܣǡ 䁪
͵
㐮．
׶ ǡ䁨
Ⴃ䁪䁨ܳႣ，
׵ סǡܣܥ䁪סܦܣܥ．
׶ܨܥ٣ ܣܦ，ܣǡ ٣ ǡܥ，
׵ܨܥ䁪ܥǡ．
׶ סǡܣܳܣסܣܦǡ 䁪ͻͲι，סܨܣܦܥסܣܦǡ 䁪ͻͲι，
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׵ סܨܦܥ䁪סǡܣܳ．
׵
ǡܥ
ܦܥ䁪
ܨܥ
ܦܥ䁪cosסܨܦܥ䁪cosסǡܣܳ
䁪
͵
㐮．
（3）解：
ͳͲ
㐮，理由如下：
如图3，连接BQ，
׶ ܣǡ ٣ ǡܥ，ǡܳ
٣ ܣܦ，
׵ סܣǡܳܣסǡܣܦ䁪ͻͲι，סܣܦǡܣסǡܣܦ䁪ͻͲι，
׵ סܣǡܳ
䁪סܣܦܥ，
׶ סܣǡܳ
䁪סܣ䁨ܳ，
׵ סܣ䁨ܳ
䁪סܣܦܥ．
׶ ס䁨ܣܳ
䁪סܦܣܥ，
׵ᇞܣ䁨ܳ
∽ᇞܣܦܥ，
׵
䁨ܳ
ܦܥ䁪
ܣ䁨
ܣܦ．①
׶ סǡܣ䁨䁪סǡܣܥ，סܣǡܥ䁪סܣ䁨ǡ 䁪ͻͲι，
׵ᇞܣ䁨ǡ ∽ᇞܣǡܥ，
׵
ǡ䁨
ǡܥ䁪
ܣ䁨
ܣǡ．②
׶ ǡܥ䁪ܦܥ，
①ൊ②得，
䁨ܳ
ǡ䁨䁪
ܣǡ
ܣܦ䁪cosסǡܣܳ．
׶ sinסǡܣܳ
䁪
㠮
㐮，
׵ cosסǡܣܳ
䁪
ͳͲ
㐮．
7．
【详解】（1）解：∵点ܦǡܥ是ܣǡ
Ⴃ三等分点，
∴ܣܥႣ䁪ܦܥႣ䁪ܦǡ
Ⴃ．
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由ܧܥ是ٖܱ
的直径
∴ܧܥ٣ ܣܦ，
∵ܪܥ是ٖܱ
的切线，
∴ܪܥ٣ܧܥ．
∴ܣܦ∥ܪܥ．
（2）如图1，连结ܣܱ，∵ǡܦ
Ⴃ䁪ܦܥႣ，
∴סǡܣܦ䁪סܦܣܥ．
由ܧܥ٣ ܣܦ，则סܣܩܨ䁪סܣܩܥ，
又∵ܣܩ䁪ܣܩ，
∴ᇞܩܣܥ≌ᇞܨܣܩ，
∴ܩܥ䁪ܨܩ．
设ܩܥ䁪㠮，则ܨܩ䁪㠮，
∵ܱ
ܩ
ܩܥ䁪ʹ，
∴ܱܩ䁪ʹ㠮ǡܣܱ
䁪ܥܱ䁪͵㠮．
在Rt ᇞܣܱܩ中由勾股定理得ܣܱ
ʹ 䁪ܣܩʹܣܱܩʹ，
∴ሺ͵㠮൅ʹ 䁪ܣܩʹܣሺʹ㠮൅ʹ，
∴ܣܩ䁪
ͷ㠮．
∴tanסܨܣܩ䁪
ܨܩ
ܣܩ䁪
ͳ
ͷ 䁪
ͷ
ͷ ．
（3）①如图1，连结ܱ
ܣ，∵ܱܨ䁪
ͷ
ʹ ǡܱܥ䁪ܱ
ܣ䁪ͷ，
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∴ܨܥ䁪
ͷ
ʹ．
∴ܩܥ䁪ܨܩ䁪
ͷ
㐮，
∴ܱܩ䁪
ͳͷ
㐮，
∴ܣܩ䁪ܱ
ܣʹ െܱ
ܩʹ 䁪
ͷ
㐮
͹．
∵ܧܥ٣ ܣܦ，
∴ܣܦ䁪ʹܣܩ䁪
ͷ
ʹ
͹．
∵ܣܥႣ䁪ܦܥႣ䁪ܦǡ
Ⴃ，
∴ܣܦ
Ⴃ䁪ܥǡ
Ⴃ，
∴ǡܥ䁪ܣܦ䁪
ͷ
ʹ
͹．
②如图2，连结ܦܥ，
∵ܣܦ∥ܪܩܨǡܥ䁪ܩܥ，
∴ܣܪ䁪ܣܨ．
∵סܪܨܥ䁪ͻͲι，
∴ܣܥ䁪ܣܪ䁪ܣܨ䁪
ͳͲ．
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设ܩܥ䁪ݔ，则ܨܩ䁪ݔǡܱܩ䁪ͷ െݔ，
由勾股定理得ܣܩʹ 䁪ܣܱ
ʹ െܱ
ܩʹ 䁪ܣܥʹ െܥܩʹ，
即ʹͷ െሺͷ െݔ൅ʹ 䁪ͳͲ െݔʹ，
解得ݔ䁪ͳ．
∴ܣܩ䁪͵ǡܣܦ䁪㠮
∵ܦܥႣ䁪ܦǡ
Ⴃ，
∴סܦܣܥ䁪סǡܦܥ．
∵סܰܦܥ䁪סܣܦܥ，
∴ᇞܦܰܥ∽ᇞܣܦܥ，
∴ܰ
ܦ
ܦܥ䁪
ܦܥ
ܣܦ，
∴ܰܦ䁪
ܥܦʹ
ܣܦ䁪
ͷ
͵ ǡܣܰ
䁪
ͳ͵
͵ ．
∵סǡܣܦ䁪סܦܣǡܥסܣǡܰ
䁪סܣܦܥ，
∴ᇞܣܰǡ ∽ᇞܣܦܥ．
∴ܥᇞܣܰǡ 䁪ܥᇞܣܦܥൈ
ܣܰ
ܣܥ䁪㠮ʹܣͳͲ ൈ
ͳ͵
͵ ͳͲ 䁪
ͳ͵ ͳͲ
ͷܣ
ʹ㠮
͵ ．
③如图3，过点ܱ
作ܱ
ܯ٣ ܣǡ 于点ܯ，则ܣܯ䁪ܯǡ 䁪
ͳ
ʹ ܣǡ．
设ܩܥ䁪ݔ，则ܨܩ䁪ݔǡܱܩ䁪ͷ െݔǡܱܨ䁪ͷ െʹݔ，
由勾股定理得ܣܩʹ 䁪ܣܱ
ʹ െܱ
ܩʹ 䁪ʹͷ െሺͷ െݔ൅ʹ 䁪ͳͲݔെݔʹ，
ܣܨʹ 䁪ܣܩʹܨܣܩʹ 䁪ͳͲݔെݔʹܣݔʹ 䁪ͳͲݔ，
∵ܣܦ∥ܪܩܨǡܥ䁪ܩܥ，
∴ܣܪ䁪ܣܨ䁪
ͳ
ʹ ܪܨ，
∴ܣܩ䁪
ͳ
ʹ ܪܥ．
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∴ܣܨڄ ܣܯ䁪
ͳ
ʹ ܪܨڄ
ͳ
ʹ ܣǡ 䁪
ͳ
㐮ܪܨڄ ܣǡ 䁪
ͳ
㐮ൈͺͺ 䁪ʹʹ．
∵סܣܩܨ䁪סܱܯܨ䁪ͻͲιǡסܣܨܩ䁪סܱܨܯ，
∴ᇞܣܨܩ∽ᇞܱ
ܨܯ，
∴
ܣܨܱ
ܨ䁪
ܩܨ
ܨܯ，
∴ܣܨڄ ܨܯ䁪ܱ
ܨڄ ܩܨ．
∴ܣܨڄ ܣܯ䁪ܣܨڄ ܣܨܯܨܣ䁪ܣܨʹܨܣܣڄ ܨܯ䁪ܣܨʹܱܣ
ܨڄ ܩܨ䁪ʹʹ．
可得方程ͳͲݔݔܣͷ െʹݔ䁪ʹʹ，
解得ݔͳ 䁪ʹǡݔʹ 䁪ͷ䁕ͷ（舍去）．
∴ܩܥ䁪ܨܩ䁪ʹ，
∴ܱܩ䁪͵，
∴ܣܩ䁪㐮，
∴ܪܥ䁪ͺǡܣܪ䁪ܣܨ䁪ʹ ͷ．
∴ܵᇞܣܪܥ䁪ͺ．
∵ܣܦ∥ܪܥ，
∴סܦܣܥ䁪סܣܪܥ．
∵ܣܥႣ䁪ܦܥႣ，
∴סǡ䁪סܦܣܥ，
∴סǡ 䁪סܣܪܥ．
∵סܪ䁪סܪ，
∴ᇞܣܪܥ∽ᇞǡܪܥ，
∴ܵᇞǡܪܥ䁪ͺ ൈ
ܪܥ
ܣܪ
ʹ
䁪
ͳʹͺ
ͷ ．
8．36
͵ܣͷ
ʹ
9．
【详解】（1）∵סܣܨǡ െסǡܨܦ䁪סܣܥǡ 䁪ߙ，①
又∵סܣܨǡܣסǡܨܦ䁪ͳͺͲι，②
②-①，得2סǡܨܦ䁪ͳͺͲι െߙ，
∴סǡܨܦ䁪ͻͲι െ
ߙ
ʹ．
（2）证明：由（1）得סǡܨܦ䁪ͻͲι െ
ߙ
ʹ，
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∵סܣܦǡ 䁪סܣܥǡ 䁪ߙ，
∴סܨǡܦ䁪ͳͺͲι െסܣܦǡ െסǡܨܦ䁪ͻͲι െ
ߙ
ʹ，
∴ܦǡ 䁪ܦܨ．
∵ܨܩ∥ܣܥ，
∴סܦܣܥ䁪סܦܨܩ．
∵סܦܣܥ䁪סܦǡܧ，
∴סܦܨܩ䁪סܦǡܧ．
∵ǡܧ䁪ܨܩ，
∴ᇞǡܦܧ≌ᇞܨܦܩሺܵܣܵ൅．
（3）①∵ᇞǡܦܧ≌ᇞܨܦܩ，
∴סܨܦܩ䁪סǡܦܧ䁪ߙ，
∴סǡܦܩ䁪סǡܦܨܣסܧܦܩ䁪ʹߙ．
∵ܦܧ䁪ܦܩ，
∴סܦܩܧ䁪
ͳ
ʹ ͳͺͲι െסܨܦܩ䁪ͻͲι െ
ߙ
ʹ，
∴在ᇞǡܦܩ中，סܦǡܩ䁪ͳͺͲι െסǡܦܩെסܦܩܧ䁪ͻͲι െ
͵ߙ
ʹ ，
∵ܣܦ为ٖܱ
的直径，
∴סܣǡܦ䁪ͻͲι．
∴סܣǡܥ䁪סܣǡܦെסܦǡܩ䁪
͵ߙ
ʹ ．
∴ܣܥႣ与ܣǡ
Ⴃ的度数之比为3∶2．
∴ܣܥႣ与ܣǡ
Ⴃ的长度之比为3∶2，
∵ܣǡ
Ⴃ䁪ʹ，
∴ܣܥႣ䁪͵．
②如图，连结ǡܱ．
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∵ܱǡ 䁪ܱ
ܦ，
∴סܱǡܦ䁪סܱܦǡ 䁪ߙ，
∴סǡܱܨ䁪סܱǡܦܣסܱܦǡ 䁪ʹߙ．
∵סǡܦܩ䁪ʹߙ，
∴סǡܱܨ䁪סǡܦܩ．
∵סǡܩܦ䁪סǡܨܱ
䁪ͻͲι െ
ߙ
ʹ，
∴ᇞǡܦܩ∽ᇞǡܱܨ，
设ᇞǡܦܩ与ᇞǡܱܨ的相似比为k，
∴
ܦܩܱ
ܨ䁪
ǡܦ
ǡܱ䁪݇
．
∵ܱ
ܨܱ
ܧ䁪
㐮
ͳͳ，
∴设ܱ
ܨ䁪㐮ݔ，则ܱ
ܧ䁪ͳͳݔ，ܦܧ䁪ܦܩ䁪㐮݇ݔ，
∴ܱǡ 䁪ܱ
ܦ䁪ܱ
ܧܧܦܣ䁪ͳͳݔܣ㐮݇ݔ，
ǡܦ䁪ܦܨ䁪ͳͷݔܣ㐮݇ݔ，
∴
ǡܦ
ǡܱ䁪
ͳͷݔܣ㐮݇ݔ
ͳͳݔܣ㐮݇ݔ䁪
ͳͷܣ㐮݇
ͳͳܣ㐮݇，
由
ͳͷܣ㐮݇
ͳͳܣ㐮݇䁪݇
，得㐮݇ʹ݇͹ܣെͳͷ 䁪Ͳ，
解得݇ͳ 䁪
ͷ
㐮，݇ʹ 䁪െ͵（舍），
∴ܱܦ䁪ͳͳݔܣ㐮݇ݔ䁪ͳ㠮ݔ，ǡܦ䁪ͳͷݔܣ㐮݇ݔ䁪ʹͲݔ，
∴ܣܦ䁪ʹܱܦ䁪͵ʹݔ，
在ܴ
ݐᇞܣǡܦ中，cosסܣܦǡ 䁪
ǡܦ
ܣܦ䁪
ʹͲݔ
͵ʹݔ䁪
ͷ
ͺ，
∴cosߙ䁪
ͷ
ͺ．
10．
【详解】（1）解：如图1，连结ܱ
ܦ．设半圆O 的半径为r．
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∵ܦܥ切半圆O 于点D，
∴ܱܦ٣ܦܥ．
∵ǡܧ٣ܦܥ，
∴ܱܦ∥ǡܧ，
∴ᇞܦܱܥ∽ᇞܥǡܧ，
∴ܱ
ܦ
ǡܧ䁪
ܥܱ
ܥǡ，
即
ݎ
͵ 䁪
ͷെݎ
ͷ ，
∴ݎ䁪
ͳͷ
ͺ ，即半圆O 的半径是
ͳͷ
ͺ ．
（2）由（1）得：ܣܥ䁪ܥǡ െܣǡ 䁪ͷ െʹ ൈ
ͳͷ
ͺ 䁪
ͷ
㐮．
∵
ܣ䁨
ǡܳ䁪
ͷ
㐮ǡǡܳ
䁪ݔ，
∴ܣ䁨䁪
ͷ
㐮ݔ．
∵ܥ䁨䁪ܣ䁨ܥܣܣ，
∴ݕ䁪
ͷ
㐮ݔܣ
ͷ
㐮．
（3）①显然ס䁨ܴܳ
时ͻͲι，所以分两种情况．
ⅰ）当סܴ䁨ܳ
䁪ͻͲι时，如图2．
∵䁨ܴ
٣ܧܥ，
∴סܧܴ䁨䁪ͻͲι．
∵סܧ䁪ͻͲι，
∴四边形ܴ
䁨ܳܧ为矩形，
∴䁨ܴ
䁪ܳ
ܧ．
∵䁨ܴ
䁪䁨ܥڄ sinܥ䁪
͵
ͷ ݕ䁪
͵
㐮ݔܣ
͵
㐮，
∴
͵
㐮ݔܣ
͵
㐮䁪͵ െݔ，
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∴ݔ䁪
ͻ
͹．
ⅱ）当ס䁨ܴܳ
䁪ͻͲι时，过点P 作䁨ܪ٣ ǡܧ于点H，如图3，
则四边形䁨ܪܧܴ
是矩形，
∴䁨ܪ䁪ܴ
ܧǡܧܪ䁪䁨ܴ．
∵ܥǡ 䁪ͷǡǡܧ䁪͵，
∴ܧܥ䁪
ͷʹ െ͵ʹ 䁪㐮．
∵ܥܴ䁪ܥ䁨ڄ cosܥ䁪
㐮
ͷ ݕ䁪ݔͳܣ，
∴䁨ܪ䁪ܴ
ܧ䁪͵ െݔ䁪ܧܳ，
∴סܧܴܳ
䁪סܧܴܳ
䁪㐮ͷι，
∴ס䁨ܳܪ䁪㐮ͷι 䁪סܳ䁨ܪ，
∴ܪܳ
䁪ܪ䁨䁪͵ െݔ，
由ܧܪ䁪䁨ܴ
得：ሺ͵ െݔ൅͵ሺܣെݔ൅䁪
͵
㐮ݔܣ
͵
㐮，
∴ݔ䁪
ʹͳ
ͳͳ．
综上所述，x 的值是
ͻ
͹或
ʹͳ
ͳͳ．
②如图4，连结ܣܨǡܳܨԢ，
由对称可知ܳ
ܨ䁪ܳ
ܨԢ，סܨԢܴܳ
䁪סܧܴܳ
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，
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∵ǡܳ
䁪ݔ，ܥ䁨䁪
ͷ
㐮ݔܣ
ͷ
㐮，
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴ᇞܥ䁨ܴ
∽ᇞܥǡܧ，
∴
ܥ䁨
ܥܴ䁪
ܥǡ
ܧܥ，
即：
ͷ
㐮ݔܣͷ
㐮
ܥܴ䁪
ͷ
㐮，
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴סܨԢܴܳ
䁪סܧܴܳ
䁪㐮ͷι
∴סǡܳܨԢ 䁪ͻͲι，
∴ܳܨ䁪ܳ
ܨԢ 䁪ǡܳ
ڄ tanǡ 䁪
㐮
͵ ݔ．
∵ܣǡ 是半圆O 的直径，
∴סܣܨǡ 䁪ͻͲι，
∴ǡܨ䁪ܣǡ ڄ cosǡ 䁪
ͻ
㐮，
∴
㐮
͵ ݔݔܣ䁪
ͻ
㐮，
∴ݔ䁪
ʹ͹
ʹͺ，
∴
ܥܨԢ
ǡܨԢ 䁪
ǡܥെǡܨԢ
ǡܨԢ
䁪
ǡܥ
ǡܨԢ െͳ 䁪
͵
ݔെͳ 䁪
ͳͻ
ͻ ．
11．【答案】(1)
证明：如图，设CD 与AB 相交于点M，
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∵ٖܱ
与ܣܪ相切于点A，
∴סǡܣܩ䁪ͻͲל，
∵ܦܥ٣ ܣǡ，
∴סܣܯܥ䁪ͻͲל，
∴ܣܩ∥ܦܥ，
∴סܩܣܥ䁪סܣܦܥ，סܣܩܥ䁪סܨܦܥ，
∵点A 关于ܦܥ的对称点为E，
∴סܨܦܥ䁪סܣܦܥ，
∴סܩܣܥ䁪סܣܩܥ．
（2）解：过F 点作ܨܭ٣ ܣǡ 于点K，设AB 与CD 交于点N，连接DF，如下图所示：
由同弧所对的圆周角相等可知：סܨܦܥ䁪סܨܣܦ，
∵ܣǡ 为ٖܱ
的直径，且ܦܥ٣ ܣǡ，由垂径定理可知：ܣܥႣ䁪ܣܦ
Ⴃ，
∴סܣܦܥ䁪סܣܦܥ，
∵点A 关于ܦܥ的对称点为E，
∴סܨܦܥ䁪סܣܦܥ，
∴סܨܣܦ䁪סܨܦܥ䁪סܣܦܥ䁪סܣܦܥ，即סܨܣܦ䁪סܣܦܥ，
∴ܦ䁨䁪ܣ䁨，
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由同弧所对的圆周角相等可知：סܣܥ䁨䁪סܦܨ䁨，且סܥ䁨ܣ䁪סܨ䁨ܦ，
∴ᇞܥ䁨ܣ≌ᇞܨ䁨ܦ，
∴䁨ܥ䁪䁨ܨ，
∵ܨܭ٣ ܣǡ，AB 与CD 交于点N，
∴סܨܭܧ䁪סܧܰܥ䁪ͻͲל．
∵סܭܧܨ䁪סܰܧܥ，סܨܭܧ䁪סܧܰܥ䁪ͻͲל，
∴ᇞܭܧܨ∽ᇞܰ
ܧܥ，
∴
ܭܧ
ܧܰ䁪
ܧܨ
ܧܥ䁪
ʹ
ͷ，设KE=2x，EN=5x，
∵点A 关于ܦܥ的对称点为E，
׵ ܣܰ
䁪ܧܰ
䁪ͷݔ，ܣܧ䁪ܣܰܣܰ
ܧ䁪ͳͲݔ，ܣܭ䁪ܣܧܧܭܣ䁪ͳʹݔ，
又ܨܭ∥䁨ܰ，
∴Δܣ䁨ܰ
׽ Δܣܨܭ，
∴
䁨ܣ
ܣܨ䁪
ܣܰ
ܣܭ䁪
ͷݔ
ͳʹݔ䁪
ͷ
ͳʹ．
∵סܨܦܥ䁪סܣܦܥ，
∴ܨܥ∥ܣܦ，
∴
ܦ䁨
ܥ䁨䁪
ܣ䁨
䁨ܨ䁪
ܣ䁨
ܣܨെܣ䁨䁪
ͷ
͹；
（3）解：分类讨论如下：
如图1 中，当ܱܥ∥ܣܨ时，连接ܱܥ，ܱܨ，设סܣܩܨ䁪ߙ，则סܩܣܥ䁪סܣܦܥ䁪סܦܨܥ䁪סܣܨܩ䁪ߙ，
∵ܱܥ∥ܣܨ，
׵ סܱܨܥ䁪סܣܨܥ䁪ߙ，
׶ܱܥ䁪ܱ
ܣ，
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׵ סܱܣܥ䁪סܱܣܥ䁪͵ߙ，
׶ סܱܣܩ䁪㐮ͷι，
׵ 㐮ߙ䁪ͻͲι，
׵ ߙ䁪ʹʹ䁕ͷι，
׶ܱܥ䁪ܱ
ܨ，ܱܣ䁪ܱ
ܨ，
׵ סܱܨܥ䁪סܱܨܥെסܣܨܥ䁪ʹʹ䁕ͷι，
׵ סܱܨܣ䁪סܱܣܨ䁪㐮ͷι，
׵ ܣܨ䁪
ʹܱܨ䁪
ʹܱܥ，
∵ܱܥ∥ܣܨ，
׵
ܣܧܱ
ܧ䁪
ܣܨܱ
ܥ䁪
ʹ ׵，
׶ܱ
ܣ䁪ͳ，
׵ ܣܧ䁪
ʹ
ͳܣʹ 䁪ʹ െ
ʹ；
如图2 中，当ܱܥ∥ܣܨ时，连接ܱܥ，设ܦܥ交ܣܧ点ܯ．
设סܱܣܥ䁪ߙ，
∵ܱܥ∥ܣܨ，
׵ סܨܣܥ䁪סܱܣܥ䁪ߙ，
׵ סܧܱܥ䁪סܨܣܧ䁪ʹߙ，
׶ סܣܨܦ䁪סܦ，סܣܩܨ䁪סܦ，
׵ סܣܩܥ䁪סܣܨܩ䁪סܣܧܣܥסܨܣܧ䁪͵ߙ，
׶ סܣܩܣܥסܣܧܥ䁪ͻͲι，
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׵ 㐮ߙ䁪ͻͲι，
׵ ߙ䁪ʹʹ䁕ͷι，ʹߙ䁪㐮ͷι，
׵ Δܯܱܥ是等腰直角三角形，
׵ܱܥ䁪
ʹܱܯ，
׵ܱ
ܯ䁪
ʹ
ʹ ，ܣܯ䁪
ʹ
ʹͳܣ，
׵ ܣܧ䁪ʹܣܯ䁪ʹܣʹ；
如图3 中，当ܣܥ∥ܱܨ时，连接ܱܥ，ܱܨ，
设סܣܩܨ䁪ߙ，
׶ סܣܨܥ䁪סܣܣܦܥסܦܨܥ䁪ʹߙ，
∵ܣܥ∥ܱܨ，
׵ סܱܨܥ䁪סܣܨܥ䁪ʹߙ，
׵ סܱܣܥ䁪סܣܱܥ䁪㐮ߙ，
׶ סܣܱܣܥסܱܣܣܥסܣܱܥ䁪ͳͺͲι，
׵ ͳͲߙ䁪ͳͺͲι，
׵ ߙ䁪ͳͺι，
׵ סܧܱܥ䁪סܧܱܥെסܱܨܥ䁪͵㠮ι，
׵ Δܱܧܥ׽ Δܨܱܥ、，
׵ܱܥʹ 䁪ܧܥڄܨܥ、，
׵ ͳ 䁪ͳܣܧܥܧܥ、，
׵ܧܥ䁪ܣܥ䁪ܱ
ܧ䁪
ͷെͳ
ʹ ，
׵ ܣܧ䁪ܱ
ܣെܱ
ܧ䁪
͵െͷ
ʹ ；
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如图4 中，当ܣܥ∥ܱܨ时，连接ܱܥ，ܱܨ，ǡܨ．
设סܨܣܱ
䁪ߙ，
∵ܣܥ∥ܱܨ，
׵ סܨܣܥ䁪סܱܨܣ䁪ߙ，
׵ סܨܱܥ䁪סǡܱܨ䁪ʹߙ，
׶ ܣܥ䁪ܣܧ，
׵ סܣܧܥ䁪סܧܣܥ䁪סܧܨǡ，
׵ ǡܨ䁪ǡܧ，
由Δܱܨܥ؆ Δܱǡܨ，
׵ܨܥ䁪ǡܨ䁪ǡܧ，
׶ סܧ䁪סܨܱܥ，
׵ Δܨܱܥ׽ Δܱܧܥ，
׵ܱܥʹ 䁪ܧܥڄܨܥ，
׵ ǡܧ䁪ܨܥ䁪
ͷെͳ
ʹ ，
׵ ܣܧ䁪ܣǡܣǡܧ䁪
͵ܣͷ
ʹ ．
综上所述，满足条件的ܣܧ的长为ʹ െ
ʹ或ʹܣʹ或
͵െͷ
ʹ 或
͵ܣͷ
ʹ
考点04
新定义、存在性与探究问题
1．
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【答案】(1)
证明：∵ܣܦ∥ǡǡܥסܣ䁪ͻͲι，
∴סܣǡܥ䁪ͳͺͲι െסܣ䁪ͻͲι，סܣܦǡ 䁪סܥǡܦ，
∵对角线ǡܦ平分סܣܦܥ，
∴סܣܦǡ 䁪סܦܥǡ，
∴סܥǡܦ䁪סܦܥǡ，
∴ܦܥ䁪ܥǡ，
∴四边形ܣǡܦܥ为邻等四边形．
(2)
如图，ܦͳ，ܦʹ，ܦ͵即为所求；
（3）如图，过ܥ作ܥܳ٣ ܣܦ于ܳ
，
∵סܦܣǡ 䁪סܣǡܥ䁪ͻͲι，
∴四边形ܣǡܥܳ是矩形，
∴ܣܳ
䁪ǡܣǡܥǡ 䁪ܳܥ，ܣܦ∥ǡܥ，
∵ǡܧ∥ܣܥ，
∴四边形ܣܥǡܧ为平行四边形，
∴ǡܧ䁪ܣܥ䁪ͺ，ܣܧ䁪ǡܥ，
设ǡܥ䁪ܣܧ䁪ݔ，而ܦܧ䁪ͳͲ，
∴ܣܦ䁪ͳͲ െݔ，ܦܳ
䁪ݔെͳͲ െݔ䁪ʹݔെͳͲ，
由新定义可得ܦܥ䁪ܥǡ 䁪ݔ，
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由勾股定理可得：ݔʹ െʹݔെͳͲ ʹ 䁪ͺʹ െݔʹ，
整理得：ݔʹ െʹͲݔʹͺܣ䁪Ͳ，
解得：ݔͳ 䁪ͳͲ െ͵ ʹ，ݔʹ 䁪ͳͲ͵ܣʹ൐ͺ（不符合题意舍去），
∴ܥǡ 䁪ܦܥ䁪ͳͲ െ͵ ʹ，
∴四边形ܧǡܦܥ的周长为ͳͲʹܣ ͺܣͳͲ െ͵ ʹ 䁪͵ͺ െ㠮ʹ．
2．【答案】（1）证明：在正方形ܣǡܦܥ中，
סܣ䁪סܣܦܥ䁪סǡܦܥ䁪ͻͲι，ܣܦ䁪ܦܥ，
∴סܣ䁪סܦܯܥ䁪ͻͲι，
∵ܦܯ٣ 䁨ܦ，
∴סܣܦ䁨ܣס䁨ܦܥ䁪סܣܯܦܥס䁨ܦܥ䁪ͻͲι，
∴סܣܦ䁨䁪סܯܦܥ，
∴ᇞܦܣ䁨≌ᇞܦܯܥASA ．
（2）如图1，作ܳܰ
٣ ǡܥ于点N，如图所示：
∵סܣǡܥ䁪ͻͲι，ܦܳ
٣ ܣǡ，
∴四边形ܦǡܰܳ
是矩形，
∴סܦܳܰ
䁪ͻͲι，ܳܰ
䁪ܦǡ，
∵ܳܯ٣ 䁨ܳ，
∴סܦܳ䁨ܣס䁨ܳܰ
䁪סܯܳܰܣס䁨ܳܰ
䁪ͻͲι，
∴סܦܳ䁨䁪סܯܳܰ
，
∵סܳܦ䁨䁪סܳܰ
ܯ䁪ͻͲι，
∴ᇞܦܳ䁨∽ᇞܰܳ
ܯ，
∴
䁨ܳܳ
ܯ䁪
ܦܳܳܰ䁪
ܦܳ
ܦǡ，
∵ǡܥ䁪ͺ，ܣܥ䁪ͳͲ，סܣǡܥ䁪ͻͲι，
∴ܣǡ 䁪
ܣܥʹ െǡܥʹ 䁪㠮，
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∵ܣܦ䁪ʹܦǡ，
∴ܦǡ 䁪ʹ，
∵סܣܦܳ
䁪סܣǡܥ䁪ͻͲι，
∴ܦܳ
∥ǡܥ，
∴ᇞܣܦܳ∽ᇞܣǡܥ，
∴
ܦܳ
ǡܥ䁪
ܣܦ
ܣǡ 䁪
ʹ
͵，
∴ܦܳ
䁪
ͳ㠮
͵ ，
∴
䁨ܳܳ
ܯ䁪
ܦܳ
ܦǡ 䁪
ͺ
͵；
（3）∵ܣܥ䁪݉
ܣǡ，ܥܱ䁪݊
ܣܥ，
∴ܥܳ䁪݉݊
ܣǡ，
∴ܣܳ
䁪ܣܥെܥܳ䁪݉
െ݉݊
ܣǡ．
∵סǡܣܥ䁪ͻͲι，
∴ǡܥ䁪
ܣǡʹܥܣܣʹ 䁪
ͳܣ݉
ʹܣǡ，
如图2，作ܳܰ
٣ ǡܥ于点N，
∵סܣܣסܣǡܰܣסǡܰܳܣסܣܳܰ
䁪͵㠮Ͳι，
∴סܣǡܰܣסܣܳܰ
䁪ͳͺͲι，
∴סܣܳܰ
䁪ס䁨ǡܰ．
∵ס䁨ܳܯ䁪ס䁨ǡܥ，
∴ס䁨ܳܯ䁪סܣܳܰ
，
∴סܣܳ䁨䁪סܰܳ
ܯ，
∵סܣ䁪סܳܰ
ܯ䁪ͻͲι，
∴ᇞܳ
ܣ䁨∽ᇞܳܰ
ܯ，
∴
䁨ܳܳ
ܯ䁪
ܣܳܰܳ．
∵סܣ䁪סܳܰܥ䁪ͻͲι，סܳܰܥ䁪סǡܣܥ，
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∴ᇞܳܰܥ∽ᇞǡܣܥ，
∴ܳܰǡܣ䁪
ܥܳ
ܥǡ 䁪݉݊
ܣǡ
ͳܣ݉
ʹܣǡ 䁪݉݊
ͳܣ݉
ʹ，
∴ܳܰ
䁪݉݊
ͳܣ݉
ʹ ܣǡ
∴
䁨ܳܳ
ܯ䁪
ܣܳܰܳ
䁪
ͳെ݊݊
ͳܣ݉
ʹ．
3．【详解】（1）证明：赞同，理由如下：
׶ 等腰直角三角形ABC，
׵ ܣܥ䁪ǡǡܥסܣ䁪סǡ 䁪㐮ͷιǡ
׵ cos㐮ͷι 䁪
ܣܥ
ܣǡ 䁪
ʹ
ʹ 䁪
ͳ
ʹ ǡ
׶ ܣܥ䁪ܣ䁨ǡ
׵
ܣ䁨
ܣǡ 䁪
ͳ
ʹ ǡ
∴点P 为线段AB 的“趣点”．
（2）①由题意可得：סܣܥǡ 䁪סǡ 䁪㐮ͷιǡסܣܥǡ 䁪ͻͲιǡܣܥ䁪ܣ䁨䁪ǡǡܥ
׵ סܣܥ䁨䁪סܣ䁨ܥ䁪
ͳ
ʹ ሺͳͺͲι െ㐮ͷι൅䁪㠮͹䁕ͷιǡ
׵ סǡܥ䁨䁪ͻͲι െ㠮͹䁕ͷι 䁪ʹʹ䁕ͷιǡ
׵ סܥ䁨ǡ 䁪ͳͺͲι െ㐮ͷι െʹʹ䁕ͷι 䁪ͳͳʹ䁕ͷιǡ
׶ ᇞDPE∽ᇞCPB，D，A 重合，
׵ סܦ䁨ܧ䁪סܥ䁨ǡ 䁪ͳͳʹ䁕ͷιǡ
׵ סܥ䁨ܧ䁪סܦ䁨ܧܣסܥ䁨ǡ െͳͺͲι 䁪㐮ͷι䁕
②点N 是线段ME 的“趣点”，理由如下：
当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD＜AD），
׵
ܣܦ
ܣܥ䁪
ͳ
ʹ ǡ 而ܣܥ䁪ܣ䁨ǡ
׵
ܣܦ
ܣ䁨䁪
ͳ
ʹ ǡ
׶
ܣܥ
ܣǡ 䁪
ͳ
ʹ ǡסܣ䁪סܣǡ
׵ᇞܣܦ䁨∽ᇞܣܥǡǡ
׵ סܣܦ䁨䁪סܣܥǡ 䁪ͻͲιǡ
׵ סܣ䁨ܦ䁪㐮ͷιǡܦ䁨∥ܥǡǡ
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׵ סܦ䁨ܥ䁪ס䁨ܥǡ 䁪ʹʹ䁕ͷι 䁪ס䁨ܦܧǡ
׵ ܦܯ䁪䁨ܯǡ
׵ סܯܦܥ䁪סܯܦܥ䁪ͻͲι െʹʹ䁕ͷι 䁪㠮͹䁕ͷιǡ
׵ ܯܦ䁪ܯǡܥ
同理可得：ܯܥ䁪ܯܰǡ
׵ ܯ䁨䁪ܯܦ䁪ܯܥ䁪ܯܰǡ
׶ סܯܦ䁨䁪סܯ䁨ܦ䁪ʹʹ䁕ͷιǡסܧ䁪סǡ 䁪㐮ͷιǡ
׵ סܧܯ䁨䁪㐮ͷιǡסܯ䁨ܧ䁪ͻͲιǡ
׵
ܯ䁨
ܯܧ䁪
ͳ
ʹ 䁪
ܯܰ
ܯܧǡ
׵ 点N 是线段ME 的“趣点”．
4．
【详解】（1）在正方形ܣǡܦܥ中，ܣǡ 䁪ǡܥ，סܣ䁪סǡ 䁪ͻͲι，
又∵ܣǡͳ 䁪ǡܥͳ 䁪ܥܦͳ 䁪ܦܣͳ 䁪
㐮
ͷ ܣǡ，
∴ܣܣͳ 䁪ǡǡͳ 䁪
ͳ
ͷ ܣǡ．
∴ᇞܣǡͳܣͳ≌ᇞǡܥͳǡͳ．
∴ܣͳǡͳ 䁪ǡͳܥͳ，סܣǡͳܣͳ 䁪סǡܥͳǡͳ．
又∵סǡܥͳǡͳܣסǡǡͳܥͳ 䁪ͻͲι，
∴סǡǡͳܥͳܣסܣǡͳܣͳ 䁪ͻͲι．
∴סܣͳǡͳܥͳ 䁪ͻͲι．
同理可证：ǡͳܥͳ 䁪ܥͳܦͳ 䁪ܦͳܣͳ 䁪ܣͳǡͳ．
∴四边形ܣͳǡͳܥͳܦͳ是正方形．
（2）∵ܣǡͳ 䁪ǡܥͳ 䁪ܥܦͳ 䁪ܦܣͳ 䁪
㐮
ͷ ܣǡ，设ܣǡ 䁪ͷ㠮，则ܣǡͳ 䁪㐮㠮．
∴ǡͳǡ 䁪ܣܣͳ 䁪㠮．
∴由勾股定理得：ܣͳǡͳ 䁪
ͳ͹㠮．
∴
ܣͳǡͳ
ܣǡ 䁪
ͳ͹㠮
ͷ㠮䁪
ͳ͹
ͷ ．
（3）结论1：螺旋折线ǡǡͳǡʹǡ͵…中相邻线段的比均为
ͷ ͳ͹
ͳ͹ 或
ͳ͹
ͷ ．
证明：∵ܣǡͳ 䁪
㐮
ͷ ܣǡ，
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∴ǡǡͳ 䁪
ͳ
ͷ ܣǡ．
同理，ǡͳǡʹ 䁪
ͳ
ͷ ܣͳǡͳ．…
∴
ǡͳǡ
ǡͳǡʹ 䁪
ܣǡ
ܣͳǡͳ 䁪
ͷ ͳ͹
ͳ͹ ．
同理可得
ǡͳǡʹ
ǡʹǡ͵ 䁪
ͷ ͳ͹
ͳ͹ ，…
∴螺旋折线ǡǡͳǡʹǡ͵…中相邻线段的比均为
ͷ ͳ͹
ͳ͹ 或
ͳ͹
ͷ ．
结论2：螺旋折线ǡǡͳǡʹǡ͵…中相邻线段的夹角的度数不变．
证明：∵
ǡͳǡ
ǡܥͳ 䁪
ǡʹǡͳ
ǡͳܥʹ 䁪
ͳ
㐮，סܣͳǡͳܥͳ 䁪סܣǡܥ䁪ͻͲι，
∴ᇞǡǡͳܥͳ∽ᇞǡͳǡʹܥʹ，
∴סǡǡͳܥͳ 䁪סǡͳǡʹܥʹ．
同理得：סǡͳǡʹܥʹ 䁪סǡʹǡ͵ܥ͵，
∵סܥͳǡͳǡʹ 䁪סܥʹǡʹǡ͵ 䁪ͻͲι，
∴סǡǡͳܥͳܣסܥͳǡͳǡʹ 䁪סǡͳǡʹܥʹܣסܥʹǡʹǡ͵，即סǡǡͳǡʹ 䁪סǡͳǡʹǡ͵．
同理可证סǡͳǡʹǡ͵ 䁪סǡʹǡ͵ǡ㐮䁪ڄڄڄ．
∴螺旋折线ǡǡͳǡʹǡ͵…中相邻线段的夹角的度数不变．
1．
【答案】(1)证明：׶ ܣǡ 为直径，所以סܣܥǡ 䁪ͻͲι，סܣܥǡܣסܥǡܣ䁪ͻͲι．
又׶ܧܥ٣ ܣǡ．
׵ סǡܣܧܥסܥǡܣ䁪ͻͲι．
׵ סܣܥǡ 䁪סǡܧܥ．
׶ܦܥ䁪ܥǡ，
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׵ סܥǡܦ䁪סܦܥǡ 䁪סܣܥǡ ．
׵ סܥǡܦ䁪סǡܧܥ，
׵ ܨܥ䁪ܨǡ．
（2）解：由（1）已知סܨǡܥ䁪סܨܥǡ，סܣܥǡ 䁪ͻͲι，ܨܥ䁪ǡܨ，
׵ סܨǡܣܥסܩܥǡ 䁪סܨܥǡܣסܨܩܥ䁪ͻͲι，
׵ סܨܩܥ䁪סܩܥǡ ．
׵ ܨܥ䁪ܨܩ，
׵ ܨܩ䁪ܨǡ，即F 是ǡܩ中点，
׶O 是ܣǡ 的中点，
所以ܱ
ܨ∥ܣܩ．
׶ סܦܣܥ䁪ʹͲι，ܦܥ䁪ܥǡ，
׵ܥǡ
෼
䁪ܦܥ
෼
，
׵ סܣܥǡ 䁪סܦܣܥ䁪ʹͲι ．
׶ܧܥ٣ܱ
ǡ，
׵ סܣܧܥ䁪ͻͲι െסܣܥǡ 䁪͹Ͳι，
׵ סܱܨܧ䁪סܣܧܥ䁪͹Ͳι ．
（3）解：连结ܱ
ܨ，过O 作ܱ
ܪ٣ ܣܥ，垂足为H，所以ܣܪ䁪ܪܥ，
由圆的性质和已知条件得ܱ
ܣ䁪ܱ
ǡ 䁪ǡܩ，
由
סܣܪܱ
䁪סܣܥǡ 䁪ͻͲι
סܣܥǡ 䁪סܥǡܩܱ
ܣ䁪ǡܩ
׵ ᇞܣܱܪ≌ᇞǡܩܥAAS ，
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׵ܩܥ䁪ܱ
ܪ䁪
ͳ
ʹ ǡܥ䁪
ͳ
ʹ ܣܪ䁪
ͳ
ʹ ܪܥ，tanסܣܥǡ 䁪
ͳ
ʹ，
׵ ܩ是ܪܥ中点，ܪܩ䁪
ͳ
ʹܪܥ，
׵ܱ
ܪ䁪ܪܩ，设ܱ
ܪ䁪㠮，
׵ܱ
ܪʹܪܣܩʹ 䁪ܱ
ܩʹ，
׵ 㠮ʹ 䁪ͺ，所以ܵΔܣܱܩ䁪
͵
ʹ 㠮ʹ 䁪ͳʹ．
׶ סǡܧܥ䁪סܣܥǡ，
׵ tanסǡܧܥ䁪
ǡܧ
ܧܥ䁪
ͳ
ʹ，tanסܣܥǡ 䁪
ܧܥ
ܣܧ䁪
ͳ
ʹ，
׵
ǡܧ
ܣܧ䁪
ͳ
㐮，
׶ ܣܱ
䁪ǡܱ，
׵
ǡܧܱ
ܧ䁪
ʹ
͵，
׵ܵ
ᇞܱܧܨ䁪
͵
ͷܵ
ᇞǡܱܨ．
׶F 为BG 的中点，
׵ܵ
ᇞܱܨܩ䁪ܵ
ᇞܱǡܨ，
׵ܵ
四边形ܱ
ܧܨܩ䁪
ͺ
ͷܵ
ᇞǡܱܨ䁪
㐮
ͷܵ
ᇞǡܱܩ䁪
㐮
ͷܵ
ᇞܣܱܩ，
׵ܵ
四边形ܱ
ܧܨܩ䁪
㐮
ͷ ൈͳʹ 䁪
㐮ͺ
ͷ ．
2．
【详解】（1）解：∵菱形ܣǡܦܥ，
∴סܦܣǡ 䁪סܥ䁪㠮Ͳι，
∵折叠，
∴סܩܣܧ䁪סǡܣܧ䁪ߙ，
∴סܦܣܩ䁪סܦܣǡ െסܩܣܧെסǡܣܧ䁪㠮Ͳι െʹߙ；
（2）证明：①∵菱形ܣǡܦܥ，
∴ܣܦ䁪ܣǡ，
由折叠可知，
ܣܩ䁪ܣǡ，
∵ܣܦ䁪ܣܩ，
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∴סܣܦܩ䁪
ͳͺͲιെסܦܣܩ
ʹ
䁪㠮Ͳιܣߙ，
∵סܦܣǡ 䁪㠮Ͳι，
∴ᇞܣǡܦ为等边三角形，
∴סܣܦǡ 䁪㠮Ͳι，
∴סǡܦܪ䁪סܣܦܪെסܣܦǡ 䁪ߙ䁪סܧܣǡ；
②∵ܣܦ∥ǡܥ，
∴סܣǡܥ䁪ͳͺͲι െסܦܣǡ 䁪ͳʹͲι，
∵菱形ܣǡܦܥ，
∴סܧǡܣ䁪סܦǡܪ䁪
ͳ
ʹ סܣǡܥ䁪㠮Ͳι，
∵ᇞܣǡܦ为等边三角形，
∴ܣǡ 䁪ܦǡ，
∵סǡܦܪ䁪סǡܣܧ，
∴ᇞܣǡܧ≌ᇞܦǡܪASA ，
∴ǡܪ䁪ǡܧ；
（3）解：如图，连接ܧܪ，延长ܧܩ交ܦܥ于ܭ，作ܭܯ٣ ܦǡ 于ܯ．
由（2）得ǡܪ䁪ǡܧ，סܧǡܪ䁪㠮Ͳι，
∴ᇞǡܧܪ为等边三角形，
∴ܧܪ䁪ǡܧ䁪ܩܧ，
∵סǡܪܧ䁪סܥ䁪㠮Ͳι，
∴ܧܪ∥ܦܥ，
∴ᇞܦܩܭ∽ᇞܪܩܧ，
∴
ܦܭ
ܧܪ䁪
ܭܩ
ܩܧ䁪
ܦܩ
ܩܪ䁪ʹ，
设ܧܪ䁪ǡܧ䁪ܩܧ䁪ݔ，
则ܦܭ䁪ܭܩ䁪ʹݔ，ܭܧ䁪ܭܩܧܩܣ䁪͵ݔ．
在Rt ᇞܦܯܭ中，
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∵סǡܦܥ䁪㠮Ͳι，
∴סܦܭܯ䁪͵Ͳι
∴ܦܯ䁪
ͳ
ʹ ܦܭ䁪ݔ，
∴ܭܯ䁪
͵ܦܯ䁪
͵ݔ，
∴ܯܧ䁪
ܭܧʹ െܯܭʹ 䁪
㠮ݔ，
∴ܦܧ䁪ܦܯܧܯܣ䁪ݔܣ㠮ݔ，
∴ܦܧǣǡܧ䁪ͳܣ㠮．
3．【答案】(1)
解：∵正方形ܣǡܦܥ，ܩܯ٣ ܣǡ
∴סܥ䁪סǡ 䁪ͻͲι 䁪סܣܯܩ
∵ܣܩ٣ ܧܨ
∴סǡܣܩܣסǡܧܩ䁪͵㠮Ͳι െסܣܩǡ െסǡ 䁪ͳͺͲι
∵סܣܨܧܥסǡܧܩ䁪ͳͺͲι
∴סǡܣܩ䁪סܨܧܥ
在ᇞܣܯܩ和ᇞܧܨܥ中，
ܧܨ䁪ܣܩ
סܥ䁪סܣܯܩ
סܯܣܩ䁪סܨܧܥ
∴ᇞܣܯܩ≌ᇞܧܨܥAAS ；
(2)
①证明：∵ܪܧ٣ ǡܥ，ܩܯ٣ ܣǡ，
∴סǡܧܰ
䁪סǡܯܰ
䁪סǡ 䁪ͻͲι，
∴四边形ǡܯܰܧ为矩形，
∵四边形ܣǡܦܥ为正方形，
∴ܣǡ 䁪ǡǡܥסǡ 䁪ͻͲι
∵ᇞܣܯܩ≌ᇞܧܨܥ，
∴ܣܯ䁪ܧܥ，
∴ǡܧ䁪ǡܯ．
∴四边形ǡܯܰܧ为正方形；
②证明：延长ܯܩ交ܦܥ于点K，
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∵四边形ܣǡܦܥ为正方形，
∴סܥ䁪סǡ 䁪ͻͲι．
又∵四边形ǡܯܰܧ为正方形，
∴סܰܧܥ䁪סܭܰܧ䁪ͻͲι．
∵四边形ܰ
ܧܭܥ为矩形，
∴ܭܥ䁪ܰ
ܧ䁪ܯܰ，סܨܭܩ䁪סܪܰܩ䁪ͻͲι
∵ᇞܣܯܩ≌ᇞܧܨܥ，
∴ܯܩ䁪ܨܥ，סܭܨܩ䁪סܪܩܰ，
∴ܨܭ䁪ܰ
ܩ，
∴ᇞܨܭܩ≌ᇞܩܰܪASA ，
∴ܪܰ
䁪ܭܩ，
∴ܪܧܰܩܣ䁪ܪܰܰܣ
ܰܩܣܧ䁪ܭܩܰܯܣ
ܰܩܣ䁪ǡܥ䁪ܣǡ；
③解：取ܪܧ中点O，连接ܩܱ，
∵סܪܩܧ䁪ͻͲι
∴ܩܱ
䁪
ͳ
ʹ ܪܧ
延长ܧܪ交ܣܦ于P，
∴四边形ܣܯܰ䁨是矩形，
∴סܣ䁨ܪ䁪ͻͲι，ܣ䁨䁪ܯܰ，
∵四边形ǡܯܰܧ为正方形，
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∴ܯܰ
䁪ܰ
ܧ
∴ܣ䁨䁪ܧܰ
∵סǡܣܩ䁪סܨܧܥ，סǡܣ䁨䁪סܧܥ䁨䁪ͻͲι，
∴ס䁨ܣܩ䁪סܰܧܩ，
在ᇞ䁨ܣܪ和ᇞܰ
ܧܩ中，
סܣ䁨ܪ䁪סܧܰܩ
ܣ䁨䁪ܧܰ
ס䁨ܣܩ䁪סܰܧܩ
，
∴ᇞ䁨ܣܪ≌ᇞܰ
ܧܩASA ，
∴䁨ܪ䁪ܰ
ܩ䁪ͳ െܧܪ，
∴Ͳ ൑ͳ െܧܪ൑ͳ
∴Ͳ ൑ܧܪ൑ͳ
∵ܩܱ
൒ܰ
ܩ，
∴
ͳ
ʹ ܪܧ൒ͳ െܧܪ
∴ܪܧ൒
ʹ
͵
∴
ʹ
͵ ൑ܪܧ时ͳ
4．
【详解】（1）解：在矩形ܣǡܦܥ中，סܣ䁪סǡ 䁪סܥ䁪סܣܦܥ䁪ͻͲι，ܣܦ䁪ǡܥ䁪͵．
设ܣܧ䁪ݔ，则ܦܧ䁪ܩܧ䁪͵ െݔ．
∵G 为ܣǡ 的中点，
∴ܣܩ䁪ͳ．
∵סܣ䁪ͻͲι，
∴ܣܩʹܣܣܧʹ 䁪ܧܩʹ，
∴ͳʹܣݔʹ 䁪͵ െݔʹ，
∴ݔ䁪
㐮
͵（负值舍去），
∴ܣܧ䁪
㐮
͵；
（2）解：①如图，连接ܦܨ．
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由对称可知，ܨܩ䁪ܨܦ，
∴סܨܩܦ䁪סܨܦܩ．
∵סܣܩܦܣסǡܩܨ䁪ͳ͵ͷι，
∴סܨܦܩ䁪סܨܩܦ䁪㐮ͷι，
∴סܦܨܩ䁪ͻͲι，
∴סܩܨǡ 䁪ͳͺͲι െסܩܨܦെסܦܨܥ䁪ͻͲι െסܦܨܥ䁪סܨܦܥ．
又סǡ 䁪סܥ，ܩܨ䁪ܨܦ，
∴ᇞܩǡܨ≌ᇞܨܦܥAAS ，
∴ǡܨ䁪ܦܥ䁪ʹ，ǡܩ䁪ܨܥ䁪ǡܥെǡܨ䁪ͳ，
∴ܣܩ䁪ܣǡ െǡܩ䁪ͳ，
∴tanסܣܦܩ䁪
ܣܩ
ܣܦ䁪
ͳ
͵；
②如图，连接ܦܨ，设ܦܩ与ܧܨ相交于点K，设סܣܦܩ䁪ߙ，סܪܩܨ䁪ߚ，ǡܩ䁪ݔ．
由对称可知，סܨܦܥ䁪סܪܩܨ䁪ߚ，ܧܩ䁪ܧܦ，סܧܩܪ䁪סܧܦܥ䁪ͻͲι．
∵ܧܩ䁪ܧܦ，
∴סܣܦܩ䁪סܧܩܦ䁪ߙ，
∴סܣܧܩ䁪ʹߙ．
∵סܣ䁪סܧܩܪ䁪ͻͲι，
∴סܣܩܧ䁪ͻͲι െʹߙ，
∴סǡܩܪ䁪ͳͺͲι െסܣܩܧെסܧܩܪ䁪ʹߙ，
∴סǡܩܨ䁪סǡܩܪܣסܪܩܨ䁪ʹߙܣߚ．
∵סܣܩܧܣ㐮סǡܩܨ䁪ʹ͹Ͳι，
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∴ͻͲι െʹߙܣ㐮ʹߙܣߚ䁪ʹ͹Ͳι，
∴͵ߙʹܣߚ䁪ͻͲι，
∴סܭܩܨ䁪סܧܩܪെסܧܩܦܣסܪܩܨ䁪ͻͲι െߙܣߚ䁪ʹߙܣߚ䁪סǡܩܨ．
又∵סǡ 䁪סܨܭܩ䁪ͻͲι，ܩܨ䁪ܩܨ，
∴ᇞܩǡܨ≌ᇞܩܭܨAAS ，
∴ܩܭ䁪ǡܩ䁪ݔ䁪ܭܦ．
∵סܣ䁪ͻͲι，
∴ܣܩʹܣܣܦʹ 䁪ܦܩʹ，
∴ʹ െݔʹܣ͵ʹ 䁪ʹݔʹ．
∴ݔͳ 䁪
㐮͵െʹ
͵
，ݔʹ 䁪
െ㐮͵െʹ
͵
（舍去），
∴ǡܩ䁪
㐮͵െʹ
͵
．
5．【详解】（1）证明：∵ܨܥ∥ܣܧ，
∴ᇞǡܦܧ∽ᇞǡܨܥ，
∴
ܦܧ
ܨܥ䁪
ǡܦ
ǡܥ．
∵ܦܥ䁪ʹǡܦ，
∴
ܦܧ
ܨܥ䁪
ǡܦ
ǡܥ䁪
ͳ
͵，
∴ܨܥ䁪͵ܦܧ．
（2）解：∵ܣܧ䁪ܣǡ 䁪ͳ，ܦܧ䁪ݐ，
∴ܣܦ䁪ͳ െݐ，ܨܥ䁪͵ݐ．
∵ܨܥ∥ܣܧ，
∴ᇞܣܦܩ∽ᇞܨܩܥ
∴ݕ䁪
ܦܩ
ܩܥ䁪
ܣܦ
ܨܥ䁪
ͳെݐ
͵ݐ．
（3）解：∵cosסܣǡܥ䁪ݔ，ܣܨ٣ ǡܥ，
∴
ǡܩ
ܣǡ 䁪ǡܩ䁪ݔ．
∵ܣǡ 䁪ܣܥ，
∴ܩܥ䁪ǡܩ䁪ݔ，ǡܥ䁪ʹǡܩ䁪ʹݔ，
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∴ǡܦ䁪
ͳ
͵ ǡܥ䁪
ʹݔ
͵ ，
∴ܦܩ䁪
ݔ
͵，
∴ݕ䁪
ܦܩ
ܩܥ䁪
ͳ
͵，
∴
ͳെݐ
͵ݐ䁪
ͳ
͵，解得ݐ䁪
ͳ
ʹ．
在Rt ᇞܣǡܩ和Rt ᇞܣܦܩ中，ܣǡʹ െǡܩʹ 䁪ܣܦʹ െܦܩʹ，
∴ͳʹ െݔʹ 䁪
ͳ
ʹ
ʹ
െ
ݔ
͵
ʹ
，
解得ݔ䁪
͵ 㠮
ͺ （负值已舍去）．
（4）解：作ܣܪ٣ ǡܥ于点ܪ，
则ǡܪ䁪ݔ，ܦܪ䁪
ݔ
͵，
在Rt ᇞܣǡܪ和Rt ᇞܣܦܪ中，
ܣǡʹ െǡܪʹ 䁪ܣܦʹ െܦܪʹ，
∴ͳʹ െݔʹ 䁪ሺͳ െݐ൅ʹ െ
ݔ
͵
ʹ
，
∴
ͺ
ͻ ݔʹ 䁪െݐʹݐʹܣ．
记ܹ
䁪െݐʹݐʹܣ，
∵Ͳ 时ݔ时ͳ，
∴Ͳ 时ܹ
时
ͺ
ͻ，
∴Ͳ 时ݐ时
ʹ
͵或
㐮
͵ 时ݐ时ʹ（舍）．
∵ݕ䁪
ͳെݐ
͵ݐ䁪
ͳ
͵ݐെ
ͳ
͵，
∴当Ͳ 时ݐ时
ʹ
͵时，ݕ随ݐ的增大而减小，
∴ݕ൐
ͳ
㠮．
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6．【详解】（1）解：∵ǡܥ是ٖܱ
的直径，
׵ סܣܥǡ 䁪ͻͲι．
׶ ܣǡ 䁪ܣܥ，
׵ סܣǡܥ䁪סܣܥǡ 䁪㐮ͷι，
׵ סܣܦܥ䁪סܣǡܥ䁪㐮ͷι．
׶ᇞܣܧܥ由ᇞܣܦܥ关于直线ܣܥ对称得到，
׵ סܧ䁪סܣܦܥ䁪㐮ͷι．
（2）①证明：׶ סܣܥǡ 䁪סܣܨǡ 䁪㐮ͷι，
׵ סܧ䁪סܣܨǡ．
∵四边形ܣǡܨܥ内接于圆，
׵ סܣܣܨܥסܣǡܨ䁪ͳͺͲι 䁪סܣܣܨܥסܣܧܥ，
׵ סܣܧܥ䁪סܣǡܨ，
׶ ܣǡ 䁪ܣܥ，
׵ᇞܣܧܥ≌ᇞܣܨǡ AAS ，
׵ܧܥ䁪ǡܨ．
׶ ܧܥ䁪ܦܥ，
׵ܦܥ䁪ǡܨ．
②解：׶ܦܥ䁪ǡܨ，
∴ܦܥႣ䁪ǡܨ
Ⴃ，
׵ סܦܣܥ䁪סܨܣǡ，
׵ סܦܣܥെסܦܣܨ䁪סܨܣǡ െסܦܣܨ，即סܨܣܥ䁪סܦܣǡ，
׶ ܣǡ 䁪ܣܥ，סܣǡܥ䁪סܣܥǡ 䁪㐮ͷι，
׵ᇞܣܩܥ≌ᇞܣǡܪAAS ，
׵ܩܥ䁪ǡܪ，
׶ ǡܥ䁪͹ܩܪ，
设ܩܪ䁪㠮，则ǡܥ䁪͹㠮，ܩܥ䁪ǡܪ䁪
ͳ
ʹ ǡܥെܩܪ䁪͵㠮，
׵
ǡܩ
ܩܥ䁪
ǡܪܪܩܣ
ܩܥ䁪
㐮㠮
͵㠮䁪
㐮
͵，
ǡܩ
ǡܥ䁪
㐮㠮
͹㠮䁪
㐮
͹，
过点G 作ܩܭ٣ ǡܨ于点K，
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∵ǡܥ为直径，
∴סܨܥǡ 䁪ͻͲι，
׵ ܩܭ∥ܨܥ，
∴ᇞǡܩܭ∽ᇞǡܨܥ，
ǡܩ
ܩܥ䁪
ǡܭ
ܨܭ䁪
㐮
͵，
∴
ܩܭ
ܨܥ䁪
ǡܩ
ǡܥ䁪
㐮
͹，
׶ סܩܨǡ 䁪㐮ͷι，ܩܭ٣ ǡܨ，
∴סܩܨǡ 䁪סܨܩܭ䁪㐮ͷι，
∴设ܩܭ䁪ܨܭ䁪͵݉
，
∴ǡܭ䁪㐮݉
，
∴ǡܨ䁪ܦܥ䁪͹݉
，
∵
ܩܭ
ܨܥ䁪
ǡܩ
ǡܥ䁪
㐮
͹，
∴ܨܥ䁪
ʹͳ
㐮݉
，
׵
ܨܥ
ܦܥ䁪
ʹͳ
㐮݉
͹݉
䁪
͵
㐮．