专题15几何综合与压轴问题（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题15 几何综合与压轴问题
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 图形变换、
动点与最值综合
2026·浙江·中考
2025·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取5 道真题，其中2025
年、2026 年省统考连续设题，2026 年以等腰三角形中
位线加轴对称求线段长呈现，2025 年则通过菱形折叠、
对称变换结合面积法与三角函数求差最值，显示出省统
考对"图形变换＋最值"这一经典组合的高度重视。本考
点题型以解答题和填空题为辅，分值通常在10-14 分，
位于试卷后段，属于区分度较高的中档偏难题目。核心
考查轴对称、旋转、平移的性质应用，常结合勾股定理、
相似三角形、三角函数以及"将军饮马""胡不归"等最值
模型，要求较强的辅助线构造能力与分类讨论意识。命
题趋势上，从单一的静态计算向动态过程中的不变量与
最值探究转变，预计未来省统考仍将保留此类题目，并
与菱形、矩形等特殊四边形深度结合。
考点02 四边形背景
下的几何综合
2022·浙江温州·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江舟山·中考
2022·浙江金华·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取4 道真题，全部集中于
2022 年地市卷，题型以高难度解答题为主。这些题目多
以正方形、菱形或一般四边形为载体，通过内嵌正方形、
弦图、动点运动等方式构造复杂图形。本考点的核心在
于利用四边形的性质（平行、垂直、对角线互相平分等）
进行角度转化和线段推导，往往需要多次全等或相似证
明，计算量大且逻辑链条长。虽然2023—2026 年省统
考未再以纯四边形综合形式单独出现（多融入圆或图形
变换之中），但其解题思想如构造全等、利用对称性、
建立函数关系，仍是几何综合的基础。复习时应重点训
练在复杂图形中识别基本模型、以及合理分类讨论的能
力。
考点03 圆背景下的
几何综合
2026·浙江·中考
2024·浙江·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取11 道真题，是本专题
题量最大、考查频率最高的板块。2024 年、2026 年省
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2023·浙江温州·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江丽水·中考
统考均在此设题，2026 年更将其作为压轴，以圆内接三
角形、直径性质与含参数的代数式表示角度、线段关系
综合呈现，难度较大；2023 年各地市题目涵盖圆内接四
边形、垂径定理、切线性质、圆周角定理与相似的深度
综合。题型以解答题为主，常设置3 个小问层层递进。
核心考查"圆"作为几何载体的桥梁作用，常需结合"一
线三等角""母子相似""手拉手"等模型，并与勾股定理、
锐角三角函数及最值问题交叉。命题规律显示，圆与相
似、圆与三角函数、圆与最值问题是永恒重点，预计未
来省统考仍将把圆背景综合题作为几何部分的"重中之
重"。
考点04 新定义、存
在性与探究问题
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江湖州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江台州·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取4 道真题，均为地市卷
的创新压轴题。这类题目通常给出一个全新的定义或操
作规则，要求考生现场学习并迁移应用。本考点不依赖
特定的知识模块，而是侧重考查阅读理解、类比迁移与
逻辑推理素养，题目情境新颖、设问灵活、没有固定套
路，需要考生现场思考。虽然2024-2026 年省统考未出
现此类纯新定义题，但"探究与思考"的理念已渗透到各
类综合题的第（3）问中。此类题目是选拔尖子生的关
键，复习时应适当接触各类新定义与探究素材，培养面
对陌生问题的心理素质与拆解能力。
考点01
图形变换、动点与最值综合
1．（2026·浙江·中考真题）如图，סܤᦙ䁡㜰סᦙܤ䁡㜰͵Ͳι，ᦙܤ㜰⸷͸，ܦ、ܧ分别是ᦙܤ、ᦙ䁡的中点，ܳ、ܲ
分别为ܤ䁡、ܦܧ上任意点，当ܤܦ关于ܳܲ
对称的线段ܤԢܦԢ垂直ܤ䁡时，ܳܲ
㜰___________．
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【答案】ʹ ʹ
【分析】作出相应辅助线，利用三角形中位线定理得到ܦܧ与ᦙ䁡、ܤ䁡的关系，再利用对称轴的性质得
到角度关系，从而求出ܳܲ
．
【详解】解：如图，延长ܤԢܦԢ交ܦܧ于点ܰ
，交ᦙܦ于点ܵ，连接ܳܵ
，䁡ܦ，
由ܤܦ和ܤԢܦԢ关于ܳܲ
对称可得，ܲ、ܳ、ܵ三点共线．
׶ סܤᦙ䁡㜰סᦙܤ䁡㜰͵Ͳι，
׵ סᦙ䁡ܤ㜰ͳൌͲι t סܤᦙ䁡t סᦙܤ䁡㜰ͳʹͲι，ᇞᦙܤ䁡为等腰三角形，
׶ ܦ为ᦙܤ的中点，ᦙܤ㜰⸷͸，
׵ ᦙܦ㜰ܤܦ㜰ʹ ͸，䁡ܦ٣ ᦙܤ，
׵在Rt ᇞᦙܦ䁡中，ᦙ䁡㜰
ᦙܦ
cos͵Ͳι 㜰⸷ʹ 㜰ܤ䁡，
׶ ܦ、ܧ分别是ᦙܤ、ᦙ䁡的中点，
∴ܦܧ为ᇞᦙܤ䁡的中位线，
׵ ܦܧצ ܤ䁡，ܦܧ㜰
ͳ
ʹ ܤ䁡㜰ʹ ʹ 㜰ᦙܧ㜰䁡ܧ，
׵ סᦙܧܦ㜰סᦙ䁡ܤ㜰ͳʹͲι，
׶线段ܤԢܦԢ垂直ܤ䁡，
׵ סܤܵܤ̵ 㜰㌳Ͳι t ͵Ͳι 㜰͸Ͳι，
根据轴对称可得סܤܵܲ
㜰סܤ̵ܵܲ
㜰
ͳ
ʹ סܤܵܤ̵ 㜰͵Ͳι 㜰סܤᦙ䁡，
׵ܲܵ
צ ᦙ䁡，
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又ܦܧצ ܤ䁡，
׵四边形ܲ
䁡ܧܳ
是平行四边形，
׵ܳܲ
㜰ܧ䁡㜰ʹ ʹ．
2．（2025·浙江·中考真题）在菱形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܤ㜰ͷ，ᦙ䁡㜰ൌ．
(1)如图1，求sinסܤᦙ䁡的值．
(2)如图2，E 是ᦙܦ延长线上的一点，连接ܤܧ，作ᇞܨܤܧ与ᇞᦙܤܧ关于直线ܤܧ对称，ܧܨ交射线ᦙ䁡于点
P，连接ܤܲ．
①当ܧܨ٣ ᦙ䁡时，求ᦙܧ的长．
②求ܲ
ᦙtܲ
ܤ的最小值．
【答案】(1)
͵
ͷ
(2)①ͳͳ；②
͵ ͵㌳t⸷
ͷ
【分析】（1）先根据菱形的性质可得ᦙ䁡٣ ܤ䁡䁠ܱᦙ㜰
ͳ
ʹ ᦙ䁡㜰⸷，再根据勾股定理可得ܱ
ܤ㜰͵，然后根
据正弦的定义求解即可得；
（2）①连接ܤܦ，设ᦙ䁡䁠ܤܦ交于点ܱ
，同理求出ܱ
ܤ㜰͵，则ܤܦ㜰͸；证明ܧܨצܤܦ，得到סܦܤܧ㜰סܨܧܤ，
由轴对称的性质可得סᦙܧܤ㜰סܨܧܤ，则סܦܧܤ㜰סܦܤܧ，据此可得ܦܧ㜰ܦܤ㜰͸，即可得到ᦙܧ㜰ᦙܦܧܦܣ㜰
ͳͳ；
②根据题意得出点P 一定在线段ᦙ䁡的延长线上，由勾股定理得ܲ
ܤ㜰ܱ
ܤʹܣܱܲ
ʹ 㜰ܱܲ
ʹܣ㌳，根据ܲ
ᦙ㜰ܱ
ᦙܣܱܲ㜰⸷ܣܱܲ，可求出ܲ
ᦙtܲ
ܤ㜰⸷t
㌳ܱܲ
ܣܱܲ
ʹܣ㌳，根据
㌳ܱܲ
ܣܱܲ
ʹܣ㌳൐Ͳ，可推出当ܱܲ
有最小值时，ܱܲ
ܣܱܲ
ʹܣ㌳有最小值，即此时
㌳ܱܲ
ܣܱܲ
ʹܣ㌳有最大值，即当ܱܲ
有最小值时，ܲᦙtܲ
ܤ有最小值；过点B 作
ܤܪ٣ ᦙܦ于H，ܤܶ
٣ ܨܧ于T，由等面积法可得ܤܪ㜰
ʹ⸷
ͷ ，则由轴对称的性质可得ܤܶ
㜰ܤܪ㜰
ʹ⸷
ͷ ，由勾股
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定理得ܱܲ
㜰ܲ
ܤʹ t ͵ʹ，则当ܲ
ܤ有最小值时，ܱܲ
有最小值，由垂线段最短可知ܤܲ
൒ܤܶ
㜰
ʹ⸷
ͷ ，故当点P
与点T 重合时，ܤܲ
有最小值，最小值为
ʹ⸷
ͷ ，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图1，设ᦙ䁡䁠ܤܦ交于点ܱ
，
∵在菱形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܤ㜰ͷ，ᦙ䁡㜰ൌ，
∴ᦙ䁡٣ ܤ䁡䁠ܱᦙ㜰
ͳ
ʹ ᦙ䁡㜰⸷，
∴ܱܤ㜰
ᦙܤʹ tܱ
ᦙʹ 㜰͵，
∴sinסܤᦙ䁡㜰ܱ
ܤ
ᦙܤ㜰
͵
ͷ；
（2）解：①如图所示，连接ܤܦ，设ᦙ䁡䁠ܤܦ交于点ܱ
，
∵四边形ᦙܤ䁡ܦ是菱形，
∴ᦙ䁡٣ ܤܦ，ܱᦙ㜰
ͳ
ʹ ᦙ䁡㜰⸷，ܤܦ㜰ʹܱܤ，ᦙܦ㜰ᦙܤ㜰ͷ，
∴ܱܤ㜰
ᦙܤʹ tܱ
ᦙʹ 㜰
ͷʹ t ⸷ʹ 㜰͵，
∴ܤܦ㜰͸；
∵ܧܨ٣ ᦙ䁡，ᦙ䁡٣ ܤܦ，
∴ܧܨצܤܦ，
∴סܦܤܧ㜰סܨܧܤ，
由轴对称的性质可得סᦙܧܤ㜰סܨܧܤ，
∴סܦܧܤ㜰סܦܤܧ，
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∴ܦܧ㜰ܦܤ㜰͸，
∴ᦙܧ㜰ᦙܦܧܦܣ㜰ͳͳ；
②∵菱形ᦙܤ䁡ܦ，
∴点A 与点C 关于ܤܦ对称，
当点E 与点D 重合时，此时点F 与点C、P 重合，
∵E 是ᦙܦ延长线上的一点，
∴点P 一定在线段ᦙ䁡的延长线上，
在Rt ᇞܤܱܲ
中，由勾股定理得ܲ
ܤ㜰ܱ
ܤʹܣܱܲ
ʹ 㜰ܱܲ
ʹܣ㌳
∵ܲᦙ㜰ܱ
ᦙܣܱܲ㜰⸷ܣܱܲ，
∴ܲᦙtܲ
ܤ㜰⸷ܣܱܲtܱܲ
ʹܣ㌳
㜰⸷ܣܱܲ
tܱܲ
ʹܣ㌳ܱܲܣܱܲ
ʹܣ㌳ܱܲ
ܣܱܲ
ʹܣ㌳
㜰⸷ܣܱܲ
ʹ tܱܲ
ʹ t ㌳ܱܲ
ܣܱܲ
ʹܣ㌳
㜰⸷t
㌳ܱܲ
ܣܱܲ
ʹܣ㌳，
∵
㌳ܱܲ
ܣܱܲ
ʹܣ㌳൐Ͳ，
∴要使ܲ
ᦙtܲ
ܤ的值最小，则
㌳ܱܲ
ܣܱܲ
ʹܣ㌳要最大，
∴ܱܲܣܱܲ
ʹܣ㌳要有最小值，
又∵ܱܲ
ʹܣ㌳的值随着ܱܲ
的值增大而增大，
∴ܱܲܣܱܲ
ʹܣ㌳的值随着ܱܲ
的值增大而增大，
∴当ܱܲ
有最小值时，ܱܲܣܱܲ
ʹܣ㌳有最小值，即此时
㌳ܱܲ
ܣܱܲ
ʹܣ㌳有最大值，
∴当ܱܲ
有最小值时，ܲᦙtܲ
ܤ有最小值；
如图所示，过点B 作ܤܪ٣ ᦙܦ于H，ܤܶ
٣ ܨܧ于T，
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∵ܵ菱形ᦙܤ䁡ܦ㜰
ͳ
ʹ ᦙ䁡ڄ ܤܦ㜰ᦙܦڄ ܤܪ，
∴ܤܪ㜰
ͳ
ʹᦙ䁡ڄܤܦ
ᦙܦ
㜰
ͳ
ʹൈ͸ൈൌ
ͷ
㜰
ʹ⸷
ͷ ，
∴由轴对称的性质可得ܤܶ
㜰ܤܪ㜰
ʹ⸷
ͷ ，
在Rt ᇞܱܲ
ܤ中，由勾股定理得ܱܲ
㜰ܲ
ܤʹ tܱ
ܤʹ 㜰ܲ
ܤʹ t ͵ʹ，
∴当ܲ
ܤ有最小值时，ܱܲ
有最小值，
由垂线段最短可知ܤܲ
൒ܤܶ
㜰
ʹ⸷
ͷ ，
∴当点P 与点T 重合时，ܤܲ
有最小值，最小值为
ʹ⸷
ͷ ，
∴ܱܲ
最小值㜰
ʹ⸷
ͷ
ʹ
t ͵ʹ 㜰
͵ ͵㌳
ͷ ，
∴ܲ
ᦙtܲ
ܤ最小值㜰⸷t
㌳
͵ ͵㌳
ͷܣʹ⸷
ͷ
㜰
͵ ͵㌳t⸷
ͷ
．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板ᦙܤ䁡和ܦܧܨ中，ס䁡㜰סܦ㜰㌳Ͳι，סܤ㜰͵Ͳι，סܧ㜰⸷ͷι，ܤ䁡㜰
ܧܨ㜰ͳʹ．将它们叠合在一起，边ܤ䁡与ܧܨ重合，䁡ܦ与ᦙܤ相交于点G（如图1），此时线段䁡ܩ的长是
___________，现将ᇞܦܧܨ绕点䁡ᦙܨሻ按顺时针方向旋转（如图2），边ܧܨ与ᦙܤ相交于点H，连结ܦܪ，在
旋转Ͳι到͸Ͳι的过程中，线段ܦܪ扫过的面积是___________．
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【答案】
͸ ͸ t ͸ ʹ
ͳʹߨt ͳൌ͵ͳܣൌ
【分析】如图1，过点G 作ܩܪ٣ ܤ䁡于H，根据含͵Ͳι直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得
出ܤܪ㜰
͵ܩܪ，ܩܪ㜰䁡ܪ，然后由ܤ䁡㜰ͳʹ 可求出ܩܪ的长，进而可得线段䁡ܩ的长；如图2，将ᇞܦܧܨ
绕点C 顺时针旋转͸Ͳι得到ᇞܦͳܧͳܨ，ܨܧͳ与ᦙܤ交于ܩͳ，连接ܦͳܦ，ᦙܦͳ，ᇞܦʹܧʹܨ是ᇞܦܧܨ旋转Ͳι到͸Ͳι
的过程中任意位置，作ܦܰ
٣ 䁡ܦͳ于N，过点B 作ܤܯ٣ ܦͳܦ交ܦͳܦ的延长线于M，首先证明ᇞ䁡ܦܦͳ是等
边三角形，点ܦͳ在直线ᦙܤ上，然后可得线段ܦܪ扫过的面积是弓形ܦͳܦʹܦ的面积加上ᇞܦͳܦܤ的面积，求
出ܦܰ
和ܤܯ，然后根据线段ܦܪ扫过的面积㜰ܵ
弓形ܦͳܦʹܦܣܵ
ᇞܦͳܦܤ㜰ܵ
扇形䁡ܦͳܦtܵ
ᇞ䁡ܦͳܦܣܵ
ᇞܦͳܦܤ列式计算
即可．
【详解】解：如图1，过点G 作ܩܪ٣ ܤ䁡于H，
∵סᦙܤ䁡㜰͵Ͳι，סܦܧܨ㜰סܦܨܧ㜰⸷ͷι，סܩܪܤ㜰סܩܪ䁡㜰㌳Ͳι，
∴ܤܪ㜰
͵ܩܪ，ܩܪ㜰䁡ܪ，
∵ܤ䁡㜰ܤܪܣ䁡ܪ㜰
͵ܩܪܪܩܣ㜰ͳʹ，
∴ܩܪ㜰͸ ͵ t ͸，
∴䁡ܩ㜰
ʹܩܪ㜰
ʹ ൈ͸ ͵ t ͸ 㜰͸ ͸ t ͸ ʹ；
如图2，将ᇞܦܧܨ绕点C 顺时针旋转͸Ͳι得到ᇞܦͳܧͳܨ，ܨܧͳ与ᦙܤ交于ܩͳ，连接ܦͳܦ，
由旋转的性质得：סܧͳ䁡ܤ㜰סܦ䁡ܦͳ 㜰͸Ͳι，䁡ܦ㜰䁡ܦͳ，
∴ᇞ䁡ܦܦͳ是等边三角形，
∵סᦙܤ䁡㜰͵Ͳι，
∴ס䁡ܩͳܤ㜰㌳Ͳι，
∴䁡ܩͳ 㜰
ͳ
ʹ ܤ䁡，
∵䁡ܧͳ 㜰ܤ䁡，
∴䁡ܩͳ 㜰
ͳ
ʹ 䁡ܧͳ，即ᦙܤ垂直平分䁡ܧͳ，
∵ᇞ䁡ܦͳܧͳ是等腰直角三角形，
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∴点ܦͳ在直线ᦙܤ上，
连接ᦙܦͳ，ᇞܦʹܧʹܨ是ᇞܦܧܨ旋转Ͳι到͸Ͳι的过程中任意位置，
则线段ܦܪ扫过的面积是弓形ܦͳܦʹܦ的面积加上ᇞܦͳܦܤ的面积，
∵ܤ䁡㜰ܧܨ㜰ͳʹ，
∴ܦ䁡㜰ܦܤ㜰
ʹ
ʹ ܤ䁡㜰͸ ʹ，
∴ܦͳ䁡㜰ܦͳܦ㜰͸ ʹ，
作ܦܰ
٣ 䁡ܦͳ于N，则ܰ
ܦͳ 㜰ܰ
䁡㜰͵ ʹ，
∴ܦܰ
㜰
ܦͳܦʹ tܰ
ܦͳ
ʹ 㜰
͸ ʹ
ʹ t ͵ ʹ
ʹ 㜰͵ ͸，
过点B 作ܤܯ٣ ܦͳܦ交ܦͳܦ的延长线于M，则סܯ㜰㌳Ͳι，
∵סܦͳܦ䁡㜰͸Ͳι，ס䁡ܦܤ㜰㌳Ͳι，
∴סܤܦܯ㜰ͳൌͲι t סܦͳܦ䁡t ס䁡ܦܤ㜰͵Ͳι，
∴ܤܯ㜰
ͳ
ʹ ܤܦ㜰͵ ʹ，
∴线段ܦܪ扫过的面积㜰ܵ
弓形ܦͳܦʹܦܣܵ
ᇞܦͳܦܤ，
㜰ܵ
扇形䁡ܦͳܦtܵ
ᇞ䁡ܦͳܦܣܵ
ᇞܦͳܦܤ，
㜰
͸Ͳߨڄ ͸ ʹ
ʹ
͵͸Ͳ
t
ͳ
ʹ ൈ͸ ʹ ൈ͵ ͸ܣ
ͳ
ʹ ൈ͸ ʹ ൈ͵ ʹ，
㜰ͳʹߨt ͳൌ͵ͳܣൌ，
故答案为：͸ ͸ t ͸ ʹ，ͳʹߨt ͳൌ͵ͳܣൌ．
4．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，ᦙܤ㜰ͳͲ，点䁡在射线ܤܳ
上的动点，连接ᦙ䁡，作䁡ܦ٣ ᦙ䁡，䁡ܦ㜰ᦙ䁡，
动点ܧ在ᦙܤ延长线上，tanסܳܤܧ㜰͵，连接䁡ܧ，ܦܧ，当䁡ܧ㜰ܦܧ，䁡ܧ٣ ܦܧ时，ܤܧ的长是______．
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【答案】
͵ͷ
⸷
【分析】过点C 作CN⊥BE 于N，过点D 作DM⊥CN 延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN =3x，
由△ACN≌△CDM 可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由点C、M、D、E 四点共圆可得△NME 是等腰直角
三角形，于是NE=10-2x，由勾股定理求得AC 可得CE，在Rt△CNE 中由勾股定理建立方程求得x，进而可
得BE；
【详解】解：如图，过点C 作CN⊥BE 于N，过点D 作DM⊥CN 延长线于M，连接EM，
设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x，
∵△CAD，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，
∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM，
在△ACN 和△CDM 中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，
∴△ACN≌△CDM（AAS），
∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，
∵∠CMD=∠CED=90°，
∴点C、M、D、E 四点共圆，
∴∠CME=∠CDE=45°，
∵∠ENM=90°，
∴△NME 是等腰直角三角形，
∴NE=NM=CM-CN=10-2x，
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Rt△ANC 中，AC= ᦙܰ
ʹܣ䁡ܰ
ʹ 㜰
ͳͲ힪ܣʹܣ͵힪ʹ，
Rt△ECD 中，CD=AC，CE=
ʹ
ʹ CD，
Rt△CNE 中，CE2=CN2+NE2，
∴
ͳ
ʹ
ͳͲ힪ܣʹܣ͵힪ʹ 㜰͵힪ʹܣͳͲ t ʹ힪ʹ，
⸷힪ʹ t ʹͷ힪ͷʹܣ㜰Ͳ，
⸷힪t ͷ
힪t ͷ 㜰Ͳ，
x=5（舍去）或x=
ͷ
⸷，
∵BE=BN+NE=x+10-2x=10-x，
∴BE=
͵ͷ
⸷；
故答案为：
͵ͷ
⸷；
5．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܤ㜰͸，ܤ䁡㜰ൌ，动点ܧ从点ᦙ出发，沿边ᦙܦ，
ܦ䁡向点䁡运动，ᦙ，ܦ关于直线ܤܧ的对称点分别为ܯ，ܰ，连结ܯܰ．
(1)如图，当ܧ在边ᦙܦ上且ܦܧ㜰ʹ 时，求סᦙܧܯ的度数．
(2)当ܰ
在ܤ䁡延长线上时，求ܦܧ的长，并判断直线ܯܰ
与直线ܤܦ的位置关系，说明理由．
(3)当直线ܯܰ
恰好经过点䁡时，求ܦܧ的长．
【答案】(1)∠AEM＝90°；
(2)
如图1，
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∵AB=6，AD=8，
∴由勾股定理得BD=10，
∵当N 落在BC 延长线上时，BN＝BD＝10，
∴CN＝2．
由对称性得，∠ENC＝∠BDC，
∴cos∠ENC＝
ʹ
ܧܰ
㜰
͸
ͳͲ，
∴EN＝
ͳͲ
͵ ，
∴DE＝EN＝
ͳͲ
͵ ；
直线MN 与直线BD 的位置关系是MN∥BD．
由对称性知BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，
又∵BN＝BD，
∴△BMN≌△DCB（SSS），
∴∠DBC＝∠BNM，
所以MN∥BD；
(3)DE 的长为ʹ ͹或
ൌ͹tͳ⸷
͵
．
【分析】（1）由DE＝2 知，AE＝AB＝6，可知∠AEB＝∠MEB＝45°，从而得出答案；
（2）根据对称性得，∠ENC＝∠BDC，则cos∠ENC＝
ʹ
ܧܰ
㜰
͸
ͳͲ，得EN＝
ͳͲ
͵ ，利用SSS 证明△BMN≌△DCB，
得∠DBC＝∠BNM，则MN∥BD；
（3）当点E 在边AD 上时，若直线MN 过点C，利用AAS 证明△BCM≌△CED，得DE＝MC；当点E
在边CD 上时，证明△BMC∽△CNE，可得
ܤܯ
䁡ܰ
㜰
ܯ䁡
ܧܰ，从而解决问题．
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【详解】（1）解：∵DE=2，
∴AE＝AB＝6，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
由对称性知∠BEM＝45°，
∴∠AEM=∠AEB+∠BEM＝90°；
（2）略
（3）①情况1：如图2，当E 在边AD 上时，直线MN 过点C，
∴∠BMC＝90°，
∴MC＝ܤ䁡ʹ t ܤܯʹ 㜰ʹ ͹．
∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，∠BMC＝∠EDC＝90°，
∴△BCM≌△CED（AAS），
∴DE＝MC＝ʹ ͹；
②情况2：如图3，点E 在边CD 上时，
∵BM＝6，BC＝8，
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∴MC＝ʹ ͹，CN＝8-ʹ ͹，
∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，
∴∠BCM＋∠ECN＝90°，
∵∠BCM＋∠MBC＝90°，
∴∠ECN＝∠MBC，
∴△BMC∽△CNE，
∴
ܤܯ
䁡ܰ
㜰
ܯ䁡
ܧܰ，
∴EN㜰
ܯ䁡ڄ䁡ܰ
ܤܯ
㜰
ൌ͹tͳ⸷
͵
，
∴DE＝EN＝
ൌ͹tͳ⸷
͵
．
综上所述，DE 的长为ʹ ͹或
ൌ͹tͳ⸷
͵
．
考点02
四边形背景下的几何综合
1．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在ܴ
ݐᇞᦙܤ䁡中，סᦙ䁡ܤ㜰㌳Ͳι，以其三边为边向外作正方形，连结䁡ܨ，
作ܩܯ٣ 䁡ܨ于点M，ܤܬ٣ ܩܯ于点J，ᦙܭ٣ ܤܬ于点K，交䁡ܨ于点L．若正方形ᦙܤܩܨ与正方形ܬܭ方ܯ的
面积之比为5，䁡ܧ㜰
ͳͲܣʹ，则䁡ܪ的长为（
）
A．ͷ
B．
͵ܣͷ
ʹ
C．ʹ ʹ
D．ͳͲ
【答案】C
【分析】设CF 交AB 于P，过C 作CN⊥AB 于N，设正方形JKLM 边长为m，根据正方形ABGF 与正
方形JKLM 的面积之比为5，得AF=AB= ͷm，证明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL=FM，设AL=FM=x，
在Rt△AFL 中，x2+（x+m）2=（ͷm）2，可解得x=m，有AL=FM=m，FL=2m，从而可得AP=
ͷ݉
ʹ ，FP=
ͷ
ʹm，
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BP=
ͷ݉
ʹ ，即知P 为AB 中点，CP=AP=BP=
ͷ݉
ʹ ，由△CPN∽△FPA，得CN=m，PN=
ͳ
ʹm，即得AN=
ͷͳܣ
ʹ m，
而tan∠BAC=
ܤ䁡
ᦙ䁡㜰
䁡ܰ
ᦙܰ
㜰
ʹ
ͷͳܣ，又△AEC∽△BCH，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设CF 交AB 于P，过C 作CN⊥AB 于N，如图：
设正方形JKLM 边长为m，
∴正方形JKLM 面积为m2，
∵正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，
∴正方形ABGF 的面积为5m2，
∴AF=AB= ͷm，
由已知可得：∠AFL=90°-∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF，
∴△AFL≌△FGM（AAS），
∴AL=FM，
设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m，
在Rt△AFL 中，AL2+FL2=AF2，
∴x2+（x+m）2=（ͷm）2，
解得x=m 或x=-2m（舍去），
∴AL=FM=m，FL=2m，
׶ tanסᦙܨ方㜰ᦙܲ
ᦙܨ㜰ᦙ方
ܨ方㜰݉ʹ݉
㜰ͳ
ʹ 䁠
׵ ᦙܲ
ͷ݉
㜰ͳ
ʹ 䁠
׵AP=
ͷ݉
ʹ ，
׵ ܨܲ
㜰
ᦙܲ
ʹܣᦙܨʹ 㜰
ᦙ
ͷ݉
ʹ
ሻʹܣᦙͷ݉
ሻʹ 㜰ͷ
ʹ݉
䁠ܤܲ
㜰ᦙܤt ᦙܲ
㜰
ͷ݉
t
ͷ݉
ʹ
㜰
ͷ݉
ʹ
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∴AP=BP，即P 为AB 中点，
∵∠ACB=90°，
∴CP=AP=BP=
ͷ݉
ʹ
∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP，
∴△CPN∽△FPA，
׵
䁡ܲ
ܨܲ㜰
䁡ܰ
ᦙܨ㜰ܲܰᦙܲ䁠即
ͷ݉
ʹ
ͷ
ʹ݉
㜰
䁡ܰ
ͷ݉
㜰ܲܰ
ͷ݉
ʹ
∴CN=m，PN=
ͳ
ʹm，
∴AN=AP+PN=
ͷͳܣ
ʹ݉
׵tan∠BAC=
ܤ䁡
ᦙ䁡㜰
䁡ܰ
ᦙܰ
㜰
ʹ
ͷͳܣ，
∵△AEC 和△BCH 是等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH，
׵ ܤ䁡
ᦙ䁡㜰䁡ܪ
䁡ܧ䁠
׶ 䁡ܧ㜰
ͳͲܣʹ䁠
׵
ʹ
ͷͳܣ
㜰
䁡ܪ
ͳͲܣʹ
׵ 䁡ܪ㜰ʹ ʹ䁠
故选：C．
2．（2022·浙江杭州·中考真题）在正方形ABCD 中，点M 是边AB 的中点，点E 在线段AM 上（不与点A
重合），点F 在边BC 上，且ᦙܧ㜰ʹܤܨ，连接EF，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH．
(1)如图1，若ᦙܤ㜰⸷，当点E 与点M 重合时，求正方形EFGH 的面积，
(2)如图2，已知直线HG 分别与边AD，BC 交于点I，J，射线EH 与射线AD 交于点K．
①求证：ܧܭ㜰ʹܧܪ；
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②设סᦙܧܭ㜰ߙ，ᇞܨܩܬ和四边形AEHI 的面积分别为ܵͳ，ܵʹ．求证：ܵʹܵ
ͳ 㜰⸷sinʹߙt ͳ．
【答案】(1)5
(2)
①证明：由题意知סܭᦙܧ㜰סܤ㜰㌳Ͳι，
∴סܧܨܤܣסܨܧܤ㜰㌳Ͳι，
∵四边形EFGH 是正方形，
∴סܪܧܨ㜰㌳Ͳι，
∴סܭܧᦙܣסܨܧܤ㜰㌳Ͳι，
∴סܭܧᦙ㜰סܧܨܤ，
∴ᇞܭܧᦙ∽ᇞܧܨܤ，
∴
ܭܧ
ܧܨ㜰
ᦙܧ
ܤܨ㜰ʹ．
∴ܧܭ㜰ʹܧܨ㜰ʹܧܪ．
②证明：由①得ܪܭ㜰ܪܧ㜰ܩܨ，
又∵סܭܪ䁡㜰סܨܩܬ㜰㌳Ͳι，סܭ䁡ܪ㜰סܨܬܩ，
∴ᇞܭܪ䁡≌ᇞܨܩܬ，
设ᇞܭܪ䁡的面积为ܵͳ．
∵∠K=∠K，∠KHI=∠A=90°，
∴ᇞܭܪ䁡∽ᇞܭᦙܧ，
∴ܵͳܣܵʹܵ
ͳ
㜰
ܭᦙ
ܭܪ
ʹ
㜰
ܭᦙ
ͳ
ʹܭܧ
ʹ
㜰
⸷ܭᦙʹ
ܭܧʹ 㜰⸷sinʹߙ，
∴ܵʹܵ
ͳ 㜰⸷sinʹߙt ͳ．
【分析】（1）由中点定义可得ᦙܧ㜰ܤܧ㜰ʹ，从而可求ܤܨ㜰ͳ，然后根据勾股定理和正方形的面积公
式可求正方形EFGH 的面积；
（2）①根据余角的性质可证סܭܧᦙ㜰סܧܨܤ，进而可证ᇞܭܧᦙ∽ᇞܧܨܤ，然后利用相似三角形的性质和
等量代换可证结论成立；
②先证明ᇞܭܪ䁡≌ᇞܨܩܬ，再证明ᇞܭܪ䁡∽ᇞܭᦙܧ，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义整理
可得结论．
【详解】（1）解：∵ᦙܤ㜰⸷，点M 是边AB 的中点，
∴ᦙܧ㜰ܤܧ㜰ʹ，
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∵ᦙܧ㜰ʹܤܨ，
∴ܤܨ㜰ͳ，
由勾股定理，得
ܧܨʹ 㜰ܤܧʹܤܣܨʹ 㜰ͷ，
∴正方形EFGH 的面积为5．
（2）解：①略
②略
3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形ᦙܤ䁡ܦ中，点F，H 分别在边ᦙܦ，ᦙܤ上，连结ᦙ䁡，ܨܪ
交于点E，已知䁡ܨ㜰䁡ܪ．
(1)线段ᦙ䁡与ܨܪ垂直吗？请说明理由．
(2)如图2，过点A，H，F 的圆交䁡ܨ于点P，连结ܲ
ܪ交ᦙ䁡于点K．求证：
ܭܪ
䁡ܪ㜰
ᦙܭ
ᦙ䁡．
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K 是线段ᦙ䁡的中点时，求
䁡ܲܲ
ܨ的值．
【答案】(1)ᦙ䁡٣ ܨܪ，
证明：∵四边形ᦙܤ䁡ܦ是正方形，
∴䁡ܦ㜰䁡ܤ，סܦ㜰סܤ㜰㌳Ͳι，
又∵䁡ܨ㜰䁡ܪ，
∴Rt ᇞ䁡ܦܨ≌Rt ᇞ䁡ܤܪ（HL），
∴סܦ䁡ܨ㜰סܤ䁡ܪ．
又∵סܦ䁡ᦙ㜰סܤ䁡ᦙ㜰⸷ͷι，
∴סܨ䁡ᦙ㜰סܪ䁡ᦙ．
∵䁡ܨ㜰䁡ܪ
∴△CFH 是等腰三角形，
∴ᦙ䁡٣ ܨܪ．
(2)
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证明：如图1，过点K 作ܭܩ٣ ᦙܤ于点G．
∵䁡ܤ٣ ᦙܤ，
∴ܭܩצ 䁡ܤ．
∴ᇞᦙܭܩ∽ᇞᦙ䁡ܤ，
∴
ᦙܭ
ᦙ䁡㜰
ܭܩ
䁡ܤ．
∵סܲܪᦙ㜰סܦܨ䁡，סܦܨ䁡㜰ס䁡ܪܤ，
∴סܭܪܩ㜰ס䁡ܪܤ．
∴ᇞܭܪܩ∽ᇞ䁡ܪܤ，
∴
ܭܪ
䁡ܪ㜰
ܭܩ
䁡ܤ，
∴
ᦙܭ
ᦙ䁡㜰
ܭܪ
䁡ܪ．
(3)
䁡ܲܲ
ܨ㜰
͵
ʹ
【分析】（1）证明Rt ᇞ䁡ܦܨ≌Rt ᇞ䁡ܤܪ（HL），得到סܦ䁡ܨ㜰סܤ䁡ܪ，进一步得到סܨ䁡ᦙ㜰סܪ䁡ᦙ，由
△CFH 是等腰三角形，结论得证；
（2）过点K 作ܭܩ٣ ᦙܤ于点G．先证△AKG∽△ACB，得
ᦙܭ
ᦙ䁡㜰
ܭܩ
䁡ܤ，证△KHG∽CHB 可得
ܭܪ
䁡ܪ㜰
ܭܩ
䁡ܤ，结
论得证；
（3）过点K 作ܭܩ٣ ᦙܤ点G．求得
ܩܪ
ܤܪ㜰
ͳ
ʹ，设ܩܪ㜰⸶，ܤܪ㜰ʹ⸶，则KG＝AG＝GB＝3a，则䁡ܪ㜰䁡ܨ＝
ܤܪʹܤܣ䁡ʹ㜰ʹ ͳͲ⸶，勾股定理得ܨܪ㜰
ᦙܪʹܣᦙܨʹ㜰⸷ʹ⸶，ܧܪ㜰ʹ ʹ⸶，由ᇞܨܲܪ∽ᇞܪܧ䁡得ܲ
ܨ
ܧܪ㜰
ܨܪ
䁡ܪ，
得ܲ
ܨ㜰
⸷ͳͲ
ͷ
⸶，䁡ܲ
㜰
͸ ͳͲ
ͷ
⸶，即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图2，过点K 作ܭܩ٣ ᦙܤ点G．
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∵点K 为ᦙ䁡中点：
由（2）得
ܭܪ
䁡ܪ㜰
ᦙܭ
ᦙ䁡㜰
ͳ
ʹ，
∴
ܩܪ
ܤܪ㜰
ܭܪ
䁡ܪ㜰
ͳ
ʹ，
设ܩܪ㜰⸶，ܤܪ㜰ʹ⸶，则ܭܩ㜰ᦙܩ㜰ܩܤ㜰͵⸶，
∴䁡ܤ㜰ᦙܤ㜰͸⸶，ᦙܪ㜰⸷⸶，
∴䁡ܪ㜰䁡ܨ＝ܤܪʹܤܣ䁡ʹ㜰ʹ ͳͲ⸶，
∵ᦙܨ㜰ᦙܪ，
∴ܨܪ㜰
ᦙܪʹܣᦙܨʹ㜰⸷ʹ⸶，ܧܪ㜰ʹ ʹ⸶，
∵סܨܲܪܣסܨᦙܪ㜰ͳൌͲι，
∴סܨܲܪ㜰㌳Ͳι 㜰ס䁡ܧܪ，
又∵ס䁡ܪܧ㜰סܲܨܪ，
∴ᇞܨܲܪ∽ᇞܪܧ䁡，
∴ܲ
ܨ
ܧܪ㜰
ܨܪ
䁡ܪ．
∴ܲܨ㜰
⸷ͳͲ
ͷ
⸶，
∴䁡ܲ
㜰䁡ܨtܲ
ܨ㜰
͸ ͳͲ
ͷ
⸶，
∴
䁡ܲܲ
ܨ㜰
͵
ʹ．
4．
（2022·浙江金华·中考真题）如图，在菱形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܤ㜰ͳͲ䁠sinܤ㜰
͵
ͷ，点E 从点B 出发沿折线ܤt 䁡t ܦ
向终点D 运动．过点E 作点E 所在的边（ܤ䁡或䁡ܦ）的垂线，交菱形其它的边于点F，在ܧܨ的右侧作矩
形ܧܨܩܪ．
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(1)如图1，点G 在ᦙ䁡上．求证：ܨᦙ㜰ܨܩ．
(2)若ܧܨ㜰ܨܩ，当ܧܨ过ᦙ䁡中点时，求ᦙܩ的长．
(3)已知ܨܩ㜰ൌ，设点E 的运动路程为s．当s 满足什么条件时，以G，C，H 为顶点的三角形与ᇞܤܧܨ相似
（包括全等）？
【答案】(1)
证明：如图1，
∵四边形ᦙܤ䁡ܦ是菱形，
∴ܤᦙ㜰ܤ䁡，
∴סܤᦙ䁡㜰סܤ䁡ᦙ．
∵FGצBC，
∴סܨܩᦙ㜰סܤ䁡ᦙ，
∴סܤᦙ䁡㜰סܨܩᦙ，
∴△AFG 是等腰三角形，
∴ܨᦙ㜰ܨܩ．
(2)ᦙܩ㜰͹ 或5
(3)ݏ㜰ͳ 或ݏ㜰
͵ʹ
ʹͷ或ݏ㜰
͵ʹ
͹ 或ͳͲ ൑ݏ൑ͳʹ
【分析】（1）证明△AFG 是等腰三角形即可得到答案；
（2）记ᦙ䁡中点为点O．分点E 在ܤ䁡上和点E 在䁡ܦ上两种情况进行求解即可；
（3）过点A 作ᦙܯ٣ ܤ䁡于点M，作ᦙܰ
٣ 䁡ܦ于点N．分点E 在线段ܤܯ上时，点E 在线段ܯ䁡上时，
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点E 在线段䁡ܰ
上，点E 在线段ܰ
ܦ上，共四钟情况分别求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：记ᦙ䁡中点为点O．
①当点E 在ܤ䁡上时，如图2，过点A 作ᦙܯ٣ ܤ䁡于点M，
∵在ܴ
ݐᇞᦙܤܯ中，ᦙܯ㜰
͵
ͷ ᦙܤ㜰͸，
∴ܤܯ㜰
ᦙܤʹ t ᦙܯʹ 㜰
ͳͲʹ t ͸ʹ 㜰ൌ．
∴ܨܩ㜰ܧܨ㜰ᦙܯ㜰͸䁠䁡ܯ㜰ܤ䁡t ܤܯ㜰ʹ，
∵ܱᦙ㜰ܱ
䁡䁠ܱܧצ ᦙܯ，
∴䁡ܧ㜰ܯܧ㜰
ͳ
ʹ 䁡ܯ㜰
ͳ
ʹ ൈʹ 㜰ͳ，
∴ᦙܨ㜰ܯܧ㜰ͳ，
∴ᦙܩ㜰ᦙܨܩܨܣ㜰ͳ͸ܣ㜰͹．
②当点E 在䁡ܦ上时，如图3，
过点A 作ᦙܰ
٣ 䁡ܦ于点N．
同理，ܨܩ㜰ܧܨ㜰ᦙܰ
㜰͸䁠䁡ܰ
㜰ʹ，
ᦙܨ㜰ܰ
ܧ㜰
ͳ
ʹ 䁡ܰ
㜰ͳ，
∴ᦙܩ㜰ܨܩt ᦙܨ㜰͸ t ͳ 㜰ͷ．
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∴ᦙܩ㜰͹ 或5．
（3）解：过点A 作ᦙܯ٣ ܤ䁡于点M，作ᦙܰ
٣ 䁡ܦ于点N．
①当点E 在线段ܤܯ上时，Ͳ 时ݏ൑ൌ．设ܧܨ㜰͵힪，则ܤܧ㜰⸷힪䁠ܩܪ㜰ܧܨ㜰͵힪，
ⅰ）若点H 在点C 的左侧，ݏܣൌ൑ͳͲ，即Ͳ 时ݏ൑ʹ，如图4，
䁡ܪ㜰ܤ䁡t ܤܪ㜰ͳͲ t ᦙ⸷힪ܣൌሻ㜰ʹ t ⸷힪．
∵ᇞܩܪ䁡∽ᇞܨܧܤ，
∴
ܩܪ
ܧܨ㜰
䁡ܪ
ܤܧ，
∴
ܩܪ
䁡ܪ㜰
ܧܨ
ܤܧ，
∴
͵힪
ʹt⸷힪㜰
͵
⸷，
解得힪㜰
ͳ
⸷，
经检验，힪㜰
ͳ
⸷是方程的根，
∴ݏ㜰⸷힪㜰ͳ．
∵ᇞܩܪ䁡∽ᇞܤܧܨ，
∴
ܩܪ
ܤܧ㜰
䁡ܪ
ܧܨ，
∴
ܩܪ
䁡ܪ㜰
ܤܧ
ܧܨ，
∴
͵힪
ʹt⸷힪㜰
⸷
͵，
解得힪㜰
ൌ
ʹͷ，
经检验，힪㜰
ൌ
ʹͷ是方程的根，
∴ݏ㜰⸷힪㜰
͵ʹ
ʹͷ．
ⅱ）若点H 在点C 的右侧，ݏܣൌ൐ͳͲ，即ʹ 时ݏ൑ൌ，如图5，
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䁡ܪ㜰ܤܪt ܤ䁡㜰ᦙ⸷힪ܣൌሻt ͳͲ 㜰⸷힪t ʹ．
∵ᇞܩܪ䁡∽ᇞܨܧܤ，
∴
ܩܪ
ܧܨ㜰
䁡ܪ
ܤܧ，
∴
ܩܪ
䁡ܪ㜰
ܧܨ
ܤܧ，
∴
͵힪
⸷힪tʹ 㜰
͵
⸷，
此方程无解．
∵ᇞܩܪ䁡∽ᇞܤܧܨ，
∴
ܩܪ
ܤܧ㜰
䁡ܪ
ܧܨ，
∴
ܩܪ
䁡ܪ㜰
ܤܧ
ܧܨ，
∴
͵힪
⸷힪tʹ 㜰
⸷
͵，
解得힪㜰
ൌ
͹，
经检验，힪㜰
ൌ
͹是方程的根，
∴ݏ㜰⸷힪㜰
͵ʹ
͹ ．
②当点E 在线段ܯ䁡上时，ൌ时ݏ൑ͳͲ，如图6，ܧܨ㜰͸䁠ܧܪ㜰ൌ䁠ܤܧ㜰ݏ．
∴ܤܪ㜰ܤܧܪܧܣ㜰ݏܣൌ䁠䁡ܪ㜰ܤܪt ܤ䁡㜰ݏt ʹ．
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∵ᇞܩܪ䁡∽ᇞܨܧܤ，
∴
ܩܪ
ܧܨ㜰
䁡ܪ
ܤܧ，
∴
ܩܪ
䁡ܪ㜰
ܧܨ
ܤܧ，
∴
͸
ݏtʹ 㜰
͸
ݏ，
此方程无解．
∵ᇞܩܪ䁡∽ᇞܤܧܨ，
∴
ܩܪ
ܤܧ㜰
䁡ܪ
ܧܨ，
∴
ܩܪ
䁡ܪ㜰
ܤܧ
ܧܨ，
∴
͸
ݏtʹ 㜰
ݏ
͸，
解得ݏ㜰ͳ േ
͵͹，
经检验，ݏ㜰ͳ േ
͵͹是方程的根，
∵ൌ时ݏ൑ͳͲ，
∴ݏ㜰ͳ േ
͵͹不合题意，舍去；
③当点E 在线段䁡ܰ
上时，ͳͲ ൑ݏ൑ͳʹ，如图7，过点C 作䁡ܬ٣ ᦙܤ于点J，
在ܴ
ݐᇞܤܬ䁡中，ܤ䁡㜰ͳͲ䁠䁡ܬ㜰͸䁠ܤܬ㜰ൌ．
ܧܪ㜰ܤܬ㜰ൌ䁠ܬܨ㜰䁡ܧ，
∴ܤܬܨܬܣ㜰ܧܪܣ䁡ܧ，
∴䁡ܪ㜰ܤܨ，
∵ܩܪ㜰ܧܨ䁠סܩܪ䁡㜰סܧܨܤ㜰㌳Ͳι，
∴ᇞܩܪ䁡≌ᇞܧܨܤ，符合题意，
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此时，ͳͲ ൑ݏ൑ͳʹ．
④当点E 在线段ܰ
ܦ上时，ͳʹ 时ݏ时ʹͲ，
∵סܧܨܤ൐㌳Ͳι，
∴ᇞܩܪ䁡与ᇞܤܧܨ不相似．
综上所述，s 满足的条件为：ݏ㜰ͳ 或ݏ㜰
͵ʹ
ʹͷ或ݏ㜰
͵ʹ
͹ 或ͳͲ ൑ݏ൑ͳʹ．
考点03
圆背景下的几何综合
1．（2026·浙江·中考真题）如图1，ᇞᦙܤ䁡内接于ٖܱ
，ܦ是直径ᦙܤ上的一点，满足ᦙ䁡㜰ᦙܦ，连接䁡ܦ
并延长交ٖܱ
于点ܧ，连接ܤܧ，点ܨ在弦ܤ䁡上，且ܤܨ㜰ܦܧ．过点ܨ作ܨܩ٣ 䁡ܧ，交ᦙܤ于点ܩ，交䁡ܦ
于点ܪ．设ס䁡ᦙܤ㜰ߙ．
(1)用含ߙ的代数式表示סᦙܤܧ和סܨܩܤ的大小；
(2)如图1，若䁡ܨ㜰䁡ܦ，求证：ܩܨ㜰ܩܱ；
(3)如图3，若ٖܱ
的半径为1，点ܦ在ܱ
ܤ上，且ܱ
ܦ㜰ʹᦙܩ，求ᦙ䁡的长．
【答案】(1)㌳Ͳι t
ͳ
ʹ ߙ；
ͳ
ʹ ߙ；
(2)证明：如图，连接ܱ
ܨ䁠ܱܧ，
∵ס䁡ܧܤ䁠ס䁡ᦙܤ为䁡ܤ
෼
所对的圆周角，
∴ס䁡ܧܤ㜰ס䁡ᦙܤ㜰ߙ，
∵ᦙܤ为直径，
∴סᦙ䁡ܤ㜰㌳Ͳι，
∴סᦙܤ䁡㜰㌳Ͳι t ߙ，
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∵סܧܤܦ㜰סᦙ䁡ܦ㜰㌳Ͳι t
ͳ
ʹ ߙ，
∴ס䁡ܤܧ㜰סᦙܤ䁡ܣסܧܤܦ㜰㌳Ͳι t ߙܣ㌳Ͳι t
ͳ
ʹ ߙ㜰ͳൌͲι t
͵
ʹ ߙ，
∵䁡ܦ㜰䁡ܨ，ܤܨ㜰ܦܧ，
∴䁡ܧ㜰䁡ܤ，
∴ס䁡ܧܤ㜰ס䁡ܤܧ㜰ͳൌͲι t
͵
ʹ ߙ，
同理：ס䁡ᦙܤ㜰ס䁡ܧܤ，
∴ߙ㜰ͳൌͲι t
͵
ʹ ߙ，
解得：ߙ㜰͹ʹι，
∴ס䁡ᦙܤ㜰ס䁡ܧܤ㜰ס䁡ܤܧ㜰͹ʹι，
∴סܤ䁡ܦ㜰ͳൌͲι t ͹ʹι t ͹ʹι 㜰͵͸ι，סܨܩܤ㜰
ͳ
ʹ ߙ㜰͵͸ι，
∴סܤܱܧ㜰ʹסܤ䁡ܦ㜰͹ʹι，
∵ܱܤ㜰ܱ
ܧ，
∴סܱܤܧ㜰סܱܧܤ㜰ͷ⸷ι，
∴סܱܧܦ㜰סܱܤܨ㜰͹ʹι t ͷ⸷ι 㜰ͳൌι，
∴ᇞܱ
ܧܦ≌ᇞܱ
ܤܨSAS ，
∴סܱܨܤ㜰סܱܦܧ㜰סᦙܦ䁡㜰סᦙ䁡ܦ㜰㌳Ͳι t
ͳ
ʹ ߙ㜰ͷ⸷ι，סܦܱܧ㜰סܤܱܨ，
∵סܦܱܧܣסܤܱܧ㜰ͳൌͲι，
∴סܤܱܨܣסܤܱܧ㜰ͳൌͲι，
∴ܧ䁠ܱ䁠ܨ三点共线，
∴סܩܱܨ㜰סܤܱܧ㜰͹ʹι，
∴סܩܨܱ
㜰ͳൌͲι t סܨܩܱ
t סܩܱܨ㜰͹ʹι 㜰סܩܱܨ，
∴ܩܨ㜰ܩܱ．
(3)͹ t ⸷ʹ
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得סᦙ䁡ܦ㜰סᦙܦ䁡㜰
ͳ
ʹ ͳൌͲι t ߙ㜰㌳Ͳι t
ͳ
ʹ ߙ，结合圆周角定理与
直角三角形的两锐角互余可得答案．
（2）如图，连接ܱ
ܨ䁠ܱܧ，表示ס䁡ܤܧ㜰סᦙܤ䁡ܣסܧܤܦ㜰ͳൌͲι t
͵
ʹ ߙ，证明䁡ܧ㜰䁡ܤ，可得ߙ㜰ͳൌͲι t
͵
ʹ ߙ，
求解ߙ㜰͹ʹι，证明ᇞܱ
ܧܦ≌ᇞܱ
ܤܨSAS ，再进一步证明即可．
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（3）如图，连接ᦙܧ䁠ܱܧ，证明סܨܩܤ㜰סܦᦙܧ，ᇞܤܦܧ∽ᇞܤܧܱ，可得ܤܧʹ 㜰ܤܦڄ ܤܱ，证明ᇞܨܩܤ≌ᇞ
ܦᦙܧAAS ，可得ᦙܧ㜰ܤܩ，设ᦙ䁡㜰ᦙܦ㜰힪，再进一步建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ס䁡ᦙܤ㜰ߙ，ᦙ䁡㜰ᦙܦ，
∴סᦙ䁡ܦ㜰סᦙܦ䁡㜰
ͳ
ʹ ͳൌͲι t ߙ㜰㌳Ͳι t
ͳ
ʹ ߙ，
∵סᦙܤܧ䁠סᦙ䁡ܧ为ᦙܧ
෼
所对的圆周角，
∴סᦙܤܧ㜰סᦙ䁡ܦ㜰㌳Ͳι t
ͳ
ʹ ߙ，
∵ܩܨ٣ 䁡ܧ，
∴סܨܩܤ㜰㌳Ͳι t סᦙܦ䁡㜰㌳Ͳι t ㌳Ͳι t
ͳ
ʹ ߙ㜰
ͳ
ʹ ߙ．
（2）略
（3）解：如图，连接ᦙܧ䁠ܱܧ，
∵סᦙ䁡ܤ㜰㌳Ͳι，סᦙ䁡ܦ㜰סᦙܦ䁡㜰㌳Ͳι t
ͳ
ʹ ߙ，
∴סܤ䁡ܧ㜰
ͳ
ʹ ߙ㜰סܨܩܤ，
同理：סܦᦙܧ㜰סܤ䁡ܧ㜰
ͳ
ʹ ߙ，
∴סܨܩܤ㜰סܦᦙܧ，
结合（1）可得：סᦙ䁡ܦ㜰סᦙܦ䁡㜰סܧܦܤ㜰סܱܤܧ㜰סܱܧܤ，
∵סܧܤܦ㜰סܱܤܧ，
∴ᇞܤܦܧ∽ᇞܤܧܱ，
∴
ܤܦ
ܤܧ㜰
ܤܧ
ܤܱ，即ܤܧʹ 㜰ܤܦڄ ܤܱ，
同理可得：סᦙܧܦ㜰סܨܤܩ，
∵ܤܨ㜰ܦܧ，
∴ᇞܨܩܤ≌ᇞܦᦙܧAAS ，
∴ᦙܧ㜰ܤܩ，
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设ᦙ䁡㜰ᦙܦ㜰힪，
∵ᦙܱ
㜰ͳ，
∴ᦙܤ㜰ʹ，ܤܦ㜰ʹ t 힪，ܱܦ㜰힪t ͳ，
∵ܱܦ㜰ʹᦙܩ，
∴ᦙܩ㜰
힪tͳ
ʹ ，
∴ᦙܧ㜰ܤܩ㜰ʹ t
힪tͳ
ʹ 㜰
ͷt힪
ʹ ，
∴ܤܧʹ 㜰ܤܦڄ ܤܱ
㜰ʹ t 힪，
∵ᦙܤ为直径，
∴סᦙܧܤ㜰㌳Ͳι，
∴ʹʹ 㜰ʹ t 힪ܣ
ͷt힪
ʹ
ʹ
，
∴힪ʹ t ͳ⸷힪͹ͳܣ㜰Ͳ，
解得：힪㜰͹ t ⸷ʹ（힪㜰͹⸷ܣʹ大于直径，舍去），
∴ᦙ䁡的长为͹ t ⸷ʹ．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܦ时ᦙ䁡，סᦙܦ䁡时סܤᦙܦ，延长ᦙܦ至点
E，使ᦙܧ㜰ᦙ䁡，延长ܤᦙ至点F，连结ܧܨ，使סᦙܨܧ㜰סᦙܦ䁡．
(1)若סᦙܨܧ㜰͸Ͳι，䁡ܦ为直径，求סᦙܤܦ的度数．
(2)求证：①ܧܨצܤ䁡；②ܧܨ㜰ܤܦ．
【答案】(1)͵Ͳι
(2)证明①：∵四边形ᦙܤ䁡ܦ是圆内接四边形，
∴סᦙܦ䁡ܣסᦙܤ䁡㜰ͳൌͲι，
∵סᦙܨܧ㜰סᦙܦ䁡，
∴סᦙܨܧܣסᦙܤ䁡㜰ͳൌͲι，
∴ܧܨצܤ䁡；
②过点D 作ܧܨ平行线交ᦙܨ于点G，
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∵ܦܩצ ܧܨ，
∴סܨ㜰סܦܩᦙ，ᇞᦙܦܩ∽ᇞᦙܧܨ，
∵סܨ㜰סᦙܦ䁡，
∴סܦܩᦙ㜰סᦙܦ䁡，
∵由（1）知סᦙܤܦ㜰סᦙ䁡ܦ，
∴ᇞ䁡ܦᦙ∽ᇞܤܩܦ，
∴
ᦙ䁡
ܤܦ㜰
ᦙܦ
ܩܦ，
∵ᇞᦙܦܩ∽ᇞᦙܧܨ，
∴
ᦙܦ
ᦙܧ㜰
ܩܦ
ܧܨ，
∴
ᦙܦ
ܩܦ㜰
ᦙܧ
ܧܨ，
∴
ᦙ䁡
ܤܦ㜰
ᦙܧ
ܧܨ，
∵ᦙܧ㜰ᦙ䁡，
∴ܧܨ㜰ܤܦ．
【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由䁡ܦ为直径，得到סܦᦙ䁡㜰㌳Ͳι，故סᦙ䁡ܦ㜰͵Ͳι，由ᦙܦ
Ⴃ㜰ᦙܦ
Ⴃ，
得到סᦙܤܦ㜰סᦙ䁡ܦ㜰͵Ͳι；
（2）①由四点共圆得סᦙܦ䁡ܣסᦙܤ䁡㜰ͳൌͲι，而סᦙܨܧ㜰סᦙܦ䁡，等量代换得到סᦙܨܧܣסᦙܤ䁡㜰ͳൌͲι，
故ܧܨצܤ䁡；
②过点D 作ܧܨ平行线交ᦙܨ于点G，可证明ᇞᦙܦܩ∽ᇞᦙܧܨ，ᇞ䁡ܦᦙ∽ᇞܤܩܦ，因此得到
ᦙ䁡
ܤܦ㜰
ᦙܦ
ܩܦ㜰
ᦙܧ
ܧܨ，
由ᦙܧ㜰ᦙ䁡，得到ܧܨ㜰ܤܦ．
【详解】（1）解：∵סᦙܨܧ㜰סᦙܦ䁡，סᦙܨܧ㜰͸Ͳι，
∴סᦙܦ䁡㜰͸Ͳι，
∵䁡ܦ为直径，
∴סܦᦙ䁡㜰㌳Ͳι，
∴סᦙ䁡ܦ㜰㌳Ͳι t ͸Ͳι 㜰͵Ͳι，
∵ᦙܦ
Ⴃ㜰ᦙܦ
Ⴃ，
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∴סᦙܤܦ㜰סᦙ䁡ܦ㜰͵Ͳι；
（2）略
3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形ᦙܤ䁡ܦ内接于ٖܱ
，ܤ䁡צ ᦙܦ，ᦙ䁡٣ ܤܦ．若סᦙܱܦ㜰ͳʹͲι，
ᦙܦ㜰
͵，则ס䁡ᦙܱ
的度数与ܤ䁡的长分别为（
）
A．10°，1
B．10°，ʹ
C．15°，1
D．15°，ʹ
【答案】C
【分析】过点O 作ܱ
ܧ٣ ᦙܦ于点E，由题意易得ס䁡ᦙܦ㜰סᦙܦܤ㜰⸷ͷι 㜰ס䁡ܤܦ㜰סܤ䁡ᦙ，然后可得
סܱᦙܦ㜰סܱܦᦙ㜰͵Ͳι，סᦙܤܦ㜰סᦙ䁡ܦ㜰
ͳ
ʹ סᦙܱܦ㜰͸Ͳι，ᦙܧ㜰
ͳ
ʹ ᦙܦ㜰
͵
ʹ ，进而可得䁡ܦ㜰
ʹܱ䁡㜰
ʹ䁠䁡ܨ㜰
ͳ
ʹ 䁡ܦ㜰
ʹ
ʹ ，最后问题可求解．
【详解】解：过点O 作ܱ
ܧ٣ ᦙܦ于点E，如图所示：
∵ܤ䁡צ ᦙܦ，
∴ס䁡ܤܦ㜰סᦙܦܤ，
∵ס䁡ܤܦ㜰ס䁡ᦙܦ，
∴ס䁡ᦙܦ㜰סᦙܦܤ，
∵ᦙ䁡٣ ܤܦ，
∴סᦙܨܦ㜰㌳Ͳι，
∴ס䁡ᦙܦ㜰סᦙܦܤ㜰⸷ͷι 㜰ס䁡ܤܦ㜰סܤ䁡ᦙ，
∵סᦙܱܦ㜰ͳʹͲι，ܱᦙ㜰ܱ
ܦ，ᦙܦ㜰
͵，
∴סܱᦙܦ㜰סܱܦᦙ㜰͵Ͳι，סᦙܤܦ㜰סᦙ䁡ܦ㜰
ͳ
ʹ סᦙܱܦ㜰͸Ͳι，ᦙܧ㜰
ͳ
ʹ ᦙܦ㜰
͵
ʹ ，
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∴ס䁡ᦙܱ
㜰ס䁡ᦙܦt סܱᦙܦ㜰ͳͷι，ܱᦙ㜰
ᦙܧ
cos͵Ͳι 㜰ͳ 㜰ܱ
䁡㜰ܱ
ܦ，סܤ䁡ܦ㜰סܤ䁡ᦙܣסᦙ䁡ܦ㜰ͳͲͷι，
∴ס䁡ܱܦ㜰ʹס䁡ᦙܦ㜰㌳Ͳι䁠ס䁡ܦܤ㜰ͳൌͲι t סܤ䁡ܦt ס䁡ܤܦ㜰͵Ͳι，
∴䁡ܦ㜰
ʹܱ䁡㜰
ʹ䁠䁡ܨ㜰
ͳ
ʹ 䁡ܦ㜰
ʹ
ʹ ，
∴ܤ䁡㜰
ʹ䁡ܨ㜰ͳ；
故选C．
4．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角ᇞᦙܤ䁡内接于ٖܱ
，D 为ܤ䁡的中点，连接ᦙܦ并延长交ٖܱ
于点E，连接ܤܧ䁠䁡ܧ，过C 作ᦙ䁡的垂线交ᦙܧ于点F，点G 在ᦙܦ上，连接ܤܩ䁠䁡ܩ，若ܤ䁡平分סܧܤܩ且סܤ䁡ܩ㜰
סᦙܨ䁡．
(1)求סܤܩ䁡的度数．
(2)①求证：ᦙܨ㜰ܤ䁡．
②若ᦙܩ㜰ܦܨ，求tanסܩܤ䁡的值，
(3)如图2，当点O 恰好在ܤܩ上且ܱ
ܩ㜰ͳ 时，求ᦙ䁡的长．
【答案】(1)㌳Ͳι
(2)①证明：∵ܦ为ܤ䁡中点，סܤܩ䁡㜰㌳Ͳι，
∴ܦܩ㜰ܦܤ㜰ܦ䁡，
∴סܦܩ䁡㜰סܤ䁡ܩ，
∵סܤ䁡ܩ㜰סᦙܨ䁡，
∴סᦙܨ䁡㜰סܦܩ䁡，
∴䁡ܨ㜰䁡ܩ，
∵סܤܩ䁡㜰סᦙ䁡ܨ㜰㌳Ͳι，ס䁡ܤܩ㜰סܨᦙ䁡，
∴ᇞܩܤ䁡≌ᇞ䁡ᦙܨ，
∴ܤ䁡㜰ᦙܨ；
②tanסܩܤ䁡㜰
ͳͷ
ͷ ；
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(3)
͵ܣͳ͹
ʹ
【分析】
（1）先证明סܩܤ䁡㜰סܧᦙ䁡，结合סܧᦙ䁡ܣסᦙܨ䁡㜰㌳Ͳι，סܤ䁡ܩ㜰סᦙܨ䁡，可得סܩܤ䁡ܣסܩ䁡ܤ㜰㌳Ͳι，
从而可得答案；
（2）①证明ܦܩ㜰ܦܤ㜰ܦ䁡，再证明ᇞܩܤ䁡≌ᇞ䁡ᦙܨ，可得ܤ䁡㜰ᦙܨ；②设ܩ䁡㜰䁡ܨ㜰힪，䁡ܦ㜰ܤܦ㜰
ܩܦ㜰⸶，证明ᇞܩ䁡ܦ∽ᇞܩܨ䁡，可得ܩ䁡ʹ 㜰ܩܨ൉ܩܦ，即䁡ܩʹ 㜰
͵
ʹ ⸶ʹ，则ܤܩʹ 㜰ܤ䁡ʹ t 䁡ܩʹ 㜰⸷⸶ʹ t
͵
ʹ ⸶ʹ 㜰
ͷ
ʹ ⸶ʹ，
可得tanʹסܩܤ䁡㜰
ܩ䁡ʹ
ܩܤʹ 㜰
͵
ͷ，从而可得答案；
（3）解法一：如图，设ٖܱ
的半径为ݎ，连接ܱ
䁡交ᦙܧ于ܰ
，过ܱ
作ܱ
ܯ٣ ܤܧ于ܯ，证明ܱ
䁡צܤܧ，
ᇞܧܤܦ≌ᇞܰ
䁡ܦ，可得ܤܧ㜰䁡ܰ，证明ᇞ䁡ܱܩ≌ᇞܱ
ܤܯ，可得ܤܯ㜰ܱ
ܩ㜰ͳ，䁡ܰ
㜰ܤܧ㜰ʹܤܯ㜰ʹ，证明
ᇞܩܱܰ
∽ᇞܩܤܧ，
ܩܱ
ܩܤ㜰ܱܰܤܧ，即
ͳ
ݎͳܣ㜰
ݎtʹ
ʹ ，再解方程可得答案．
解法二：如图，延长ܤܩ，分别交ᦙ䁡、ٖܱ
于M、N，连接䁡ܰ．先证ܯᦙ㜰ܯܩ，再证סܯܱ䁡㜰סܱܯ䁡，
则可得䁡ܯ㜰䁡ܱ
㜰ݎ．根据等腰三角形三线合一，可得ܱ
ܩ㜰ܯܩ，由此可得ܯᦙ㜰ܯܩ㜰ܱ
ܩ㜰ͳ．由
ᇞ䁡ᦙܨ≌ᇞܩܤ䁡，可得ᦙ䁡㜰ܤܩ㜰ݎͳܣ．再证ᇞᦙܤܯ∽ᇞܰ
䁡ܯ．则可得ܤܯڄ ܯܰ
㜰ᦙܯڄ 䁡ܯ，即ᦙݎሻʹܣᦙݎt
ʹሻ㜰ͳ ڄ ݎ，解出r 的值，即可求出ᦙ䁡的长．
【详解】（1）证明：∵ܤ䁡平分סܧܤܩ，
∴סܩܤ䁡㜰סܧܤ䁡，
∵סܧܤ䁡㜰סܧᦙ䁡，
∴סܩܤ䁡㜰סܧᦙ䁡，
∵סᦙ䁡ܨ㜰㌳Ͳι，
∴סܧᦙ䁡ܣסᦙܨ䁡㜰㌳Ͳι，
∵סܤ䁡ܩ㜰סᦙܨ䁡，
∴סܩܤ䁡ܣסܩ䁡ܤ㜰㌳Ͳι，
∴סܤܩ䁡㜰㌳Ͳι；
（2）①略
②设ܩ䁡㜰䁡ܨ㜰힪，䁡ܦ㜰ܤܦ㜰ܩܦ㜰⸶，
∴ܤ䁡㜰ᦙܨ㜰ʹ⸶，ᦙܩ㜰ܦܨ㜰
ͳ
ʹ ⸶，
∵סᦙܨ䁡㜰סܤ䁡ܩ，ס䁡ܩܦ㜰ס䁡ܩܨ，
∴ᇞܩ䁡ܦ∽ᇞܩܨ䁡，
∴
ܩ䁡
ܩܨ㜰
ܩܦ
ܩ䁡，即ܩ䁡ʹ 㜰ܩܨ൉ܩܦ，
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∴힪ʹ 㜰⸶ܣ
ͳ
ʹ ⸶൉⸶㜰
͵
ʹ ⸶ʹ，即䁡ܩʹ 㜰
͵
ʹ ⸶ʹ，
∴ܤܩʹ 㜰ܤ䁡ʹ t 䁡ܩʹ 㜰⸷⸶ʹ t
͵
ʹ ⸶ʹ 㜰
ͷ
ʹ ⸶ʹ，
∴tanʹסܩܤ䁡㜰
ܩ䁡ʹ
ܩܤʹ 㜰
͵
ͷ，
∴tanסܩܤ䁡㜰
͵
ͷ 㜰
ͳͷ
ͷ （负根舍去）；
（3）解法一：如图，设ٖܱ
的半径为ݎ，连接ܱ
䁡交ᦙܧ于ܰ
，过ܱ
作ܱ
ܯ٣ ܤܧ于ܯ，
∵ܱܤ㜰ܱ
䁡，
∴ס䁡ܤܧ㜰סܱܤ䁡㜰סܱ䁡ܤ，
∴ܱ䁡צܤܧ，
∵ܤܦ㜰䁡ܦ，סܤܦܧ㜰ס䁡ܦܰ，
∴ᇞܧܤܦ≌ᇞܰ
䁡ܦ，
∴ܤܧ㜰䁡ܰ，
∵ܱ䁡צܤܧ，
∴סܩܱ䁡㜰סܱܤܯ，而סܱܩ䁡㜰סܱܯܤ㜰㌳Ͳι，ܱ䁡㜰ܱ
ܤ，
∴ᇞ䁡ܱܩ≌ᇞܱ
ܤܯ，
∴ܤܯ㜰ܱ
ܩ㜰ͳ，
∵ܱܯ٣ ܤܧ，
∴䁡ܰ
㜰ܤܧ㜰ʹܤܯ㜰ʹ，
∵ܱ䁡צܤܧ，
∴ᇞܩܱܰ
∽ᇞܩܤܧ，
∴
ܩܱ
ܩܤ㜰ܱܰܤܧ，即
ͳ
ݎͳܣ㜰
ݎtʹ
ʹ ，
解得：ݎͳ 㜰
ͳܣͳ͹
ʹ
，（负根舍去），
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由（2）①知ᇞᦙ䁡ܨ≌ᇞܤܩ䁡，
∴ᦙ䁡㜰ܤܩ㜰ݎͳܣ㜰
͵ܣͳ͹
ʹ
．
解法二：如图，延长ܤܩ，分别交ᦙ䁡、ٖܱ
于M、N，连接䁡ܰ，
׶ ܦܤ㜰ܦܩ，
׵ סܦܤܩ㜰סܦܩܤ．
又׶ סܦܤܩ㜰ס䁡ᦙܩ䁠סܤܩܦ㜰סᦙܩܯ，
׵ ס䁡ᦙܩ㜰סᦙܩܯ，
׵ ܯᦙ㜰ܯܩ．
׶ܱ
ܤ㜰ܱ
䁡，
׵ סܱܤ䁡㜰סܱ䁡ܤ，
׵ סܯܱ䁡㜰סܱܤ䁡ܣסܱ䁡ܤ㜰ʹסܱܤ䁡．
又׶ סܱܯ䁡㜰סᦙܩܯܣס䁡ᦙܩ㜰ʹס䁡ᦙܩ，
׵ סܯܱ䁡㜰סܱܯ䁡，
׵ 䁡ܯ㜰䁡ܱ
㜰ݎ．
又׶ 䁡ܩ٣ܱ
ܯ，
׵ܱ
ܩ㜰ܯܩ，׵ ܯᦙ㜰ܯܩ㜰ܱ
ܩ㜰ͳ．
׶ᇞ䁡ᦙܨ≌ᇞܩܤ䁡，
׵ ᦙ䁡㜰ܤܩ㜰ݎͳܣ．
׶ סܤᦙܯ㜰סܤܰ䁡䁠סᦙܤܯ㜰סᦙ䁡ܰ，
׵ᇞᦙܤܯ∽ᇞܰ
䁡ܯ，
׵
ᦙܯ
ܯܰ
㜰
ܤܯ
䁡ܯ，
׵ ܤܯڄ ܯܰ
㜰ᦙܯڄ 䁡ܯ，
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即ᦙݎሻʹܣᦙݎt ʹሻ㜰ͳ ڄ ݎ，
得ݎʹ t ݎt ⸷㜰Ͳ，
解得：ݎͳ 㜰
ͳܣͳ͹
ʹ
，（负根舍去），
∴ᦙ䁡㜰ݎͳܣ㜰
͵ܣͳ͹
ʹ
．
5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81 页第5 题后，进行变式、探究与思考：
如图1，ٖܱ
的直径䁡ܦ垂直弦AB 于点E，且䁡ܧ㜰ൌ，ܦܧ㜰ʹ．
(1)复习回顾：求ᦙܤ的长．
(2)探究拓展：如图2，连接ᦙ䁡，点G 是ܤ䁡
Ⴃ上一动点，连接ᦙܩ，延长䁡ܩ交ᦙܤ的延长线于点F．
①当点G 是ܤ䁡
Ⴃ的中点时，求证：סܩᦙܨ㜰סܨ；
②设䁡ܩ㜰힪，䁡ܨ㜰㐮，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接ܦܨ，ܤܩ，当ᇞ䁡ܦܨ为等腰三角形时，请计算ܤܩ的长．
【答案】(1)ᦙܤ㜰ൌ；
(2)
①证明：连接ܦܩ，
∵点G 是ܤ䁡
Ⴃ的中点，
∴䁡ܩ
Ⴃ㜰ܤܩ
Ⴃ，
∴סܩᦙܨ㜰סܦ，
∵ٖܱ
的直径䁡ܦ垂直弦AB 于点E，
∴ס䁡ܩܦ㜰ס䁡ܧܨ㜰㌳Ͳι，
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∴סܨ㜰㌳Ͳι t סܦ䁡ܩ㜰סܦ，
∴סܩᦙܨ㜰סܨ；
②㐮㜰
ൌͲ
힪；③ܤܩ的长为
⸷ͷ
ͷ 或⸷͵ t ʹ ʹ．
【分析】（1）先求得ٖܱ
的直径为10，再利用垂径定理求得ᦙܧ㜰ܤܧ，在Rt ᇞܱ
ᦙܧ中，利用勾股定
理即可求解；
（2）①连接ܦܩ，由点G 是ܤ䁡
Ⴃ的中点，推出סܩᦙܨ㜰סܦ，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②利用勾股定理求得ᦙ䁡㜰⸷ͷ，利用垂径定理得到ᦙ䁡
Ⴃ㜰ܤ䁡
Ⴃ，推出ס䁡ᦙܨ㜰ס䁡ܩᦙ，证明ᇞ䁡ᦙܨ∽ᇞ䁡ܩᦙ，
利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当䁡ܨ㜰䁡ܦ㜰ͳͲ 和ܦܨ㜰䁡ܦ㜰ͳͲ 时，证明ᇞܨܩܤ∽ᇞܨᦙ䁡，利用相似三角形的
性质求解即可.
【详解】（1）解：连接ܱ
ᦙ，
∵ٖܱ
的直径䁡ܦ垂直弦AB 于点E，且䁡ܧ㜰ൌ，ܦܧ㜰ʹ，
∴䁡ܦ㜰䁡ܧܧܦܣ㜰ͳͲ，ᦙܧ㜰ܤܧ，
∴ܱᦙ㜰ܱ
ܦ㜰
ͳ
ʹ 䁡ܦ㜰ͷ，ܱܧ㜰ܱ
ܦt ܦܧ㜰͵，
在Rt ᇞܱ
ᦙܧ中，ᦙܧ㜰ܱ
ᦙʹ tܱ
ܧʹ 㜰
ͷʹ t ͵ʹ 㜰⸷，
∴ᦙܤ㜰ʹᦙܧ㜰ൌ；
（2）①略
②∵䁡ܧ㜰ൌ，ᦙܧ㜰⸷，ס䁡ܧᦙ㜰㌳Ͳι，
∴ᦙ䁡㜰
ᦙܧʹܣ䁡ܧʹ 㜰
⸷ʹܣൌʹ 㜰⸷ͷ，
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∵ٖܱ
的直径䁡ܦ垂直弦AB 于点E，
∴ᦙ䁡
Ⴃ㜰ܤ䁡
Ⴃ，
∴ס䁡ᦙܨ㜰ס䁡ܩᦙ，
∵סᦙ䁡ܨ㜰סܩ䁡ᦙ，
∴ᇞ䁡ᦙܨ∽ᇞ䁡ܩᦙ，
∴
ᦙ䁡
䁡ܩ㜰
䁡ܨ
ᦙ䁡，即
⸷ͷ
힪㜰
㐮
⸷ͷ，
∴㐮㜰
ൌͲ
힪；
③当䁡ܨ㜰䁡ܦ㜰ͳͲ 时，
在Rt ᇞ䁡ܧܨ中，ܧܨ㜰
䁡ܨʹ t 䁡ܧʹ 㜰
ͳͲʹ t ൌʹ 㜰͸，
∴ܤܨ㜰ܧܨt ܤܧ㜰ʹ，
∵סܨܩܤ㜰ͳൌͲι t סܤܩ䁡㜰סܨᦙ䁡，
∴ᇞܨܩܤ∽ᇞܨᦙ䁡，
∴
ܤܩ
ᦙ䁡㜰
ܤܨ
䁡ܨ，即
ܤܩ
⸷ͷ 㜰
ʹ
ͳͲ，
∴ܤܩ㜰
⸷ͷ
ͷ ；
当ܦܨ㜰䁡ܦ㜰ͳͲ 时，
在Rt ᇞܦܧܨ中，ܧܨ㜰
ܦܨʹ t ܦܧʹ 㜰
ͳͲʹ t ʹʹ 㜰⸷͸，
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在Rt ᇞ䁡ܧܨ中，䁡ܨ㜰
䁡ܧʹܧܣܨʹ 㜰
ൌʹܣ⸷͸
ʹ 㜰⸷ͳͲ，
∴ܤܨ㜰ܧܨt ܤܧ㜰⸷͸ t ⸷，
同理ᇞܨܩܤ∽ᇞܨᦙ䁡，
∴
ܤܩ
ᦙ䁡㜰
ܤܨ
䁡ܨ，即
ܤܩ
⸷ͷ 㜰
⸷͸t⸷
⸷ͳͲ ，
∴ܤܩ㜰⸷͵ t ʹ ʹ；
综上，ܤܩ的长为
⸷ͷ
ͷ 或⸷͵ t ʹ ʹ．
6．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直
线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，ᦙܤ是ٖܱ
的直径，直线݈
是ٖܱ
的切线，ܤ为切点．ܲ，ܳ
是圆
上两点（不与点ᦙ重合，且在直径ᦙܤ的同侧），分别作射线ᦙܲ，ᦙܳ
交直线݈
于点䁡，点ܦ．
(1)如图1，当ᦙܤ㜰͸，ܤܲ
෼
的长为π时，求ܤ䁡的长．
(2)如图2，当
ᦙܳ
ᦙܤ㜰
͵
⸷，ܤܲႣ㜰ܲܳႣ时，求
ܤ䁡
䁡ܦ的值．
(3)如图3，当sinסܤᦙܳ
㜰
͸
⸷，ܤ䁡㜰䁡ܦ时，连接BP，PQ，直接写出ܲܳܤܲ的值．
【答案】(1)ʹ ͵
(2)
͵
⸷
(3)
ͳͲ
⸷
【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出סܤܱܲ
度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出ܤ䁡
的长．
（2）根据等弧所对圆周角相等推出סܤᦙ䁡㜰סܦᦙ䁡，再根据角平分线的性质定理推出䁡ܨ㜰䁡ܤ，利用直
角三角形的性质即可求出סܨ䁡ܦ㜰סܤᦙܳ，通过等量转化和余弦值可求出答案．
（3）根据三角形相似的性质证明ᇞᦙܲܳ
∽ᇞᦙܦ䁡和ᇞᦙܲܤ∽ᇞᦙܤ䁡，从而推出ܲܳ䁡ܦ㜰
ᦙܲ
ᦙܦ和
ܤܲ
ܤ䁡㜰
ᦙܲ
ᦙܤ，利用
已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案
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【详解】（1）解：如图1，连接ܱܲ
，设סܤܱܲ
的度数为݊
．
׶ ᦙܤ㜰͸，ܤܲ
෼
的长为π，
׵݊
ڄπڄ͵
ͳൌͲ 㜰π．
׵݊
㜰͸Ͳ，即סܤܱܲ
㜰͸Ͳι．
׵ סܤᦙܲ
㜰
ͳ
ʹ סܤܱܲ
㜰͵Ͳι．
׶直线݈
是ٖܱ
的切线，
׵ סᦙܤ䁡㜰㌳Ͳι．
∴ܤ䁡㜰
ᦙܤ
͵ 㜰ʹ ͵．
（2）解：如图2，连接ܤܳ，过点䁡作䁡ܨ٣ ᦙܦ于点ܨ，
׶ ᦙܤ为直径，
׵ סܤܳᦙ㜰㌳Ͳι．
׵ cosסܤᦙܳ
㜰
ᦙܳ
ᦙܤ㜰
͵
⸷．
׶ ܤܲႣ㜰ܲܳႣ，
׵ סܤᦙ䁡㜰סܦᦙ䁡．
׶ 䁡ܨ٣ ᦙܦ，ᦙܤ٣ ܤ䁡，
׵ 䁡ܨ㜰䁡ܤ．
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׶ סܤᦙܳܣסᦙܦܤ㜰㌳Ͳι，סܨ䁡ܦܣסᦙܦܤ㜰㌳Ͳι，
׵ סܨ䁡ܦ㜰סܤᦙܳ．
׵
ܤ䁡
䁡ܦ㜰
ܨ䁡
䁡ܦ㜰cosסܨ䁡ܦ㜰cosסܤᦙܳ
㜰
͵
⸷．
（3）解：
ͳͲ
⸷，理由如下：
如图3，连接BQ，
׶ ᦙܤ٣ ܤ䁡，ܤܳ
٣ ᦙܦ，
׵ סᦙܤܳܣסܤᦙܦ㜰㌳Ͳι，סᦙܦܤܣסܤᦙܦ㜰㌳Ͳι，
׵ סᦙܤܳ
㜰סᦙܦ䁡，
׶ סᦙܤܳ
㜰סᦙܲܳ
，
׵ סᦙܲܳ
㜰סᦙܦ䁡．
׶ סܲᦙܳ
㜰ס䁡ᦙܦ，
׵ᇞᦙܲܳ
∽ᇞᦙܦ䁡，
׵ܲܳ䁡ܦ㜰
ᦙܲ
ᦙܦ．①
׶ סܤᦙܲ
㜰סܤᦙ䁡，סᦙܤ䁡㜰סᦙܲܤ㜰㌳Ͳι，
׵ᇞᦙܲܤ∽ᇞᦙܤ䁡，
׵
ܤܲ
ܤ䁡㜰
ᦙܲ
ᦙܤ．②
׶ ܤ䁡㜰䁡ܦ，
①ൊ②得，ܲܳܤܲ㜰
ᦙܤ
ᦙܦ㜰cosסܤᦙܳ．
׶ sinסܤᦙܳ
㜰
͸
⸷，
׵ cosסܤᦙܳ
㜰
ͳͲ
⸷．
7．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ٖܱ
中，ᦙܤ是一条不过圆心ܱ
的弦，点䁡䁠ܦ是ᦙܤ
Ⴃ的三等分点，
直径䁡ܧ交ᦙܤ于点ܨ，连结ᦙܦ交䁡ܨ于点ܩ，连结ᦙ䁡，过点䁡的切线交ܤᦙ的延长线于点ܪ．
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(1)求证：ᦙܦצܪ䁡；
(2)若ܱ
ܩ
ܩ䁡㜰ʹ，求tanסܨᦙܩ的值；
(3)连结ܤ䁡交ᦙܦ于点ܰ
，若ٖܱ
的半径为5
①若ܱ
ܨ㜰
ͷ
ʹ，求ܤ䁡的长；
②若ᦙܪ㜰
ͳͲ，求ᇞᦙܰܤ的周长；
③若ܪܨڄ ᦙܤ㜰ൌൌ，求ᇞܤܪ䁡的面积．
【答案】(1)
∵点䁡䁠ܦ是ᦙܤ
Ⴃ三等分点，
∴ᦙ䁡
Ⴃ㜰䁡ܦ
Ⴃ㜰ܦܤ
Ⴃ．
由䁡ܧ是ٖܱ
的直径
∴䁡ܧ٣ ᦙܦ，
∵ܪ䁡是ٖܱ
的切线，
∴ܪ䁡٣ 䁡ܧ．
∴ᦙܦצܪ䁡．
(2)
ͷ
ͷ
(3)①
ͷ
ʹ
͹；②
ͳ͵ ͳͲ
ͷܣ
ʹ͸
͵ ；③
ͳʹൌ
ͷ
【分析】（1）根据点䁡䁠ܦ是ᦙܤ
Ⴃ三等分点，得出ᦙ䁡
Ⴃ㜰䁡ܦ
Ⴃ㜰ܦܤ
Ⴃ，根据䁡ܧ是ٖܱ
的直径，可得䁡ܧ٣ ᦙܦ，
根据切线的性质可得ܪ䁡٣ 䁡ܧ，即可证明ᦙܦצܪ䁡；
（2）如图1，连接ᦙܱ，证明ᇞ䁡ᦙܩ≌ᇞܨᦙܩ，则䁡ܩ㜰ܨܩ，设䁡ܩ㜰⸶，则ܨܩ㜰⸶，在Rt ᇞᦙܱܩ中由
勾股定理得ᦙܱ
ʹ 㜰ᦙܩʹܣܱܩʹ，得出ᦙܩ㜰
ͷ⸶，进而根据正切的定义即可求解；
（3）①如图1，连接ܱ
ᦙ，勾股定理确定ᦙܩ，根据ᦙܦ
Ⴃ㜰䁡ܤ
Ⴃ，可得ܤ䁡㜰ᦙܦ㜰
ͷ
ʹ
͹；
②如图2，连接䁡ܦ，设䁡ܩ㜰힪，则ܨܩ㜰힪䁠ܱܩ㜰ͷ t 힪，解得힪㜰ͳ．则ᦙܩ㜰͵䁠ᦙܦ㜰͸，证明ᇞ䁡ܰܦ∽ᇞ
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ᦙ䁡ܦ，ᇞᦙܰܤ∽ᇞᦙ䁡ܦ，进而根据相似三角形的性质即可求解；
③如图3，过点ܱ
作ܱ
ܯ٣ ᦙܤ于点ܯ，则ᦙܯ㜰ܯܤ㜰
ͳ
ʹ ᦙܤ．设䁡ܩ㜰힪，则ܨܩ㜰힪䁠ܱܩ㜰ͷ t 힪䁠ܱܨ㜰ͷ t
ʹ힪，证明ᇞᦙܨܩ∽ᇞܱ
ܨܯ，得出ᦙܨڄ ܨܯ㜰ܱ
ܨڄ ܩܨ则ͳͲ힪힪ܣͷ t ʹ힪㜰ʹʹ，得出䁡ܩ㜰ܨܩ㜰ʹ，则ܵᇞ䁡ܪᦙ㜰ൌ，
证明ᇞ䁡ܪᦙ∽ᇞܤܪ䁡，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：略．
（2）如图1，连结ᦙܱ，∵ܤܦ
Ⴃ㜰䁡ܦ
Ⴃ，
∴סܤᦙܦ㜰ס䁡ᦙܦ．
由䁡ܧ٣ ᦙܦ，则סᦙܩܨ㜰סᦙܩ䁡，
又∵ᦙܩ㜰ᦙܩ，
∴ᇞ䁡ᦙܩ≌ᇞܨᦙܩ，
∴䁡ܩ㜰ܨܩ．
设䁡ܩ㜰⸶，则ܨܩ㜰⸶，
∵ܱ
ܩ
䁡ܩ㜰ʹ，
∴ܱܩ㜰ʹ⸶䁠ᦙܱ
㜰䁡ܱ
㜰͵⸶．
在Rt ᇞᦙܱܩ中由勾股定理得ᦙܱ
ʹ 㜰ᦙܩʹܣܱܩʹ，
∴ᦙ͵⸶ሻʹ 㜰ᦙܩʹܣᦙʹ⸶ሻʹ，
∴ᦙܩ㜰
ͷ⸶．
∴tanסܨᦙܩ㜰
ܨܩ
ᦙܩ㜰
ͳ
ͷ 㜰
ͷ
ͷ ．
（3）①如图1，连结ܱ
ᦙ，∵ܱܨ㜰
ͷ
ʹ 䁠ܱ䁡㜰ܱ
ᦙ㜰ͷ，
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∴䁡ܨ㜰
ͷ
ʹ．
∴䁡ܩ㜰ܨܩ㜰
ͷ
⸷，
∴ܱܩ㜰
ͳͷ
⸷，
∴ᦙܩ㜰ܱ
ᦙʹ tܱ
ܩʹ 㜰
ͷ
⸷
͹．
∵䁡ܧ٣ ᦙܦ，
∴ᦙܦ㜰ʹᦙܩ㜰
ͷ
ʹ
͹．
∵ᦙ䁡
Ⴃ㜰䁡ܦ
Ⴃ㜰ܦܤ
Ⴃ，
∴ᦙܦ
Ⴃ㜰䁡ܤ
Ⴃ，
∴ܤ䁡㜰ᦙܦ㜰
ͷ
ʹ
͹．
②如图2，连结䁡ܦ，
∵ᦙܦצ ܪ䁡䁠ܨܩ㜰ܩ䁡，
∴ᦙܪ㜰ᦙܨ．
∵סܪ䁡ܨ㜰㌳Ͳι，
∴ᦙ䁡㜰ᦙܪ㜰ᦙܨ㜰
ͳͲ．
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设䁡ܩ㜰힪，则ܨܩ㜰힪䁠ܱܩ㜰ͷ t 힪，
由勾股定理得ᦙܩʹ 㜰ᦙܱ
ʹ tܱ
ܩʹ 㜰ᦙ䁡ʹ t 䁡ܩʹ，
即ʹͷ t ᦙͷ t 힪ሻʹ 㜰ͳͲ t 힪ʹ，
解得힪㜰ͳ．
∴ᦙܩ㜰͵䁠ᦙܦ㜰͸
∵䁡ܦ
Ⴃ㜰ܦܤ
Ⴃ，
∴סܦᦙ䁡㜰סܤ䁡ܦ．
∵ס䁡ܦܰ
㜰סᦙܦ䁡，
∴ᇞ䁡ܰܦ∽ᇞᦙ䁡ܦ，
∴ܰ
ܦ
䁡ܦ㜰
䁡ܦ
ᦙܦ，
∴ܰܦ㜰
䁡ܦʹ
ᦙܦ㜰
ͷ
͵ 䁠ᦙܰ
㜰
ͳ͵
͵ ．
∵סܤᦙܦ㜰סܦᦙ䁡䁠סᦙܤܰ
㜰סᦙܦ䁡，
∴ᇞᦙܰܤ∽ᇞᦙ䁡ܦ．
∴䁡ᇞᦙܰܤ㜰䁡ᇞᦙ䁡ܦൈ
ᦙܰ
ᦙ䁡㜰͸ʹܣͳͲ ൈ
ͳ͵
͵ ͳͲ 㜰
ͳ͵ ͳͲ
ͷܣ
ʹ͸
͵ ．
③如图3，过点ܱ
作ܱ
ܯ٣ ᦙܤ于点ܯ，则ᦙܯ㜰ܯܤ㜰
ͳ
ʹ ᦙܤ．
设䁡ܩ㜰힪，则ܨܩ㜰힪䁠ܱܩ㜰ͷ t 힪䁠ܱܨ㜰ͷ t ʹ힪，
由勾股定理得ᦙܩʹ 㜰ᦙܱ
ʹ tܱ
ܩʹ 㜰ʹͷ t ᦙͷ t 힪ሻʹ 㜰ͳͲ힪t 힪ʹ，
ᦙܨʹ 㜰ᦙܩʹܨܣܩʹ 㜰ͳͲ힪t 힪ʹܣ힪ʹ 㜰ͳͲ힪，
∵ᦙܦצ ܪ䁡䁠ܨܩ㜰ܩ䁡，
∴ᦙܪ㜰ᦙܨ㜰
ͳ
ʹ ܪܨ，
∴ᦙܩ㜰
ͳ
ʹ ܪ䁡．
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∴ᦙܨڄ ᦙܯ㜰
ͳ
ʹ ܪܨڄ
ͳ
ʹ ᦙܤ㜰
ͳ
⸷ܪܨڄ ᦙܤ㜰
ͳ
⸷ൈൌൌ㜰ʹʹ．
∵סᦙܩܨ㜰סܱܯܨ㜰㌳Ͳι䁠סᦙܨܩ㜰סܱܨܯ，
∴ᇞᦙܨܩ∽ᇞܱ
ܨܯ，
∴
ᦙܨܱ
ܨ㜰
ܩܨ
ܨܯ，
∴ᦙܨڄ ܨܯ㜰ܱ
ܨڄ ܩܨ．
∴ᦙܨڄ ᦙܯ㜰ᦙܨڄ ᦙܨܯܨܣ㜰ᦙܨʹܣᦙܨڄ ܨܯ㜰ᦙܨʹܱܣ
ܨڄ ܩܨ㜰ʹʹ．
可得方程ͳͲ힪힪ܣͷ t ʹ힪㜰ʹʹ，
解得힪ͳ 㜰ʹ䁠힪ʹ 㜰ͷ䁕ͷ（舍去）．
∴䁡ܩ㜰ܨܩ㜰ʹ，
∴ܱܩ㜰͵，
∴ᦙܩ㜰⸷，
∴ܪ䁡㜰ൌ䁠ᦙܪ㜰ᦙܨ㜰ʹ ͷ．
∴ܵᇞ䁡ܪᦙ㜰ൌ．
∵ᦙܦצܪ䁡，
∴ס䁡ᦙܦ㜰סᦙ䁡ܪ．
∵ᦙ䁡
Ⴃ㜰䁡ܦ
Ⴃ，
∴סܤ㜰ס䁡ᦙܦ，
∴סܤ㜰סᦙ䁡ܪ．
∵סܪ㜰סܪ，
∴ᇞ䁡ܪᦙ∽ᇞܤܪ䁡，
∴ܵᇞܤܪ䁡㜰ൌൈ
ܪ䁡
ᦙܪ
ʹ
㜰
ͳʹൌ
ͷ ．
8．（2022·浙江杭州·中考真题）如图是以点O 为圆心，AB 为直径的圆形纸片，点C 在⊙O 上，将该圆形
纸片沿直线CO 对折，点B 落在⊙O 上的点D 处（不与点A 重合），连接CB，CD，AD．设CD 与直径AB
交于点E．若AD=ED，则∠B=_________度；
ܤ䁡
ᦙܦ的值等于_________．
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【答案】
36
͵ܣͷ
ʹ
【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出
∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和
定理可得出答案；证明ᇞCEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出
䁡ܧ
ܧܱ㜰
ܤܧ
䁡ܧ，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出
a2=x（x+a），求出OE=
ͷtͳ
ʹ a，证明ᇞBCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出
ܤ䁡
ᦙܦ㜰
ܧ䁡
ᦙܧ，则可得出答案．
【详解】解：∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO 对折，
∴∠ECO=∠BCO，
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
设∠ECO=∠OCB=∠B=x，
∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，
∴∠CEB=2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，
∴x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠B=36°；
∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，
∴△CEO∽△BEC，
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∴
䁡ܧ
ܧܱ㜰
ܤܧ
䁡ܧ，
∴CE2=EO•BE，
设EO=x，EC=OC=OB=a，
∴a2=x（x+a），
解得，x=
ͷtͳ
ʹ a（负值舍去），
∴OE=
ͷtͳ
ʹ a，
∴AE=OA-OE=a-
ͷtͳ
ʹ a=
͵t ͷ
ʹ a，
∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，
∴△BCE∽△DAE，
∴
ܤ䁡
ᦙܦ㜰
ܧ䁡
ᦙܧ，
∴
ܤ䁡
ᦙܦ㜰
⸶
͵t ͷ
ʹ ⸶㜰
͵ܣͷ
ʹ ．
故答案为：36，
͵ܣͷ
ʹ ．
9．（2022·浙江宁波·中考真题）如图1，ٖܱ
为锐角三角形ᦙܤ䁡的外接圆，点D 在ܤ䁡
Ⴃ上，ᦙܦ交ܤ䁡于点
E，点F 在ᦙܧ上，满足סᦙܨܤt סܤܨܦ㜰סᦙ䁡ܤ䁠ܨܩצ ᦙ䁡交ܤ䁡于点G，ܤܧ㜰ܨܩ，连结ܤܦ，ܦܩ．设סᦙ䁡ܤ㜰ߙ．
(1)用含ߙ的代数式表示סܤܨܦ．
(2)求证：ᇞܤܦܧ≌ᇞܨܦܩ．
(3)如图2，ᦙܦ为ٖܱ
的直径．
①当ᦙܤ
Ⴃ的长为2 时，求ᦙ䁡
Ⴃ的长．
②当ܱ
ܨǣܱܧ㜰⸷ǣͳͳ 时，求cosߙ的值．
【答案】(1)סܤܨܦ㜰㌳Ͳι t
ߙ
ʹ
(2)
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证明：由（1）得סܤܨܦ㜰㌳Ͳι t
ߙ
ʹ，
∵סᦙܦܤ㜰סᦙ䁡ܤ㜰ߙ，
∴סܨܤܦ㜰ͳൌͲι t סᦙܦܤt סܤܨܦ㜰㌳Ͳι t
ߙ
ʹ，
∴ܦܤ㜰ܦܨ．
∵ܨܩצ ᦙ䁡，
∴ס䁡ᦙܦ㜰סܦܨܩ．
∵ס䁡ᦙܦ㜰סܦܤܧ，
∴סܦܨܩ㜰סܦܤܧ．
∵ܤܧ㜰ܨܩ，
∴ᇞܤܦܧ≌ᇞܨܦܩᦙܵᦙܵሻ．
(3)①3；②cosߙ㜰
ͷ
ൌ
【分析】（1）根据סᦙܨܤt סܤܨܦ㜰סᦙ䁡ܤ㜰ߙ，סᦙܨܤܣסܤܨܦ㜰ͳൌͲι即可求解；
（2）由（1）的结论，ܨܩצ ᦙ䁡、ܤܧ㜰ܨܩ证ᇞܤܦܧ≌ᇞܨܦܩᦙܵᦙܵሻ即可；
（3）①通过角的转换得סᦙܤ䁡㜰סᦙܤܦt סܦܤܩ㜰
͵ߙ
ʹ ，即可求ᦙ䁡
Ⴃ的长；②连结ܤܱ，证ᇞܤܦܩ∽ᇞܤܱܨ，
设ܱ
ܨ㜰⸷힪，则ܱ
ܧ㜰ͳͳ힪，ܦܧ㜰ܦܩ㜰⸷힪ܩ，由相似的性质即可求解；
【详解】（1）∵סᦙܨܤt סܤܨܦ㜰סᦙ䁡ܤ㜰ߙ，①
又∵סᦙܨܤܣסܤܨܦ㜰ͳൌͲι，②
②-①，得2סܤܨܦ㜰ͳൌͲι t ߙ，
∴סܤܨܦ㜰㌳Ͳι t
ߙ
ʹ．
（2）略
（3）①∵ᇞܤܦܧ≌ᇞܨܦܩ，
∴סܨܦܩ㜰סܤܦܧ㜰ߙ，
∴סܤܦܩ㜰סܤܦܨܣסܧܦܩ㜰ʹߙ．
∵ܦܧ㜰ܦܩ，
∴סܦܩܧ㜰
ͳ
ʹ ͳൌͲι t סܨܦܩ㜰㌳Ͳι t
ߙ
ʹ，
∴在ᇞܤܦܩ中，סܦܤܩ㜰ͳൌͲι t סܤܦܩt סܦܩܧ㜰㌳Ͳι t
͵ߙ
ʹ ，
∵ᦙܦ为ٖܱ
的直径，
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∴סᦙܤܦ㜰㌳Ͳι．
∴סᦙܤ䁡㜰סᦙܤܦt סܦܤܩ㜰
͵ߙ
ʹ ．
∴ᦙ䁡
Ⴃ与ᦙܤ
Ⴃ的度数之比为3∶2．
∴ᦙ䁡
Ⴃ与ᦙܤ
Ⴃ的长度之比为3∶2，
∵ᦙܤ
Ⴃ㜰ʹ，
∴ᦙ䁡
Ⴃ㜰͵．
②如图，连结ܤܱ．
∵ܱܤ㜰ܱ
ܦ，
∴סܱܤܦ㜰סܱܦܤ㜰ߙ，
∴סܤܱܨ㜰סܱܤܦܣסܱܦܤ㜰ʹߙ．
∵סܤܦܩ㜰ʹߙ，
∴סܤܱܨ㜰סܤܦܩ．
∵סܤܩܦ㜰סܤܨܱ
㜰㌳Ͳι t
ߙ
ʹ，
∴ᇞܤܦܩ∽ᇞܤܱܨ，
设ᇞܤܦܩ与ᇞܤܱܨ的相似比为k，
∴
ܦܩܱ
ܨ㜰
ܤܦ
ܤܱ㜰ܩ．
∵ܱ
ܨܱ
ܧ㜰
⸷
ͳͳ，
∴设ܱ
ܨ㜰⸷힪，则ܱ
ܧ㜰ͳͳ힪，ܦܧ㜰ܦܩ㜰⸷힪ܩ，
∴ܱܤ㜰ܱ
ܦ㜰ܱ
ܧܧܦܣ㜰ͳͳ힪힪ܩ⸷ܣ，
ܤܦ㜰ܦܨ㜰ͳͷ힪힪ܩ⸷ܣ，
∴
ܤܦ
ܤܱ㜰
ͳͷ힪힪ܩ⸷ܣ
ͳͳ힪힪ܩ⸷ܣ㜰
ͳͷܩ⸷ܣ
ͳͳܩ⸷ܣ，
由
ͳͷܩ⸷ܣ
ͳͳܩ⸷ܣ㜰ܩ，得⸷ܩʹܩ͹ܣt ͳͷ 㜰Ͳ，
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解得ܩͳ 㜰
ͷ
⸷，ܩʹ 㜰t ͵（舍），
∴ܱܦ㜰ͳͳ힪힪ܩ⸷ܣ㜰ͳ͸힪，ܤܦ㜰ͳͷ힪힪ܩ⸷ܣ㜰ʹͲ힪，
∴ᦙܦ㜰ʹܱܦ㜰͵ʹ힪，
在ܴ
ݐᇞᦙܤܦ中，cosסᦙܦܤ㜰
ܤܦ
ᦙܦ㜰
ʹͲ힪
͵ʹ힪㜰
ͷ
ൌ，
∴cosߙ㜰
ͷ
ൌ．
10．（2022·浙江温州·中考真题）如图1，ᦙܤ为半圆O 的直径，C 为ܤᦙ延长线上一点，䁡ܦ切半圆于点D，
ܤܧ٣ 䁡ܦ，交䁡ܦ延长线于点E，交半圆于点F，已知ܤ䁡㜰ͷ䁠ܤܧ㜰͵．点P，Q 分别在线段ᦙܤ䁠ܤܧ上（不
与端点重合），且满足
ᦙܲ
ܤܳ㜰
ͷ
⸷．设ܤܳ
㜰힪䁠䁡ܲ
㜰㐮．
(1)求半圆O 的半径．
(2)求y 关于x 的函数表达式．
(3)如图2，过点P 作ܴܲ
٣ 䁡ܧ于点R，连结ܲܳ
䁠ܴܳ
．
①当ᇞܴܲܳ
为直角三角形时，求x 的值．
②作点F 关于ܴܳ
的对称点ܨԢ，当点ܨԢ落在ܤ䁡上时，求
䁡ܨԢ
ܤܨԢ的值．
【答案】(1)
ͳͷ
ൌ
(2)㐮㜰
ͷ
⸷힪ܣ
ͷ
⸷
(3)①
㌳
͹或
ʹͳ
ͳͳ；②
ͳ㌳
㌳
【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用ᇞ䁡ܱܦ∽ᇞ䁡ܤܧ，得ܱ
ܦ
ܤܧ㜰
䁡ܱ
䁡ܤ，代入计算即可；
（2）根据CP=AP 十AC，用含x 的代数式表示AP 的长，再由（1）计算求AC 的长即可；
（3）①显然סܴܲܳ
时㌳Ͳι，所以分两种情形，当סܴܲܳ
㜰㌳Ͳι时，则四边形RPQE 是矩形，当∠PQR
＝90°时，过点P 作PH⊥BE 于点H，则四边形PHER 是矩形，分别根据图形可得答案；
②连接ᦙܨ䁠ܳܨԢ，由对称可知ܳ
ܨ㜰ܳ
ܨԢ䁠סܨԢܴܳ
㜰סܧܴܳ
㜰⸷ͷι，利用三角函数表示出ܤܨԢ和BF 的长度，
从而解决问题．
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【详解】（1）解：如图1，连结ܱ
ܦ．设半圆O 的半径为r．
∵䁡ܦ切半圆O 于点D，
∴ܱܦ٣ 䁡ܦ．
∵ܤܧ٣ 䁡ܦ，
∴ܱܦצ ܤܧ，
∴ᇞ䁡ܱܦ∽ᇞ䁡ܤܧ，
∴ܱ
ܦ
ܤܧ㜰
䁡ܱ
䁡ܤ，
即
ݎ
͵ 㜰
ͷtݎ
ͷ ，
∴ݎ㜰
ͳͷ
ൌ，即半圆O 的半径是
ͳͷ
ൌ．
（2）由（1）得：䁡ᦙ㜰䁡ܤt ᦙܤ㜰ͷ t ʹ ൈ
ͳͷ
ൌ㜰
ͷ
⸷．
∵
ᦙܲ
ܤܳ㜰
ͷ
⸷䁠ܤܳ
㜰힪，
∴ᦙܲ
㜰
ͷ
⸷힪．
∵䁡ܲ
㜰ᦙܲܣᦙ䁡，
∴㐮㜰
ͷ
⸷힪ܣ
ͷ
⸷．
（3）①显然סܴܲܳ
时㌳Ͳι，所以分两种情况．
ⅰ）当סܴܲܳ
㜰㌳Ͳι时，如图2．
∵ܴܲ
٣ 䁡ܧ，
∴סܧܴܲ
㜰㌳Ͳι．
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∵סܧ㜰㌳Ͳι，
∴四边形ܴܲܳ
ܧ为矩形，
∴ܴܲ
㜰ܳ
ܧ．
∵ܴܲ
㜰ܲ
䁡ڄ sin䁡㜰
͵
ͷ 㐮㜰
͵
⸷힪ܣ
͵
⸷，
∴
͵
⸷힪ܣ
͵
⸷㜰͵ t 힪，
∴힪㜰
㌳
͹．
ⅱ）当סܴܲܳ
㜰㌳Ͳι时，过点P 作ܲ
ܪ٣ ܤܧ于点H，如图3，
则四边形ܲ
ܪܧܴ
是矩形，
∴ܲܪ㜰ܴ
ܧ䁠ܧܪ㜰ܴܲ
．
∵䁡ܤ㜰ͷ䁠ܤܧ㜰͵，
∴䁡ܧ㜰
ͷʹ t ͵ʹ 㜰⸷．
∵䁡ܴ
㜰䁡ܲ
ڄ cos䁡㜰
⸷
ͷ 㐮㜰힪ͳܣ，
∴ܲܪ㜰ܴ
ܧ㜰͵ t 힪㜰ܧܳ，
∴סܧܴܳ
㜰סܧܴܳ
㜰⸷ͷι，
∴סܲܳ
ܪ㜰⸷ͷι 㜰סܳܲ
ܪ，
∴ܪܳ
㜰ܪܲ
㜰͵ t 힪，
由ܧܪ㜰ܴܲ
得：ᦙ͵ t 힪ሻܣᦙ͵ t 힪ሻ㜰
͵
⸷힪ܣ
͵
⸷，
∴힪㜰
ʹͳ
ͳͳ．
综上所述，x 的值是
㌳
͹或
ʹͳ
ͳͳ．
②如图4，连结ᦙܨ䁠ܳܨԢ，
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由对称可知ܳ
ܨ㜰ܳ
ܨԢ，סܨԢܴܳ
㜰סܧܴܳ
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，
∵ܤܳ
㜰힪，䁡ܲ
㜰
ͷ
⸷힪ܣ
ͷ
⸷，
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴ᇞ䁡ܴܲ
∽ᇞ䁡ܤܧ，
∴
䁡ܲ
䁡ܴ㜰
䁡ܤ
䁡ܧ，
即：
ͷ
⸷힪ܣͷ
⸷
䁡ܴ
㜰
ͷ
⸷，
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴סܨԢܴܳ
㜰סܧܴܳ
㜰⸷ͷι
∴סܤܳܨԢ 㜰㌳Ͳι，
∴ܳܨ㜰ܳ
ܨԢ 㜰ܤܳ
ڄ tanܤ㜰
⸷
͵ 힪．
∵ᦙܤ是半圆O 的直径，
∴סᦙܨܤ㜰㌳Ͳι，
∴ܤܨ㜰ᦙܤڄ cosܤ㜰
㌳
⸷，
∴
⸷
͵ 힪힪ܣ㜰
㌳
⸷，
∴힪㜰
ʹ͹
ʹൌ，
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∴
䁡ܨԢ
ܤܨԢ 㜰
ܤ䁡tܤܨԢ
ܤܨԢ
㜰
ܤ䁡
ܤܨԢ t ͳ 㜰
͵
힪t ͳ 㜰
ͳ㌳
㌳．
11．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，以ᦙܤ为直径的ٖܱ
与ᦙܪ相切于点A，点C 在ᦙܤ左侧圆弧上，
弦䁡ܦ٣ ᦙܤ交ٖܱ
于点D，连接ᦙ䁡䁠ᦙܦ．点A 关于䁡ܦ的对称点为E，直线䁡ܧ交ٖܱ
于点F，交ᦙܪ于点
G．
(1)求证：ס䁡ᦙܩ㜰סᦙܩ䁡；
(2)当点E 在ᦙܤ上，连接ᦙܨ交䁡ܦ于点P，若
ܧܨ
䁡ܧ㜰
ʹ
ͷ，求
ܦܲ
䁡ܲ的值；
(3)当点E 在射线ᦙܤ上，ᦙܤ㜰ʹ，以点A，C，O，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求ᦙܧ的长．
【答案】(1)
证明：如图，设CD 与AB 相交于点M，
∵ٖܱ
与ᦙܪ相切于点A，
∴סܤᦙܩ㜰㌳Ͳל，
∵䁡ܦ٣ ᦙܤ，
∴סᦙܯ䁡㜰㌳Ͳל，
∴ᦙܩצ䁡ܦ，
∴ס䁡ᦙܩ㜰סᦙ䁡ܦ，סᦙܩ䁡㜰סܨ䁡ܦ，
∵点A 关于䁡ܦ的对称点为E，
∴סܨ䁡ܦ㜰סᦙ䁡ܦ，
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∴ס䁡ᦙܩ㜰סᦙܩ䁡．
(2)
ͷ
͹
(3)
͵t ͷ
ʹ 或ʹ t
ʹ或ʹܣʹ或
͵ܣͷ
ʹ
【分析】（1）设CD 与AB 相交于点M，由ٖܱ
与ᦙܪ相切于点A，得到סܤᦙܩ㜰㌳Ͳל，由䁡ܦ٣ ᦙܤ，
得到סᦙܯ䁡㜰㌳Ͳל，进而得到ᦙܩצ䁡ܦ，由平行线的性质推导得，ס䁡ᦙܩ㜰סᦙ䁡ܦ，סᦙܩ䁡㜰סܨ䁡ܦ，最后由点
A 关于䁡ܦ的对称点为E 得到סܨ䁡ܦ㜰סᦙ䁡ܦ即可证明．
（2）过F 点作ܨܭ٣ ᦙܤ于点K，设AB 与CD 交于点N，连接DF，证明סܨᦙܦ㜰סᦙܦ䁡得到ܦܲ
㜰ᦙܲ，
再证明ᇞ䁡ܲᦙ≌ᇞܨܲܦ得到ܲ
ܨ㜰ܲ
䁡；最后根据ᇞܭܧܨ∽ᇞܰ
ܧ䁡及ᇞᦙܲܰ
∽ᇞᦙܨܭ得到
ܭܧ
ܧܰ
㜰
ܧܨ
䁡ܧ㜰
ʹ
ͷ和ܲ
ᦙ
ᦙܨ㜰
ᦙܰ
ᦙܭ㜰
ͷ
ͳʹ，最后根据平行线分线段成比例求解．
（3）分四种情形：如图1 中，当ܱ
䁡צᦙܨ时，如图2 中，当ܱ
䁡צᦙܨ时，如图3 中，当ᦙ䁡צܱܨ时，如
图4 中，当ᦙ䁡צܱܨ时，分别求解即可．．
【详解】（1）略
（2）解：过F 点作ܨܭ٣ ᦙܤ于点K，设AB 与CD 交于点N，连接DF，如下图所示：
由同弧所对的圆周角相等可知：סܨ䁡ܦ㜰סܨᦙܦ，
∵ᦙܤ为ٖܱ
的直径，且䁡ܦ٣ ᦙܤ，由垂径定理可知：ᦙ䁡
Ⴃ㜰ᦙܦ
Ⴃ，
∴סᦙ䁡ܦ㜰סᦙܦ䁡，
∵点A 关于䁡ܦ的对称点为E，
∴סܨ䁡ܦ㜰סᦙ䁡ܦ，
∴סܨᦙܦ㜰סܨ䁡ܦ㜰סᦙ䁡ܦ㜰סᦙܦ䁡，即סܨᦙܦ㜰סᦙܦ䁡，
∴ܦܲ
㜰ᦙܲ，
由同弧所对的圆周角相等可知：סᦙ䁡ܲ
㜰סܦܨܲ，且ס䁡ܲᦙ㜰סܨܲܦ，
∴ᇞ䁡ܲᦙ≌ᇞܨܲܦ，
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∴ܲ䁡㜰ܲ
ܨ，
∵ܨܭ٣ ᦙܤ，AB 与CD 交于点N，
∴סܨܭܧ㜰ס䁡ܰܧ㜰㌳Ͳל．
∵סܭܧܨ㜰סܰܧ䁡，סܨܭܧ㜰ס䁡ܰܧ㜰㌳Ͳל，
∴ᇞܭܧܨ∽ᇞܰ
ܧ䁡，
∴
ܭܧ
ܧܰ㜰
ܧܨ
䁡ܧ㜰
ʹ
ͷ，设KE=2x，EN=5x，
∵点A 关于䁡ܦ的对称点为E，
׵ ᦙܰ
㜰ܧܰ
㜰ͷ힪，ᦙܧ㜰ᦙܰܣܰ
ܧ㜰ͳͲ힪，ᦙܭ㜰ᦙܧܧܭܣ㜰ͳʹ힪，
又ܨܭצܲܰ
，
∴Δᦙܲܰ
׽ Δᦙܨܭ，
∴ܲ
ᦙ
ᦙܨ㜰
ᦙܰ
ᦙܭ㜰
ͷ힪
ͳʹ힪㜰
ͷ
ͳʹ．
∵סܨ䁡ܦ㜰ס䁡ܦᦙ，
∴䁡ܨצᦙܦ，
∴
ܦܲ
䁡ܲ㜰
ᦙܲܲ
ܨ㜰
ᦙܲ
ᦙܨtᦙܲ㜰
ͷ
͹；
（3）解：分类讨论如下：
如图1 中，当ܱ
䁡צᦙܨ时，连接ܱ
䁡，ܱܨ，设סᦙܩܨ㜰ߙ，则ס䁡ᦙܩ㜰סᦙ䁡ܦ㜰סܦ䁡ܨ㜰סᦙܨܩ㜰ߙ，
∵ܱ䁡צᦙܨ，
׵ סܱ䁡ܨ㜰סᦙܨ䁡㜰ߙ，
׶ܱ
䁡㜰ܱ
ᦙ，
׵ סܱ䁡ᦙ㜰סܱᦙ䁡㜰͵ߙ，
׶ סܱᦙܩ㜰⸷ͷι，
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׵ ⸷ߙ㜰㌳Ͳι，
׵ ߙ㜰ʹʹ䁕ͷι，
׶ܱ
䁡㜰ܱ
ܨ，ܱᦙ㜰ܱ
ܨ，
׵ סܱܨ䁡㜰סܱ䁡ܨt סᦙܨ䁡㜰ʹʹ䁕ͷι，
׵ סܱܨᦙ㜰סܱᦙܨ㜰⸷ͷι，
׵ ᦙܨ㜰
ʹܱܨ㜰
ʹܱ䁡，
∵ܱ䁡צᦙܨ，
׵
ᦙܧܱ
ܧ㜰
ᦙܨܱ
䁡㜰
ʹ ׵，
׶ܱ
ᦙ㜰ͳ，
׵ ᦙܧ㜰
ʹ
ͳܣʹ 㜰ʹ t
ʹ；
如图2 中，当ܱ
䁡צᦙܨ时，连接ܱ
䁡，设䁡ܦ交ᦙܧ点ܯ．
设סܱᦙ䁡㜰ߙ，
∵ܱ䁡צᦙܨ，
׵ סܨᦙ䁡㜰סܱ䁡ᦙ㜰ߙ，
׵ ס䁡ܱܧ㜰סܨᦙܧ㜰ʹߙ，
׶ סᦙܨܦ㜰סܦ，סᦙܩܨ㜰סܦ，
׵ סᦙܩ䁡㜰סᦙܨܩ㜰סᦙܧ䁡ܣסܨᦙܧ㜰͵ߙ，
׶ סᦙܩ䁡ܣסᦙܧ䁡㜰㌳Ͳι，
׵ ⸷ߙ㜰㌳Ͳι，
׵ ߙ㜰ʹʹ䁕ͷι，ʹߙ㜰⸷ͷι，
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׵ Δ䁡ܱܯ是等腰直角三角形，
׵ܱ
䁡㜰
ʹܱܯ，
׵ܱ
ܯ㜰
ʹ
ʹ ，ᦙܯ㜰
ʹ
ʹͳܣ，
׵ ᦙܧ㜰ʹᦙܯ㜰ʹܣʹ；
如图3 中，当ᦙ䁡צܱܨ时，连接ܱ
䁡，ܱܨ，
设סᦙܩܨ㜰ߙ，
׶ סᦙ䁡ܨ㜰סᦙ䁡ܦܣסܦ䁡ܨ㜰ʹߙ，
∵ᦙ䁡צܱܨ，
׵ ס䁡ܨܱ
㜰סᦙ䁡ܨ㜰ʹߙ，
׵ ס䁡ᦙܱ
㜰סᦙ䁡ܱ
㜰⸷ߙ，
׶ סᦙܱ䁡ܣסܱᦙ䁡ܣסᦙ䁡ܱ
㜰ͳൌͲι，
׵ ͳͲߙ㜰ͳൌͲι，
׵ ߙ㜰ͳൌι，
׵ ס䁡ܱܧ㜰סܧ䁡ܱ
t ס䁡ܨܱ
㜰͵͸ι，
׵ Δܱ䁡ܧ׽ Δܨ䁡ܱ
、，
׵ܱ
䁡ʹ 㜰䁡ܧڄ 䁡ܨ、，
׵ ͳ 㜰䁡ܧ䁡ܧͳܣ、，
׵ 䁡ܧ㜰ᦙ䁡㜰ܱ
ܧ㜰
ͷtͳ
ʹ ，
׵ ᦙܧ㜰ܱ
ᦙtܱ
ܧ㜰
͵t ͷ
ʹ ；
如图4 中，当ᦙ䁡צܱܨ时，连接ܱ
䁡，ܱܨ，ܤܨ．
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设סܨᦙܱ
㜰ߙ，
∵ᦙ䁡צܱܨ，
׵ ס䁡ᦙܨ㜰סܱܨᦙ㜰ߙ，
׵ ס䁡ܱܨ㜰סܤܱܨ㜰ʹߙ，
׶ ᦙ䁡㜰ᦙܧ，
׵ סᦙܧ䁡㜰ס䁡ᦙܧ㜰סܧܨܤ，
׵ ܤܨ㜰ܤܧ，
由Δܱ䁡ܨ؆ Δܱܤܨ，
׵ 䁡ܨ㜰ܤܨ㜰ܤܧ，
׶ סܧ㜰ס䁡ܱܨ，
׵ Δ䁡ܱܨ׽ Δ䁡ܧܱ，
׵ܱ
䁡ʹ 㜰䁡ܧڄ 䁡ܨ，
׵ ܤܧ㜰䁡ܨ㜰
ͷtͳ
ʹ ，
׵ ᦙܧ㜰ᦙܤܧܤܣ㜰
͵ܣͷ
ʹ ．
综上所述，满足条件的ᦙܧ的长为ʹ t
ʹ或ʹܣʹ或
͵t ͷ
ʹ 或
͵ܣͷ
ʹ
考点04
新定义、存在性与探究问题
1．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻
等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
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(1)如图1，在四边形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܦצ ܤ䁡䁠סᦙ㜰㌳Ͳι，对角线ܤܦ平分סᦙܦ䁡．求证：四边形ᦙܤ䁡ܦ为邻等四
边形．
(2)如图2，在6×5 的方格纸中，A，B，C 三点均在格点上，若四边形ᦙܤ䁡ܦ是邻等四边形，请画出所有符
合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ᦙܤ䁡ܦ是邻等四边形，סܦᦙܤ㜰סᦙܤ䁡㜰㌳Ͳι，סܤ䁡ܦ为邻等角，连接ᦙ䁡，过B 作ܤܧצ ᦙ䁡
交ܦᦙ的延长线于点E．若ᦙ䁡㜰ൌ䁠ܦܧ㜰ͳͲ，求四边形ܧܤ䁡ܦ的周长．
【答案】(1)
证明：∵ᦙܦצ ܤ䁡䁠סᦙ㜰㌳Ͳι，
∴סᦙܤ䁡㜰ͳൌͲι t סᦙ㜰㌳Ͳι，סᦙܦܤ㜰ס䁡ܤܦ，
∵对角线ܤܦ平分סᦙܦ䁡，
∴סᦙܦܤ㜰ס䁡ܦܤ，
∴ס䁡ܤܦ㜰ס䁡ܦܤ，
∴䁡ܦ㜰䁡ܤ，
∴四边形ᦙܤ䁡ܦ为邻等四边形．
(2)
如图，ܦͳ，ܦʹ，ܦ͵即为所求；
(3)͵ൌt ͸ ʹ
【分析】（1）先证明סᦙܤ䁡㜰ͳൌͲι t סᦙ㜰㌳Ͳι，סᦙܦܤ㜰ס䁡ܤܦ，再证明䁡ܦ㜰䁡ܤ，即可得到结论；
（2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①סܤ㜰ס䁡㜰㌳Ͳ，结合图形再确定满足䁡ܤ㜰䁡ܦ或ᦙܦ㜰
䁡ܦ的格点D；②סܤ㜰סᦙ㜰㌳Ͳ，结合图形再确定满足ᦙܤ㜰ᦙܦ的格点D；
（3）如图，过䁡作䁡ܳ
٣ ᦙܦ于ܳ
，可得四边形ᦙܤ䁡ܳ
是矩形，ᦙܳ
㜰ܤ䁡，ᦙܦצܤ䁡，证明四边形ᦙ䁡ܤܧ
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为平行四边形，可得ܤܧ㜰ᦙ䁡㜰ൌ，ᦙܧ㜰ܤ䁡，设ܤ䁡㜰ᦙܧ㜰힪，而ܦܧ㜰ͳͲ，ᦙܦ㜰ͳͲ t 힪，ܦܳ
㜰힪t ͳͲ t
힪㜰ʹ힪t ͳͲ，由新定义可得䁡ܦ㜰䁡ܤ㜰힪，由勾股定理可得：힪ʹ t ʹ힪t ͳͲ ʹ 㜰ൌʹ t 힪ʹ，再解方程可得答
案．
【详解】（1）略
（2）略
（3）如图，过䁡作䁡ܳ
٣ ᦙܦ于ܳ
，
∵סܦᦙܤ㜰סᦙܤ䁡㜰㌳Ͳι，
∴四边形ᦙܤ䁡ܳ
是矩形，
∴ᦙܳ
㜰ܤ䁡䁠ᦙܤ㜰䁡ܳ，ᦙܦצܤ䁡，
∵ܤܧצᦙ䁡，
∴四边形ᦙ䁡ܤܧ为平行四边形，
∴ܤܧ㜰ᦙ䁡㜰ൌ，ᦙܧ㜰ܤ䁡，
设ܤ䁡㜰ᦙܧ㜰힪，而ܦܧ㜰ͳͲ，
∴ᦙܦ㜰ͳͲ t 힪，ܦܳ
㜰힪t ͳͲ t 힪㜰ʹ힪t ͳͲ，
由新定义可得䁡ܦ㜰䁡ܤ㜰힪，
由勾股定理可得：힪ʹ t ʹ힪t ͳͲ ʹ 㜰ൌʹ t 힪ʹ，
整理得：힪ʹ t ʹͲ힪ܣൌʹ 㜰Ͳ，
解得：힪ͳ 㜰ͳͲ t ͵ ʹ，힪ʹ 㜰ͳͲ͵ܣʹ൐ൌ（不符合题意舍去），
∴䁡ܤ㜰䁡ܦ㜰ͳͲ t ͵ ʹ，
∴四边形ܧܤ䁡ܦ的周长为ͳͲܣൌʹܣͳͲ t ͵ ʹ 㜰͵ൌt ͸ ʹ．
2．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】
（1）如图1，在正方形ᦙܤ䁡ܦ中，点P 在边ᦙܤ的延长线上，连接ܲ
ܦ，过点D 作ܦܯ٣ܲ
ܦ，交ܤ䁡的延
长线于点M．求证：ᇞܦᦙܲ≌ᇞܦ䁡ܯ．
【变式求异】
（2）如图2，在Rt ᇞᦙܤ䁡中，סᦙܤ䁡㜰㌳Ͳι，点D 在边ᦙܤ上，过点D 作ܦܳ
٣ ᦙܤ，交ᦙ䁡于点Q，点P
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在边ᦙܤ的延长线上，连接ܲܳ
，过点Q 作ܳ
ܯ٣ܲܳ
，交射线ܤ䁡于点M．已知ܤ䁡㜰ൌ，ᦙ䁡㜰ͳͲ，ᦙܦ㜰ʹܦܤ，
求ܲܳܳܯ的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt ᇞᦙܤ䁡中，סܤᦙ䁡㜰㌳Ͳι，点P 在边ᦙܤ的延长线上，点Q 在边ᦙ䁡上（不与点A，C 重
合），连接ܲܳ
，以Q 为顶点作סܲܳ
ܯ㜰סܲܤ䁡，סܲܳ
ܯ的边ܳ
ܯ交射线ܤ䁡于点M．若ᦙ䁡㜰݉
ᦙܤ，䁡ܳ
㜰݊
ᦙ䁡
（m，n 是常数），求ܲܳܳܯ的值（用含m，n 的代数式表示）．
【答案】
（1）证明：在正方形ᦙܤ䁡ܦ中，
סᦙ㜰סᦙܦ䁡㜰סܤ䁡ܦ㜰㌳Ͳι，ᦙܦ㜰ܦ䁡，
∴סᦙ㜰סܦ䁡ܯ㜰㌳Ͳι，
∵ܦܯ٣ܲ
ܦ，
∴סᦙܦܲܣסܲܦ䁡㜰ס䁡ܦܯܣסܲܦ䁡㜰㌳Ͳι，
∴סᦙܦܲ
㜰ס䁡ܦܯ，
∴ᇞܦᦙܲ≌ᇞܦ䁡ܯASA ．
（2）
ൌ
͵；
（3）
ͳt݊݊
ͳܣ݉
ʹ
【分析】（1）根据ASA 证明ᇞܦᦙܲ≌ᇞܦ䁡ܯ即可；
（2）证明ᇞܦܳܲ
∽ᇞܰܳ
ܯ，得出ܲܳܳܯ㜰
ܦܳܳܰ㜰
ܦܳ
ܦܤ，根据勾股定理ᦙܤ㜰
ᦙ䁡ʹ t ܤ䁡ʹ 㜰͸，根据ܦܳ
צ ܤ䁡，
得出ᇞᦙܦܳ∽ᇞᦙܤ䁡，求出
ܦܳ
ܤ䁡㜰
ᦙܦ
ᦙܤ㜰
ʹ
͵，得出ܦܳ
㜰
ͳ͸
͵ ，求出ܲܳܳܯ㜰
ܦܳ
ܦܤ㜰
ൌ
͵；
（3）ܤ䁡㜰
ᦙܤʹܣᦙ䁡ʹ 㜰
ͳܣ݉
ʹᦙܤ，作ܳܰ
٣ ܤ䁡于点N，证明ᇞܳ
ᦙܲ∽ᇞܳܰ
ܯ，得出ܲܳܳܯ㜰
ᦙܳܰܳ．证
明ᇞܳ
䁡ܰ∽ᇞܤ䁡ᦙ，得出ܳܰܤᦙ㜰
䁡ܳ
䁡ܤ㜰݉݊
ᦙܤ
ͳܣ݉
ʹᦙܤ㜰݉݊
ͳܣ݉
ʹ，求出ܲܳܳܯ㜰
ᦙܳܰܳ
㜰
ͳt݊݊
ͳܣ݉
ʹ．
【详解】（1）略
（2）如图1，作ܳܰ
٣ ܤ䁡于点N，如图所示：
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∵סᦙܤ䁡㜰㌳Ͳι，ܦܳ
٣ ᦙܤ，
∴四边形ܦܤܰܳ
是矩形，
∴סܦܳܰ
㜰㌳Ͳι，ܳܰ
㜰ܦܤ，
∵ܳܯ٣ܲܳ
，
∴סܦܳܲܣסܲܳܰ
㜰סܯܳܰܣסܲܳܰ
㜰㌳Ͳι，
∴סܦܳܲ
㜰סܯܳܰ
，
∵סܳܦܲ
㜰סܳܰ
ܯ㜰㌳Ͳι，
∴ᇞܦܳܲ
∽ᇞܰܳ
ܯ，
∴ܲܳܳܯ㜰
ܦܳܳܰ㜰
ܦܳ
ܦܤ，
∵ܤ䁡㜰ൌ，ᦙ䁡㜰ͳͲ，סᦙܤ䁡㜰㌳Ͳι，
∴ᦙܤ㜰
ᦙ䁡ʹ t ܤ䁡ʹ 㜰͸，
∵ᦙܦ㜰ʹܦܤ，
∴ܦܤ㜰ʹ，
∵סᦙܦܳ
㜰סᦙܤ䁡㜰㌳Ͳι，
∴ܦܳ
צ ܤ䁡，
∴ᇞᦙܦܳ∽ᇞᦙܤ䁡，
∴
ܦܳ
ܤ䁡㜰
ᦙܦ
ᦙܤ㜰
ʹ
͵，
∴ܦܳ
㜰
ͳ͸
͵ ，
∴ܲܳܳܯ㜰
ܦܳ
ܦܤ㜰
ൌ
͵；
（3）∵ᦙ䁡㜰݉
ᦙܤ，䁡ܱ
㜰݊
ᦙ䁡，
∴䁡ܳ
㜰݉݊
ᦙܤ，
∴ᦙܳ
㜰ᦙ䁡t 䁡ܳ
㜰݉
t݉݊
ᦙܤ．
∵סܤᦙ䁡㜰㌳Ͳι，
∴ܤ䁡㜰
ᦙܤʹܣᦙ䁡ʹ 㜰
ͳܣ݉
ʹᦙܤ，
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如图2，作ܳܰ
٣ ܤ䁡于点N，
∵סᦙܣסᦙܤܰܣסܤܰܳܣסᦙܳܰ
㜰͵͸Ͳι，
∴סᦙܤܰܣסᦙܳܰ
㜰ͳൌͲι，
∴סᦙܳܰ
㜰סܲܤܰ．
∵סܲܳ
ܯ㜰סܲܤ䁡，
∴סܲܳ
ܯ㜰סᦙܳܰ
，
∴סᦙܳܲ
㜰סܰܳ
ܯ，
∵סᦙ㜰סܳܰ
ܯ㜰㌳Ͳι，
∴ᇞܳ
ᦙܲ∽ᇞܳܰ
ܯ，
∴ܲܳܳܯ㜰
ᦙܳܰܳ．
∵סᦙ㜰סܳܰ
䁡㜰㌳Ͳι，סܳ䁡ܰ
㜰סܤ䁡ᦙ，
∴ᇞܳ
䁡ܰ∽ᇞܤ䁡ᦙ，
∴ܳܰܤᦙ㜰
䁡ܳ
䁡ܤ㜰݉݊
ᦙܤ
ͳܣ݉
ʹᦙܤ㜰݉݊
ͳܣ݉
ʹ，
∴ܳܰ
㜰݉݊
ͳܣ݉
ʹ ᦙܤ
∴ܲܳܳܯ㜰
ᦙܳܰܳ
㜰
ͳt݊݊
ͳܣ݉
ʹ．
3．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小东在做九上课本123 页习题：“1：ʹ也是一个很有趣的比．已知线段AB
（如图1），用直尺和圆规作AB 上的一点P，使AP：AB＝1：ʹ．”小东的作法是：如图2，以AB 为斜边
作等腰直角三角形ABC，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P，点P 即为所求作的点．小
东称点P 为线段AB 的“趣点”．
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(1)你赞同他的作法吗？请说明理由．
(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造
ᇞDPE，使得ᇞDPE∽ᇞCPB．
①如图3，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数．
②如图4，DE 分别交CP，CB 于点M，N，当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N 是否
为线段ME 的“趣点”？并说明理由．
【答案】(1)赞同，理由见解析，
(2)①⸷ͷι，②点N 是线段ME 的“趣点”，理由见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明
ᦙ䁡
ᦙܤ㜰
ͳ
ʹ 䁠再利用ᦙ䁡㜰ᦙܲ䁠从而可得结论；
（2）①由题意可得：ס䁡ᦙܤ㜰סܤ㜰⸷ͷι䁠סᦙ䁡ܤ㜰㌳Ͳι䁠ᦙ䁡㜰ᦙܲ
㜰ܤ䁡䁠再求解סᦙ䁡ܲ
㜰סᦙܲ䁡㜰͸͹䁕ͷι䁠
ס䁡ܲܤ㜰ͳͳʹ䁕ͷι䁠证明סܦܲܧ㜰ס䁡ܲܤ㜰ͳͳʹ䁕ͷι䁠从而可得答案；②先证明ᇞᦙܦܲ
∽ᇞᦙ䁡ܤ䁠可得סᦙܲܦ㜰
⸷ͷι䁠ܦܲצ䁡ܤ䁠再证明ܯܲ
㜰ܯܦ㜰ܯ䁡㜰ܯܰ䁠סܧܯܲ
㜰⸷ͷι䁠סܯܲܧ㜰㌳Ͳι䁠从而可得结论．
【详解】（1）证明：赞同，理由如下：
׶ 等腰直角三角形ABC，
׵ ᦙ䁡㜰ܤ䁡䁠סᦙ㜰סܤ㜰⸷ͷι䁠
׵ cos⸷ͷι 㜰
ᦙ䁡
ᦙܤ㜰
ʹ
ʹ 㜰
ͳ
ʹ 䁠
׶ ᦙ䁡㜰ᦙܲ䁠
׵
ᦙܲ
ᦙܤ㜰
ͳ
ʹ 䁠
∴点P 为线段AB 的“趣点”．
（2）①由题意可得：ס䁡ᦙܤ㜰סܤ㜰⸷ͷι䁠סᦙ䁡ܤ㜰㌳Ͳι䁠ᦙ䁡㜰ᦙܲ
㜰ܤ䁡䁠
׵ סᦙ䁡ܲ
㜰סᦙܲ䁡㜰
ͳ
ʹ ᦙͳൌͲι t ⸷ͷιሻ㜰͸͹䁕ͷι䁠
׵ סܤ䁡ܲ
㜰㌳Ͳι t ͸͹䁕ͷι 㜰ʹʹ䁕ͷι䁠
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׵ ס䁡ܲܤ㜰ͳൌͲι t ⸷ͷι t ʹʹ䁕ͷι 㜰ͳͳʹ䁕ͷι䁠
׶ ᇞDPE∽ᇞCPB，D，A 重合，
׵ סܦܲܧ㜰ס䁡ܲܤ㜰ͳͳʹ䁕ͷι䁠
׵ ס䁡ܲܧ㜰סܦܲܧܣס䁡ܲܤt ͳൌͲι 㜰⸷ͷι䁕
②点N 是线段ME 的“趣点”，理由如下：
当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD＜AD），
׵
ᦙܦ
ᦙ䁡㜰
ͳ
ʹ 䁠而ᦙ䁡㜰ᦙܲ䁠
׵
ᦙܦ
ᦙܲ㜰
ͳ
ʹ 䁠
׶
ᦙ䁡
ᦙܤ㜰
ͳ
ʹ 䁠סᦙ㜰סᦙ䁠
׵ᇞᦙܦܲ
∽ᇞᦙ䁡ܤ䁠
׵ סᦙܦܲ
㜰סᦙ䁡ܤ㜰㌳Ͳι䁠
׵ סᦙܲܦ㜰⸷ͷι䁠ܦܲצ䁡ܤ䁠
׵ סܦܲ䁡㜰סܲ䁡ܤ㜰ʹʹ䁕ͷι 㜰סܲܦܧ䁠
׵ ܦܯ㜰ܲ
ܯ䁠
׵ סܯܦ䁡㜰סܯ䁡ܦ㜰㌳Ͳι t ʹʹ䁕ͷι 㜰͸͹䁕ͷι䁠
׵ ܯܦ㜰ܯ䁡䁠
同理可得：ܯ䁡㜰ܯܰ䁠
׵ ܯܲ
㜰ܯܦ㜰ܯ䁡㜰ܯܰ䁠
׶ סܯܦܲ
㜰סܯܲܦ㜰ʹʹ䁕ͷι䁠סܧ㜰סܤ㜰⸷ͷι䁠
׵ סܧܯܲ
㜰⸷ͷι䁠סܯܲܧ㜰㌳Ͳι䁠
׵
ܯܲ
ܯܧ㜰
ͳ
ʹ 㜰
ܯܰ
ܯܧ䁠
׵ 点N 是线段ME 的“趣点”．
4．（2022·浙江台州·中考真题）图1 中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方
形ᦙܤ䁡ܦ各边上分别取点ܤͳ，䁡ͳ，ܦͳ，ᦙͳ，使ᦙܤͳ 㜰ܤ䁡ͳ 㜰䁡ܦͳ 㜰ܦᦙͳ 㜰
⸷
ͷ ᦙܤ，依次连接它们，得到四边
形ᦙͳܤͳ䁡ͳܦͳ；再在四边形ᦙͳܤͳ䁡ͳܦͳ各边上分别取点ܤʹ，䁡ʹ，ܦʹ，ᦙʹ，使ᦙͳܤʹ 㜰ܤͳ䁡ʹ 㜰䁡ͳܦʹ 㜰ܦͳᦙʹ 㜰
⸷
ͷ ᦙͳܤͳ，
依次连接它们，得到四边形ᦙʹܤʹ䁡ʹܦʹ；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．
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(1)求证：四边形ᦙͳܤͳ䁡ͳܦͳ是正方形；
(2)求
ᦙͳܤͳ
ᦙܤ的值；
(3)请研究螺旋折线ܤܤͳܤʹܤ͵…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)
ͳ͹
ͷ
(3)螺旋折线ܤܤͳܤʹܤ͵…中相邻线段的比均为
ͷ ͳ͹
ͳ͹ 或
ͳ͹
ͷ ，见解析
【分析】（1）证明ᇞᦙܤͳᦙͳ≌ᇞܤ䁡ͳܤͳ，则ᦙͳܤͳ 㜰ܤͳ䁡ͳ，同理可证ܤͳ䁡ͳ 㜰䁡ͳܦͳ 㜰ܦͳᦙͳ 㜰ᦙͳܤͳ，再
证明有一个角为直角，即可证明四边形为正方形；
（2）勾股定理求解ᦙͳܤͳ的长度，再作比即可；
（3）两个结论：螺旋折线ܤܤͳܤʹܤ͵…中相邻线段的比均为
ͷ ͳ͹
ͳ͹ 或
ͳ͹
ͷ ；螺旋折线ܤܤͳܤʹܤ͵…中相邻线段
的夹角的度数不变，选一个证明即可，证明过程见详解．
【详解】（1）在正方形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܤ㜰ܤ䁡，סᦙ㜰סܤ㜰㌳Ͳι，
又∵ᦙܤͳ 㜰ܤ䁡ͳ 㜰䁡ܦͳ 㜰ܦᦙͳ 㜰
⸷
ͷ ᦙܤ，
∴ᦙᦙͳ 㜰ܤܤͳ 㜰
ͳ
ͷ ᦙܤ．
∴ᇞᦙܤͳᦙͳ≌ᇞܤ䁡ͳܤͳ．
∴ᦙͳܤͳ 㜰ܤͳ䁡ͳ，סᦙܤͳᦙͳ 㜰סܤ䁡ͳܤͳ．
又∵סܤ䁡ͳܤͳܣסܤܤͳ䁡ͳ 㜰㌳Ͳι，
∴סܤܤͳ䁡ͳܣסᦙܤͳᦙͳ 㜰㌳Ͳι．
∴סᦙͳܤͳ䁡ͳ 㜰㌳Ͳι．
同理可证：ܤͳ䁡ͳ 㜰䁡ͳܦͳ 㜰ܦͳᦙͳ 㜰ᦙͳܤͳ．
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∴四边形ᦙͳܤͳ䁡ͳܦͳ是正方形．
（2）∵ᦙܤͳ 㜰ܤ䁡ͳ 㜰䁡ܦͳ 㜰ܦᦙͳ 㜰
⸷
ͷ ᦙܤ，设ᦙܤ㜰ͷ⸶，则ᦙܤͳ 㜰⸷⸶．
∴ܤͳܤ㜰ᦙᦙͳ 㜰⸶．
∴由勾股定理得：ᦙͳܤͳ 㜰
ͳ͹⸶．
∴
ᦙͳܤͳ
ᦙܤ㜰
ͳ͹⸶
ͷ⸶㜰
ͳ͹
ͷ ．
（3）结论1：螺旋折线ܤܤͳܤʹܤ͵…中相邻线段的比均为
ͷ ͳ͹
ͳ͹ 或
ͳ͹
ͷ ．
证明：∵ᦙܤͳ 㜰
⸷
ͷ ᦙܤ，
∴ܤܤͳ 㜰
ͳ
ͷ ᦙܤ．
同理，ܤͳܤʹ 㜰
ͳ
ͷ ᦙͳܤͳ．…
∴
ܤͳܤ
ܤͳܤʹ 㜰
ᦙܤ
ᦙͳܤͳ 㜰
ͷ ͳ͹
ͳ͹ ．
同理可得
ܤͳܤʹ
ܤʹܤ͵ 㜰
ͷ ͳ͹
ͳ͹ ，…
∴螺旋折线ܤܤͳܤʹܤ͵…中相邻线段的比均为
ͷ ͳ͹
ͳ͹ 或
ͳ͹
ͷ ．
结论2：螺旋折线ܤܤͳܤʹܤ͵…中相邻线段的夹角的度数不变．
证明：∵
ܤͳܤ
ܤ䁡ͳ 㜰
ܤʹܤͳ
ܤͳ䁡ʹ 㜰
ͳ
⸷，סᦙͳܤͳ䁡ͳ 㜰סᦙܤ䁡㜰㌳Ͳι，
∴ᇞܤܤͳ䁡ͳ∽ᇞܤͳܤʹ䁡ʹ，
∴סܤܤͳ䁡ͳ 㜰סܤͳܤʹ䁡ʹ．
同理得：סܤͳܤʹ䁡ʹ 㜰סܤʹܤ͵䁡͵，
∵ס䁡ͳܤͳܤʹ 㜰ס䁡ʹܤʹܤ͵ 㜰㌳Ͳι，
∴סܤܤͳ䁡ͳܣס䁡ͳܤͳܤʹ 㜰סܤͳܤʹ䁡ʹܣס䁡ʹܤʹܤ͵，即סܤܤͳܤʹ 㜰סܤͳܤʹܤ͵．
同理可证סܤͳܤʹܤ͵ 㜰סܤʹܤ͵ܤ⸷㜰ڄڄڄ．
∴螺旋折线ܤܤͳܤʹܤ͵…中相邻线段的夹角的度数不变．
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1．
（2026·浙江绍兴·一模）如图，四边形ᦙܤ䁡ܦ内接于圆O，ᦙܤ为直径，䁡ܦ㜰䁡ܤ，ᦙ䁡交ܤܦ于点G，䁡ܧ٣ ᦙܤ，
垂足为E，䁡ܧ交ܤܦ于点F．
(1)如图1，证明：ܨ䁡㜰ܨܤ．
(2)如图2，连结ܱ
ܨ，若ס䁡ᦙܦ㜰ʹͲι，求סܱܨܧ的度数．
(3)如图3，连结ܱ
ܩ，若ܱ
ܩ㜰⸷，ܤܱ
㜰ܤܩ，求四边形ܱ
ܧܨܩ的面积．
【答案】(1)证明：׶ ᦙܤ为直径，所以סᦙ䁡ܤ㜰㌳Ͳι，ס䁡ᦙܤܣס䁡ܤᦙ㜰㌳Ͳι．
又׶ 䁡ܧ٣ ᦙܤ．
׵ סܤ䁡ܧܣס䁡ܤᦙ㜰㌳Ͳι．
׵ ס䁡ᦙܤ㜰סܤ䁡ܧ．
׶ 䁡ܦ㜰䁡ܤ，
׵ ס䁡ܤܦ㜰ס䁡ܦܤ㜰ס䁡ᦙܤ．
׵ ס䁡ܤܦ㜰סܤ䁡ܧ，
׵ ܨ䁡㜰ܨܤ．
(2)͹Ͳι
(3)
⸷ൌ
ͷ
【分析】（1）根据圆中直径对应的圆周角为㌳Ͳι和䁡ܧ٣ ᦙܤ证明ס䁡ܤܦ㜰סܤ䁡ܧ即可．
（2）根据已知关系证明䁡ܨ㜰ܨܩ，得到F 是ܤܩ中点，从而ܱ
ܨ是中位线，故ܱ
ܨצ ᦙܩ，再根据弧长
相等则对应的角相等求得סܨܱܧ㜰ʹͲι ，最后求出סܱܨܧ．
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（3）连结ܱ
ܨ，过O 作ܱ
ܪ٣ ᦙ䁡，垂足为H，证明ᇞᦙܱܪ≌ᇞܤܩ䁡AAS ，得出相应边的比例关系，三
角形的面积关系，用勾股定理表示出相应边和面积，最后求解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）已知סܨܤ䁡㜰סܨ䁡ܤ，סᦙ䁡ܤ㜰㌳Ͳι，䁡ܨ㜰ܤܨ，
׵ סܨܤ䁡ܣס䁡ܩܤ㜰סܨ䁡ܤܣסܨ䁡ܩ㜰㌳Ͳι，
׵ סܨ䁡ܩ㜰ס䁡ܩܤ．
׵ ܨ䁡㜰ܨܩ，
׵ ܨܩ㜰ܨܤ，即F 是ܤܩ中点，
׶O 是ᦙܤ的中点，
所以ܱ
ܨצᦙܩ．
׶ ס䁡ᦙܦ㜰ʹͲι，䁡ܦ㜰䁡ܤ，
׵ 䁡ܤ
෼
㜰䁡ܦ
෼
，
׵ ס䁡ᦙܤ㜰ס䁡ᦙܦ㜰ʹͲι ．
׶ 䁡ܧ٣ܱ
ܤ，
׵ סᦙ䁡ܧ㜰㌳Ͳι t ס䁡ᦙܤ㜰͹Ͳι，
׵ סܱܨܧ㜰סᦙ䁡ܧ㜰͹Ͳι ．
（3）解：连结ܱ
ܨ，过O 作ܱ
ܪ٣ ᦙ䁡，垂足为H，所以ᦙܪ㜰ܪ䁡，
由圆的性质和已知条件得ܱ
ᦙ㜰ܱ
ܤ㜰ܤܩ，
由
סᦙܪܱ
㜰סᦙ䁡ܤ㜰㌳Ͳι
ס䁡ᦙܤ㜰ס䁡ܤܩܱ
ᦙ㜰ܤܩ
׵ ᇞᦙܱܪ≌ᇞܤܩ䁡AAS ，
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׵ 䁡ܩ㜰ܱ
ܪ㜰
ͳ
ʹ ܤ䁡㜰
ͳ
ʹ ᦙܪ㜰
ͳ
ʹ ܪ䁡，tanס䁡ᦙܤ㜰
ͳ
ʹ，
׵ ܩ是䁡ܪ中点，ܪܩ㜰
ͳ
ʹ 䁡ܪ，
׵ܱ
ܪ㜰ܪܩ，设ܱ
ܪ㜰⸶，
׵ܱ
ܪʹܪܣܩʹ 㜰ܱ
ܩʹ，
׵ ⸶ʹ 㜰ൌ，所以ܵΔᦙܱܩ㜰
͵
ʹ ⸶ʹ 㜰ͳʹ．
׶ סܤ䁡ܧ㜰ס䁡ᦙܤ，
׵ tanסܤ䁡ܧ㜰
ܤܧ
䁡ܧ㜰
ͳ
ʹ，tanס䁡ᦙܤ㜰
䁡ܧ
ᦙܧ㜰
ͳ
ʹ，
׵
ܤܧ
ᦙܧ㜰
ͳ
⸷，
׶ ᦙܱ
㜰ܤܱ，
׵
ܤܧܱ
ܧ㜰
ʹ
͵，
׵ܵ
ᇞܱܧܨ㜰
͵
ͷܵ
ᇞܤܱܨ．
׶F 为BG 的中点，
׵ܵ
ᇞܱܨܩ㜰ܵ
ᇞܱܤܨ，
׵ܵ
四边形ܱ
ܧܨܩ㜰
ൌ
ͷܵ
ᇞܤܱܨ㜰
⸷
ͷܵ
ᇞܤܱܩ㜰
⸷
ͷܵ
ᇞᦙܱܩ，
׵ܵ
四边形ܱ
ܧܨܩ㜰
⸷
ͷ ൈͳʹ 㜰
⸷ൌ
ͷ ．
2．
（2026·浙江舟山·一模）如图1，在菱形ᦙܤ䁡ܦ中，ס䁡㜰͸Ͳι，ܧ是对角线ܤܦ上一点，连接ᦙܧ，设סܧᦙܤ㜰ߙ
Ͳι 时ߙ时͵Ͳι ，将ᇞᦙܤܧ沿ᦙܧ折叠得到ᇞᦙܩܧ，连接ܦܩ并延长交ܤ䁡于点ܪ．
(1)用含ߙ的代数式表示סܦᦙܩ．
(2)求证：
①סܤܦܪ㜰סܤᦙܧ；
②ܤܪ㜰ܤܧ．
(3)如图2，当ܦܩǣܩܪ㜰ʹǣͳ 时，求ܦܧǣܤܧ的值．
【答案】(1)͸Ͳι t ʹߙ
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(2)
证明：①∵菱形ᦙܤ䁡ܦ，
∴ᦙܦ㜰ᦙܤ，
由折叠可知，
ᦙܩ㜰ᦙܤ，
∵ᦙܦ㜰ᦙܩ，
∴סᦙܦܩ㜰
ͳൌͲιtסܦᦙܩ
ʹ
㜰͸Ͳιܣߙ，
∵סܦᦙܤ㜰͸Ͳι，
∴ᇞᦙܤܦ为等边三角形，
∴סᦙܦܤ㜰͸Ͳι，
∴סܤܦܪ㜰סᦙܦܪt סᦙܦܤ㜰ߙ㜰סܧᦙܤ；
②∵ᦙܦצ ܤ䁡，
∴סᦙܤ䁡㜰ͳൌͲι t סܦᦙܤ㜰ͳʹͲι，
∵菱形ᦙܤ䁡ܦ，
∴סܧܤᦙ㜰סܦܤܪ㜰
ͳ
ʹ סᦙܤ䁡㜰͸Ͳι，
∵ᇞᦙܤܦ为等边三角形，
∴ᦙܤ㜰ܦܤ，
∵סܤܦܪ㜰סܤᦙܧ，
∴ᇞᦙܤܧ≌ᇞܦܤܪASA ，
∴ܤܪ㜰ܤܧ；
(3)ܦܧǣܤܧ㜰ͳܣ͸
【分析】（1）根据菱形的性质得到סܦᦙܤ㜰ס䁡㜰͸Ͳι，根据折叠的性质得到סܩᦙܧ㜰סܤᦙܧ㜰ߙ，进而
可求סܦᦙܩ；
（2）①根据等边对等角及三角形内角和得到סᦙܦܩ㜰͸Ͳιܣߙ，根据等边三角形的判定和性质证明即可；
②根据菱形的性质得到סܧܤᦙ㜰סܦܤܪ㜰͸Ͳι，根据等边三角形的性质得到ᦙܤ㜰ܦܤ，证明ᇞᦙܤܧ≌ᇞ
ܦܤܪ，即可证明ܤܪ㜰ܤܧ；
（3）连接ܧܪ，延长ܧܩ交䁡ܦ于ܭ，作ܭܯ٣ ܦܤ于ܯ，根据等边三角形的判定和性质得到ܧܪ㜰ܤܧ㜰ܩܧ，
证明ᇞܦܩܭ∽ᇞܪܩܧ，得到
ܦܭ
ܧܪ㜰
ܭܩ
ܩܧ㜰
ܦܩ
ܩܪ㜰ʹ，设ܧܪ㜰ܤܧ㜰ܩܧ㜰힪，根据͵Ͳι角的性质得到ܦܯ㜰힪，根
据勾股定理得到ܭܯ㜰
͵힪，ܯܧ㜰
͸힪，求出ܦܧ㜰힪ܣ͸힪，即可求出ܦܧǣܤܧ的值．
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【详解】（1）解：∵菱形ᦙܤ䁡ܦ，
∴סܦᦙܤ㜰ס䁡㜰͸Ͳι，
∵折叠，
∴סܩᦙܧ㜰סܤᦙܧ㜰ߙ，
∴סܦᦙܩ㜰סܦᦙܤt סܩᦙܧt סܤᦙܧ㜰͸Ͳι t ʹߙ；
（2）略
（3）解：如图，连接ܧܪ，延长ܧܩ交䁡ܦ于ܭ，作ܭܯ٣ ܦܤ于ܯ．
由（2）得ܤܪ㜰ܤܧ，סܧܤܪ㜰͸Ͳι，
∴ᇞܤܧܪ为等边三角形，
∴ܧܪ㜰ܤܧ㜰ܩܧ，
∵סܤܪܧ㜰ס䁡㜰͸Ͳι，
∴ܧܪצ 䁡ܦ，
∴ᇞܦܩܭ∽ᇞܪܩܧ，
∴
ܦܭ
ܧܪ㜰
ܭܩ
ܩܧ㜰
ܦܩ
ܩܪ㜰ʹ，
设ܧܪ㜰ܤܧ㜰ܩܧ㜰힪，
则ܦܭ㜰ܭܩ㜰ʹ힪，ܭܧ㜰ܭܩܧܩܣ㜰͵힪．
在Rt ᇞܦܯܭ中，
∵סܤܦ䁡㜰͸Ͳι，
∴סܦܭܯ㜰͵Ͳι
∴ܦܯ㜰
ͳ
ʹ ܦܭ㜰힪，
∴ܭܯ㜰
͵ܦܯ㜰
͵힪，
∴ܯܧ㜰
ܭܧʹ t ܯܭʹ 㜰
͸힪，
∴ܦܧ㜰ܦܯܧܯܣ㜰힪ܣ͸힪，
∴ܦܧǣܤܧ㜰ͳܣ͸．
3．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形ᦙܤ䁡ܦ中，点E，F 分别是边ܤ䁡䁠䁡ܦ上的动点（不包含端点），
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ᦙܩ٣ ܧܨ于点G，ܩܯ٣ ᦙܤ于点M，ܧܨ㜰ᦙܩ．
(1)如图1，求证：ᇞᦙܯܩ≌ᇞܧ䁡ܨ．
(2)如图2，过点E 作ܪܧ٣ ܤ䁡分别交ᦙܩ䁠ܯܩ于点H，N．
①求证：四边形ܤܯܰܧ为正方形；
②求证：ܪܧܰܩܣ㜰ᦙܤ；
③若ᦙܤ㜰ͳ，请直接写出ܪܧ的取值范围．
【答案】(1)
解：∵正方形ᦙܤ䁡ܦ，ܩܯ٣ ᦙܤ
∴ס䁡㜰סܤ㜰㌳Ͳι 㜰סᦙܯܩ
∵ᦙܩ٣ ܧܨ
∴סܤᦙܩܣסܤܧܩ㜰͵͸Ͳι t סᦙܩܤt סܤ㜰ͳൌͲι
∵ס䁡ܧܨܣסܤܧܩ㜰ͳൌͲι
∴סܤᦙܩ㜰ס䁡ܧܨ
在ᇞᦙܯܩ和ᇞܧ䁡ܨ中，
ܧܨ㜰ᦙܩ
ס䁡㜰סᦙܯܩ
סܯᦙܩ㜰ס䁡ܧܨ
∴ᇞᦙܯܩ≌ᇞܧ䁡ܨAAS ；
(2)
①证明：∵ܪܧ٣ ܤ䁡，ܩܯ٣ ᦙܤ，
∴סܤܧܰ
㜰סܤܯܰ
㜰סܤ㜰㌳Ͳι，
∴四边形ܤܯܰܧ为矩形，
∵四边形ᦙܤ䁡ܦ为正方形，
∴ᦙܤ㜰ܤ䁡䁠סܤ㜰㌳Ͳι
∵ᇞᦙܯܩ≌ᇞܧ䁡ܨ，
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∴ᦙܯ㜰ܧ䁡，
∴ܤܧ㜰ܤܯ．
∴四边形ܤܯܰܧ为正方形；
②证明：延长ܯܩ交䁡ܦ于点K，
∵四边形ᦙܤ䁡ܦ为正方形，
∴ס䁡㜰סܤ㜰㌳Ͳι．
又∵四边形ܤܯܰܧ为正方形，
∴ס䁡ܧܰ
㜰סܭܰܧ㜰㌳Ͳι．
∵四边形ܰ
ܧ䁡ܭ为矩形，
∴䁡ܭ㜰ܰ
ܧ㜰ܯܰ，סܨܭܩ㜰סܪܰܩ㜰㌳Ͳι
∵ᇞᦙܯܩ≌ᇞܧ䁡ܨ，
∴ܯܩ㜰䁡ܨ，סܭܨܩ㜰סܪܩܰ，
∴ܨܭ㜰ܰ
ܩ，
∴ᇞܨܭܩ≌ᇞܩܰܪASA ，
∴ܪܰ
㜰ܭܩ，
∴ܪܧܰܩܣ㜰ܪܰܰܣ
ܰܩܣܧ㜰ܭܩܰܯܣ
ܰܩܣ㜰ܤ䁡㜰ᦙܤ；
③
ʹ
͵ ൑ܪܧ时ͳ
【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到ס䁡㜰סܤ㜰㌳Ͳι 㜰סᦙܯܩ，根据等角的补角相等得
到סܤᦙܩ㜰ס䁡ܧܨ，根据AAS 即可证明ᇞᦙܯܩ≌ᇞܧ䁡ܨ；
（2）①根据ܪܧ٣ ܤ䁡，ܩܯ٣ ᦙܤ得到סܤܧܰ
㜰סܤܯܰ
㜰סܤ㜰㌳Ͳι，根据正方形的性质得到ᦙܤ㜰
ܤ䁡䁠סܤ㜰㌳Ͳι，根据ᇞᦙܯܩ≌ᇞܧ䁡ܨ得到ᦙܯ㜰ܧ䁡，进而得到ܤܧ㜰ܤܯ，即可证明四边形ܤܯܰܧ为正方形；
②延长ܯܩ交䁡ܦ于点K，根据正方形的性质得到ס䁡㜰סܤ㜰㌳Ͳι，ס䁡ܧܰ
㜰סܭܰܧ㜰㌳Ͳι，根据矩形的
性质得到䁡ܭ㜰ܰ
ܧ㜰ܯܰ，סܨܭܩ㜰סܪܰܩ㜰㌳Ͳι，根据全等三角形的性质得到ܯܩ㜰䁡ܨ，סܭܨܩ㜰סܪܩܰ，
进而得到ܨܭ㜰ܰ
ܩ，证明ᇞܨܭܩ≌ᇞܩܰܪ，得到ܪܰ
㜰ܭܩ，即可证明ܪܧܰܩܣ㜰ᦙܤ；
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③取ܪܧ中点O，连接ܩܱ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ܩܱ
㜰
ͳ
ʹ ܪܧ，延长ܧܪ
交ᦙܦ于P，则四边形ᦙܯܰܲ
是矩形，得到סᦙܲܪ㜰㌳Ͳι，ᦙܲ
㜰ܯܰ，根据正方形的性质得到ܯܰ
㜰ܰ
ܧ，
进而得到ᦙܲ
㜰ܧܰ，证明ᇞܲᦙܪ≌ᇞܰ
ܧܩASA ，得到ܲ
ܪ㜰ܰ
ܩ㜰ͳ t ܧܪ，可知Ͳ ൑ܧܪ൑ͳ，根据ܩܱ
൒ܰ
ܩ
得到ܪܧ൒
ʹ
͵，即可得到ܪܧ的取值范围．
【详解】（1）略
（2）①略
②略
③解：取ܪܧ中点O，连接ܩܱ，
∵סܪܩܧ㜰㌳Ͳι
∴ܩܱ
㜰
ͳ
ʹ ܪܧ
延长ܧܪ交ᦙܦ于P，
∴四边形ᦙܯܰܲ
是矩形，
∴סᦙܲܪ㜰㌳Ͳι，ᦙܲ
㜰ܯܰ，
∵四边形ܤܯܰܧ为正方形，
∴ܯܰ
㜰ܰ
ܧ
∴ᦙܲ
㜰ܧܰ
∵סܤᦙܩ㜰ס䁡ܧܨ，סܤᦙܲ
㜰ס䁡ܧܲ
㜰㌳Ͳι，
∴סܲᦙܩ㜰סܰܧܩ，
在ᇞܲᦙܪ和ᇞܰ
ܧܩ中，
סᦙܲܪ㜰סܧܰܩ
ᦙܲ
㜰ܧܰ
סܲᦙܩ㜰סܰܧܩ
，
∴ᇞܲᦙܪ≌ᇞܰ
ܧܩASA ，
∴ܲܪ㜰ܰ
ܩ㜰ͳ t ܧܪ，
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∴Ͳ ൑ͳ t ܧܪ൑ͳ
∴Ͳ ൑ܧܪ൑ͳ
∵ܩܱ
൒ܰ
ܩ，
∴
ͳ
ʹ ܪܧ൒ͳ t ܧܪ
∴ܪܧ൒
ʹ
͵
∴
ʹ
͵ ൑ܪܧ时ͳ
4．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图1，在矩形ᦙܤ䁡ܦ中，ᦙܤ㜰ʹ，ܤ䁡㜰͵，E，F 分别是ᦙܦ，ܤ䁡上的点，
作四边形䁡ܦܧܨ关于直线ܧܨ对称的四边形ܪܩܧܨ，点D 的对称点G 落在ᦙܤ上，连接ܦܩ．
(1)当G 为ᦙܤ的中点时，求ᦙܧ的长．
(2)如图2，连接ܨܩ．
①若סᦙܩܦܣסܤܩܨ㜰ͳ͵ͷι，求tanסᦙܦܩ的值．
②若סᦙܩܧ⸷ܣסܤܩܨ㜰ʹ͹Ͳι，求ܤܩ的长．
【答案】(1)ᦙܧ㜰
⸷
͵
(2)①
ͳ
͵；②
⸷͵tʹ
͵
【分析】（1）根据矩形的性质得到סᦙ㜰סܤ㜰ס䁡㜰סᦙܦ䁡㜰㌳Ͳι，ᦙܦ㜰ܤ䁡㜰͵，设ᦙܧ㜰힪，根据勾
股定理求解即可；
（2）①连接ܦܨ，根据轴对称的性质及等边对等角得到סܨܦܩ㜰סܨܩܦ㜰⸷ͷι，则סܦܨܩ㜰㌳Ͳι，进而得
到סܩܨܤ㜰סܨܦ䁡，证明ᇞܩܤܨ≌ᇞܨ䁡ܦ，得到ܤܨ㜰䁡ܦ㜰ʹ，进而得到ᦙܩ㜰ͳ，根据正切的定义计算即可；
②连接ܦܨ，设ܦܩ与ܧܨ相交于点K，设סᦙܦܩ㜰ߙ，סܪܩܨ㜰ߚ，ܤܩ㜰힪，根据轴对称的性质可知ס䁡ܦܨ㜰
סܪܩܨ㜰ߚ，ܧܩ㜰ܧܦ，סܧܩܪ㜰סܧܦ䁡㜰㌳Ͳι，根据等边对等角得到סᦙܦܩ㜰סܧܩܦ㜰ߙ，根据三角形外角
的性质得到סᦙܧܩ㜰ʹߙ，则סᦙܩܧ㜰㌳Ͳι t ʹߙ，进而得到סܤܩܨ㜰ʹߙܣߚ，根据סᦙܩܧ⸷ܣסܤܩܨ㜰ʹ͹Ͳι得到
͵ߙʹܣߚ㜰㌳Ͳι，可知סܭܩܨ㜰סܤܩܨ，证明ᇞܩܤܨ≌ᇞܩܭܨ，得到ܩܭ㜰ܤܩ㜰힪㜰ܭܦ，根据勾股定理求解
即可．
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【详解】（1）解：在矩形ᦙܤ䁡ܦ中，סᦙ㜰סܤ㜰ס䁡㜰סᦙܦ䁡㜰㌳Ͳι，ᦙܦ㜰ܤ䁡㜰͵．
设ᦙܧ㜰힪，则ܦܧ㜰ܩܧ㜰͵ t 힪．
∵G 为ᦙܤ的中点，
∴ᦙܩ㜰ͳ．
∵סᦙ㜰㌳Ͳι，
∴ᦙܩʹܣᦙܧʹ 㜰ܧܩʹ，
∴ͳʹܣ힪ʹ 㜰͵ t 힪ʹ，
∴힪㜰
⸷
͵（负值舍去），
∴ᦙܧ㜰
⸷
͵；
（2）解：①如图，连接ܦܨ．
由对称可知，ܨܩ㜰ܨܦ，
∴סܨܩܦ㜰סܨܦܩ．
∵סᦙܩܦܣסܤܩܨ㜰ͳ͵ͷι，
∴סܨܦܩ㜰סܨܩܦ㜰⸷ͷι，
∴סܦܨܩ㜰㌳Ͳι，
∴סܩܨܤ㜰ͳൌͲι t סܩܨܦt סܦܨ䁡㜰㌳Ͳι t סܦܨ䁡㜰סܨܦ䁡．
又סܤ㜰ס䁡，ܩܨ㜰ܨܦ，
∴ᇞܩܤܨ≌ᇞܨ䁡ܦAAS ，
∴ܤܨ㜰䁡ܦ㜰ʹ，ܤܩ㜰䁡ܨ㜰ܤ䁡t ܤܨ㜰ͳ，
∴ᦙܩ㜰ᦙܤt ܤܩ㜰ͳ，
∴tanסᦙܦܩ㜰
ᦙܩ
ᦙܦ㜰
ͳ
͵；
②如图，连接ܦܨ，设ܦܩ与ܧܨ相交于点K，设סᦙܦܩ㜰ߙ，סܪܩܨ㜰ߚ，ܤܩ㜰힪．
小学
初中
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由对称可知，ס䁡ܦܨ㜰סܪܩܨ㜰ߚ，ܧܩ㜰ܧܦ，סܧܩܪ㜰סܧܦ䁡㜰㌳Ͳι．
∵ܧܩ㜰ܧܦ，
∴סᦙܦܩ㜰סܧܩܦ㜰ߙ，
∴סᦙܧܩ㜰ʹߙ．
∵סᦙ㜰סܧܩܪ㜰㌳Ͳι，
∴סᦙܩܧ㜰㌳Ͳι t ʹߙ，
∴סܤܩܪ㜰ͳൌͲι t סᦙܩܧt סܧܩܪ㜰ʹߙ，
∴סܤܩܨ㜰סܤܩܪܣסܪܩܨ㜰ʹߙܣߚ．
∵סᦙܩܧ⸷ܣסܤܩܨ㜰ʹ͹Ͳι，
∴㌳Ͳι t ʹߙ⸷ܣʹߙܣߚ㜰ʹ͹Ͳι，
∴͵ߙʹܣߚ㜰㌳Ͳι，
∴סܭܩܨ㜰סܧܩܪt סܧܩܦܣסܪܩܨ㜰㌳Ͳι t ߙܣߚ㜰ʹߙܣߚ㜰סܤܩܨ．
又∵סܤ㜰סܨܭܩ㜰㌳Ͳι，ܩܨ㜰ܩܨ，
∴ᇞܩܤܨ≌ᇞܩܭܨAAS ，
∴ܩܭ㜰ܤܩ㜰힪㜰ܭܦ．
∵סᦙ㜰㌳Ͳι，
∴ᦙܩʹܣᦙܦʹ 㜰ܦܩʹ，
∴ʹ t 힪ʹܣ͵ʹ 㜰ʹ힪ʹ．
∴힪ͳ 㜰
⸷͵tʹ
͵
，힪ʹ 㜰
t ⸷͵tʹ
͵
（舍去），
∴ܤܩ㜰
⸷͵tʹ
͵
．
5．（2026·浙江温州·二模）探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在ᇞᦙܤ䁡中，ᦙܤ㜰ᦙ䁡㜰ͳ，点ܦ在ܤ䁡边上，且䁡ܦ㜰ʹܤܦ，连接ᦙܦ并延长至点ܧ，使得ᦙܧ㜰ᦙܤ，
作䁡ܨצ ᦙܧ交ܤܧ延长线于点ܨ，连接ᦙܨ交ܤ䁡于点ܩ．记cosסᦙܤ䁡㜰힪，
ܦܩ
䁡ܩ㜰㐮．
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【图形认识】
(1)求证：䁡ܨ㜰͵ܦܧ．
【引元关联】
(2)设ܦܧ㜰ݐ，求㐮关于ݐ的函数表达式．
【特例计算】
(3)如图2，当ᦙܨ٣ ܤ䁡时，分别求出㐮和힪的值．
【规律研究】
(4)已知Ͳ 时힪时ͳ，求㐮的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)㐮㜰
ͳtݐ
͵ݐ
(3)㐮㜰
ͳ
͵，힪㜰
͵ ͸
ൌ
(4)㐮൐
ͳ
͸
【分析】（1）根据䁡ܨצ ᦙܧ，得出ᇞܤܦܧ∽ᇞܤ䁡ܨ，根据相似三角形的性质，结合已知条件即可得证；
（2）根据䁡ܨצ ᦙܧ，得出ᇞᦙܦܩ∽ᇞܨ䁡ܩ，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求解；
（3）根据余弦的定义得出
ܤܩ
ᦙܤ㜰ܤܩ㜰힪，则ܤܦ㜰
ͳ
͵ ܤ䁡㜰
ʹ힪
͵ ，则㐮㜰
ܦܩ
䁡ܩ㜰
ͳ
͵，得出ݐ㜰
ͳ
ʹ，在Rt ᇞᦙܤܩ
和Rt ᇞᦙܦܩ中，ᦙܤʹ t ܤܩʹ 㜰ᦙܦʹ t ܦܩʹ，得出方程，解方程，即可求解；
（4）作ᦙܪ٣ ܤ䁡于点ܪ，在Rt ᇞᦙܤܪ和Rt ᇞᦙܦܪ中，ͳʹ t 힪ʹ 㜰ᦙͳ t ݐሻʹ t
힪
͵
ʹ
，解方程，得出
ൌ
㌳힪ʹ 㜰t
ݐʹݐʹܣ，记ܹ
㜰t ݐʹݐʹܣ，根据Ͳ 时힪时ͳ 得出Ͳ 时ܹ
时
ൌ
㌳，进而得出Ͳ 时ݐ时
ʹ
͵，最后求得函数值的范围，
即可求解．
【详解】（1）证明：∵䁡ܨצ ᦙܧ，
∴ᇞܤܦܧ∽ᇞܤ䁡ܨ，
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∴
ܦܧ
䁡ܨ㜰
ܤܦ
ܤ䁡．
∵䁡ܦ㜰ʹܤܦ，
∴
ܦܧ
䁡ܨ㜰
ܤܦ
ܤ䁡㜰
ͳ
͵，
∴䁡ܨ㜰͵ܦܧ．
（2）解：∵ᦙܧ㜰ᦙܤ㜰ͳ，ܦܧ㜰ݐ，
∴ᦙܦ㜰ͳ t ݐ，䁡ܨ㜰͵ݐ．
∵䁡ܨצ ᦙܧ，
∴ᇞᦙܦܩ∽ᇞܨ䁡ܩ
∴㐮㜰
ܦܩ
䁡ܩ㜰
ᦙܦ
䁡ܨ㜰
ͳtݐ
͵ݐ．
（3）解：∵cosסᦙܤ䁡㜰힪，ᦙܨ٣ ܤ䁡，
∴
ܤܩ
ᦙܤ㜰ܤܩ㜰힪．
∵ᦙܤ㜰ᦙ䁡，
∴䁡ܩ㜰ܤܩ㜰힪，ܤ䁡㜰ʹܤܩ㜰ʹ힪，
∴ܤܦ㜰
ͳ
͵ ܤ䁡㜰
ʹ힪
͵ ，
∴ܦܩ㜰
힪
͵，
∴㐮㜰
ܦܩ
䁡ܩ㜰
ͳ
͵，
∴
ͳtݐ
͵ݐ㜰
ͳ
͵，解得ݐ㜰
ͳ
ʹ．
在Rt ᇞᦙܤܩ和Rt ᇞᦙܦܩ中，ᦙܤʹ t ܤܩʹ 㜰ᦙܦʹ t ܦܩʹ，
∴ͳʹ t 힪ʹ 㜰
ͳ
ʹ
ʹ
t
힪
͵
ʹ
，
解得힪㜰
͵ ͸
ൌ（负值已舍去）．
（4）解：作ᦙܪ٣ ܤ䁡于点ܪ，
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则ܤܪ㜰힪，ܦܪ㜰
힪
͵，
在Rt ᇞᦙܤܪ和Rt ᇞᦙܦܪ中，
ᦙܤʹ t ܤܪʹ 㜰ᦙܦʹ t ܦܪʹ，
∴ͳʹ t 힪ʹ 㜰ᦙͳ t ݐሻʹ t
힪
͵
ʹ
，
∴
ൌ
㌳힪ʹ 㜰t ݐʹݐʹܣ．
记ܹ
㜰t ݐʹݐʹܣ，
∵Ͳ 时힪时ͳ，
∴Ͳ 时ܹ
时
ൌ
㌳，
∴Ͳ 时ݐ时
ʹ
͵或
⸷
͵ 时ݐ时ʹ（舍）．
∵㐮㜰
ͳtݐ
͵ݐ㜰
ͳ
͵ݐt
ͳ
͵，
∴当Ͳ 时ݐ时
ʹ
͵时，㐮随ݐ的增大而减小，
∴㐮൐
ͳ
͸．
6．（2026·浙江温州·模拟预测）如图1，ܤ䁡是ٖܱ
的直径，A，D 为圆上在ܤ䁡异侧的点，ᦙܤ㜰ᦙ䁡，连接
ᦙܦ交ܤ䁡于点H，将ᇞᦙ䁡ܦ关于直线ᦙ䁡对称得到ᇞᦙ䁡ܧ．
(1)求出סܧ的度数．
(2)如图2，延长ܧ䁡交䁡ܦ
Ⴃ于点F，连接ᦙܨ，ܤܨ，ᦙܨ交ܤ䁡于点G．
①求证：䁡ܦ㜰ܤܨ．
②若ܤ䁡㜰͹ܩܪ，求
䁡ܨ
䁡ܦ的值．
【答案】(1)⸷ͷι
(2)①证明：׶ סᦙ䁡ܤ㜰סᦙܨܤ㜰⸷ͷι，
׵ סܧ㜰סᦙܨܤ．
∵四边形ᦙܤܨ䁡内接于圆，
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׵ סᦙ䁡ܨܣסᦙܤܨ㜰ͳൌͲι 㜰סᦙ䁡ܨܣסᦙ䁡ܧ，
׵ סᦙ䁡ܧ㜰סᦙܤܨ，
׶ ᦙܤ㜰ᦙ䁡，
׵ᇞᦙܧ䁡≌ᇞᦙܨܤAAS ，
׵ 䁡ܧ㜰ܤܨ．
׶ ܧ䁡㜰䁡ܦ，
׵ 䁡ܦ㜰ܤܨ．
②
͵
⸷
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和等边对等角可得סᦙܤ䁡㜰סᦙ䁡ܤ㜰⸷ͷι，然后结合同弧所
对的圆周角相等和轴对称的性质即可解答；
（2）①根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补，利用AAS 可证明ᇞᦙܧ䁡≌ᇞᦙܨܤ，进一
步可得结论；
②由①可得䁡ܦ
Ⴃ㜰ܤܨ
Ⴃ，从而推出ס䁡ᦙܨ㜰סܦᦙܤ，进而利用AAS 可证明ᇞᦙ䁡ܩ≌ᇞᦙܤܪ，得到䁡ܩ㜰ܤܪ，
结合ܤ䁡㜰͹ܩܪ，可得
ܤܩ
䁡ܩ㜰
⸷
͵，
ܤܩ
ܤ䁡㜰
⸷
͹，过点G 作ܩܭ٣ ܤܨ于点K，易得ᇞܤܩܭ∽ᇞܤ䁡ܨ，
ܤܩ
䁡ܩ㜰
ܤܭ
ܨܭ㜰
⸷
͵，设ܩܭ㜰
ܨܭ㜰͵݉
，表示出䁡ܨ和䁡ܦ，进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵ܤ䁡是ٖܱ
的直径，
׵ ס䁡ᦙܤ㜰㌳Ͳι．
׶ ᦙܤ㜰ᦙ䁡，
׵ סᦙܤ䁡㜰סᦙ䁡ܤ㜰⸷ͷι，
׵ סᦙܦ䁡㜰סᦙܤ䁡㜰⸷ͷι．
׶ᇞᦙܧ䁡由ᇞᦙܦ䁡关于直线ᦙ䁡对称得到，
׵ סܧ㜰סᦙܦ䁡㜰⸷ͷι．
（2）①略
②解：׶ 䁡ܦ㜰ܤܨ，
∴䁡ܦ
Ⴃ㜰ܤܨ
Ⴃ，
׵ ס䁡ᦙܦ㜰סܨᦙܤ，
׵ ס䁡ᦙܦt סܦᦙܨ㜰סܨᦙܤt סܦᦙܨ，即ס䁡ᦙܨ㜰סܦᦙܤ，
׶ ᦙܤ㜰ᦙ䁡，סᦙܤ䁡㜰סᦙ䁡ܤ㜰⸷ͷι，
׵ᇞᦙ䁡ܩ≌ᇞᦙܤܪAAS ，
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׵ 䁡ܩ㜰ܤܪ，
׶ ܤ䁡㜰͹ܩܪ，
设ܩܪ㜰⸶，则ܤ䁡㜰͹⸶，䁡ܩ㜰ܤܪ㜰
ͳ
ʹ ܤ䁡t ܩܪ㜰͵⸶，
׵
ܤܩ
䁡ܩ㜰
ܤܪܪܩܣ
䁡ܩ
㜰
⸷⸶
͵⸶㜰
⸷
͵，
ܤܩ
ܤ䁡㜰
⸷⸶
͹⸶㜰
⸷
͹，
过点G 作ܩܭ٣ ܤܨ于点K，
∵ܤ䁡为直径，
∴ס䁡ܨܤ㜰㌳Ͳι，
׵ ܩܭצ 䁡ܨ，
∴ᇞܤܩܭ∽ᇞܤ䁡ܨ，
ܤܩ
䁡ܩ㜰
ܤܭ
ܨܭ㜰
⸷
͵，
∴
ܩܭ
䁡ܨ㜰
ܤܩ
ܤ䁡㜰
⸷
͹，
׶ סܩܨܤ㜰⸷ͷι，ܩܭ٣ ܤܨ，
∴סܩܨܤ㜰סܨܩܭ㜰⸷ͷι，
∴设ܩܭ㜰ܨܭ㜰͵݉
，
∴ܤܭ㜰⸷݉
，
∴ܤܨ㜰䁡ܦ㜰͹݉
，
∵
ܩܭ
䁡ܨ㜰
ܤܩ
ܤ䁡㜰
⸷
͹，
∴䁡ܨ㜰
ʹͳ
⸷݉
，
׵
䁡ܨ
䁡ܦ㜰
ʹͳ
⸷݉
͹݉
㜰
͵
⸷．