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专题33 平面直角坐标系
（题型突破·举一反三）
题型01 用有序数对表示位置
题型02 用有序数对表示路线
题型03 直接写出坐标系中的点坐标
题型04 建立坐标系写出点坐标
题型05 判断点所在象限
题型06 点到坐标轴的距离
题型07 已知点所在象限求参数
题型08 坐标轴上点的坐标特征
题型09 在平面直角坐标系中描点
题型10 点在象限角平分线上的特征
题型11 坐标系中被遮挡的点
题型12 判断点坐在的象限（参数）
题型13 与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
题型14 坐标系中的规律问题
题型15 两点之间的距离
▌题型01 用有序数对表示位置
1. 有序数对：有顺序的两个数𝑎与𝑏组成的数对，记作(𝑎, 𝑏)。
2. 关键：顺序不能颠倒，(𝑎, 𝑏) ≠(𝑏, 𝑎)，前后含义固定。
惯例：先列、后行；先水平，后竖直；先横坐标，后纵坐标。
3. 生活常用规则
（1）教室座位：(第几列，第几行)
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例：(3,5)代表第3 列，第5 排座位，换成(5,3)位置完全不同。
（2）电影院座位：(排数，号数)
（3）经纬定位：(经度，纬度)，地理定位标准有序数对。
4. 书写格式要求
（1）括号包裹，中间用逗号隔开，无空格：(2,4)
（2）不能写成2,4、[2,4]、{2,4}，格式错误扣分。
5. 解题步骤
（1）确定规定：看清题目规定「先啥、后啥」
（2）先找第一个数（横向/列）
（3）再找第二个数（纵向/行）
（3）写成标准有序数对(𝑥, 𝑦)。
【典例1】如图，如果张力的位置可表示为（1，3），李平的位置可表示为（3，2），则王红的位置应表示
为（ ）
A．（4，1）
B．（4，2）
C．（2，4）
D．（3，4）
【分析】根据张力的位置向右1 个单位，向上1 个单位为王红的位置解答．
【解答】解：∵张力（1，3），
∴王红（2，4）．
故选：C．
【变式1-1】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F 出现按照规定的目标表示方法，目标E，
F 的位置表示为E（3，300°），F（5，210°），按照此方法在表示目标A，B，C，D 的位置时，其中
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表示不正确的是（ ）
A．A（5，30°）
B．B（2，90°）
C．C（6，120°）
D．D（3，240°）
【分析】根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案．
【解答】解：因为E（3，300°），F（5，210°），
可得：A（4，30°），B（2，90°），C（6，120°），D（4，240°），
故选：D．
【变式1-2】如图，数学老师在上课提问时，叫到（2，5）同学，结果X 同学站起来回答问题；若提问（4，
3）同学，则 L 同学应站起来回答问题；若提问（3，2）同学，则 H 同学应站起来回答问题．
【分析】此题以表格中的最左边和最下边为平面直角坐标系的两个坐标轴，问题即可解决．
【解答】解：建立坐标系如图：
由上面的平面直角坐标系可以看出：（4，3）对应的是L 同学；（3，2）对应的是H 同学．
故答案为：L，H．
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【变式1-3】如图所示，有一个表格，在它的左右两边标出数字1～8，上下两边标出字母a～h，已知方格A
的位置用（d，5）来表示，方格B 的位置用（g，5）来表示，请你分别写出表格中方格C、方格D、方格
E 的位置：C（d，3），D（f，5），E（g，2） ．
【分析】根据利用数对表示物体位置的方法，列用字母、行用数字表示物体的位置时，字母在前，行数在
后．
【解答】解：方格A 的位置用（d，5）来表示，方格B 的位置用（g，5）来表示，
∴方格C、方格D、方格E 的位置分别为C（d，3），D（f，5），E（g，2）．
故答案为：C（d，3），D（f，5），E（g，2）．
▌题型02 用有序数对表示路线
1. 基础规则
（1）约定：数对(列数，行数)，第一个数横向左右变化，第二个数纵向上下变化；
（2）行走逻辑：每移动一步，只改变有序数对其中一个数字；
- 向右：第一个数字变大
- 向左：第一个数字变小
- 向上：第二个数字变大
- 向下：第二个数字变小
（3）路线写法：依次罗列途经每一个位置的有序数对，用箭头连接。
2.四类移动规律
（1）水平直行（左右走）：第二个数值全程不变，仅第一个数增减
例：(1,4)→(2,4)→(3,4)→(5,4)
（2）竖直直行（上下走）：第一个数值全程不变，仅第二个数增减
例：(3,2)→(3,3)→(3,5)
（3）先横后竖常用路线：先走完横向路程，再走纵向路程，考试最常用
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（4）先竖后横路线：先行上下移动，再进行左右平移。
3.解题步骤
（1）找准起点位置，写出起点有序数对；
（2）顺着行进方向，逐个标出途经点位；
（3）按先后顺序用箭头串联所有数对；
（4）检查：相邻两个数对只能有一个数字不一样，两个数字同时变动属于斜向移动，网格步行一般不允许
斜着走。
【典例1】如图1 在5×5 的方格（每小格边长为1 个单位长度）格点处有4 只甲虫A、B、C、D，它们爬行
规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A 到B 的爬行路线记为：A→B
（+1，+3），从B 到A 的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数
表示上下爬行信息，那么图中
（1）A→C（ +3 ， +2 ），D→B（ ﹣1 ， +2 ）；
（2）若甲虫A 的爬行路线为A→B→C→D（如图），请计算甲虫A 爬行的路程；
（3）若甲虫A 的爬行路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），最终到达甲
虫P 处，请在图2 标出甲虫A 的爬行路线示意图及最终甲虫P 的位置；若甲虫A 向上爬行的速度为每秒
2 个单位长度，向下爬行的速度为每秒1 个单位长度，向左或向右爬行的速度为每秒0.5 个单位长度，请
计算甲虫A 爬行的时间．
【分析】（1）A→C 为先向右爬行3 格，再向上爬行2 格，D→B 为先向左爬行1 格，再向上爬行2 格，
即可得出答案．
（2）A→B→C→D 为向右爬行1 格，向上爬行3 格，向右爬行2 格，向下爬行1 格，向左爬行1 格，向
下爬行1 格，把爬行的距离相加即可．
（3）根据所给爬行路线表示出爬行路线示意图，即可得出点P 的位置；根据时间＝路程÷速度分别求出
各个路线的时间，再相加计算即可求解．
【解答】解：（1）∵A→C 为先向右爬行3 格，再向上爬行2 格，D→B 为先向左爬行1 格，再向上爬行
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2 格，
∴A→C（+3，+2），D→B（﹣1，+2）．
故答案为：（+3，+2）；（﹣1，+2）．
（2）A→B→C→D 为向右爬行1 格，向上爬行3 格，向右爬行2 格，向下爬行1 格，向左爬行1 格，向
下爬行1 格，
1+3+2+1+1+1＝9．
∴甲虫A 爬行的路程为9 个单位长度．
（3）甲虫A 的爬行路线示意图与P 的位置如图所示，
2÷0.5+2÷2+1÷0.5+1÷1+2÷0.5+3÷2+1÷0.5+2÷1＝17.5（秒）．
∴甲虫A 爬行的时间为17.5 秒．
【变式1-1】如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题．
（1）若小明家位于A2 区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？
（2）某路公交车从小明家门口的车站出发，途经A2 区、A3 区、B2 区、B1 区、C1 区、C2 区、D2 区、
D1 区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线．
【分析】（1）根据小明家位于A2 区，即可得到光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位
于的区域；
（2）根据坐标得出位置，进而得出行车路线即可．
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【解答】解：（1）光明中学位于A2 区、市民广场位于C2 区、购物中心位于C3 区、电视台位于B4 区、
体育馆位于D4 区；
（2）如图所示：图中黑实线即为所求．
【变式1-2】在Excel 电子表格中，一般将第A 列第1 行空格记作A1，如图，回答下列问题：
（1）试在图中找出空格B53，并填上B53 字样．
（2）图中的“蜜蜂”所在位置记作什么？
（3）一只电子“蜜蜂”途经A52→A51→B52→C51→D52→C53．试在图中描出它的行进路线．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据“蜜蜂”的位置判断即可；
（3）根据题意作出折线图即可．
【解答】解：（1）B53 的位置如图所示；
（2）图中的“蜜蜂”所在位置记作D52；
（3）线路如图所示：
【变式1-3】如图所示，小颖的家A 在纬2 路和经3 路的十字路口，学校B 在纬4 路和经6 路的十字路口，
如果用（3，2）→（4，2）→（5，2）→（6，2）→（6，3）→（6，4）表示由A 到B 的一条路径，请
用同样的方法写出由A 到B 的其他几条路径（不少于3 条）．
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【分析】根据已知的路线可以知道由A 到B 的一条路径只能向东，向北，所以根据这个方向即可确定其
他的路径．
【解答】解：（1）（3，2）→（4，2）→（4，3）→（4，4）→（5，4）→（6，4）；
（2）（3，2）→（3，3）→（3，4）→（4，4）→（5，4）→（6，4）；
（3）（3，2）→（3，3）→（4，3）→（4，4）→（5，4）→（6，4）．
▌题型03 直接写出直角坐标系中的点坐标
坐标格式：(𝑥, 𝑦)
（1）𝑥：横坐标，向𝑥轴作垂线，垂足对应数值，左负右正
（2）𝑦：纵坐标，向𝑦轴作垂线，垂足对应数值，下负上正
口诀：横在前，竖在后，先看左右，再看上下
【典例1】如图，写出平面直角坐标系中点A，B，C，D 的坐标．
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【分析】根据平面直角坐标系与点的坐标的特征，第一个数表示横坐标，第二个数表示纵坐标，然后找出
各点即可．
【解答】解：点A，B，C，D 的坐标分别为：
A（﹣2，4），B（﹣3，﹣1），C（2，2），D（3，0）．
【变式1-1】如图所示，在平面直角坐标系中．
（1）A，B，C，D 各点的坐标分别是什么？
（2）（5，1），（4，﹣2），（﹣1，﹣3）分别是哪些点的坐标？
（3）在第三象限内的点有哪些？
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）利用平面直角坐标系确定各点的位置即可；
（3）根据第三象限内的点的特征解答即可．
【解答】解：（1）A（2，1），B（﹣2，1），C（﹣3，﹣2），D（2，3）；
（2）（5，1）是点G，（4，﹣2）是点E，（﹣1，﹣3）是点F；
（3）在第三象限内的点有C，F．
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【变式1-2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形，连立平面直角坐标系后△ABC
的顶点均在格点上．
（1）直接写出点A，B，C 的坐标；
（2）直接写出△ABC 的周长．
【分析】（1）根据点在坐标系中的位置即可得出答案；
（2）求出三角形的三条边，进而得解．
【解答】解：（1）由图知A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；
（2）∵AB= √12 + 22 = √5；AC= √12 + 32 = √10；BC= √22 + 32 = √13，
∴△ABC 的周长为：AB+AC+BC= √5 + √10 + √13．
【变式1-3】（2025 秋•吉安县期末）如图所示，△ABC 在平面直角坐标系中，其中点A（﹣4，4）、B（﹣
2，1）、C（0，3）．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
（2）在y 轴上有一点M，使得AM+BM 的值最小，请直接写出点M 的坐标： （0，2） ．
【分析】（1）根据关于x 轴对称的点的坐标特征找出A′，B′，C′，连线，进而根据平面直角坐标系
作答即可；
（2）作点A 关于y 轴的对称点A1，连接A1B 交y 轴于点M，进而根据平面直角坐标系作答即可．
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【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，A′（﹣4，﹣4），B′（﹣2，﹣1），C′（0，
﹣3），
（2）如图所示，作点A 关于y 轴的对称点A1，连接A1B 交y 轴于点M，即为所求；
∵AM＝A1M，
∴根据两点之间线段最短，
∴AM+BM 最小值为A1B，
∴点M 的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
▌题型04 建立坐标系写出点坐标
1. 根据已知点的坐标画图建系步骤
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（1）画一条水平直线为 𝑥 轴，竖直直线为 𝑦 轴，两线垂直相交交点为原点𝑂(0,0)；
（2）标注正方向：𝑥 轴向右为正，𝑦 轴向上为正；
（3）坐标轴均匀标出刻度，每个格子单位长度统一（1 格=1 个单位）。
2. 找点写坐标标准方法(𝑥, 𝑦)
（1）过目标点作竖直线垂直 𝑥 轴，垂足对应的刻度=横坐标 𝑥 ，左负右正；
（2）过目标点作水平线垂直𝑦 轴，垂足对应的刻度=纵坐标𝑦 ，下负上正；
（3）规范格式：(横坐标,纵坐标)，顺序绝对不能调换。
【典例1】（2026•上蔡县一模）数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放
在平面直角坐标系中，若其横截面端点A，C 两点的坐标分别为（﹣1，2），（3，1），则点B 的坐标为
（﹣2，﹣1） ．
【分析】首先根据端点A，C 两点的坐标确定坐标原点的位置和单位长度，建立直角坐标系，即可求解出
点B 的坐标．
【解答】解：∵点A，C 两点的坐标分别为（﹣1，2），（3，1），小方格的边长为1 个单位长度，
∴点A 距x 轴负半轴1 个单位，y 轴正半轴2 个单位，点C 距x 轴正半轴3 个单位，y 轴正半轴1 个单
位，
由此建立平面直角坐标系，如图：
观察坐标系得：点B 的坐标为（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【变式1-1】（2026 春•定边县校级期末）如图，建立平面直角坐标系标注靖边特产红葱，若葱叶上点A 的
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坐标为（1，2），点B 的坐标为（3，3），则表示葱根部点C 的坐标为 （﹣1，﹣1） ．
【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后即可写出点C 的坐标．
【解答】解：若葱叶上点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（3，3），则平面直角坐标系如图所示，
则图中点C 的坐标是（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
【变式1-2】（2026 春•林芝市期末）如图，小晨将一片树叶放在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），
B（1，1），则叶柄底部点C 的坐标为 （2，﹣2） ．
【分析】根据A（﹣1，2），B（1，1）可建立平面直角坐标系，进而确定C 的坐标．
【解答】解：∵点A（﹣1，2），B（1，1），
∴如图所示：
∴叶柄底部点C（2，﹣2）．
故答案为：（2，﹣2）．
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【变式1-3】（2026 春•海淀区校级期末）如图，将“马”的小篆字体放在平面直角坐标系中，A、B 两点的
坐标分别为（2，1），（﹣1，2），则点C 的坐标为 （0，﹣1） ．
【分析】根据题意建立坐标系，根据各点在坐标系中的位置即可得出结论．
【解答】解：A、B 两点的坐标分别为（2，1），（﹣1，2），据此建立直角坐标系如图所示，
∴点C 的坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
▌题型05 判断点所在象限
四象限点位符号
1. 第一象限（右上）：(+, +)
2. 第二象限（左上）：(−, +)
3. 第三象限（左下）：(−, −)
4. 第四象限（右下）：(+, −)
【典例1】（2026 春•丰满区校级期末）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）
A．（1，2）
B．（﹣1，3）
C．（﹣1，﹣3）
D．（1，﹣3）
【分析】根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
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【解答】解：A、（1，2）在第一象限，故A 不符合题意；
B、（﹣1，3）在第二象限，故B 符合题意；
C、（﹣1，﹣3）在第三象限，故C 不符合题意；
D、（1，﹣3）在第四象限，故D 不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•广元期末）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣5）所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】利用各象限内点的坐标特征解题即可．
【解答】解：∵2＞0，﹣5＜0，
∴点P（2，﹣5）在第四象限．
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•芜湖校级期末）平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（ ）
A．（﹣2，3）
B．（﹣5，﹣4）
C．（4，1）
D．（3，﹣5）
【分析】根据各象限内点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵第三象限的坐标符号特点为（﹣，﹣），
∴只有（﹣5，﹣4）符合题意．
故选：B．
【变式1-3】（2026 春•弋江区期末）若点P 位于第三象限，则它的坐标可能是（ ）
A．（2，3）
B．（﹣2，3）
C．（﹣2，﹣3）
D．（2，﹣3）
【分析】根据第三象限点的坐标符号特征判断选项即可．
【解答】解：A、（2，3）横纵坐标都为正，在第一象限的点，不符合题意；
B、（﹣2，3）横坐标为负纵坐标为正，是第二象限的点，不符合题意；
C、（﹣2，﹣3）横纵坐标都为负，是第三象限的点，符合题意；
D、（2，﹣3）横坐标为正纵坐标为负，是第四象限的点，不符合题意．
故选：C．
▌题型06 点到坐标轴的距离
设点坐标：𝑃(𝑥, 𝑦)
1. 点到 𝑥 轴的距离 = 纵坐标的绝对值：|𝑦|
解读：垂直向下/上到横轴，看竖直长度，只用 𝑦，必加绝对值，距离永远正数。
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2. 点到 𝑦 轴的距离 = 横坐标的绝对值：|𝑥|
解读：垂直向左/右到纵轴，看水平长度，只用 𝑥 ，必加绝对值。
【典例1】（2026 春•闵行区期中）在直角坐标平面内，点P 的坐标是（2，﹣3），则点P 到x 轴的距离是
（ ）
A．2
B．3
C．﹣2
D．﹣3
【分析】根据点到坐标轴距离的定义解答即可．
【解答】解：∵点P 的坐标为（2，﹣3），
∴点P 到x 轴的距离为|﹣3|＝3．
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•长安区校级期末）已知点P 在第四象限，且到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，
则点P 的坐标为（ ）
A．（2，﹣3）
B．（﹣3，2）
C．（3，﹣2）
D．（﹣2，3）
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y
轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P 在第四象限，且到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，
∴点P 的横坐标是3，纵坐标是﹣2，
∴点P 的坐标为（3，﹣2）．
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•府谷县期末）在平面直角坐标系中，点A 在第四象限，点A 到x 轴的距离是1，到y
轴的距离是4，则点A 的坐标为（ ）
A．（4，﹣1）
B．（1，﹣4）
C．（﹣1，4）
D．（﹣4，1）
【分析】根据点的坐标特征解答即可．
【解答】解：由条件可知：点A 的纵坐标的绝对值为1，横坐标的绝对值为4，
∵点A 在第四象限，
∴点A 的横坐标为4，纵坐标为﹣1，
∴点A 的坐标为（4，﹣1）．
故选：A．
【变式1-3】（2026 春•太和县校级月考）在平面直角坐标系中，已知点P（2，﹣6），下列说法正确的是
（ ）
A．点P 在第二象限
B．点P 到x 轴的距离为2
C．点P 到y 轴的距离为6
D．点P 在第四象限
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【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标性质分别判断得出即可．
【解答】解：∵2＞0，﹣6＜0，
∴点PP（2，﹣6）在第四象限，
∴A 选项错误，不符合题意；D 选项正确，符合题意；
∵|﹣6|＝6，|2|＝2，
∴点P 到x 轴距离为6，到y 轴的距离为2，
∴B、C 选项错误，不符合题意．
故选：D．
▌题型07 已知点所在象限求参数
四象限点位符号
1. 第一象限（右上）：(+, +)
2. 第二象限（左上）：(−, +)
3. 第三象限（左下）：(−, −)
4. 第四象限（右下）：(+, −)
【典例1】（2026 春•沂南县期末）点P（3m+5，﹣5）在第四象限，则m 的取值范围是 𝑚＞−5
3 ．
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标为负数，列出不等式求解即可．
【解答】解：∵点P（3m+5，﹣5）在第四象限，
∴3m+5＞0，
解得𝑚＞−5
3．
点P（3m+5，﹣5）在第四象限，则m 的取值范围是𝑚＞−5
3．
故答案为：𝑚＞−5
3．
【变式1-1】若点P（a，﹣2a）是第二象限内的点，则a 的取值范围是a＜0 ．
【分析】已知点P（a，﹣2a）是第二象限内的点，即可得到横纵坐标的符号，即可求解．
【解答】解：∵点P（a，﹣2a）是第二象限内的点，
∴a＜0 且﹣2a＞0，
解得：a＜0．
故答案填：a＜0．
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【变式1-2】已知点P（m，m+2）在第二象限，则m 的取值范围是 ﹣2＜m＜0 ．
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0 建立不等式组，解不等式组即可得．
【解答】解：已知点P（m，m+2）在第二象限，依题意得：
{𝑚＜0
𝑚+ 2＞0
，
解得：﹣2＜m＜0，
∴m 的取值范围是﹣2＜m＜0，
故答案为：﹣2＜m＜0．
【变式1-3】（2025 春•凉州区期末）已知A（a﹣1，2a+4）在第三象限，则a 的取值范围是 a＜﹣2 ．
【分析】根据直角坐标系的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案．
【解答】解：由条件可知{ 𝑎−1＜0
2𝑎+ 4＜0
，
解得a＜﹣2，
故答案为：a＜﹣2．
▌题型08 坐标轴上点的坐标特征
1. 𝑥轴上任意点：纵坐标一定是0，形如(𝑎, 0)，不属于任一象限
2. 𝑦轴上任意点：横坐标一定是0，形如(0,𝑏)
3. 原点：(0,0)
【典例1】（2026 春•平城区校级期末）若点P（m﹣1，2m﹣4）在x 轴上，那么点P 的坐标是（ ）
A．（2，0）
B．（0，2）
C．（1，0）
D．（0，1）
【分析】根据x 轴上点的纵坐标为0 列方程求出m 的值，再求解即可．
【解答】解：∵点P（m﹣1，2m﹣4）在x 轴上，
∴2m﹣4＝0，
解得m＝2，
∴m﹣1＝2﹣1＝1，
∴点P 的坐标为（1，0）．
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•茄子河区期末）已知点A（a+1，4）在y 轴上，则a 的值为（ ）
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A．﹣1
B．1
C．﹣2
D．2
【分析】根据y 轴上的点横坐标为零即可求解．
【解答】解：∵点A（a+1，4）在y 轴上，y 轴上的点横坐标为零，
∴a+1＝0，
∴a＝﹣1，
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•江岸区校级月考）在平面直角坐标系中，如果点P（m+3，m﹣1）在y 轴上，则点P
的坐标为 （0，﹣4） ．
【分析】根据y 轴上点的横坐标为0，求出m 的值，再代入计算纵坐标即可得到点P 的坐标．
【解答】解：∵点P（m+3，m﹣1）在y 轴上，
∴m+3＝0，
解得m＝﹣3，
∴m﹣1＝﹣3﹣1＝﹣4，
∴点P 的坐标为（0，﹣4）．
故答案为：（0，﹣4）．
【变式1-3】（2026 春•利州区期末）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3a﹣4，2+a）在x 轴上，则a 的值
为 ﹣2 ．
【分析】根据点在x 轴上，纵坐标等于0，列式求解即可．
【解答】解：由条件可知：2+a＝0，
∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
▌题型09 在平面直角坐标系中描点
已知点𝑃(𝑥, 𝑦)
1. 找到横轴 𝑥 轴：根据横坐标 𝑥 ，往右数正数格、往左数负数格，作出竖直虚线，确定一条竖直线。
2. 找到纵轴 𝑦 轴：根据纵坐标 𝑦 ，往上数正数格、往下数负数格，作出水平虚线，确定一条水平线。
3. 两条虚线相交的交点，就是该点位置，画上实心小圆点。
4. 在圆点旁标注对应坐标𝑃(𝑥, 𝑦)。
【典例1】在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点．
A（4，3），B（1.5，﹣3.5），C（3，1），D（﹣2，3），E（2，0），F（﹣4，0），G（0，2），H（0，
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3）．
【分析】根据平面直角坐标系中的点的意义解答即可．
【解答】解：如图：
【变式1-1】（2025 秋•宁明县期中）（1）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：A（2，0），B（1，
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3），C（﹣2，﹣2），D（1，﹣2）；
（2）按次序A→B→C→DA 将所描出的点用线段连接起来，看看得到的是什么图形；
（3）计算所得到的图形面积．
【分析】（1）在坐标系内找出各点即可；
（2）顺次连接各点得到的是四边形；
（3）利用两个三角形的和即可求得．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中描出点A（2，0），B（1，3），C（﹣2，﹣2），D（1，﹣2）
如图，
（2）按次序A→B→C→DA 将所描出的点用线段连接起来得到的是四边形；
（3）S 四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD= 1
2 × 5 × (2 + 2) =10．
【变式1-2】（2025 春•忻州期末）已知点A，B 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）点A 在第 一 象限，点B 的坐标为 （﹣2，3） ．
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（2）点C 的坐标为（﹣3，﹣4），请在平面直角坐标系中描出点C．
（3）点D 的坐标为（3，﹣1），则点D 到x 轴的距离为 1 ，若点E（2，1），F（﹣2，1），则EF
平行 x 轴（填“平行”或“垂直”）．
【分析】（1）根据象限的坐标特点求解即可；
（2）根据坐标描点即可；
（3）根据点到坐标轴的距离和即可得到点D 到x 轴的距离，由点E（2，1）和F（﹣2，1）的纵坐标相
等即可得到EF 平行x 轴．
【解答】解：（1）由图可得，点A 在第一象限，点B 的坐标为（﹣2，3）；
故答案为：一；（﹣2，3）；
（2）如图所示，
（3）由条件可知点D 到x 轴的距离为|﹣1|＝1；
∵点E（2，1）和F（﹣2，1）的纵坐标相等，
∴EF 平行x 轴．
故答案为：1；平行．
【变式1-3】（2025 春•枞阳县期末）已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC；
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（2）求△ABC 的面积．
【分析】（1）描点、连线，画出△ABC 即可；
（2）利用△ABC 的面积＝矩形的面积﹣三个小直角三角形的面积，即可求出△ABC 的面积．
【解答】解：（1）描点，画出△ABC，如图所示．
（2）S△ABC＝3×4−1
2 ×2×4−1
2 ×1×2−1
2 ×2×3＝4．
▌题型10 点在象限角平分线上的特征
1. 在一三平分线：点到 𝑥 轴距离=到 𝑦 轴距离
2. 在二四平分线：点到 𝑥 轴距离=到 𝑦 轴距离
所有象限角平分线上的点，到两坐标轴距离一定相等
【典例1】（2026 春•新城区期末）点A（m﹣3，2）在第二象限的角平分线上，则m 的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．1
D．﹣1
【分析】根据第二象限的角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m 的方程，解出
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m 的值即可．
【解答】解：由条件可知：m﹣3+2＝0，
解得：m＝1，
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，点P（2m﹣3，3m﹣2）在第二、四象限角
平分线上，则P 点坐标为 （﹣1，1） ．
【分析】根据第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，列出方程求出m 的值，再代入计算
得到点P 的坐标．
【解答】解：∵点P（2m﹣3，3m﹣2）在第二、四象限的角平分线上，
∴2m﹣3+3m﹣2＝0，
解得m＝1，
∴2m﹣3＝2×1﹣3＝﹣1，3m﹣2＝3×1﹣2＝1，
∴P 点坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【变式1-2】（2026 春•鲤城区校级期中）若点A（a﹣5，a﹣3）在第二、四象限的角平分线上，则A 点的坐
标为 （﹣1，1） ．
【分析】根据第二、四象限角平分线上点的坐标特征得到a﹣5+a﹣3＝0，然后解方程即可．
【解答】解：∵点P 在第二、四象限角平分线上，
∴a﹣5+a﹣3＝0，
∴a＝4，
∴A 点的坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【变式1-3】
（2026•明水县校级开学）已知P（2a+1，3a﹣2）在第一三象限的角平分线上，则a 的值为 3 ．
【分析】由第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，得2a+1＝3a﹣2，解方程求出a 的值．
【解答】解：由条件可知第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，
即2a+1＝3a﹣2，
移项得3a﹣2a ＝ 1+2，a＝3．
故答案为：3．
▌题型11 坐标系中被遮挡的点
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四象限点位符号
1. 第一象限（右上）：(+, +)
2. 第二象限（左上）：(−, +)
3. 第三象限（左下）：(−, −)
4. 第四象限（右下）：(+, −)
【典例1】（2026 春•二道区校级期中）如图，五角星盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（﹣3，﹣2）
B．（1，﹣2）
C．（﹣3，4）
D．（2，2）
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：由图可知，五角星位于第二象限，
A、（﹣3，﹣2）在第三象限，不符合题意；
B、（1，﹣2）在第四象限，不符合题意；
C、（﹣3，4）在第二象限，符合题意；
D、（2，2）在第一象限，不符合题意．
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•唐县期末）老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，
则下列各点一定没有被书本遮住的点是（ ）
A．（﹣2，﹣1）
B．（2，﹣3）
C．（2，3）
D．（﹣2，1）
【分析】由图可知，书本遮住了坐标系中的第一、二、三象限的部分，只有第四象限内的点一定不被书本
遮住，由此即可求解．
【解答】解：由图可知，第四象限内的点一定不被书本遮盖，
∵（﹣2，﹣1）在第三象限，（2，3）在第一象限，（﹣2，1）在第二象限，都有可能被书本遮住．
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∴A、C、D 不符合题意；
∵（2，﹣3）在第四象限，
∴此点一定不被书本遮住，故B 符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2026•苏州模拟）如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（﹣5，﹣6）
B．（5，3）
C．（﹣2，5）
D．（3，﹣1）
【分析】若点在第一象限内，则横坐标大于0，纵坐标大于0．据此进行作答即可．
【解答】解：由条件可知点的横坐标大于0，纵坐标大于0，
故选：B．
【变式1-3】（2025 秋•茂名期末）如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2）
B．（﹣3，﹣3）
C．（﹣6，4）
D．（2，﹣5）
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：由图得点位于第四象限，
故选：D．
▌题型12 判断点所在的象限（含参）
四象限点位符号
1. 第一象限（右上）：(+, +)
2. 第二象限（左上）：(−, +)
3. 第三象限（左下）：(−, −)
4. 第四象限（右下）：(+, −)
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【典例1】（2026 春•西昌市期末）下列说法不正确的是（ ）
A．点A（a2+1，﹣|b|﹣1）一定在第四象限
B．点P（2，﹣6）到x 轴的距离为6
C．若P（x，y）中xy＝0，则点P 在x 轴上
D．若AB∥y 轴，A（1，﹣3），B 在第一象限且AB＝7，则点B 的坐标为（1，4）
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可判断点A 的横纵坐标的符号，据此可判断A；点到x 轴的距离
为该点纵坐标的绝对值，据此可判断B；根据题意可得x＝0 或y＝0，据此可判断C；平行于y 轴的直线
上的点的横坐标相同，再结合点B 在第一象限和AB＝7 求出点B 的坐标，即可判断D．
【解答】解：根据坐标与图形性质逐项分析判断如下：
A 选项：∵a2≥0，|b|≥0，∴a2+1＞0，﹣|b|﹣1＜0，
∴点A 横坐标为正，纵坐标为负，即点A 在第四象限，原说法正确，不符合题意；
B 选项：点P（2，﹣6）到x 轴的距离为|﹣6|＝6，原说法正确，不符合题意；
C 选项：∵xy＝0，∴x＝0 或y＝0，
∴点P 在x 轴或y 轴上，并非一定在x 轴上，原说法错误，符合题意；
D 选项：∵AB∥y 轴，A（1，﹣3），
∴点B 的横坐标为1，
∵点B 在第一象限，AB＝7，
∴点B 的纵坐标为﹣3+7＝4，即B（1，4），说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•绥德县期末）在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（m﹣1，5），若m＜0，则点P
在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】由m＜0 推导点P 横坐标的符号，结合纵坐标符号判断所在象限．
【解答】解：由条件可知m﹣1＜0，
∵纵坐标5＞0，
∴点P 的坐标符号为（﹣，+），在第二象限．
故选：B．
【变式1-2】（2026•东阿县校级模拟）若点A（x，y）满足x+y＜0，xy＞0，则点A 在第（ ）象限．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】由xy＞0，且x+y＜0 判断x、y 的符号，然后判断点A（x，y）所在的象限．
【解答】解：∵点A（x，y）满足xy＞0，
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∴x 和y 同号，
又∵x+y＜0，
∴x＜0，y＜0，
∴点A 在第三象限．
故选：C．
【变式1-3】若点P（a，b）在第三象限，则M（﹣ab，﹣a）应在第 二 象限．
【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数确定出a、b 的正负情况，再求出﹣a，﹣ab
的正负情况，然后确定出点M 所在的象限，即可得解．
【解答】解：∵点P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣a＞0，﹣ab＜0，
∴点M（﹣ab，﹣a）在第二象限．
故答案为：二．
▌题型13 与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
1.平行于 𝑥 轴的直线：所有点纵坐标相等，横坐标任意不同。
2.平行于 𝑦 轴的直线：所有点横坐标相等，纵坐标任意不同。
【典例1】（2026 春•交城县期末）已知直线AB 平行于y 轴，A 点的坐标为（1，3），且AB＝5，则B 点的
坐标为（ ）
A．（1，6）
B．（1，﹣2）
C．（1，6）或（1，﹣2）
D．（1，8）或（1，﹣2）
【分析】平行于y 轴的直线上所有点的横坐标相等，分点B 在点A 上方和下方两种情况讨论求解．
【解答】解：∵点A 的坐标为（1，3），直线AB 平行于y 轴，
∴点B 的横坐标为1，
当点B 在点A 的下方时，
∵AB＝5，
∴点B 的纵坐标为3﹣5＝﹣2，此时点B 的坐标为（1，﹣2）；
当点B 在点A 的上方时，
∵AB＝5，
∴点B 的纵坐标为3+5＝8，此时点B 的坐标为（1，8）；
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故点B 的坐标为（1，8）或（1，﹣2）．
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•八公山区期末）过点A（3，2）和B（﹣1，2）作直线，则直线AB（ ）
A．与x 轴平行
B．与y 轴平行
C．与x 轴相交
D．与x 轴、y 轴均相交
【分析】根据A，B 两点的纵坐标相等，得出直线AB 平行于x 轴．
【解答】解：∵点A（3，2）和B（﹣1，2），
∴直线AB 为：y＝2，
∵直线y＝2 与x 轴平行，
∴直线AB∥x 轴，故A 正确．
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•安溪县期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过两点A（3，3），B（﹣4，3），
则直线l 必（ ）
A．平行于y 轴
B．经过原点
C．与x 轴相交
D．平行于x 轴
【分析】根据平行于x 轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为直线l 经过两点A（3，3），B（﹣4，3）且点A 和点B 的纵坐标相等，
所以直线l 必平行于x 轴．
故选：D．
【变式1-3】（2026 春•汉阴县期末）在平面直角坐标系中，点N 的坐标为（n+2，2n﹣3），若点N 在经过
点A（2，8）且与y 轴平行的直线上，求点N 的坐标．
【分析】根据平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等列方程求得n 值即可．
【解答】解：由条件可知n+2＝2，
解得：n＝0，
∴2n﹣3＝﹣3，
∴点N 的坐标为（2，﹣3）．
▌题型14 坐标系中的规律问题
1.枚举：依次写出前8~10 个坐标，直观观察排布走向；
2.定周期：清点重复一次一共几个点位，确定周期值；
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3.做除法：n÷T=商……余数；
4.定位置：依照余数对应周期内点位，写出最终坐标。
【典例1】（2026 春•长汀县期末）学习了平面直角坐标系后，某兴趣小组将操场看作平面直角坐标系，并
设计跳跃游戏，从点（x，y）移动到点（x+3，y+1）称为一次跳跃，若小华从点（﹣1，1）出发按此方式
跳跃，连续跳跃6 次后所在点的坐标为（ ）
A．（14，6）
B．（14，7）
C．（17，6）
D．（17，7）
【分析】根据跳跃方式解答即可．
【解答】解：小华从点（﹣1，1）出发按此方式跳跃，连续跳跃6 次后所在点的坐标为（17，7），
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•惠州期末）如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，0）做如下的连续平移，
A（﹣1，0）→A1（﹣1，1）→A2（2，1）→A3（2，﹣4）→A4（﹣5，﹣4）→A5（﹣5，5）…，按此规
律平移下去，则A102 的点坐标是（ ）
A．（100，101）
B．（101，100）
C．（102，101）
D．（103，102）
【分析】根据题意可知，点A 平移时每4 次为一个周期，由102÷4＝25……2，可知点A102 的坐标与A4n+2
的点的坐标规律相同，分别求出A2，A6，A10 的坐标，找出规律，进而求解即可．
【解答】解：由题意可知，将点A（﹣1，0）向上平移1 个单位长度得到A1（﹣1，1），再向右平移3 个
单位长度得到A2（2，1），再向下平移5 个单位长度得到A3（2，﹣4），再向左平移7 个单位长度得到
A4（﹣5，﹣4）；再向上平移9 个单位长度得到A5（﹣5，5）…，
∴点A 平移时每4 次为一个周期．
∵102÷4＝25……2，
∴点A102 的坐标与A4n+2 的点的坐标规律相同．
小学
初中
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∵A2（2，1），A6（6，5），A10（10，9），
以此类推，
∴A4n+2（4n+2，4n+1），
∴A102 的点坐标是（102，101）．
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•滑县期末）如图，三角形A1A2A3，三角形A3A4A5，三角形A5A6A7，…都是斜边在x
轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若三角形A1A2A3 的顶点坐标分别为A1（2，0），
A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2025 的坐标为（ ）
A．（﹣1014，0）
B．（﹣1012，0）
C．（1014，0）
D．（1012，0）
【分析】首先确定角码的变化规律，利用规律确定答案即可．
【解答】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，A3（0，0），A7（﹣2，0），A11（﹣4，0）…，
∵2025÷4＝506 余1，
∴点A2025 在x 轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是（2025+3）÷2＝1014，
∴A2025 的坐标为（1014，0）．
故选：C．
【变式1-3】（2025 秋•金凤区校级期末）如图，A（﹣2，0），A1（0，1），A2（2，2），A3（4，3），A4
（6，4），A5（8，5），…，按照这样的规律下去，点A2026 的坐标为 （4050，2026） ．
【分析】从横坐标、纵坐标两方面探究即可求解．
【解答】解：从A1 开始，坐标依次为：
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A1（0，1），A2（2，2），A3（4，3），A4（6，4），A5（8，5），…，
A1 横坐标为2×0＝0，
A2 横坐标为2×1＝2，
A3 横坐标为2×2＝4，
…
An（n≥1）横坐标为2（n﹣1），
A1 纵坐标为1，
A2.纵坐标为2，
A3 纵坐标为3，
…
An（n≥1）纵坐标为n，
∴A2026 的坐标：
横坐标：2×（2026﹣1）＝2×2025＝4050，
纵坐标：2026，
…，
∴按照这样的规律下去，
A2026 的坐标为（4050，2026）．
故答案为：（4050，2026）．
▌题型15 两点之间的距离
1.平行坐标轴的两点
①两点平行于𝑥轴（纵坐标相同𝑦1 = 𝑦2）
𝐴(𝑥1, 𝑦)，𝐵(𝑥2,𝑦)
距离：𝐴𝐵= |𝑥1 −𝑥2|
横坐标相减，取绝对值
②两点平行于𝑦轴（横坐标相同𝑥1 = 𝑥2）
𝐴(𝑥, 𝑦1)，𝐵(𝑥, 𝑦2)
距离：𝐴𝐵= |𝑦1 −𝑦2|
纵坐标相减，取绝对值
2.任意两点距离公式
𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)
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则𝐴𝐵= √(𝑥1 −𝑥2)2 + (𝑦1 −𝑦2)2
【典例1】（2026 春•杭锦后旗期末）在下列四个点中，到原点距离最远的点是（ ）
A．（﹣2，0）
B．（0，3）
C．（1，1）
D．（﹣1，﹣2）
【分析】利用两点间的距离公式逐项计算比较即可．
【解答】解：根据两点间的距离公式逐项计算比较可知：
选项A，𝑑𝐴= √(−2)2 + 02 = 2，
选项B，𝑑𝐵= √02 + 32 = 3，
选项C，𝑑𝐶= √12 + 12 = √2，
选项D，𝑑𝐷= √(−1)2 + (−2)2 = √5，
可知dB 最大，
∴到原点距离最远的点是B 选项对应的点．
故选：B．
【变式1-1】（2025 春•寻甸县期中）如图，在平面直角坐标系中有两个点A（5，0）和B（0，4），求这两
个点之间的距离为（ ）
A．9
B．√41
C．6
D．2√10
【分析】根据两点之间的距离公式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A 坐标为（5，0），点B 坐标为（0，4），
所以AB= √(5 −0)2 + (0 −4)2 = √41．
故选：B．
【变式1-2】已知点P（3，0），Q（﹣2，0），则PQ＝ 5 ，已知点M（0，
1
2），N（0，−1
2），则MQ
＝ 1 ； E（2，﹣1），F（2，﹣8），则EF 两点之间的距离是 7 ；已知点G（2，﹣3）、H（3，
4），则G、H 两点之间的距离是 5√2 ．
【分析】根据与y 轴垂直的直线上两点的距离等于两点的横坐标之差的绝对值计算PQ；根据与x 轴垂直
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的直线上两点的距离等于两点的纵坐标之差的绝对值计算MN 和EF；根据两点间的距离公式计算GH．
【解答】解：∵点P（3，0），Q（﹣2，0），
∴PQ＝3﹣（﹣2）＝5；
∵点M（0，
1
2），N（0，−1
2），
∴MN= 1
2 −（−1
2）＝1；
∵E（2，﹣1），F（2，﹣8），
∴EF＝﹣1﹣（﹣8）＝7；
∵点G（2，﹣3）、H（3，4），
∴FG= √(2 −3)2 + (−3 −4)2 =5√2．
故答案为5，1，7，5，5√2．
【变式1-3】在平面直角坐标系中，顺次连接A（﹣2，0）、B（4，0）、C（﹣2，﹣3）各点，试求：
（1）A、B 两点之间的距离．
（2）点C 到x 轴的距离．
（3）△ABC 的面积．
【分析】（1）作出图形，然后根据两点间的距离公式列式计算即可；
（2）根据点C 的纵坐标的绝对值就是点C 到x 轴的距离解答；
（3）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解．
【解答】解：如图所示：
（1）A、B 两点之间的距离为：|﹣2﹣4|＝6
（2）点C 到x 轴的距离为：|AC|＝|﹣3|＝3
（3）S△ABC= 1
2|AB|•|AC|= 1
2 ×6×3＝9．
