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专题24 圆的有关位置关系（4 考点36 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 切线判定
定理
解答必考核心，依托直径、等腰、
菱形、圆内接四边形等背景证切
线；常规思路连半径证垂直，搭配
勾股、全等导角，分层设问（证明
+线段/面积计算）。
作图融合：尺规作图生成切线背景；
情境创新：团扇、等边圆内接模型；
开放设问：补充条件证切线，多路
径证明；综合联动：阴影面积、相
似线段求值。
考点02 切线性质
定理
选填基础、解答过渡工具，核心
“切线⊥半径”，结合切线长相等、
切线角导角度，常搭配矩形、扇形、
双切线模型求弧长、线段。
生活建模：剪刀、团扇实物抽象切
线；割补创新：切线与正方形组合
求阴影；双切线模型：全等+等腰
综合，三角函数求值。
考点03 三角形内
切圆
侧重内心角平分线性质、内切圆半
径计算，结合直径直角、圆周角综
合，多与切线判定大题嵌套设问。
模型融合：内心+外接圆双圆组合；
计算创新：面积法求内切半径；规
律探究：内心衍生等腰线段等量关
系。
考点04 点/直线/圆
位置关系
基础选择判断距离与半径大小，中
档结合动点、坐标系，压轴融入线
段最值分类讨论。
动态创新：直线平移判断交点个数；
坐标建模：平面直角坐标系定点定
圆；分类创新：分相交/相切/相离
多情况求值。
考点01 切线的判定定理
1．（2026·广东·中考真题）如图，直线AB 经过
O 上的点C ，且AC
BC
=
，
40
OAB
=
，
100
AOB
=
．求
证：直线AB 是
O 的切线．
【答案】证明：连接OC
∵
100
AOB
=
，
40
OAB
=
∴
180
40
OBA
AOB
OAB
=
−
−
=
∴
OAB
OBA
=
∠
∠
∴OA
OB
=
∵AC
BC
=
∴OC
AB
⊥
∵点C 在
O 上，
∴OC 为半径，
∴直线AB 是
O 的切线．
【分析】连接OC ，先由三角形内角和定理求出
OBA
的度数，再证明OAB为等腰三角形，则由三线合一
得到OC
AB
⊥
，即可证明．
【详解】略
2．（2026·山东德州·中考真题）如图，在
O 中，点A 为
O 上一点，点D 是AC 的中点，BC 是
O 的直
径．过点A 作
O 的切线交BC 的延长线于点E ，连接OD 并延长交AE 于点F ，连接CF ．
(1)求证：CF 与
O 相切；
(2)若
1 2
AF EF =
∶
∶，
2
CF =
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明：连接OA，
BC 是
O 直径，点C 在
O 上，
D 是AC 的中点，
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AOF
COF
=
，
在
AOF
△
和COF 中，
OA
OC
AOF
COF
OF
OF
=
=
=
，
(
)
, ,
AOF
COF S A S
≌
，
90
OCF
OAF
=
=
，
OC
FC
⊥
，
OC是
O 的半径，
CF 与
O 相切．
(2)4 3
2
−
【分析】（1）连接OA，通过AOF
COF
≌
证OC
FC
⊥
，再结合点C 在
O 上，即可得证；
（2）阴影部分的面积为
OCFA
OCA
S
S
−
四边形
扇形
，通过线段转化即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
AF
CF
，
是
O 的切线，
AF
CF
＝
，
12
2
AF
EF
CF
：
＝：，
＝ ，
2
4
AF
EF
＝，
＝ ，
90
FCE
＝
，
2
1
sin
4
2
FC
E
EF
=
=
=
，
30
E
＝
，
90
60
CFE
E
=
−
＝
，
180
60
2
CFE
OFC
OFA
−
=
＝
＝
，
90
30
FOC
OFC
=
−
＝
，
2
4
OF
FC
＝
＝ ，
由勾股定理得，
2 3
OC＝
，
1
2 3
2
2 3
2
FOC
S
＝
＝
，
2
4 3
OFC
OCFA
S
S
四边形
＝
＝
，
(
)
2
60 π 2 3
2
360
OAC
S
扇形
＝
＝
，
阴影部分的面积为
4 3
2
OCFA
OCA
S
S
−
−
四边形
扇形
＝
．
3．（2026·四川眉山·中考真题）如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，AB 是
O 的直径，对角线AC 平
分
BAD
交BD 于点E ，点F 在AB 的延长线上，且满足
BCF
BAC
=
．
(1)求证：CF 是
O 的切线；
(2)若
3
CE =
，
5
BE =
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明：连接OC ，
∵OA
OC
=
∴
OAC
OCA
=
∵
BCF
BAC
=
∴
BCF
OCA
=
∵AB 是
O 的直径
∴
90
ACB
=
∴
90
OCA
OCB
+
=
∴
90
BCF
OCB
OCF
+
=
=
又∵点C 在
O 上
∴CF 是
O 的切线；
(2)10
3
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【分析】（1）连接OC ，由OA
OC
=
，得到
OAC
OCA
=
，然后由圆周角定理得到
90
ACB
=
，再结合
已知条件进行等量代换证明
90
BCF
OCB
OCF
+
=
=
即可；
（2）先由勾股定理求解BC ，然后根据圆周角定理得到
4
CD
CB
=
=
，再由DEC
AEB
∽
求出AB ，即可求
解半径．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得
90
ACB
=
，
∵
3
CE =
，
5
BE =
∴
2
2
4
BC
BE
CE
−
=
=
∵AC 平分
BAD
∴
CAD
CAB
=
∴CD
CB
=
∴
4
CD
CB
=
=
∵
BAC
BDC
=
，
ABD
ACD
=
∴DEC
AEB
∽
∴DC
CE
AB
BE
=
∴4
3
5
AB =
∴
20
3
AB =
∴
1
1
20
10
2
2
3
3
OA
AB
=
=
=
∴
O 的半径为10
3 ．
4．（2026·江西·中考真题）如图，AD 为
O 的直径，
4
AD =
，B ，C 是
O 上的点，四边形OABC为菱形．
(1)求AC 的长；
(2)延长AD 到点P ，使得
2
DP =
，求证：PC 是
O 的切线．
【答案】(1) 4π
3
(2)证明：如图2，连接CD．
由（1）可得
//
AB OC，
60
A
=
，
∴
60
A
COD
=
=
，
OC
OD
=
，
COD
是等边三角形，
2
CD
OD
=
=
，
60
OCD
ODC
=
=
．
2
DP =
，
DP
CD
=
，
1
30
2
DCP
P
ODC
=
=
=
．
90
OCP
OCD
DCP
=
+
=
，
又∵OC 是
O 的半径，
PC
是
O 的切线．
【分析】
（1）连接OB ．首先，证得AOB 是等边三角形，得
60
A
=
，
120
AOC
=
，然后，求得
1
2
2
OA
AD
=
=
，
最后，再代入弧长公式计算即可；
（2）连接CD．先证得COD是等边三角形，得
2
CD
OD
=
=
，
60
OCD
ODC
=
=
，再由𝐷𝑃= 2，得
DP
CD
=
，进而得
30
DCP
=
，
90
OCP
=
，即可证得结论．
【详解】（1）解：如图1，连接OB ．
∵四边形OABC为菱形，
OA
AB
=
，
//
AB OC．
又
OA
OB
=
，
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AOB
是等边三角形．
60
A
=
，
180
120
AOC
A
=
−=
．
∵
4
AD =
，
1
2
2
OA
AD
=
=
，
AC
的长为120
π
2
4π
180
3
=
；
（2）略
5．（2026·湖南·中考真题）如图，在等腰OAB中，OA
OB
=
．在OA上取一点E ，以O为圆心，OE 的长
为半径画弧，交OB 于点F ；分别以E ，F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，在
AOB
内两弧交于点P ；
作射线OP 交AB 于点C ；以O为圆心，OC 的长为半径作
O ．
(1)求证：AB 与⊙O相切；
(2)已知
10
OA=
，
12
AB =
，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线OP 是
AOB
的角平分线，
∵OA
OB
=
，
∴OAB是等腰三角形，
∴OC
AB
⊥
，
又∵OC 是
O 的半径，且点C 在AB 上，
∴AB 与
O 相切；
(2)
O 的半径为8
【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线OP 平分
AOB
；又OA
OB
=
，OAB为等腰三角形，根据等腰三
角形“三线合一”性质，可得OC
AB
⊥
．因OC 是
O 的半径，且点C 在直线AB 上，即可证AB 与
O 相切；
（2）由OA
OB
=
、OC
AB
⊥
，根据三线合一可知OC 是底边AB 的中线，则可得
6
AC =
．在Rt
OAC
△
中，
运用勾股定理即可求出
O 的半径．
【详解】（1）略
（2）解：∵OAB是等腰三角形，且OC
AB
⊥
，
∴OC 是底边AB 的中线，
∴
1
1 12
6
2
2
AC
AB
=
=
=
，
在Rt
OAC
△
中，
2
2
2
2
10
6
8
OC
OA
AC
−
=
=
−
=
，
∴
O 的半径为8．
6．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC中，
90
ACB
=
，
ABC
BAC
．以AB 边上的点O为圆
心，OA长为半径的
O 与AC 边的另一交点为D ，BD 为
O 的切线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的
O （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(2)若
4
AC =
，
1
tan
2
BAC
=
，求
O 的半径．
【答案】(1)解：
O 如下图所示．
作法：（1）作
DBC
A
= ，边BD 交AC 于点D ；
（2）作AD 的垂直平分线EF ，交AB 于点O；
（3）连接OD，则OA
OD
=
；（4）以OA为半径作
O ．
(2) 3 5
4
【分析】（1）先作
DBC
A
= 交AC 于点D ，再作AD 的垂直平分线，交AB 于点O，以OA为半径作
O
即可；
（2）由已知条件先求BC ，进一步可求DC 长度，AD 长度，
,
AF OF 均可求，最后借助勾股定理可求半径OA
长度．
【详解】（1）作图见答案，
证明：
90
ACB
=
，
90
DBC
BDC
+
=
，
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EF 为AD 垂直平分线，
OA
OD
=
，
OAD
ODA
=
，
DBC
A
= ，
ODA
DBC
=
，
90
ODA
BDC
+
=
，
90
ODB
=
，
OD
BD
⊥
，
OD 为
O 半径，点D 在圆上，
BD
为
O 切线．
（2）
1
4,tan
2
AC
BAC
=
=
，
1
tan
4
2
BC
BC
BAC
AC
=
=
=
，
2
BC
=
，
DBC
A
= ，
1
tan
tan
2
DBC
BAC
=
=
，
1
2
DC
BC
=
，
1
DC
= ，
3
AD
= ，
3
2
AF
DF
=
=
，
1
tan
2
OF
OAF
AF
=
=
，
3
4
OF
=
，
2
2
3
3
9
9
45
3 5
2
4
4
16
16
4
OA
=
+
=
+
=
=
，
即
O 半径为3 5
4
．
7．（2026·四川广安·中考真题）如图，ABC内接于
O ，AD 是
O 的直径，过点A 作射线AE 交BC 的延
长线于点E ，使
EAB
ECA
=
．
(1)求证：AE 是
O 的切线；
(2)过点C 作CF
AE 交AB 于点F ，若
2
AF =
，
9
AB = ，求AC 的长．
【答案】(1)证明：连接DC ，
ECA
B
BAC
=
+
，
EAB
CAE
BAC
=
+
，
∵
ECA
EAB
=
，
B
BAC
CAE
BAC
+
=
+
，
B
CAE
=
，
AD 是
O 的直径，
90
ACD
=
，
90
D
DAC
+
=
，
B
D
=
，
CAE
D
=
，
90
CAE
DAC
+
=
，
DA
AE
⊥
，
AE
是
O 的切线．
(2)3 2
【分析】（1）连接DC ，由题意易得
B
CAE
=
，
90
ACD
=
，则有
90
D
DAC
+
=
，然后可得DA
AE
⊥
，
进而问题可求证；
（2）由题意易得
FCA
CAE
=
，则有
FCA
B
= ，然后可得ACF
ABC
∽
，进而可得
2
AC
AB AF
=
，
则问题可求解．
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【详解】（1）略
（2）解：∵CF
AE ，
FCA
CAE
=
，
CAE
B
=
Q
，
FCA
B
= ，
在
ACF
△
和ABC中，
FCA
B
CAF
BAC
=
=
，
ACF
ABC
△
∽△
，
AC
AF
AB
AC
=
，
2
AC
AB AF
=
，
9
AB =
，
2
AF =
，
2
9 2
18
AC
=
=
，
∴
3 2
AC =
．
8．（2026·广东深圳·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，点C 是圆上一点，连接OC 并延长至点D ，使得
CBD
ACO
=
．
(1)求证: BD 是
O 的切线；
(2)若
4
CD =
，
6
BD =
，求BC 的长；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点C 关于直线AB 的对称点P （保留作图痕迹，不要求写出作法）．
【答案】(1)
证明：∵OA
OC
=
∴
ACO
OAC
=
∵
CBD
ACO
=
∴
CBD
OAC
=
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
∴
90
OAC
ABC
+
=
∴
90
CBD
ABC
+
=
∴
90
ABD
=
，
∵OB 为半径，
∴BD 是
O 的切线；
(2)10 13
13
(3)如图，点P 即为所求
【分析】（1）由OA
OC
=
结合已知条件得到
CBD
OAC
=
，然后根据圆周角定理得到
90
ACB
=
，再由
直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可；
（2）设OB
OC
r
=
= ，则
4
OD
r
= + ，先对Rt
OBD
△
运用勾股定理求解半径r ，然后利用
BOT
DOB
△
∽△
，
以及对Rt
BTC
△
运用勾股定理求解即可．
（3）以点A 为圆心，AC 为半径画弧与
O 交点即为点P ．
【详解】（1）略
（2）解：过点B 作BT
OC
⊥
于点T ，则
90
OTB
=
设OB
OC
r
=
= ，则
4
OD
r
= +
∵
90
ABD
=
，
∴
2
2
2
OB
BD
OD
+
=
∴
(
)
2
2
2
6
4
r
r
+
=
+
解得
5
2
r =
，
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∴
5
2
OB
OC
=
=
，
13
2
OD =
，
∵
90
OTB
OBD
=
=
，
BOT
DOB
=
∴
BOT
DOB
△
∽△
∴BO
OD
BD
OT
OB
BT
=
=
∴
5
13
6
2
2
5
2
OT
BT
=
=
∴
25
26
OT =
，
30
13
BT =
∴
5
25
20
2
26
13
CT
OC
OT
=
−
=
−
=
∴
2
2
2
2
30
20
10 13
13
13
13
BC
BT
CT
=
+
=
+
=
．
（3）解：连接
,
AP PC ，
由作图可得AP
AC
=
，
则AP
AC
=
，
再由垂径定理的推论可得AB 垂直平分CP ，
即可得到点,
P C 关于AB 对称．
9．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，点C 是
O 上一点，CD
AB
⊥
于点D ，点E 在AB
的延长线上，CB平分
ECD
．
(1)求证：CE是
O 的切线；
(2)当
8
AD = ，
5
sin
5
BCE
=
时，
①填空：tan BCE
的值等于__________；
②求BC 的长．
【答案】(1)证明：如图，连接OC ，
∵OC
OB
=
，
∴
OBC
OCB
=
．
∵CB平分
ECD
，
∴
BCE
DCB
=
．
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
OBC
DCB
+
=
，
∴
90
OCB
BCE
+
=
，
∴OC
CE
⊥
．
∵OC 为
O 的半径，
∴CE是
O 的切线；
(2)①
1
tan
2
BCE
=
；②2 5
【分析】（1）连接OC ，由OC
OB
=
得
OBC
OCB
=
；由CB 平分
ECD
得
BCE
DCB
=
．结合CD
AB
⊥
，
可知Rt BCD中
90
OBC
DCB
+
=
，等量代换得
90
OCB
BCE
+
=
，即OC
CE
⊥
，进而即可证明；
（2）①由CB平分
ECD
得
BCE
DCB
=
，在Rt BCD中，
5
sin
5
BD
DCB
BC
=
=
．可得
5
5
BC
BD =
，由
勾股定理得
2 5
5
BC
CD =
，进而即可求出tan
BCE
；②连接AC ，由AB 是直径得
90
ACB
=
，结合CD
AB
⊥
，
由同角的余角相等得
DCB
CAB
=
，则可得
CAB
BCE
=
，即
1
tan
2
CAB
=
．在Rt ACD 中，
8
AD = ，
由
1
tan
2
CD
CAB
AD
=
=
得
4
CD =
；在Rt BCD中，由
1
tan
2
BD
DCB
CD
=
=
得
2
BD =
，最终由勾股定理求解即
可．
【详解】（1）略
（2）解：①∵
BCE
DCB
=
，
5
sin
5
BD
BCE
BC
=
=
，
∴
5
5
BC
BD =
，
∵
2
2
2
BD
CD
BC
+
=
，
15 / 66
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∴
2 5
5
BC
CD =
，
∴
5
1
5
tan
tan
2
2 5
5
BC
BD
BCE
BCD
CD
BC
=
=
=
=
；
②如图，连接AC ，
AB 为
O 的直径，
90
ACB
=
，
90
OBC
CAB
+
=
．
由（1）可知，
90
OBC
DCB
+
=
，
DCB
CAB
=
，
由（1）可知，
DCB
BCE
=
，
DCB
CAB
BCE
=
=
，
1
tan
tan
tan
2
DCB
CAB
BCE
=
=
=
．
在Rt ACD 中，
1
tan
2
CD
CAB
AD
=
=
，
8
AD = ，
4
CD
=
．
在Rt BCD中，
1
tan
2
BD
DCB
CD
=
=
，
4
CD =
，
2
BD
=
，
2
2
2
2
2
4
2 5
BC
BD
CD
=
+
=
+
=
．
10．（2026·四川南充·中考真题）如图，在
O 中，AB 为直径，AC 为切线，点D 在
O 上，
2
180
C
B
+ =
．
(1)求证：CD是
O 的切线．
(2)若
10
AC =
，
3
cos
5
C =
，求AB 的长．
【答案】(1)证明：连接OD，
AOD
与
B
分别是弧AD 所对的圆心角和圆周角，
2
AOD
B
= ，
又
2
180
C
B
+ =
，
180
AOD
C
+
=
，
在四边形OACD中，
360
OAC
C
ODC
AOD
++
+
=
，
360
180
180
OAC
ODC
+
=
−
=
，
AC 为
O 的切线，AB 为直径，
OA
AC
⊥
，即
90
OAC
=
，
180
90
ODC
OAC
=
−
=
，即OD
CD
⊥
，
又
OD 为
O 的半径，
CD
是
O 的切线．
(2)10
【分析】（1）连接OD，由同弧所对圆心角是圆周角的2 倍，得
2
AOD
B
= ，结合已知
2
180
C
B
+ =
，
推出
180
AOD
C
+
=
，再利用四边形OACD的内角和为360，得到
180
OAC
ODC
+
=
，而AC 为切线，
90
OAC
=
，于是
90
ODC
=
，从而CD为切线．
（2）连接OC 、AD ，OC 交AD 于点E ，作AH
CD
⊥
于点H ，利用余弦的定义求CH ，进而求出
,
AH HD
和AD ，利用面积法求出CE，再证明
(ASA)
AEC
BDA
≌
，可得AC 等于直径AB ．
【详解】（1）略
（2）解：连接OC 、AD ，OC 交AD 于点E ，
由（1）知CA、CD是
O 的两条切线，
CA
CD
=
，
OA
OD
=
OC
是AD 的垂直平分线，
OC
AD
⊥
，即
90
AEC
=
，且
1
2
AE
ED
AD
=
=
，
作AH
CD
⊥
于点H ，
在Rt AHC 中，
90
AHC
=
，
10
AC =
，
3
cos
5
ACD
=
，
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∴
3
cos
10
6
5
CH
AC
ACD
=
=
=
，
2
2
8
AH
AC
CH
=
−
= ，
10
CD
CA
=
=
，
10 6
4
HD
CD CH
=
−
=
−=
，
在Rt
AHD
△
中，
2
2
2
2
8
4
4 5
AD
AH
HD
=
+
=
+
=
，
1
2 5
2
AE
AD
=
=
，
又
1
1
2
2
ACD
S
CE AD
AH CD
=
=
，
8 10
80
CE AD
AH CD
=
=
=
，
80
4 5
CE
AD
=
=
，
AB 为
O 的直径，
90
ADB
=
，
90
AEC
BDA
=
=
，
90
EAC
BAD
+
=
，
90
EAC
ACE
+
=
，
BAD
ACE
=
，
∵
4 5
AD
CE
=
=
，
∴
(ASA)
AEC
BDA
≌
，
AC
BA
=
，
10
AC =
，
10
AB
=
．
11．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，等边ABC 内接于
O ，D 为BC 中点，连接OD 并延长交
O 于
点E ，作EM
BC ．
(1)求证：EM 是
O 的切线．
(2)如图2，点F 为射线EM 上的动点，连接FB 并延长与
O 的优弧BAC 交于点P （与点B ，C 不重合），
连接PA ，PC ．
①在点F 运动过程中，请探究线段PA ，PB ，PC 的数量关系并说明理由：
②连接CE，若
2 3
AB =
，当点P 到CE的距离最大时，请直接写出PA
BF
PB
+
的值．
【答案】(1)证明：∵D 为BC 中点，E 在OD 的延长线上，
∴OE
BC
⊥
，
∵EM
BC ，
∴OE
EM
⊥
，
∴EM 是
O 的切线；
(2) PC
PA PB
=
+
或PC
PB
PA
=
−
，理由如下：
当点P 在AB 上时，如图，在PC 上取点T 使得，PT
PA
=
∵ABC是等边三角形，
∴
60
ABC
ACB
=
=
，AB
AC
=
，
∵AC
AC
=
，
∴
60
APC
ABC
=
=
，
∴
APT
△
是等边三角形，
∴AT
AP
=
，
60
PTA
=
，
∴
120
ATC
=
，
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∵四边形APBC是
O 的内接四边形，
∴
180
APB
ACB
+
=
，
∴
120
APB
=
，
∴
APB
ATC
=
，
又∵AP
AP
=
，
∴
ABP
ACT
=
，
∴
(
)
ABP
ACT AAS
≌
，
∴PB
TC
=
，
∴PC
PT
TC
PA
PB
=
+
=
+
；即PC
PA PB
=
+
，
当点P 在AC 上时，如图所示，在CP的延长线上取PS
PA
=
，
同理可得
60
APB
ACB
=
=
，
∵四边形APBC是
O 的内接四边形，
∴
180
APB
ACB
+
=
，
∴
120
APB
=
，
∴
60
APS
=
，
∴
APS
△
是等边三角形，
∴
S
APB
=
，
又∵AB
AC
=
，
ABP
ACP
=
，
∴
(
)
SAC
PAB AAS
≌
，
∴PB
SC
PC
PS
PC
PA
=
=
+
=
+
，即PC
PB
PA
=
−
；
【分析】（1）根据垂径定理可得OE
BC
⊥
，根据EM
BC 得出OE
EM
⊥
，即可得证；
（2）分情况讨论，当点P 在AB 上时，在PC 上取点T 使得，PT
PA
=
，证明
(
)
ABP
ACT AAS
≌
，得出
PB
TC
=
，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；当点P 在AC 上时，如图所示，在CP 的延长线上取
PS
PA
=
，证明
(
)
SAC
PAB AAS
≌
，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；
②根据题意得出当点P 到CE的距离最大时，PO
CE
⊥
，设
,
PO CE 的交点为M ，连接OC ，OB ，解直角三
角形，分别求得PA ，BF ，PB 的长，再求比值，即可求解．
【详解】（1）略
（2）①略
②∵点P 在优弧BAC 上，
∴当点P 到CE的距离最大时，PO
CE
⊥
，如图所示，设
,
PO CE 的交点为M ，连接OC ，OB ，
∵ABC是等边三角形，
2 3
AB =
，
∴
2 3
BC
AB
=
=
，
60
BAC
=
，
∴
2
120
BOC
BAC
=
=
，
∵OE
BC
⊥
，
∴
1
3
2
DC
BC
=
=
，
1
60
2
=
=
EOC
BOC
，
又∵OE
OC
=
，
∴
OCE
△
是等边三角形，
∴
1
30
2
OCD
OCE
=
=
，
∴
1
2
OD
OC
=
，
2
2
3
DC
OC
OD
OD
=
−
=
，
∴
1
OD = ，则
2
OC =
，
2
EC
OC
=
=
，
∵
,
OM
EC CD
OE
⊥
⊥
，
∴
sin60
2
3
OM
CD
=
=
=
，
∴
1
1
2
CM
EC
=
= ，
∴
2
3
PM
OP
OM
=
+
=
+
，
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在Rt PCM 中，
(
)
2
2
2
2
2
3
1
2
6
PC
PM
CM
=
+
=
+
+
=
+
，
∵
120
BOC
=
，OB
OC
=
，
∴
30
OBC
OCB
=
=
，
∴
30
OBC
BCE
=
=
，
∴OB
EC
∥
，
∵PO
EC
⊥
，
∴PO
OB
⊥
，
又∵OB
OP
=
，
∴
45
PBO
BPO
=
=
，
2
2 2
PB
PO
=
=
，
由（1）可得P 在AB 上，PC
PA PB
=
+
，
∴
2
6
2 2
6
2
PA
PC
PB
=
−
=
+
−
=
−
，
如图，过点
,
P B 分别作
,
BC EF 的垂线，垂足分别为
,
G H ，则四边形BHED 是矩形，
2 1 1
BH
DE
OE
OD
=
=
−
=
−= ，
∵
60
BPC
BAC
=
=
，OP
OC
=
，
∴
60
45
15
OPC
BPC
BPO
=
−
=
−
=
，
∴
90
75
PCE
OPC
=
−
=
，
∴
75
30
45
PCB
PCE
BCE
=
−
=
−
=
，
∴
2
sin
1
3
2
PG
PC
PCB
PC
=
=
= +
，
∴
1
3
2
6
sin
4
2 2
PG
PBG
PB
+
+
=
=
=
，
∵BC
ME
∥
，
∴
BFH
PBG
=
，
∴
1
6
2
sin
sin
2
6
4
BH
BH
BF
BFH
PBG
=
=
=
=
−
+
，
∴
6
2
6
2
3
1
2 2
PA
BF
PB
+
−
+
−
=
=
−．
12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，四边形ABCD内接于
O ，AC 为
O 的直径，点E 在AC 的
延长线上，且
90
CDE
ABD
+
=
．
(1)求证：DE 是
O 的切线；
(2)若
8
CE = ，
12
DE =
，
1
sin
2
BAC
=
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明：连接OD
OC
OD
=
，
ODC
OCD
=
．
ABD
OCD
=
，
ODC
ABD
=
．
90
CDE
ABD
+
=
，
90
CDE
ODC
+
=
，即
90
ODE
=
．
OD
DE
⊥
OD 为
O 的半径，
DE
是
O 的切线；
(2) 25
25
π
3
3
4
−
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到
ODC
ABD
=
，结合已知条件得到
90
ODE
=
，
即OD
DE
⊥
，根据切线的判定可证得结论；
（2）连接OB ，设
O 的半径为x ，则OD
OC
x
=
=
，
8
OE
OC
CE
x
=
+
=
+ ．在Rt ODE中，利用勾股定理
求得
5
x = ，则
2
10
AC
x
=
=
．利用特殊角的三角函数值求得
30
BAC
=
．根据圆周角定理求得
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2
60
BOC
BAC
=
=
，
90
ABC
=
，则
120
AOB
=
，根据含30 度角的直角三角形的性质求得
1
25
3
2
4
OAB
ABC
S
S
=
=
，然后利用扇形面积公式及
OAB
OAB
S
S
S
=
−
阴影
扇形
求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接OB ，
设
O 的半径为x ，则OD
OC
x
=
=
，
8
OE
OC
CE
x
=
+
=
+ ．
在Rt ODE 中，
2
2
2
OD
DE
OE
+
=
，
2
2
2
12
(
8)
x
x
+
=
+
，解得
5
x = ，
2
10
AC
x
=
=
．
1
sin
2
BAC
=
，
30
BAC
=
．
2
60
BOC
BAC
=
=
．
180
120
AOB
BOC
=
−
=
，
AC 是
O 的直径，
90
ABC
=
，
1
5
2
BC
AC
=
=
．
2
2
2
2
10
5
5 3
AB
AC
BC
=
−
=
−
=
．
1
1
25
5 3 5
3
2
2
2
ABC
S
AB BC
=
=
=
△
．
1
2
OA
AC
=
，
1
25
3
2
4
OAB
ABC
S
S
=
=
△
△
．
∴
2
120
5
25
25
25
3
π
3
360
4
3
4
π
OAB
OAB
S
S
S
=
−
=
−
=
−
△
阴影
扇形
．
13．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
⊥
，垂足为P ，连接BD ，过点C 作
BD 的垂线，垂足为E ，交直径AB 于点F ，交过点B 的直线于点M ，连接AC 并延长，交MB 于点N ，且
CN
CM
=
．
(1)求证：BM 是
O 的切线；
(2)若
2 7
PD =
，
4
OF =
，求线段CE 的长．
【答案】(1)连接BC ，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
BCN
=
=
，
在
BNC
△
中，
90
CNB
NBC
+
=
，
∵CM
BD
⊥
，垂足为E，
∴
90
CED
BEM
=
=
，
在BME 中，
90
EMB
MBE
+
=
，
∵CN
CM
=
，
∴
CNB
EMB
=
，
∴
NBC
MBE
=
，
∵CD
AB
⊥
，垂足为P，
∴CP
DP
=
，
∴BC
BD
=
，
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∴BCD是等腰三角形，
∴
CBP
DBP
=
，
∵
180
NBC
CBP
DBP
MBE
+
+
+
=
，
∴2
2
180
NBC
CBP
+
=
，
∴
90
NBC
CBP
+
=
，
∴
90
ABN
=
，
∵OB 为
O 的半径，
∴BM 是
O 的切线；
(2)
3 7
CE =
．
【分析】（1）连接BC ，证明BCD是等腰三角形，推出
90
ABN
=
，即可证明BM 是
O 的切线；
（2）证明
(
)
ASA
ACP
FCP
≌
△
△
，得到PA
PF
=
，设
O 的半径为r ，证明
ACP
DBP
△
∽△
，利用相似三角
形的性质列式计算求得
16
3
r =
，再证明
ACP
DCE
∽
△
△
，据此计算即可求解．
【详解】（1）证明：略
（2）解：∵AB 是
O 的直径，CD
AB
⊥
，垂足为P，
∴PC
PD
=
，
90
APC
FPC
=
=
，
∵
2 7
PD =
，
∴
2 7
PC =
，
4 7
DC =
，
∵BC
BC
=
，
∴
A
D
=
，
∴
90
APC
CED
=
=
，
∴
90
90
ACP
A
D
DCE
=
−=
−
=
，
∵PC
PC
=
，
∴
(
)
ASA
ACP
FCP
≌
△
△
，
∴PA
PF
=
，
设
O 的半径为r ，
∵
4
OF =
，
∴
4
FA
OA OF
r
=
+
= +
，
∴
1
4
2
2
r
PA
PF
FA
+
=
=
=
，
4
3
4
2
2
2
r
r
PB
AB
PA
r
+
−
=
−
=
−
=
，
∵
A
CDB
=
，
ACP
DBP
=
，
∴
ACP
DBP
△
∽△
，
∴CP
AP
BP
DP
=
，
∴
4
2 7
2
3
4
2 7
2
r
r
+
=
−
，
解得1
16
3
r =
，2
8
r = −（舍去），
∴
16
3
r =
，
∴
4
14
2
3
r
PA
+
=
=
，
在Rt ACP中，
(
)
2
2
2
2
14
8 7
2 7
3
3
AC
AP
CP
=
+
=
+
=
，
∵
ACP
DCE
=
，
A
CDB
=
，
∴
ACP
DCE
∽
△
△
，
∴AC
CP
CD
CE
=
，
∴
8 7
2 7
3
4 7
CE
=
，
解得
3 7
CE =
．
14．（2026·四川广元·中考真题）如图，在ABC中，
90
ABC
=
，以AB 为直径作半圆O交AC 于点E ，F
为半圆O上一点，连接BF 交AC 于点G ，连接CF ，且CF
CB
=
．
(1)求证：CF 为半圆O的切线；
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(2)连接EF ，若
1
tan
2
AEF
=
，
10
AB =
，求AG 的长．
【答案】(1)证明：如图，连接
,
OC OF ，
在BOC和FOC中，
∵
,
,
OC
OC OB
OF BC
FC
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
BOC
FOC
≌
，
∴
OFC
OBC
=
，
∵
90
ABC
=
，
∴
90
OFC
=
，
∵OF 为半径，
∴CF 为半圆O的切线；
(2)10 2
3
【分析】（1）连接
,
OC OF ，证明
(
)
SSS
BOC
FOC
≌
，可得
90
OFC
=
，即可求证；
（2）连接OC ，交BF 于点K，过点G 作GH
AB
⊥
于点H，根据切线长定理可得BC
CF
=
，从而得到OC 垂
直平分BF ， 进而得到
1
tan
tan
tan
2
BCO
OBF
AEF
=
=
=
，设GH
x
=
，则
2
BH
x
=
，再证明ABC 为等
腰直角三角形，可得AGH 为等腰直角三角形，从而得到AH
GH
x
=
=
，
2
AG
x
=
，进而得到
3
10
AB
AH
BH
x
=
+
=
=
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接OC ，交BF 于点K，过点G 作GH
AB
⊥
于点H，
∵
90
ABC
=
，AB 为半圆O 的直径，
∴BC 为半圆O 的切线，
90
AFB
=
，
90
BOC
BCO
+
=
，
∵CF 为半圆O的切线，
∴BC
CF
=
，
∵OB
OF
=
，
∴OC 垂直平分BF ，即
90
OKB
=
，
1
2
BK
BF
=
，
∴
90
OBF
BOC
+
=
，
∴
OBF
BCO
=
，
∵
OBF
AEF
=
，
1
tan
2
AEF
=
，
∴
1
tan
tan
tan
2
BCO
OBF
AEF
=
=
=
，
∴
1
tan
2
GH
OBF
BH
=
=
，
设GH
x
=
，则
2
BH
x
=
，
∵
10
AB =
，
∴
1
5
2
OB
AB
=
= ，
∴
10
tan
OB
BC
BCO
=
=
，
∴ABC为等腰直角三角形，
∴
45
BAC
=
，
∴AGH 为等腰直角三角形，
∴AH
GH
x
=
=
，
2
AG
x
=
，
∴
3
10
AB
AH
BH
x
=
+
=
=
，
∴
10
3
x =
，
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∴
10 2
2
3
AG
x
=
=
．
15．（2026·四川凉山·中考真题）如图，四边形ABCD内接于
O ，BD 是
O 的直径，连接AC 交BD 于点
F，且AC
BC
=
，过点C 作AD 的垂线交AD 的延长线于点E．
(1)求证：DC 平分
BDE
；
(2)求证：CE是
O 的切线；
(3)若
O 的半径为5，
4
CE =
，求DF 的长．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD内接于
O ，
∴
180
ADC
ABC
+
=
，
∵
180
ADC
EDC
+
=
，
∴
EDC
ABC
=
，
∵AC
BC
=
，
∴
BAC
ABC
=
，
BDC
BAC
=
，
∴
BDC
EDC
=
，
∴DC 平分
BDE
．
(2)证明：连接OC ，
∵OC
OD
=
，
∴
ODC
OCD
=
，
由（1）可知，
ODC
EDC
=
，
∴
OCD
EDC
=
，
∴OC
DE ，
∵CE
DE
⊥
，
∴OC
CE
⊥
，
∵OC 是
O 的半径，
∴CE是
O 的切线．
(3)
30
11
DF =
【分析】（1）由四边形ABCD内接于
O ，可得
EDC
ABC
=
，再由AC
BC
=
与圆周角的性质可得
BDC
EDC
=
，则DC 平分
BDE
．
（2）先证明OC
DE ，由CE
DE
⊥
，可得OC
CE
⊥
，即可证明CE 是
O 的切线；
（3）过点O作OG
AD
⊥
于点G ，可求得
6
AD =
，再证明COF
ADF
∽
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图，过点O作OG
AD
⊥
于点G ，
由（1）可知，OC
CE
⊥
∵CE
AD
⊥
，OG
AD
⊥
，
∴四边形OCEG 是矩形，
∴
4
OG
CE
=
=
，
∵BD 是
O 的直径，
∴
2
BD
OD
=
，
90
BAD
=
，即BA
AD
⊥
，
∴OG
BA，
∴DGO
DAB
∽
，
∴
1
2
2
OG
DO
DO
BA
DB
DO
=
=
=
，
∴
2
2 4
8
BA
OG
=
= = ，
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∵
O 的半径为5，即
5
OD
OC
OB
=
=
= ，
∴
2
10
BD
OD
=
=
，
在Rt ABD中，
2
2
2
2
10
8
6
AD
BD
AB
=
−
=
−
=
，
由（2）可知，OC
AD
∥
，
∴COF
ADF
∽
，
∴OC
OF
DA
DF
=
，
∵
5
OF
OD
DF
DF
=
−
= −
，
∴5
5
6
DF
DF
−
=
，
∴
30
11
DF =
．
16．（2026·新疆·中考真题）如图，ABC内接于
O ，AD 平分
BAC
交
O 于点D，连接BD ，CD，经
过点D 的直线与AB 的延长线相交于点E，且
1
2
BDE
BAC
=
．
(1)求证：DE 是
O 的切线；
(2)如果点I 是ABC的内心，
12
tan
5
BAC
=
，
24
BC =
，求DI 的值．
【答案】(1)证明：连接DO 并延长交
O 于点F ，连接BF ，
∵BD
BD
=
∴1
3
=
∵DF 是直径，
∴
90
FBD
=
∴1
2
90
+=
∵AD 平分
BAC
∴
1
3
2
BAC
=
∵
1
2
BDE
BAC
=
，
∴
3
BDE
=
∴
1
BDE
=
∴
2
90
BDE
EDF
+=
=
∵OD是半径，
∴DE 是
O 的切线；
(2) 4 13
【分析】（1）连接DO 并延长交
O 于点F ，连接BF ，由圆周角定理得到1
3
= ，
90
FBD
=
，则
1
2
90
+=
，由角平分线得到
1
3
2
BAC
=
，结合已知条件可得
3
BDE
=
，继而等量代换证明即可；
（2）连接
I, I,
,
,
B C OB OC OD ，OD交BC 于点M ，先由圆周角定理得到证明
4
5
= ，根据垂径定理的推
论可得OD
BC
⊥
，
1
2
BM
CM
BC
=
=
，再证明
BOM
BAC
=
，解Rt
BOM
△
求出OM ，OB ，即可求解DM ，
BD ，再由内心的性质导角证明DI
DB
=
．
【详解】（1）略
（2）解：连接
I, I,
,
,
B C OB OC OD ，OD交BC 于点M ，
∵AD 平分
BAC
∴
BAD
CAD
=
，
∴BD
CD
=
，
∴
4
5
= ，
∵DO 是半径，
∴OD
BC
⊥
，
1
1
24
12
2
2
BM
CM
BC
=
=
=
=
，
∵OB
OC
=
∴
2
BOC
BOM
=
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∵
2
BOC
BAC
=
，
∴
BOM
BAC
=
∵
12
tan
5
BAC
=
∴
12
12
tan
5
BM
BOM
OM
OM
=
=
=
∴
5
OM =
∴
2
2
13
OB
OM
BM
=
+
=
∴
13
OD =
∴
8
DM
OD OM
−
=
=
∴
2
2
2
2
12
8
4 13
BD
BM
DM
=
+
=
+
=
，
∵点I 是ABC的内心，
∴
ABI
CBI
=
∵BD
BD
=
∴
5
BAD
=
∴
4
BAD
=
∵
I
4
I,
6
I
DB
CB
BAD
AB
= +
=
+
∴
I
6
DB
= ，
∴
I
4 13
D
DB
=
=
．
17．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，P 是以AB 为直径的
O 外一点，C 为
O 上的一点，PA 是
O 的
切线，BC
OP ，D 为OB 的中点，连接DP 交OC 于E ．
(1)求证：PC 是
O 的切线；
(2)若
2
OA=
，
4
PA =
．
①求BC 的长；
②求tan PEC
的值．
【答案】(1)证明：
PA为
O 的切线，
PA
OA
⊥
，
∴
90
PAO
=
，
∵BC
OP
∥
，
∴
,
AOP
B
COP
OCB
=
=
．
∵OB
OC
=
，
∴
B
OCB
=
，
∴
AOP
COP
=
．
∵在AOP 和COP 中，
OA
OC
AOP
COP
OP
OP
=
=
=
∴
(
)
AOP
COP SAS
≌
，
∴
90
PCO
PAO
=
=
．
OC是
O 的半径，
PC
为
O 的切线．
(2)
4
5
5
①
=
BC
；②
24
tan
7
=
PEC
【分析】（1）由PA 为
O 的切线，得到
90
PAO
=
．根据平行线的性质得到
,
AOP
B
COP
OCB
=
=
，
结合
B
OCB
=
，得到
AOP
COP
=
，从而证明
(
)
AOP
COP SAS
≌
，因此
90
PCO
PAO
=
=
，即可
得证结论；
（2）①连接AC ，通过解直角三角形得到
5
cos
5
AO
AOP
OP
=
=
，因此
5
cos
cos
5
B
AOP
=
=
，由AB 是
O
的直径得到
90
ACB
=
，在Rt
ABC
△
中解直角三角形即可求解；
②方法一：取OC 的中点F ，连接DF ，则
1
1
2
OF
CF
OC
=
=
= ，根据AOP
COP
≌
得到
4
PA
PC
=
=
，根
据三角形中位线的性质得到DF
BC
∥
，
1
2 5
2
5
DF
BC
=
=
．证明DEF
PEO
∽
，得出
1
5
EF
DF
OE
OP
=
=
，进而
可求出CE，从而在Rt
PCE
△
中，根据正切的定义即可求解；
方法二：过点D 作DG
OC ，交PO的延长线于点G ．证明ODG
BOC
∽
，根据相似三角形的对应边成比
例求出
,
OG DG ，进而求出PG ．再证明POE
PGD
∽
，求出OE ，即可求出CE ，从而在Rt
PCE
△
中，根
据正切的定义即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：①连接AC ．
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∵在Rt APO中，
2
OA=
，
4
PA =
，
∴
2
2
2 5
OP
OA
PA
=
+
=
，
2
5
cos
5
2 5
AO
AOP
OP
=
=
=
．
∵
B
AOP
=
，
∴
5
cos
cos
5
B
AOP
=
=
AB 是
O 的直径，
∴
2
4
AB
OA
=
=
，
90
ACB
=
．
∴
5
4 5
cos
4
5
5
BC
AB
B
=
=
=
．
②方法一：取OC 的中点F ，连接DF ，则
1
1
2
1
2
2
OF
CF
OC
=
=
=
= ．
AOP
COP
≌
，
∴
4
PA
PC
=
=
．
∵点
,
D F 分别为
,
OB OC 的中点，
DF
是
OBC
△
的中位线，
∴DF
BC
∥
，
1
2 5
2
5
DF
BC
=
=
．
∵BC
OP
∥
，
∴DF
OP ，
∴DEF
PEO
∽
，
∴
2 5
1
5
5
2 5
EF
DF
OE
OP
=
=
=
，
∴
1
1
6
6
EF
FO
=
=
，
7
6
CE
EF
CF
=
+
=
．
∴在Rt
PCE
△
中，
4
24
tan
7
7
6
PC
PEC
CE
=
=
=
．
方法二：过点D 作DG
OC ，交PO的延长线于点G ．
ODG
BOC
=
．
∵BC
OP
∥
，
∴
GOD
B
= ，
∴ODG
BOC
∽
，
∴
1
2
OG
DG
OD
BC
OC
BO
=
=
=
∴
1
2
1
5,
1
2
5
2
OG
BC
DG
OC
=
=
=
= ，
∴
2 5
12 5
2 5
5
5
PG
PO
OG
=
+
=
+
=
．
∵DG
OC ，
∴POE
PGD
∽
，
∴PO
OE
PG
DG
=
，即
2 5
12
1
5
5
OE
=
，
∴
5
6
OE =
，
∴
5
7
2
6
6
CE
OC
OE
−
=
=
−
=
．
AOP
COP
≌
，
∴
4
PA
PC
=
=
．
∴在Rt
PCE
△
中，
4
24
tan
7
7
6
PC
PEC
CE
=
=
=
．
18．（2026·四川巴中·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，点C、D 在圆上，D 是AC 的中点，DE
AB
⊥
于
点E，交AC 于点F ，AC 、DB 交于点G ，H 在AB 延长线上且
BCH
CAB
=
．
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(1)求证：CH 为
O 的切线；
(2)求证：AF
DF
=
；
(3)若
2
DG =
，
3
GB = ，求AD 的长．
【答案】(1)证明：连接OC ，如图所示：
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∴
90
CAB
ABC
+
=
，
∵
BCH
CAB
=
，
∴
90
BCH
ABC
+
=
，
∵OC
OB
=
，
∴
OCB
OBC
=
，
∴
90
BCH
OCB
+
=
，即
90
OCH
=
，
∴OC
CH
⊥
，
∵OC 是
O 的半径，
∴CH 为
O 的切线．
(2)证明：∵D 是AC 的中点，
∴AD
CD
=
，
∴
ABD
DAC
=
，
∵DE
AB
⊥
，AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
AED
=
=
，
∴
90
ADE
DAE
DAE
ABD
+
=
+
=
，
∴
ADE
ABD
DAC
=
=
，
∴AF
DF
=
．
(3)
10
AD =
【分析】
（1）连接OC ，由题意易得
90
ACB
=
，则有
90
BCH
ABC
+
=
，然后可得
90
BCH
OCB
+
=
，
进而问题可求证；
（2）由题意易得
DAC
ABD
=
，然后可得
90
ADE
DAE
DAE
ABD
+
=
+
=
，则有
ADE
ABD
DAC
=
=
，进而问题可求证；
（3）由题意易得ABD
GAD
∽
，然后可得AD
DB
GD
DA
=
，进而问题可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：∵
2
DG =
，
3
GB = ，
∴
5
DB
DG
BG
=
+
=
，
∵
ABD
GAD
=
，
ADB
GDA
=
，
∴ABD
GAD
∽
，
∴AD
DB
GD
DA
=
，
∴
2
10
AD
DG DB
=
=
，
∴
10
AD =
．
19．（2026·云南·中考真题）如图，
O 是ABC的外接圆，AB 是
O 的直径．点P 在BA 的延长线上，且
2
PC
PA PB
=
．点E 在AC 的延长线上．线段BE 的中点M 与点C 、点P 在同一条直线上．线段OM 与
O
相交于点D ，与线段BC 相交于点N ．DH
AB
⊥
于点H ，线段DH 与线段BC 相交于点F ，连接OF ．记
OFD
△
的面积为
1S ，OFH 的面积为
2
S ．
(1)求证：直线PC 是
O 的切线；
(2)若
2 21
AB =
，
6 6
BE =
，求线段PA 的长；
(3)观察，探究，发现与证明：
以下三个结论：
1
2
S
S
，
1
2
S
S
=
，
1
2
S
S
，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
【答案】(1)证明：如图1，连接OC ，
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∵
2
PC
PA PB
=
，
∴PC
PA
PB
PC
=
，
又∵
P
P
= ，
∴PCB
PAC
∽
，
∴
PCA
PBC
=
，
∵AB 是
O 的直径，OA
OC
=
，
∴
90 ,
ACB
OAC
OCA
=
=
，
∴
90
PBC
OAC
PCA
OCA
OCP
+
=
+
=
=
，
又∵OC 是
O 的半径，
∴直线PC 是
O 的切线；
(2)14 21
11
(3)
1
2
S
S
，证明如下：
如图2，连接BD ，
∵O 为AB 的中点，点M 是BE 的中点，
∴OM 是ABE 的中位线，
∴
//
OM AE，
∴
90
ACB
ONB
=
=
，
∵DH
AB
⊥
，
∴
90
OHD
=
，
∴
90
ODF
DOH
OBF
DOH
+
=
+
=
，
∴
ODF
OBF
=
，
∵OD
OB
=
，
∴
ODB
OBD
=
，
∴
ODB
ODF
OBD
OBF
−
=
−
，即
BDF
DBF
=
，
∴DF
BF
=
，
在Rt BFH 中，
90
BHF
=
，BF
BH
，
∴DF
BF
FH
=
，
∵
1
2
1
1
,
2
2
OFD
OFH
S
S
DF OH S
S
FH OH
=
=
=
=
，
∴1
1
2
2
DF OH
FH OH
，即
1
2
S
S
．
【分析】（1）连接OC ，根据题意证得PCB
PAC
∽
，得
PCA
PBC
=
，再由AB 是
O 的直径，OA
OC
=
，
证得
90
OCP
=
即可证得结论；
（2）首先证得
90
ABE
=
，然后，证得PCO
PBM
∽
，得
21
14
6
3 6
CO
PC
BM
PB
=
=
=
，再由（1）知
14
6
PC
PA
PB
PC
=
=
，设
14
PA
x
=
，则
6
PC
x
=
，由
2
PC
PA PB
=
，得
18 14
7
PB
x
=
，再由PB
PA
AB
−
=
，得
7 6
11
x =
，最后代入x 值可求得PA 的长；
（3）连接BD ，首先证得OM 是ABE 的中位线，得OM
AE ，进而得
90
ACB
ONB
=
=
，然后由DH
AB
⊥
得
90
OHD
=
，证得
ODF
OBF
=
，再由OD
OB
=
得
ODB
OBD
=
，得
BDF
DBF
=
，进而得
DF
BF
FH
=
，最后由
1
2
1
1
,
2
2
OFD
OFH
S
S
DF OH S
S
FH OH
=
=
=
=
可证得结论．
【详解】（1）略
（2）解：∵O 为AB 的中点，
2 21
AB =
，
∴
21
AO
BO
=
=
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
BCE
=
=
，
∴
90
PCA
BCM
+
=
，
又∵点M 是线段BE 的中点，
6 6
BE =
，
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∴
3 6
CM
BM
EM
=
=
=
，
∴
CBM
BCM
=
，
由（1）知
PCA
PBC
=
，
∴
90
PCA
BCM
PBC
CBM
ABE
+
=
+
=
=
，
∴
90
OCP
PBM
=
=
，
又∵
P
P
= ，
∴PCO
PBM
∽
，
∴
21
14
6
3 6
CO
PC
BM
PB
=
=
=
．
由（1）知
14
6
PC
PA
PB
PC
=
=
，
设
14
PA
x
=
，则
6
PC
x
=
，
∵
2
PC
PA PB
=
，即(
)
2
6
14
x
x PB
=
，
∴
18 14
7
PB
x
=
，
∵PB
PA
AB
−
=
，即18 14
14
2 21
7
x
x
−
=
，解得
7 6
11
x =
，
∴
7 6
14 21
14
11
11
PA =
=
；
（3）略
考点02 切线的性质定理
1．（2026·安徽·中考真题）如图，矩形ABCD中，六个小正方形的边长均为1，正方形AFGD 的各边与HNM
所在的圆分别相切于点E ，M ，H ，N．BH ，BM 所在圆的圆心分别是E ，F ．则图中阴影部分的面积为
（ ）
A．3π
1
2 −
B．5π
1
4 −
C．
3π
7
2
−
D．
5π
7
4
−
【答案】A
【分析】设EH 与MN 交于点O，先得出HNM 所在的圆为以点O为圆心、OE 长为半径的
O ，再根据图中
阴影部分的面积等于
(
)
O
OEFM
EBH
FBM
OEM
S
S
S
S
S
+
−
−
−
半
正方形
扇形
扇形
扇形
求解即可．
【详解】解：如图，设EH 与MN 交于点O，
由题意得：
1
OE
ON
OH
OM
BF
FM
EF
=
=
=
=
=
=
= ，
90
BFM
BEH
=
=
，
,
,
,
OE
AB ON
AD OH
CD OM
FG
⊥
⊥
⊥
⊥
，
∴
2
BE
EH
=
= ，
∵正方形AFGD 的各边与HNM 所在的圆分别相切于点
,
,
,
E M H N ，
∴HNM 所在的圆为以点O为圆心、OE 长为半径的
O ，
∴图中阴影部分的面积为
(
)
O
OEFM
EBH
FBM
OEM
S
S
S
S
S
+
−
−
−
半
正方形
扇形
扇形
扇形
2
2
2
2
1
90π
2
90π 1
90π 1
π 1
1 1
2
360
360
360
=
+
−
−
−
1
π
π
π
π
1
2
4
4
−
=
+
−+
1 π
π 1
2
=
+
−
3π
1
2
=
−．
2．（2026·河南·中考真题）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的
团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为
O ，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P 作PA ，
PB 分别与
O 相切于点A ，B ，得到AB ．若
O 的半径为9cm，
60
APB
=
，则小红想要装饰的AB 的长
为（ ）
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A．3πcm
B．6πcm
C．9πcm
D．27πcm
【答案】B
【分析】连接OA OB
、
，根据全等三角形的判定和性质得出Rt
Rt
(HL)
OAP
OBP
≌
，
,
OPA
OPB
AOP
BOP
=
=
，确定
60
AOP
BOP
=
=
，得出
120
AOB
=
，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接OA OB
、
，如图所示：
∵PA ，PB 分别与
O 相切于点A ，B ，
∴
90
OAP
OBP
=
=
，
∵
OA
OB
OP
OP
=
=
，
∴Rt
Rt
(HL)
OAP
OBP
≌
，
∴
,
OPA
OPB
AOP
BOP
=
=
，
∵
60
APB
=
，
∴
30
OPA
OPB
=
=
，
∴
60
AOP
BOP
=
=
，
∴
120
AOB
=
，
∵
O 的半径为9cm，
∴AB 的长为：120
9
6 cm
180
=
．
3．
（2026·湖北·中考真题）如图，PA 与
O 相切于点A ，连接PO并延长交
O 于点B ，连接AB ．若
24
B
=
，
则
P
的度数是（ ）
A．42
B．48
C．56
D．66
【答案】A
【分析】连接OA，根据切线的性质可得OA
PA
⊥
，根据圆周角定理求出
AOP
的度数，最后在Rt
OAP
△
中
利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：连接OA，
PA是
O 的切线，
OA
PA
⊥
，
90
OAP
=
，
24
B
=
，
2
48
AOP
B
= =
，
90
42
P
AOP
=
−
=
．
4．（2026·江西·中考真题）生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1 是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄
和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知AC 与BD 相
交于点O，CE为半圆的直径，
9
OC = ，
6
CE =
，则此时张角
AOB
的大小为______________．
【答案】150
【分析】设右半圆的圆心为M ，BD 与
M 相切于点N ，连接MN ，分别求得
,
MN OM ，根据
1
sin
2
MON
=
，
得出
30
MON
=
，进而根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：如图，设右半圆的圆心为M ，BD 与
M 相切于点N ，连接MN ，
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∴
90
MNO
=
，
∵
9
OC = ，
6
CE =
，
∴
1
3
2
MN
MC
EC
=
=
=
，
9 3
6
OM
OC
MC
−
=
= −=
，
∴
3
1
sin
6
2
MN
MON
OM
=
=
=
，
∴
30
MON
=
，
∴
180
180
30
150
AOB
MON
−
−
=
=
=
．
5．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，AB ，BC ，CD分别与
O 相切于E ，F ，G 三点，且AB CD ．
(1)判断OB 与OC 的位置关系，并说明理由；
(2)若
3
BO =
，
3
tan
4
=
OCD
，求
O 的半径．
【答案】(1)解：OB
OC
⊥
，理由如下：
如图所示，连接
,
,
OE OF OG ，
，
∵AB ，BC ，CD分别与
O 相切于E ，F ，G 三点，
∴
90
OEB
OFC
OGC
=
=
=
，
在Rt
OBE
△
和Rt
OBF
△
中，
OE
OF
OB
OB
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OBE
OBF
≌
，
∴
EOB
FOB
=
，
同理可证Rt
Rt
OFC
OGC
≌
，
∴
FOC
GOC
=
，
∵
2
2
2
180
EOB
FOB
FOC
GOC
FOB
FOC
BOC
+
+
+
=
+
=
=
，
∴
90
BOC
=
，
即OB
OC
⊥
．
(2)
O 的半径为12
5
【分析】（1）利用圆的切点的性质证得Rt
Rt
OBE
OBF
≌
和Rt
Rt
OFC
OGC
≌
，得出
EOB
FOB
=
，
FOC
GOC
=
，再根据这四个角相加为180求解；
（2）由（1）可得
90 ,
BOC
OCD
OCB
=
=
，利用
3
tan
tan
4
OCD
OCB
=
=
求出OC 的长度，再根据勾
股定理求出BC 的长度；再根据已知条件证明BOC
BFO
∽
，利用相似求解．
【详解】（1）解：OB
OC
⊥
，理由见答案
（2）解：由（1）知，OB
OC
⊥
，Rt
Rt
OFC
OGC
≌
，
∴
90 ,
BOC
OCD
OCB
=
=
，
∵
3
tan
4
=
OCD
，
∴
3
tan
4
BO
OCB
OC
=
=
，
∵
3
BO =
，
∴
4
OC =
，
在Rt OCB中，
2
2
2
2
3
4
5
BC
OB
OC
=
+
=
+
=
；
∵
90
BOC
OFB
=
=
，
OBF
CBO
=
，
∴BOC
BFO
∽
，
∴OB
OF
BC
OC
=
，即3
5
4
OF
=
，解得
12
5
OF =
，
∴
O 的半径为12
5 ．
6．（2026·陕西·中考真题）如图，点A 在
O 上，连接OA并延长至点B ，过点B 作
O 的切线，切点为C ，
作弦CD
OA
⊥
，垂足为H ，作弦DE
BC
∥
，连接CE ．
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(1)求证：CE
CD
=
；
(2)若
2
AB =
，
4
BC =
，求DE 的长．
【答案】(1)证明：连接
,
,
OE OD CO ，并延长CO交DE 于点G ，
∵BC 为
O 的切线，CO为半径，
∴
90
OCB
=
∵DE
BC
∥
∴
90
CGE
OCB
=
=
，即CG
DE
⊥
∵OE
OD
=
∴CG 垂直平分DE
∴CE
CD
=
；
(2)144
25
【分析】（1）连接
,
,
OE OD CO ，并延长CO交DE 于点G ，根据圆的切线的性质以及平行线的性质可得
CG
DE
⊥
，再由三线合一得到CG 垂直平分DE ，即可得到CE
CD
=
；
（2）设OC
OA
r
=
=
，先对Rt OCB运用勾股定理求解半径，然后用面积法求解CH ，即可求解CD，再证明
OCD
B
= ，则由sin
sin
OCD
B
=
求解DG ，最后由垂径定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设OC
OA
r
=
=
，则
2
OB
OA
AB
r
=
+
= +
，
∵
90
OCB
=
，
∴
2
2
2
OC
CB
OB
+
=
∴
(
)
2
2
2
4
2
r
r
+
=
+
，
解得
3
r = ，
∴
3,
3
2
5
OC
OB
=
=
+
=
，
∵CD
OA
⊥
，
∴1
1
2
2
OC
CB
OB CH
=
，
∴
3 4
12
5
5
CH
=
=
，
∵OC
OD
=
，CD
OA
⊥
，
∴
24
2
5
CD
CH
=
=
，
∵
90
OCB
=
，
∴
90
OCD
B
COB
= =
−
，
∴sin
sin
OCD
B
=
，
d 又
90
CDG
=
，
∴DG
OC
DC
OB
=
，
∴
3
24
5
5
DG =
，
解得
72
25
DG =
，
∵CG
DE
⊥
，CG 经过圆心，
∴
144
2
25
DE
DG
=
=
．
7．（2026·广西·中考真题）如图1，O 是锐角三角形ABC 的外接圆，
45
BAC
=
，
2
BC =
，BD
AC
⊥
于
点D ．
(1)求证：OD平分
ADB
；
(2)如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC 相切于点E ，求AC 的长及
CBD
的度数．
【答案】(1)证明：连接OA，OB ，
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BD
AC
⊥
，
45
BAC
=
，
90
45
ABD
BAC
BAC
=
−
=
=
，
DA
DB
=
，
OA
OB
=
，DO
DO
=
，DA
DB
=
，
(
)
SSS
DOA
DOB
≌
，
ADO
BDO
=
，
OD
平分
ADB
；
(2)
6
AC =
，
15
CBD
=
【分析】（1）连接OA，OB ，证明
(
)
SSS
DOA
DOB
△
≌△
即可；
（2）连接OB ，OC ，OE ，过点O作OF
AC
⊥
于点F ，根据圆周角定理先确定BOC 为等腰直角三角形，
45
OCB
OBC
=
=
，然后解Rt
BOC
△
求出OC ，再由圆的切线的性质求解OD
OE
=
，再解Rt ODF 求出
OF ，解Rt OCF 求出
OCF
，CF 最后根据垂径定理以及角度和差计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接OB ，OC ，OE ，过点O作OF
AC
⊥
于点F ，
45
BAC
=
，
2
90
BOC
BAC
=
=
，
OB
OC
=
，
BOC
为等腰直角三角形，
45
OCB
OBC
=
=
，
2
sin 45
2
2
2
OC
OB
BC
=
=
=
=
，
以O为圆心，OD为半径的圆与BC 相切于点E ，
OE
BC
⊥
，
OEB
，OEC均为等腰直角三角形，
1
1
2
OE
EC
BE
BC
=
=
=
= ，
1
OD
OE
=
= ，
BD
AC
⊥
，OD平分
ADB
，
45
ODF
ODB
=
=
，
OF
AC
⊥
，
ODF
为等腰直角三角形，
2
2
sin 45
1
2
2
OF
OD
=
=
=
，
2
1
2
sin
2
2
OF
OCF
OC
=
=
=
，
(
)
2
2
2
2
2
6
2
2
2
CF
OC
OF
=
−
=
−
=
，
30
OCF
=
，
OF
AC
⊥
，
2
6
AC
CF
=
=
，
30
OCF
=
，
45
OCB
=
，
30
45
75
ACB
OCF
OCB
=
+
=
+
=
，
BD
AC
⊥
，
90
15
CBD
ACB
=
−
=
．
8．（2026·四川泸州·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，点C ，E 在
O 上，过点C 作
O 的切线交AB 的
延长线于点D ，CE交AB 于点F ，连接AC ，AE ，BC ．
(1)求证：
CAD
BCD
=
；
(2)若AE
CD
∥
，
3
BD =
，
2
sin
3
D =
，求EF 的长．
【答案】(1)证明：连接OC ，则OC
OB
=
，
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∴
OCB
OBC
=
，
∵过点C 作
O 的切线交AB 的延长线于点D ，
∴OC
CD
⊥
，
∴
90
BCD
OCB
+
=
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∴
90
CAD
ABC
+
=
，
∵
OCB
OBC
=
，即：
OCB
ABC
=
，
∴
CAD
BCD
=
；
(2) 8 30
7
【分析】（1）连接OC ，切线的性质得到
90
OCD
=
，圆周角定理得到
90
ACB
=
，根据等边对等角，
以及等角的余角相等，即可得出结论；
（2）设
O 的半径为r ，在Rt OCD中，根据
2
sin
3
OC
D
OB
BD
=
=
+
，求出r 的值，进而求出
,
OD CD 的长，
延长CO交AE 于点G ，根据平行线的性质，垂径定理，推出
1
2
AG
EG
AE
=
=
，CA
CE
=
，证明AOG
DOC
∽
，
求出
,
AG OG 的长，进而得到
,
AE CG 的长，勾股定理求出AC 的长，再证明CFD
EFA
∽
，推出
4
7
EF
CE
=
，
即可得出结果.
【详解】（1）略
（2）解：设
O 的半径为r ，则OB
OC
r
=
= ，
在Rt OCD中，
2
sin
3
OC
D
OB
BD
=
=
+
，
∵
3
BD =
，
∴
2
3
3
r
r
=
+
，
∴
6
r =
，
∴
9
OD
OB
BD
=
+
=
，
∴
2
2
3 5
CD
OD
OC
=
−
=
，
如图，连接CO并延长交AE 于点G ，
∵
//
AE CD，OC
CD
⊥
，
∴OG
AE
⊥
，
∴
1
2
AG
EG
AE
=
=
，
∴CG 垂直平分AE ，
∴CA
CE
=
，
∵
//
AE CD，
∴AOG
DOC
∽
，
∴
6
2
9
3
AG
OG
OA
CD
OC
OD
=
=
=
=
，
∴
2
2
2 5,
4
3
3
AG
CD
OG
OC
=
=
=
=
，
∴
2
4 5
AE
AG
=
=
，
10
CG
OC
OG
=
+
=
，
∴
2
2
2 30
CE
AC
AG
CG
=
=
+
=
，
∵
//
AE CD，
∴CFD
EFA
∽
，
∴
4
3
EF
AE
CF
CD
=
=
，
∴
4
4
8 30
2 30
7
7
7
EF
CE
=
=
=
.
9．（2026·山东烟台·中考真题）如图，ABC中，
90
C
=
，O是边AB 上一点，以OB 为半径作
O ，分
别与BC ，AB 交于D ，E 两点，与AC 相切于点F ，连接EF ，BF ．
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(1)求证：EF
FD
=
；
(2)试用等式表示线段BE ，BD ，CD之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明：如图，连接OF ，
∵AC 是
O 的切线，
∴1
2
90
+=
∵
90
C
=
，
∴
4
2
90
+=
∴
1
4
=
又∵OF
OB
=
∴1
3
=
∴
3
4
=
∴EF
FD
=
；
(2)
2
BE
BD
CD
=
+
，
证明：如图，连接FD ，过点F 作FG
BE
⊥
于点G ，
∴
90
FGB
C
=
=
由（1）可得
FBC
FBE
=
又∵FB
FB
=
∴
(
)
FBC
FBG AAS
≌
∴
,
FC
FG BC
BG
=
=
，
∵EF
FD
=
∴FD
FE
=
，
∴
(
)
Rt EFG
Rt DFC HL
≌
∴CD
EG
=
∴
2
BE
BG
EG
BC
CD
BD
CD
=
+
=
+
=
+
，即
2
BE
BD
CD
=
+
【分析】（1）根据切线的性质可得1
2
90
+=
，根据直角三角形的两个锐角互余可得
4
2
90
+=
，则
1
4
= ，根据OF
OB
=
得出1
3
= ，等量代换可得
3
4
= ，即可得出EF
FD
=
；
（2）连接FD ，过点F 作FG
BE
⊥
于点G ，证明
(
)
FBC
FBG AAS
≌
得出
,
FC
FG BC
BG
=
=
，进而证明
(
)
Rt EFG
Rt DFC HL
≌
，得出CD
EG
=
，根据线段的和差关系，即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
10．（2026·北京·中考真题）如图，过点P 作
O 的两条切线，切点分别为A，B，AC 为
O 的直径，过点
B 作AC 的垂线，垂足为E，交
O 于点D，连接OP ，CD．
(1)求证：
ACD
POA
=
；
(2)连接PC 交BD 于点F，若
2
CE =
，tan
2
ACD
=
，求BF 的长．
【答案】(1)证明：连接OB ，OD ，
A，C，D 是
O 上的点，
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1
2
ACD
AOD
=
，
PA，PB 是
O 的两条切线，
PA
PB
=
，PA
OA
⊥
，PB
OB
⊥
，
点P 在
AOB
的平分线上，
OP
平分
AOB
，
1
2
POA
AOB
=
，
BD
AC
⊥
，AC 为
O 的直径，
AB
AD
=
，
AOB
AOD
=
，
ACD
POA
=
．
(2)
2
BF =
【分析】（1）连接OB ，OD ，根据切线性质可知点P 在
AOB
的平分线上，根据垂径定理可知AB
AD
=
，
再根据圆周角，圆心角的关系即可得证；
（2）先由垂径定理求出
O 的半径，再解直角三角形POA，可得PA ，根据相似三角形的性质可求EF ，由
DE
BE
=
即可求解．
【详解】（1）略．
（2）解：
BD
AC
⊥
，AC 为
O 的直径，
90
CED
=
，DE
BE
=
，
在Rt
CED
△
中，
2
CE =
，tan
2
ACD
=
，
2 2
DE
=
．
设
O 的半径为r，则OD
r
= ，
2
OE
r
= −，
在Rt OED
V
中，由
2
2
2
OE
DE
OD
+
=
，
得(
)
(
)
2
2
2
2
2 2
r
r
−
+
=
，
解得
3
r = ．
在Rt
POA
△
中，
3
OA = ，tan
tan
2
POA
ACD
=
=
，
3 2
PA
=
，
90
CEB
CAP
=
=
，
BD
PA
，
CFE
CPA
△
∽△
，
FE
CE
PA
CA
=
，
即
2
6
3 2
EF =
，
2
FE
=
，
2
BF
BE
FE
DE
FE
=
−
=
−
=
．
考点03 三角形的内切圆
1．（2026·四川广元·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，点C 在
O 上，点E 为ABC 的内心，CE 的延
长线交
O 于点F ，连接AF ，若
5
AC = ，
13 2
2
AF =
，则CE 的长为（ ）
A．3 2
2
B．2 2
C．5
2
−
D．1
2
+
【答案】B
【分析】连接
,
,
AE BE BF ，则
90 ,
90
ACB
AFB
=
=
， 由内心的定义可得CF 平分
ACB
， 可得
45
ACF
BCF
=
=
， 进一步可证明AF
BF
=
，利用勾股定理可得
13,
12
AB
BC
=
=
，设ABC 的内切圆
半径为r ， 根据
ABC
ACE
ABE
CBE
S
S
S
S
=
+
+
，可求出
2
r =
， 过点E 作EG
AC
⊥
于点G ，则
2
EG =
，解直
角三角形即可求出CE的长．
【详解】解：如图所示，连接
,
,
AE BE BF ，
AB 为
O 的直径，
90 ,
90
ACB
AFB
=
=
，
点E 为ABC的内心，
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CF
平分
ACB
，
45
ACF
BCF
=
=
，
弧AF = 弧BF ，
AF
BF
=
，
在 Rt AFB 中，由勾股定理得
2
2
13 2
2
2
13
2
AB
AF
BF
AF
=
+
=
=
=
，
在 Rt ABC 中，由勾股定理得
2
2
2
2
13
5
12
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
；
设ABC的内切圆半径为r ，
点 E 为ABC的内心，
点E 到ABC的三边的距离都等于r ，
ABC
ACE
ABE
CBE
S
S
S
S
=
+
+
，
1
1
1
1
2
2
2
2
AC r
AB r
BC r
AC BC
+
+
=
，
1
1
1
1
5
13
12
5 12
2
2
2
2
r
r
r
+
+
=
，
2
r
=
；
如图所示， 过点E 作EG
AC
⊥
于点G ，
则
2
EG =
，
在Rt CGE中，
45
GCE
=
，
CGE
是等腰直角三角形 ，
2
2 2
sin
sin 45
EG
CE
GCE
=
=
=
．
2．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程
2
6
2
0
x
x
−
+
=
的两个
实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（ ）
A．3
2 2
−
B．3
2
2 −
C．6
4 2
−
D．2
2
2
−
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后
代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果.
【详解】设该直角三角形的两直角边长为a 、b ，斜边长为c ，
∵a ，b 是一元二次方程
2
6
2
0
x
x
−
+
=
的两个实数根，
∴
6
a
b
+
= ，
2
ab =
，由勾股定理得：
2
2
2
2
(
)
2
6
2 2
32
4 2
c
a
b
a
b
ab
=
+
=
+
−
=
−
=
=
，
∵三角形的面积
1
1
1
1
2
2
2
2
S
ab
ar
br
cr
=
=
+
+
，
∴直角三角形的内切圆半径公式为
ab
r
a
b
c
=
+
+
，代入得：
2
3
2 2
6
4 2
r =
=
−
+
．
3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知ABC中，
3
AB = ，
5
AC = ，
7
BC =
，点P 在BC 边上运动，
连接AP ．当ABP 和
APC
△
的内切圆半径相等时，设BP
t
= ，则AP = ________（用含t 的代数式表示）．
【答案】21
8
2
7
t
t
−
−
【分析】设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD
AB
⊥
，OE
BP
⊥
，OF
AP
⊥
，垂足分别为点
,
,
D E F ，则
可设AP
x
=
，OD
OE
OF
r
=
=
=
，根据
ABP
BOP
AOP
AOB
S
S
S
S
=
+
+
，得到
(
)
1
3
2
ABP
S
t
x
r
=
+
+
△
，同理可得
(
)
1 12
2
ACP
S
t
x r
=
−+
△
，则
(
)
(
)
1
3
3
2
1
12
12
2
ABP
ACP
t
x
r
S
t
x
S
t
x
t
x r
+
+
+
+
=
=
−+
−+
△
△
，而
7
ABP
ACP
S
BP
t
S
CP
t
=
=
−
△
△
，即可得到
3
12
7
t
x
t
t
x
t
+
+
=
−+
−，
即可求解．
【详解】解：设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD
AB
⊥
，OE
BP
⊥
，OF
AP
⊥
，垂足分别为点
,
,
D E F ，
∵
O 为ABP 的内切圆，
∴OD
OE
OF
=
=
设AP
x
=
，OD
OE
OF
r
=
=
=
∵
ABP
BOP
AOP
AOB
S
S
S
S
=
+
+
∵
3
AB = ，BP
t
= ，
5
AC = ，
7
BC =
，
∴
7
PC
t
−
=
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∴
(
)
(
)
1
1
1
1
1
3
2
2
2
2
2
ABP
S
BP
r
AP
r
AB
r
BP
AP
AB r
t
x
r
=
+
+
=
+
+
=
+
+
△
，
∵ABP 和
APC
△
的内切圆半径相等
∴同理可得，
(
)
(
)
(
)
1
1
1
5
7
12
2
2
2
ACP
S
AC
PC
AP r
t
x r
t
x r
=
+
+
=
+
−+
=
−+
△
∴
(
)
(
)
1
3
3
2
1
12
12
2
ABP
ACP
t
x
r
S
t
x
S
t
x
t
x r
+
+
+
+
=
=
−+
−+
△
△
又∵
7
ABP
ACP
S
BP
t
S
CP
t
=
=
−
△
△
∴
3
12
7
t
x
t
t
x
t
+
+
=
−+
−
解得
21 8
2
7
t
x
t
−
=
−
，即
21 8
2
7
t
A
t
P
−
=
−
．
考点04 圆内接四边形
1．（2026·河北·中考真题）如图，在
O 中，ACB 所对的圆心角为150，点D 在AC 上．若
CBO
n
= ，
则
ADC
=（ ）
A．90
n
+
B．180
n
−
C．195
n
−
D．2n
【答案】C
【分析】如图，连接CO并延长交
O 于点E，连接AE ，首先利用等边对等角得到
C
OCB
BO
n
=
=
，然
后利用三角形内角和定理求出
180
180
2
BOC
B
OCB
n
=
−−
=
−
，然后结合圆周角定理和圆内接四边
形对角互补求解即可．
【详解】解：如图，连接CO并延长交
O 于点E，连接AE
∵OB
OC
=
∴
C
OCB
BO
n
=
=
∴
180
180
2
BOC
B
OCB
n
=
−−
=
−
∴
(
)
150
180
2
2
30
AOC
AOB
BOC
n
n
=
−
=
−
−
=
−
∴
1
15
2
E
AOC
n
=
= −
∴
(
)
180
180
15
195
ADC
E
n
n
=
−
=
−
−
=
−．
2．
（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C 是以AB 为直径的
O 上一点，点D 在BC 上，
20
ABC
=
，则
CDB
=
_______．
【答案】110
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出
90
ACB
=
，利用三角形内角和定理求出
CAB
的度数，再
根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
【详解】解：
AB 是
O 的直径，
90
ACB
=
，
20
ABC
=
，
90
70
CAB
ABC
−
=
=
，
四边形ACDB内接于
O ，
180
CDB
CAB
+
=
，
180
70
110
CDB
−
=
=
．
3．（2026·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，点A ，B 均在格点上，点C 在网
格线上，以AC 为直径的半圆经过点B．
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（Ⅰ）线段AB 的长为________；
（Ⅱ）点M 在线段BC 上，点N 在线段AM 上，满足
BNM
CNM
ACB
=
=
．请用无刻度
．．．的直尺，在如
图所示的网格中，画出点M ，N ，并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的（不要求证明）
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
________．
【答案】
13 解法一：如图，取格点D ，连接CD，与网格线交于点E ，连接AE ，与BC 交于
点M ，与半圆相交于点F ，连接BF ，与网格线相交于G ，取BC 与网格线的交点H ，连接GH 并延长，与
网格线相交于I ，连接CI 并延长，与AM 相交于点N ，则点
,
M N 即为所求.
解法二：如图，
设
,
AC BC 分别与格线交于点O，点D，连接OD并延长交格线于点E，连接AE 交BC 于点M，交格线于点
F，设AB 交格线于点G，连接FG 并延长交格线于点H ，连接BH 交半圆于点K，连接KG交AB 于点N，
则点M，点N 即为所求．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；
（Ⅱ）解法一：连接
,
,
BD BN BE ，由网格线的特点可得：E 为CD中点，H 为
,
GI BC 的中点，可得
(
)
SAS
BGH
CIH
≌
，进一步可证明BF
CN
∥
，可得
BFN
CNM
=
，结合
BFN
ACB
=
，可得
ACB
CNM
=
，由AC 为直径可得
90
ABC
=
，而AB
BD
=
，可得AC
DC
=
，ACB
DCB
CNM
=
=
，
BE 是中位线，可得BE
AC
∥
，可得BE
CE
=
，
EBM
ACB
=
，可得
CME
CNM
NCM
DCB
NCM
ECN
=
+
=
+
=
，可得ECM
ENC
∽
，可得
2
2
BE
CE
EM EN
=
=
，
结合
BEM
BEN
=
，可得EBM
ENB
∽
，可得
EBM
BNE
ACB
=
=
；
解法二：可证明点O 为AC 的中点，点D 为BC 的中点，点D 为OE 的中点，点G 为AB 的中点，点G 为FH
的中点，则可证明四边形OCEB是菱形，得到
CBE
BCE
ACB
=
=
；证明四边形AHBF 是平行四边形，
进而可证明四边形AKBN 是平行四边形，得到
AKB
ANB
=
；由圆内接四边形对角互补可得
180
AKB
ACB
+
=
，则可证明
BNM
ACB
=
，得到
BNM
BCE
=
，据此可证明B
N
C
E
、、、四点共
圆，得到
CNM
BCE
ACB
=
=
，则
BNM
CNM
ACB
=
=
．
【详解】解：（Ⅰ）由网格的特点和勾股定理可得
2
2
2
3
13
AB =
+
=
；
（Ⅱ）解法一：如图，取格点D ，连接CD，与网格线交于点E ，连接AE ，与BC 交于点M ，与半圆相交
于点F ，连接BF ，与网格线相交于G ，取BC 与网格线的交点H ，连接GH 并延长，与网格线相交于I ，
连接CI 并延长，与AM 相交于点N ，则点
,
M N 即为所求.
解法二：如图所示，连接BE
CE
BN
CN
AK
，
，
，
，
，取格点P、Q，
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可证明AOP
ACQ
∽
，得到
1
2
OA
AP
AC
AQ
=
=
，则点O 为AC 的中点，即点O 为半圆的圆心，
同理可得点D 为BC 的中点，点D 为OE 的中点，点G 为AB 的中点，点G 为FH 的中点，
∴四边形OCEB是平行四边形，
又∵OB
OC
=
，
∴四边形OCEB是菱形，
∴
ACB
BCE
=
，BE
CE
=
，
∴
CBE
BCE
ACB
=
=
；
同理可证明四边形AHBF 是平行四边形，
∴BH
AF ，
∴
GKB
GNA
GBK
GAN
=
=
，
，
又∵AG
BG
=
，
∴
(
)
GBK
GAN AAS
≌
，
∴BK
AN
=
，
∴四边形AKBN 是平行四边形，
∴
AKB
ANB
=
；
∵四边形ACBK 是圆内接四边形，
∴
180
AKB
ACB
+
=
，
又∵
180
ANB
BNM
+
=
，
∴
BNM
ACB
=
，
∴
BNM
BCE
=
，
∴B
N
C
E
、、、四点共圆，
∴
CNM
CBE
ACB
=
=
，
∴
BNM
CNM
ACB
=
=
．
4．（2026·福建·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于
O ，E 是DC 延长线上的一点，EB 的延长线交
O 于点F ，AB
BD
=
，
60
CBE
ABD
=
=
．
(1)求
E
的度数；
(2)求证：四边形AFEC是平行四边形；
(3)设CF 交BD 于点G ，且
2
3
CG
FG =
，求BD
AC 的值．
【答案】(1)60
(2)证明：
60
ACD
ABD
=
=
，
ACD
E
= ．
AC
EF
∥
．
∵四边形AFBD 是
O 的内接四边形，
180
AFB
ADB
+
=
．
ABD是等边三角形，
60
ADB
=
，
120
AFB
=
．
180
AFB
E
+=
．
AF
CE
∥
．
∴四边形AFEC是平行四边形．
(3)
7
3
【分析】（1）先判定ABD 是等边三角形，得到
60
BAD
BDA
=
=
，利用圆的内接四边形的性质，证明
60
BCE
BAD
=
=
，最后利用三角形内角和定理解答即可；
（2）先利用
ACD
E
= 判定AC
EF ，利用圆的内接四边形的性质求得
120
AFB
=
，证明AF
CE ；
（3）过点C 作CH
BE
⊥
，垂足为H ，连接DF ，设CD
a
=
，先判定BCE 是等边三角形，证明
(
)
CFE
BDE AAS
≌
，得到EF
ED
=
，再证明DEF 是等边三角形，证明BC
DF ，BCG
DFG
∽
，
BCE
FDE
∽
，得到
2
BE
a
=
，
3
EF
a
=
，接着利用勾股定理表示出
,
CH CF ，利用平行四边形的性质表示
出AC ，进一步解答即可．
【详解】（1）解：
AB
BD
=
，
60
ABD
=
，
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ABD
△
是等边三角形．
60
BAD
BDA
=
=
．
∵四边形ABCD 是
O 的内接四边形，
180
BAD
BCD
+
=
．
又
180
BCE
BCD
+
=
，
60
BCE
BAD
=
=
．
60
CBE
=
，
180
60
E
CBE
BCE
−
−
=
=
．
（2）略
（3）解：过点C 作CH
BE
⊥
，垂足为H ，连接DF ，设CD
a
=
．
60
E
CBE
BCE
=
=
=
，
BCE
△
是等边三角形．
BE
CE
=
．
又
CFB
CDB
=
，
E
E
=
，
(
)
CFE
BDE AAS
≌
．
EF
ED
=
．
BF
CD
a
=
=
．
60
E
=
，
DEF
是等边三角形．
60
FDE
BCE
=
=
．
BC
DF
∥
．
BCG
DFG
△
∽△
．
2
3
BC
CG
DF
FG
=
=
．
BC
DF
∥
，
BCE
FDE
△
∽△
．
2
3
BE
BC
FE
FD
=
=
．
2
BE
a
=
，
3
EF
a
=
．
∵四边形AFEC是平行四边形，
3
AC
EF
a
=
=
．
BCE
△
是等边三角形，CH
BE
⊥
，
1
2
BH
BE
a
=
=
．
在Rt
BCH
△
中，tan
3
CH
CBE
BH
=
=
，
3
3
CH
BH
a
=
=
．
2
FH
BF
BH
a
=
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
7
CF
FH
CH
a
a
a
=
+
=
+
=
．
CFE
BDE
△
≌△
，
7
BD
CF
a
=
=
．
7
7
3
3
BD
a
AC
a
=
=
．
