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专题24 等腰三角形中的分类讨论
（题型突破·举一反三）
题型01 顶角或底角不明
题型02 腰与底边不明
题型03 图形未知
题型04 新定义中的分类讨论
题型05 高与腰的夹角
题型06 一腰上的中线
题型07 一（两）腰上的垂直平分线
题型08 两圆一线
题型09 等腰三角形的存在性
▌题型01 顶角或底角不明
题目只说等腰三角形给出一个内角度数，没有说明这个角是顶角还是底角，必须分两类讨论！
1. 等腰三角形两个底角相等；
2. 三角形内角和 180°；
3. 底角一定是锐角（＜90°）；顶角可以锐角、直角、钝角。
【典例1】（2026 春•碑林区校级月考）已知△ABC 是等腰三角形，若∠A＝70°，则△ABC 的底角度数为
（ ）
A．70°
B．55°
C．40°
D．70°或55°
【变式1-1】（2026 春•金山区期末）在一个等腰三角形中，与顶角相邻的其中一个外角是100°，那么它的
一个底角的度数是 °．
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【变式1-2】（2026 春•周村区期末）等腰三角形的一个内角为50°，则它的一个底角的度数为（ ）
A．80°
B．65°
C．50°或80°
D．50°或65°
【变式1-3】（2025 秋•杭州期中）已知等腰三角形的一个外角是80°，则它的底角度数是（ ）
A．40°
B．100°
C．40°或100°
D．20°
▌题型02 腰与底边不明
题目给出两条边长，没有指定哪条是腰，哪条是底边，必须分两种情况讨论，最后一定要用三角形三边关
系检验！
1. 等腰三角形：两条腰长度相等；
2. 三边关系：任意两边之和＞第三边（不满足直接舍去）；
3. 不要忘记检验！ 很多情况其中一组构不成三角形，需要舍去；
4. 看清题干：是否说明“腰”“底边”，有说明就不用分类；
5. 最终答案有几种情况，看检验结果。
【典例1】（2026 春•南山区期末）已知等腰三角形一边长是12cm，另一边长是5cm，则它的周长是 29
cm．
【变式1-1】（2026 春•惠济区校级期末）若等腰△ABC 的周长为20，其中一边长为8，则这个等腰三角形
的底边长与其腰长的比值为（ ）
A．
1
2
B．
4
3
C．
4
3或2
D．
4
3或
1
2
【变式1-2】（2026 春•上海校级月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、3x﹣2、x+1，求x 的值，并求这
个等腰三角形三边的长．
【变式1-3】（2025 秋•重庆期中）一个等腰三角形的周长是35cm．
（1）已知腰长是底边长的3 倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为7cm，求各边的长．
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▌题型03 图形未知
题干只描述条件，没有给出图形，点位置不确定、三角形摆放不确定，需要画图分类讨论，极易漏解。
【典例1】（2026•阿城区二模）在△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝20°，点D 在AB 边上，连接CD，若△
BCD 为等腰三角形时，则∠ACD 的度数为 ．
【变式1-1】（2026 春•兴庆区校级期中）若一等腰三角形的腰长为4cm，腰上的高为2cm，则等腰三角形的
顶角为（ ）
A．30°
B．150°
C．30°或150°
D．以上都不对
【变式1-2】（2025 秋•庐阳区校级期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三
角形的顶角的度数为（ ）
A．56°
B．146°
C．56°或146°
D．34°或146°
【变式1-3】（2025 秋•龙江县期末）已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角
为 ．
▌题型04 新定义中的分类讨论
1. 题干给出全新定义（如：和谐三角形、倍角三角形、优等腰三角形、奇异三角形等）；
2. 结合等腰三角形；
3. 无图 / 顶点不固定 / 边角身份不明确，必须分类讨论；
4. 核心陷阱：等腰三角形谁是顶角顶点不预先说明。
【典例1】（2025•洞口县校级模拟）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫做“倍
长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，腰AB 的长为6，则底边BC 的长为 ．
【变式1-1】（2026 春•埇桥区期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰
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三角形的“特征值”．若在等腰△ABC 中，∠A＝50°，则它的特征值k 等于（ ）
A．
10
13
B．
5
8
C．
13
10或
5
8
D．
10
13或
8
5
【变式1-2】（2026 春•高新区校级月考）定义：如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么
称这条线段为这个三角形的奇妙线，称这个三角形为奇妙三角形．若△ABC 是奇妙三角形，∠A＝36°，
∠ABC 为钝角，则∠ABC 所有可能的度数 ．
【变式1-3】（2025 秋•姑苏区校级期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫
做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，腰AB 的长为6，求△ABC 的周长．
▌题型05 高与腰的夹角
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为𝛼，求顶角。
没有给出图形，必须分两类：锐角等腰三角形、钝角等腰三角形。
情况1：等腰三角形为锐角三角形（顶角是锐角）
高在三角形内部，顶角 =90° −𝛼；
情况2：等腰三角形为钝角三角形（顶角是钝角）
高在三角形外部，顶角 =90° + 𝛼。
【典例1】已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（ ）
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A．50°
B．50°或130°
C．130°
D．65°或25°
【变式1-1】（2026 春•沙坪坝区校级月考）若某等腰三角形一内角为50°，则等腰三角形一腰上的高与底
边的夹角为（ ）
A．25°或30°
B．40°或35°
C．25°或40°
D．30°或50°
【变式1-2】（2026 春•虹口区期末）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于底角，那么这个
等腰三角形顶角的度数为 度．
【变式1-3】（2026 春•龙岗区期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是56°，那么这个等
腰三角形的顶角的度数是 ．
▌题型06 一腰上的中线
已知：等腰三角形一腰上的中线将周长分为 m、n 两部分，
解题步骤
（1）设腰长 2x（设2x 方便消分母，中线分得线段为x），底边长 y；
（2）分两种情况列方程：
情况①：腰+半腰 = m，底+半腰 = n
即{2𝑥+ 𝑥= 𝑚
𝑥+ 𝑦= 𝑛
情况②：腰+半腰 = n，底+半腰 = m
即{2𝑥+ 𝑥= 𝑛
𝑥+ 𝑦= 𝑚
（3）解出 x，,y 后检验三边关系：两腰之和＞底边，不成立舍去。
【典例1】（2026 春•榆中县期中）等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12 与
15，则腰长为 ．
【变式1-1】（2026 春•杨浦区校级月考）在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，周长为16cm，AC 边上的中线
BD 把△ABC 分成周长差为4cm 的两个三角形，求△ABC 底边BC 的长 cm．
【变式1-2】（2026•雅安模拟）在等腰△ABC 中，AB＝AC，中线CD 将这个三角形的周长分为12 和15 两
个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7
B．7 或11
C．10
D．8 或10
【变式1-3】（2025 秋•涪城区校级期末）等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周长分为1：2 两部分，
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则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．4
B．10
C．20
D．4 或20
▌题型07 一（两）腰上的垂直平分线
线段垂直平分线性质：线上任意一点到线段两端距离相等。
等腰△ABC，AB＝AC，AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点𝐸
1.交点落在腰上（锐角等腰三角形）
2.交点落在腰的延长线上（钝角等腰三角形）
无图必须分两类！
【典例1】（2025 秋•监利市期末）已知等腰△ABC，AB＝AC，若AB 边上的垂直平分线与直线AC 所夹的
锐角为50°，则等腰△ABC 顶角的度数为（ ）
A．65°
B．65°或25°
C．50°
D．40°或140°
【变式1-1】（2025 秋•讷河市期末）在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交AB 于点D，交直线AC 于
点E．若∠EBC＝42°，则∠BAC 的度数为（ ）
A．32°或152°
B．32°或88°
C．88°或152°
D．32°或88°或152°
【变式1-2】（2025 秋•天河区期末）已知等腰△ABC 中．AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC
＝100°，则等腰三角形的顶角为 ．
【变式1-3】（2026 春•峄城区月考）等腰△ABC，AB＝AC，线段AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D，交直
线AC 于点E，若∠DEA＝50°，则∠BAC 的度数是 ．
▌题型08 两圆一线
已知定点A、B，找点P 使△ABP 为等腰三角形
1. 圆1（以A 为圆心，AB 为半径画圆）
顶角顶点为A，满足：AB=AP，圆周上所有点均可作P。
2. 圆2（以B 为圆心，AB 为半径画圆）
顶角顶点为B，满足：BA=BP，圆周上所有点均可作P。
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3. 一线（线段AB 的垂直平分线）
顶角顶点为P，满足：PA=PB，垂直平分线上所有点均可作P。
【典例1】（2025 秋•海州区校级月考）如图，在4×4 方格中，以AB 为一边，第三个顶点也在格点上的等
腰三角形可以作出（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【变式1-1】（2026 春•碑林区校级期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B 是两
格点，使得△ABC 为等腰三角形的格点C 的个数是（ ）
A．3
B．5
C．6
D．8
【变式1-2】（2025 秋•镇平县期末）如图，在3×3 的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B 两点都在
格点上，点C 也是一格点，并且△ABC 是等腰三角形，那么满足条件的点C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1-3】（2026•海口二模）如图，在5×5 的正方形网格中，点A，B 都在格点处，若以线段AB 为腰的
等腰三角形ABC 另一顶点C 也在格点处，则点C 所处的位置个数为 .
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▌题型09 等腰三角形的存在性
使△PAB 为等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当A 为顶角顶点，AP=AB，……计算
② 当B 为顶角顶点，BP=BA，……计算
③ 当P 为顶角顶点，PA=PB，……计算
检验：排除三点共线情况
【典例1】（2025 秋•广信区期末）如图，△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP 平分∠ABC；点
D 是射线BP 上一点，如果点D 满足△BCD 是等腰三角形，那么∠BDC 的度数是 ．
【变式1-1】（2025 秋•瑶海区校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝120°，AC＝BC．已知∠MPN 的顶
点P 是线段AB 上一点，PM 经过顶点C，PN 与AC 交于点D，∠MPN＝30°，设PM 与BC 的夹角为∠
1（∠1≠0°）．
（1）若AP＝AC，则∠BPC 的度数为 ；
（2）当△CDP 是等腰三角形时，∠1 的度数为 ．
【变式1-2】已知在△ABC 中，AB＝AC，点D 是边AB 上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB 的理由；
（2）如图2，过点B 作BE⊥AC，垂足为点E，BE 与CD 相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE 的理由；
②如果△BDF 是等腰三角形，求∠A 的度数．
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【变式1-3】（2025 秋•松原校级期末）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，
P、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A→B 方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点
B 开始沿BC→CA 方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q 两点同时出发，当点P 运动到点B 时两点停止运
动，设运动时间为t 秒．
（1）BP＝ cm（用含t 的式子表示）；
（2）当点Q 在边BC 上运动时．
①出发几秒后，△PQB 是等腰三角形？
②通过计算说明PQ 能否把△ABC 的周长平分？
（3）当点Q 在边CA 上运动时，若△BCQ 是以BC 或BQ 为底边的等腰三角形，直接写出此时t 的值．
