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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第十三章 三 角 形
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题：本题共8 小题，每小题3 分，共24 分。
1.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )
A. 1，2，3
B. 1，2，4
C. 2，3，4
D. 2，2，4
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系，核心判定依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于
第三边。
【详解】
A. 1+2=3，两边之和等于第三边，不能组成三角形；
B. 1+2＜4，两边之和小于第三边，不能组成三角形；
C. 2+3＞4，2+4＞3，3+4＞2，满足三边关系，能组成三角形；
D. 2+2=4，两边之和等于第三边，不能组成三角形。
故选：C。
2.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是( )
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 三角形具有稳定性
D. 垂线段最短
【答案】C
【分析】本题考查三角形的几何性质，区分直线、线段、垂线段、三角形稳定性的实际应用。
【详解】
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空调支架固定后形成三角形结构，利用了三角形具有稳定性的几何原理，可固定物体不易变形。
故选：C。
3.在△ABC中，∠A −∠B = 35°，∠C = 55°，则∠B等于 ( )
A. 50°
B. 55°
C. 45°
D. 40°
【答案】C
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形内角和为180°，通过联立角度关系式求解未知角。
【详解】
在△ABC 中，∠C=55°，
∴ ∠A+∠B=180°−∠C=180°−55°=125°，
又∠A−∠B=35°，
两式相减得：2∠B=90°，解得∠B=45°。
故选：C。
4.如图，C处在B处的北偏西40∘方向，C处在A处的北偏西75∘方向，则∠ACB的度数为( )
A. 30∘
B. 35∘
C. 40∘
D. 45∘
【答案】B
【分析】本题考查方位角与三角形内角计算，结合平行线性质、三角形内角和求解角度。
【详解】
由题意得：B 地正北方向与A 地正北方向互相平行，
C 在B 北偏西40°，C 在A 北偏西75°，
可得∠ABC=50°，∠BAC=35°，
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∴ ∠ACB=180°−50°−95°=35°。
故选：B。
5.如图，有一块厚薄均匀的硬纸板(被分为3 × 4的正方形网格)，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上
选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起.若三角形硬纸板处于平衡状态，
利用格点的性质可知这一点是( )
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
【答案】C
【分析】本题考查三角形重心的定义，三角形悬挂平衡的点为重心，即三条中线的交点。
【详解】
三角形重心是三角形三条中线的交点，也是三角形的几何中心，物体悬挂平衡时，悬挂点必为重心，结合
格点位置可知对应点为C。
故选：C。
6.如图，BD是△ABC的中线，O是BD上一点，OB = 2OD，连接AO并延长交BC于点E.若△ABO的面积为2，
则△ABC的面积是( )
A. 8
B. 6
C. 5
D. 4
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【答案】B
【分析】本题考查三角形中线与面积关系，等高三角形面积比等于底边长之比，中线平分三角形面积。
【详解】
∵ OB=2OD，△ABO 与△ADO 等高，
∴ S△ABO=2S△ADO，已知S△ABO=2，则S△ADO=1，
∴ S△ABD=S△ABO+S△ADO=3。
∵ BD 是△ABC 的中线，∴ S△ABC=2S△ABD=6。
故选：B。
7.静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向OF1//AC，支持力的方向OF2 ⊥OF1，
重力的方向OF3 ⊥AB.若∠A = α，则∠F2OF3的度数为( )
A. 180∘−α
B. 180∘−
1
2 α
C. 90∘+ α
D. 90∘+ 2α
【答案】A
【分析】本题考查直角、平行线性质与角度推导，结合垂直定义、三角形内角和转化角度。
【详解】
由题意：OF₁∥AC，OF₂⊥OF₁，OF₃⊥AB，∠A=α，
根据平行线性质与垂直角度转化，可得∠F₂OF₃=180°−α。
故选：A。
8.如图，在△ABC中，∠A = 20°，沿BE将此三角形翻折，BA′交AC于点D，又沿BD再一次翻折，点C落在BE
上的点C′处，此时∠C′DB = 74°，则原三角形的∠C的度数为 ( )
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A. 27°
B. 59°
C. 69°
D. 79°
【答案】D
【分析】本题考查三角形折叠性质与角度综合计算，折叠前后对应角相等，结合三角形内角和、外角性质
求解。
【详解】
由两次折叠性质可知，角度等量关系统一，设∠C=x，
结合∠A=20°，∠C'DB=74°，利用三角形内角和与折叠等角代换，
逐步推导得：∠C=79°。
故选：D。
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.等腰三角形的两边长a，b满足|a −4| + (b −9)2 = 0，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】22
【分析】本题考查非负数性质与等腰三角形三边分类讨论，绝对值与平方数均为非负数，非负数和为0 则
各项为0，再结合三边关系验证。
【详解】
∵ |a−4|+(b−9)²=0，且|a−4|≥0，(b−9)²≥0，
∴ a−4=0，b−9=0，即a=4，b=9。
① 若腰长为4，三边长为4、4、9，4+4＜9，无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为9，三边长为9、9、4，满足三边关系，周长=9+9+4=22。
故答案为：22。
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10.如图，在△ABC中，AC = 5cm，AB > AC，AD是△ABC的中线，且AD把△ABC的周长分为两部分，
若两部分的差为3cm，则AB的长度为 cm．
【答案】8
【分析】本题考查三角形中线定义与周长差问题，中线平分底边，周长差即为腰长之差。
【详解】
∵ AD 是△ABC 中线，∴ BD=CD，
两部分周长差：(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC，
已知周长差为3cm，AC=5cm，AB＞AC，
∴ AB−5=3，解得AB=8cm。
故答案为：8。
11.如图，∠MON = 80∘，点A，B在∠MON的两条边上运动，∠OAB和∠OBA的平分线交于点C，则在点A，B
的运动过程中，∠BCA的度数为 ．
【答案】130°
【分析】本题考查三角形内角和与角平分线性质，利用角平分线拆分角度，结合内角和公式推导定值。
【详解】
在△MON 中，∠MON=80°，∴ ∠OAB+∠OBA=180°−80°=100°，
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∵ AC、BC 分别平分∠OAB、∠OBA，
∴ ∠CAB+∠CBA=1/2(∠OAB+∠OBA)=50°，
∴ ∠BCA=180°−50°=130°。
故答案为：130°。
12.《周礼⋅考工记》中记载：“⋯⋯半短谓之宣(xuān)，一宣有半谓之橘(zhú) ⋯⋯”意思是：“⋯⋯直角的一半
的角叫作宣，一宣半的角叫作橘⋯⋯”(1宣=
1
2矩，1橘= 1
1
2宣，1矩= 90∘)
问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图.若∠A = 1矩，∠B = 1橘，则
∠C = ．
【答案】22.5°
【分析】本题考查新定义角度换算与三角形内角和，先根据题意换算角度，再利用三角形内角和求未知角。
【详解】
由题意：1 矩=90°，1 宣=1/2 矩=45°，
1 橘=1.5 宣=67.5°，即∠A=90°，∠B=67.5°，
∴ ∠C=180°−90°−67.5°=22.5°。
故答案为：22.5°。
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三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13.(10 分)
如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1) ∠ABE = 15°，∠BAD = 35°，求∠BED的度数；
(2)在△BED中作边BD上的高；
(3)若△ABC的面积为16，BD = 5，则点E到边BC的距离为多少？
【答案】
(1) 解：∵∠BED 是△ABE 的一个外角，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+35°＝50°．
(2)解：如图，线段EF 即为所求.
(3)解：∵AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线，
∴S△BED =
1
4 S△ABC =
1
4 × 16 = 4．
∵BD＝5，
∴S△BED =
1
2 BD ⋅EF，
即
1
2 × 5EF = 4，
解得EF =
8
5．
∴点E 到边BC 的距离为
8
5．
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14.(7 分)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的长的
和为10．
(1)求AB，AC的长．
(2)求边BC的长的取值范围．
【答案】
(1) 解：
∵AD 是边BC 上的中线，
∴BD＝CD．
由题意，得(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)＝AB-AC＝2，AB+AC＝10，
∴AB＝6，AC＝4．
(2)∵AB＝6，AC＝4，
∴6-4＜BC＜6+4，
即2＜BC＜10．
15.(10 分)
如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O．
(1)若∠A = 50∘，∠BOD = 70∘，∠C = 25∘，求∠B的度数;
(2)试猜想∠BOC与∠A + ∠B + ∠C之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】
(1)∵∠A=50∘,∠C=25∘,
∴∠BDO=∠A+∠C=75∘,
∴∠B=180∘-∠BDO-∠BOD=180∘-75∘-70∘=35∘.
(2)猜想:∠BOC=∠A+∠B+∠C.
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证明:∵∠BDO=∠A+∠C,∠BOC=∠BDO+∠B,
∴∠BOC=∠A+∠B+∠C.
16.(12 分)
如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的一点，连接AE交CD于点F，∠BCD = 10°，∠AEB = 75°．
(1)求∠BAE的度数．
(2)若AE平分∠BAC，求∠ACD的度数．
【答案】
(1) ∵∠BCD＝10°，∠AEB＝75°，∠AEB＝∠BCD+∠CFE，
∴∠CFE＝75°-10°＝65°，
∴∠AFD＝∠CFE＝65°，
∵CD 是△ABC 的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠BAE＝90°-65°＝25°．
(2)∵AE 平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝50°，
∴∠ACD＝90°-∠DAC＝40°．
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17.(12 分)
取一副三角尺按图 ①拼接，固定三角尺ADC，将三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图 ②
所示.设∠CAC′ = α．
(1)当α = 15∘时，求证：AB//CD;
(2)连接BD，当0∘< α ≤45∘时，∠DBC′ + ∠CAC′ + ∠BDC的度数是否变化，若变化，求出变化范围;若不变，
求出其度数．
【答案】
(1) 【证明】
∵∠BAC=∠BAC′-∠CAC′=45∘-15∘=30∘,
∴∠BAC=∠C=30∘.
∴AB//CD.
(2)【解】
当0∘<α ≤45∘时,∠DBC′+∠CAC′+∠BDC 的度数不变,为105∘.
连接CC′,设DC,BC′交于点O,
如图.在△BDO 和△OCC′中,∠BOD=∠COC′,
∴∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C.
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC
=∠BDO+α+∠DBO
=∠OCC′+∠OC′C+α
=180∘-45∘-30∘
=105∘,
即当0∘<α ≤45∘时,∠DBC′+∠CAC′+∠BDC 的度数不变,为105°.
小学
初中
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18.(13 分)
【问题背景】研究了三角形的内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图1，我们把这个图形形象地称
为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角之间的数量关系．
(1)如图1，探究∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并证明．
(2)请利用上述结论，完成下面的问题：
【类比探究】
①如图2，已知∠A + ∠C + ∠E = 90∘，∠B + ∠D = 150∘，求∠AFE的度数;
【拓展延伸】
②如图3，已知AM//EN，∠B + ∠D = 150∘，∠C + ∠E = 50∘，求∠MAB的度数．
【答案】(1)解:∠ABC=∠A+∠ADC+∠C.
证明如下:如图,连接DB,并延长至点E,
∵∠ABE=∠A+∠ADB,∠CBE=∠C+∠CDB,∠ABC=∠ABE+∠CBE,
∴∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C,
∴∠ABC=∠A+∠ADC+∠C.
(2)①如图,连接CF,
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由(1)可知∠B=∠A+∠AFC+∠BCF,∠D=∠E+∠EFC+∠DCF,
∵∠A+∠BCD+∠E=90∘,∠B+∠D=150∘,
∴150∘=∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+∠DCF=∠A+∠BCD+∠E+∠AFE=90∘+∠AFE,
∴∠AFE=60∘.
②如图,在射线EN 上取一点P,连接AP,
由
可知∠B+∠D=150∘=∠1+∠3+∠C+∠E.
∵∠C+∠E=50∘,∴∠1+∠3=100∘.
∵AM//EN,∴∠2=∠3,
∴∠1+∠2=100°,∴∠MAB=100°.
