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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第十七章 因式分解
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.以下因式分解正确的是( )
A. ax2 −a = a(x2 −1)
B. m3 + m = m(m2 + 1)
C. x2 + 2x −3 = x(x + 2) −3
D. x2 + 2x −3 = (x −3)(x + 1)
2.多项式(1 −a)xy + (a −1)因式分解的结果为 ( )
A. (1 −a)(xy + 1)
B. (1 −a)(xy −1)
C. (a −1)(xy −1)
D. (a −1)(xy + 1)
3.若a −b = 5，ab = 24，则ab2 −a2b的值为 ( )
A. 19
B. 120
C. 29
D. −120
4.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a(a + c) −bc −ab = 0，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 无法判断
D. 等腰直角三角形
5.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. x2 + x + 1
B. x2 + 2x −1
C. x2 −1
D. x2 −6x + 9
6.下列各数中，不能整除653 −65的是( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
7.一名密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：a −b，x −1，3，x2 + 1，a，x + 1分别对应下列六个
字：国，爱，我，数，学，祖，现将3a(x2 −1) −3b(x2 −1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A. 爱数学
B. 我爱数学
C. 爱祖国
D. 我爱祖国
8.如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a > b)，将余下部分拼成一个梯形，根据两个
图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式，这个恒等式为( )
A. (a −b)2 = a2 −2ab + b2
B. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C. a2 −b2 = (a + b)(a −b)
D. a2 + ab = a(a + b)
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二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.如图，把R1，R2(单位：Ω)两个电阻串联起来，线路AB上的电流为I(单位：A)，电压为U(单位：V)，则
U = IR1 + IR2.当R1 = 47.3，R2 = 40.7，I = 2.5时，U的值为 ．
10.若多项式4x2 −mxy + 9y2能用完全平方公式分解因式，则m的值是 ．
11.如图，根据图形把多项式a2 + 5ab + 4b2分解因式的结果为 ．
12.对于任意两个数a，b，定义新数c = a + b −ab，称所得新数c为a，b的“鸿蒙数”.若a = 2，b = x2 −2x + 2，
则b c(填“>”“<”“≥”或“≤”)．
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13（10 分）分解因式：
(1)（3 分） −2a3 + 12a2 −18a; (2) （3 分）9a2(x −y) + 4b2(y −x); (3)（4 分） 4x2 + 4x(x −y) +
(x −y)2．
14.(7 分)我校数学社团的小亮、小颖两位同学利用分组分解法进行因式分解：
小亮：m2 −mn + 2m −2n
= (m2 −mn) + (2m −2n)
= m(m −n) + 2(m −n)
= (m −n)(m + 2)．
小颖：4x2 −y2 −z2 + 2yz
= 4x2 −(y2 + z2 −2yz)
= (2x)2 −(y −z)2
= (2x + y −z)(2x −y + z).
请你在他们解法的启发下，解决下面问题：
(1)因式分解：a3 −3a2 + a −3．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2 −2ac + c2 = ab −bc，判断△ABC的形状并说明理由．
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15.(10 分)分解因式：x2 + 4xy + 4y2 −16．
解：∵x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)2，∴将x + 2y看成整体，令x + 2y = M，则原式= M2 −16 = (M + 4)(M −4).
将M还原，则原式= (x + 2y + 4)(x + 2y −4).上述解题过程用到的是“整体思想”．
请用“整体思想”解决以下问题：
(1)【数学理解】分解因式：(a −2b)2 −6(a −2b) + 9．
(2)【拓展探索】求证：无论a，b取何值，(a2b2 −4a)(a2b2 −4a −2) + 1的值一定是非负数．
16.(12 分)
让我们来规定一种运算：|a
b
c
d| = ad −bc，例如：|2
4
3
1| = 2 × 1 −4 × 3 = −10，再如：|x
6
y
2| = 2x −6y.按
照这种运算规定，请解答下列问题：
(1) |−2
−5
4
3 | = ;
(2)当|x
1 −x
1
2
| = 0时，求x的值;
(3)将下面的式子进行因式分解：|x2 −2x
8
−3
x2 −2x −11|．
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17.(12 分)阅读材料：
例题：已知二次三项式x2 −4x + m有一个因式是(x + 3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x + n).
根据题意，得x2 −4x + m = (x + 3)(x + n)，
则x2 −4x + m = x2 + (n + 3)x + 3n
∴{n + 3 = −4,
m = 3n,
解得{m = −21,
n = −7.
∴另一个因式为(x −7)，m的值为−21．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)若二次三项式x2 −5x + 6可分解为(x −2)(x + a)，则a = ；
(2)若二次三项式2x2 + bx −5可分解为(2x −1)(x + 5)，则b = ；
(3)若二次三项式2x2 + 3x −k有一个因式是(2x −5)，求另一个因式以及k的值．
18.(13 分)特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运
算，得出最终答案的一种方法.综合与实践课上，田老师展示了如下例题：
例：已知多项式2x3 −2x2 + m有一个因式是x + 2，求m的值．
解：由题意，设2x3 −2x2 + m = A ⋅(x + 2)(A为整式)，
由于上式为恒等式，为了方便计算，取x = −2，
则2 × (−2)3 −2 × (−2)2 + m = 0，解得m =◼．
(1) 【数学思考】“◼”处m的值为 ;
(2) 【方法应用】已知多项式2x3 −x2 −x + b有一个因式是2x −3，求b的值;
(3) 【深入探究】若多项式x4 + ax3 + bx −4有因式(x + 1)和(x −2)，求a，b的值．
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