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专题14.31 整式的乘法与因式分解（全章分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·浙江湖州·统考中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·四川遂宁·八年级射洪中学校考阶段练习）若 ，则 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·江苏南京·七年级校联考期中）若多项式 与 乘积的结果中不含x项，则常数a
的值是（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知 是完全平方式，k为常数，则k的值为
（ ）
A．9或 B．3或 C．3 D．
6．（2023秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）下列从左边到右边的变形，属于因式
分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·河北秦皇岛·统考三模）数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5
个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2023春·浙江温州·七年级校考阶段练习）今年国庆节长假期间，山西暴雨成灾，临汾某地一个长
方形的玉米种植基地被淹，颗粒无收，已知这个基地的长为 米，宽为 米，则它的面积为
（ ）平方米
A． B． C． D．
9．（2023春·河北唐山·八年级统考开学考试）对于：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中因式分解正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
10．（2022秋·福建泉州·八年级校联考期中）如图，若将左边的正方形剪成两个直角三角形和两个四
边形后，恰好能拼成右边的矩形．则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）已知 ， ，则 ．
12．（2023秋·四川宜宾·八年级校考阶段练习）卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速
度）约为 米/秒，则卫星运行 秒所走的路程约为 米．（结果用科学记数法表示）
13．（2022秋·陕西西安·八年级校考开学考试）若 ，则 ．
14．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）已知 ， ，则 的值为
15．（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）如果单项式 与 的差是一个单项式，
则这两个单项式的积是 ．
16．（2023秋·重庆忠县·八年级重庆市忠县拔山中学校校考阶段练习）若 是完全平方式，
则 的值是 ．
17．（2023春·四川成都·八年级校联考期中）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决
许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式 进行因
式分解得到 ，若取 ，则2→2，x→12，y→7， →14，可得密码为 ，对于
代数式 ，若取 ，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答
案即可）
18．（2023春·江苏苏州·七年级校考期中）中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》出现
了如下图的内容，后人称其为“杨辉三角”．请观察图中规律，则图中横线处应填写的内容是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·北京海淀·八年级校考开学考试）计算：
（1） ； （2） ．20．（8分）（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）
（1）计算： ；（2）用乘法公式简算： ．
21．（10分）（2023春·广东深圳·七年级校考期末）计算题
（1） （2）
22．（10分）（2022秋·湖北武汉·八年级校考期中）先化简，再求值：
，其中m满足
23．（10分）（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）把下列各式分解因式：
（1） ； （2） ．
24．（12分）（2021秋·吉林长春·八年级长春市实验中学校考期中）回答下列问题：
（1）方法学习：把二次三项式 因式分解，可按照如下方法：应用上述方法，把二次三项式 的因式分解．
（2）拓展应用：由上述因式分解过程可知，
当 时
即 时
取最小值
参照上述分析过程回答：对二次三项式 ，当 的值为 时，此二次三项式取最小值，这个最
小值是 ．
参考答案：
1．C
【分析】利用同底数幂的乘法法则解题即可．
解： ，
故选C．
【点拨】本题考查同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
2．C
【分析】由同底数幂的乘法可判断A，由合并同类项可判断B，由幂的乘方运算可判断C，由积的乘方
运算可判断D，从而可得答案．
解：∵ ，故A不符合题意；
， 不是同类项，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C【点拨】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，积的乘方运算，熟记运算法则是解
本题的关键．
3．B
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得 ．
解：∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了同底数幂的除法，关键是掌握计算法则．
4．D
【分析】根据多项式乘多项式法则即可求出答案．
解：
，
由题意可知： ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．
5．B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 的值．
解：∵ 是完全平方式，
，
解得： 或 ，
故选：B．
【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解本题的关键．
6．C
【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解，进行判断
即可．
解：A、 ，等式左边不是多项式，不是因式分解；B、 ，是整式的乘法，不是因式分解；
C、 ，是因式分解；
D、 ，等式的右边不是积的形式，不是因式分解．
故选C．
【点拨】本题考查判断是否是因式分解．熟练掌握因式分解的定义，是解题的关键．
7．B
【分析】根据同底数幂的运算法则，合并同类项的运算法则，逐个进行判断，即可进行解答．
解：（1） ，故（1）不正确，同学判断正确；
（2） ，不是同类项，不能相加减，故（2）不正确，同学判断正确；
（3） ，故（3）不正确，同学判断正确；
（4） ，故（4）不正确，同学判断错误；
（5） ，故（5）不正确，同学判断正确；
综上：同学判断正确的有（1）（2）（3）（5），共4个；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），
底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同
类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
8．B
【分析】先根据长方形的面积公式列出运算式子，再计算整式的乘法即可得．
解： 这个基地的长为 米，宽为 米，
它的面积为 （平方米），
故选：B．
【点拨】本题考查了多项式乘法与图形面积，熟练掌握整式的乘法法则是解题关键．
9．D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．解：① ，此项错误；
② ，此项正确；
③ ，此项错误；
④ ，此项正确．
故选D．
【点拨】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化
成几个整式的积的形式，叫因式分解．
10．C
【分析】根据左边图形为正方形可得其面积为 ，右边矩形面积为 ，根据题意，左边
的正方形剪成两个直角三角形和两个四边形后，恰好能拼成右边的矩形，从而得到答案．
解：根据题意，左边正方形边长为 ，右边矩形长为 ，宽为 ，
将左边的正方形剪成两个直角三角形和两个四边形后，恰好能拼成右边的矩形，
正方形面积与矩形面积相等，即 ，
，
故选：C．
【点拨】本题考查图形的剪拼，是一个信息题，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件
找到数量关系，然后利用数量关系列出等式是解决问题的关键．
11．10
【分析】把 化成 ，变成 ，代入求出即可．
解： ，
，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方的应用，主要考查学生的计算能力．
12．
【分析】先根据单项式与单项式相乘，把系数分别相乘，相同底数的幂分别相加，计算出结果，然后用科学记数法表示即可．
解： （米）．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，特别注意科学记数法的
表示方法．
13．8
【分析】根据 ，得 ，再根据同底数幂的除法得 ，即可求出答案．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了同底数幂的除法，掌握法则是关键．
14．16
【分析】根据 ， ，利用完全平方公式把式子 变形，可以求得所求式子的值．
解： ， ，
，
故答案为：16．
【点拨】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子
变形为 ．
15． /
【分析】根据 与 的差是一个单项式，可得两者为同类项，进而得出两个单项式分别为， ，进一步计算即可．
解：∵单项式 与 的差是一个单项式，
∴ 与 是同类项，
∴两个单项式分别为 ， ，
∴这两个单项式的积是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
16．
【分析】根据完全平方式的特征即可进行解答．
解： ，
∵ 是完全平方式，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了完全平方式的定义，熟练地掌握完全平方式的特征是解题的关键．
17． （答案不唯一）
【分析】对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码即可．
解：
当 时，
即3→3，a→15， →3， →11，
可得密码为： ．
故答案为： （答案不唯一）
【点拨】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果是解题的关键．18．
【分析】根据规律填写即可．
解：根据题意得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列、b的升幂排列的，它的两端都是由数字1
组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘除法即可；
（2）利用多项式乘多项式，单项式乘多项式法则展开，再合并．
（1）解：
；
（2）
【点拨】本题考查了整式的混合运算，涉及了单项式乘多项式，多项式乘多项式，幂的乘方以及同底
数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（1）4；（2）1
【分析】（1）利用实数的混合运算法则即可求解；（2）利用平方差公式即可求解．
解：（1）原式
；
（2）原式
．【点拨】本题考查了实数的混合运算及平方差公式．熟记运算法则和公式形式是解题关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）根据完全平方公式，多项式乘以多项式求解即可；
（2）根据平方差公式，多项式除以单项式求解即可．
（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
【点拨】本题考查完全平方公式，多项式乘以多项式，平方差公式，多项式除以单项式，正确计算是
解题的关键．
22． ，8
【分析】先根据平方差公式，完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式进行化简，再整体代入求
值即可．
解：
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点拨】本题考查平方差公式，完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式，正确计算是解题的关
键．
23．（1） ；（2）
【分析】（1）根据提公因式法和公式法即可求解；
（2）利用提公因式法即可求解．
（1）解：；
（2）解：
．
【点拨】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
24．（1） ；（2）1；5
【分析】（1）根据题目所给方法进行因式分解即可；
（2）先对二次三项式进行因式分解，然后利用题中所给方法进行求解即可．
解：（1）
；
（2）由 可得：
∵ ，
∴当 时，即x=1，
取最小值5；
故答案为1，5．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
