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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 6 2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第二十六章 二次函数 建议用时：90 分钟，满分：100 分 一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分） 1.下列函数中，是二次函数的是( ) A. y = 1 x2 −3 B. y = x2 −(x −1)2 C. y = 1 2 x2 + 3 D. y = 1 x −3 2.抛物线y = 2x2 −3与抛物线y = 2x2相比较，其不同点是( ) A. 对称轴不同 B. 开口方向不同 C. 顶点坐标不同 D. 形状不同 3.对于二次函数y = −2(x + 1)2，下列说法错误的是( ) A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线x = 1 C. 当x = −1时，y取最大值 D. 当x > 1时，y随x的增大而减小 4.二次函数y = ax2 + bx + c的部分图象如图所示，对称轴为直线x = −1，图象与x轴相交于点(1,0)，则方程 ax2 + bx + c = 0的根为( ) A. x1 = 1，x2 = −3 B. x1 = −1，x2 = 3 C. x1 = 1，x2 = −1 3 D. x1 = −1，x2 = 1 3 5.某商场购进一批文创商品，进价为每件20元.当售价为每件28元时，每周可卖出160件;每件售价每降低1元， 每周销量增加20件.设每件售价为x元，每周利润为y元，则y与x的函数关系式为( ) A. y = (x −20)[160 + 20(28 −x)] B. y = (x −20)[160 −20(28 −x)] C. y = (28 −x −20)(160 + 20x) D. y = (28 −x −20)(160 −20x) 6.已知α，β是方程2x2 −3x −1 = 0的两个实数根，则αβ −2(α + β) + 4的值是( ) A. 1 2 B. 13 2 C. 3 D. 3 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 6 7.抛物线y = a(x −1)2 −2(a ≠0)，当−1 ≤x ≤2时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值为 ( ) A. 1 B. 3 4 C. 3 4或−3 4 D. 5 4或−3 4 8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y = cx + a与二次函数y = ax2 + bx + c的图象可能是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分） 9.已知函数y = (m + 4)xm2+3m−2是关于x的二次函数，则m = ． 10.当−1 ≤x ≤5时，二次函数y = −x2 + 2x + 1的最大值为 ． 11.已知方程x2 + x −5 = 0的两根分别为x1，x2，则x1 2 −x2 2 + 2x1的值为 ． 12.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y(个)与销售价格x(元 /个)的关系如图所示，当10 ≤x ≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大 利润为 元(利润=总销售额−总成本)． 三、解答题（共6 小题，共64 分） 13.(10分)已知函数y = −x2 + bx + c(b, c为常数)的图象经过点(0, −3)， (−6, −3)． (1)求b，c的值； (2)当−4 ≤x ≤0时，求y的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 6 14.(7分)已知二次函数y = x2 −mx + m −2． (1)求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； (2)若图象经过原点，求二次函数的解析式． 15.(10分)如图，抛物线y = a(x + 1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB = OA． (1)求抛物线的解析式； (2)若点C(−3, b)在该抛物线上，求▵ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 6 16.(12分)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用20m长的栅栏围成 一个矩形花园ABCD(栅栏只围AB，BC两边)，设AB = xm，花园的面积为Sm2． (1)当x为何值时，花园的面积最大?最大为多少? (2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是12m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗 细)，当花园的面积最大时，AB的长为多少? 17.(12分) 如图，在矩形ABCD中，AB = 10cm，BC = 12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与 此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 6 点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒． (1)填空：BQ = cm，PB = cm(用含t的代数式表示)． (2)当t为何值时，PQ的长度为10cm? (3)是否存在t的值，使△BPQ的面积S最大?若存在，请求出此时t的值;若不存在，请说明理由． 18.(13分)某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位：m)的对应值如表(不考虑空 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 6 气阻力)． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 ⋯ 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 ⋯ 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图)，发现羽毛球飞行路 线是抛物线y = ax2 + bx + 1.1的一部分． (1) [建立模型]求y与x的函数解析式(不要求写自变量取值范围)． (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m?请说明理由． (3)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y = ax2 + kx + 1.1，发 球点与球网的水平距离是5m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水 平距离小于6m.求k的取值范围．
