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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷
第二十二章 二次函数·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中是二次函数的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若二次函数 的图象经过点 ，则代数式 的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
3．若二次函数 的图象经过 ， ， 三点，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的一元二次方程 无实数根，则抛物线 的顶点所在象限是
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
6．已知一个二次函数 的自变量 与函数 的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象与 轴的一个交点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．当 时， 随 的增大而增大7．函数 与 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线 经过 ， 两点，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．
C．抛物线与x轴有2个交点
D．若 为抛物线上任意一点，则
9．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹
簧的初始长度为 ）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个
过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似
看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．若小球刚接触弹簧时的速度 ，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为
D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同10．如图，已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ．给出下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④关于x的方程 一定有两个不相等的实数根；
⑤ ．
其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．将 化成 的形式为 ．
12．若 是关于 的二次函数，则 的值为 ．
13．已知抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 ，如果 为直角三角形，则 ．
14．经过 ， 两点的抛物线 （ 为自变量）与 轴有交点，
则线段 的长为 ．
15．对于一次函数 以及二次函数 （其中 、 、 均为常数，且 ），当
时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则 的值为 ．
16．已知抛物线 与x轴负半轴交于点A，且经过 ， ．
（1）n的值为 ．（2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且 ，则点P的坐标为
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．已知二次函数 经过 和 ．
(1)求该二次函数的表达式和对称轴．
(2)求该二次函数的与 轴的交点坐标．
18．如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 为该抛物线对称轴上的一点，当 最小时，求点 的坐标．
19．【问题情境】如图是喷水管 从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的
抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的
落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为 ，喷水管 的高度为 ．
【问题解决】
(1)求a的值；
(2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管 要降低的高度．
20．在二次函数 中， 与 的几组对应值如下表所示．
… 0 1 …
… 1 …(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移 个单位长度后，当 时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为
5，请直接写出 的值．
21．第九届亚洲冬季运动会于 年 月 日 日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同
心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展 亚冬会吉祥物
“滨滨”和“妮 妮”寓意“哈尔 滨欢迎您 ” 亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个
进价为 元，规定售价不低于进价现在售价为每个 元，每天可销售 个．经市场调查发现，若售价每
降价 元，则每天的销售量将增加 个．设每个吉祥物降价 元（ 为整数），每天的销售量为 个．
(1)写出 与 之间的函数关系式；
(2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为 元，求出 与 的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润 最大？最大利润是多少
元？
22．二次函数 的图象经过点 ，且对称轴为直线 ．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若 是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求 的最大值与最小值的差．
23．项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开
展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条
抛物线的部分图象，喷水口 离地面竖直高度 为 米．上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为
米，高出喷水口 米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边
缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与 轴交点 的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，洒水车到绿
化带的距离 为 米．
（3）当调整与绿化带距离为 米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明
理由．
24．已知抛物线 与 轴交于 两点（点 位于点 左侧），与 轴交
于点 ．(1)求直线 的解析式；
(2)将抛物线 进行平移得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ．
（i）如图1，若点 是抛物线 的对称轴 与直线 的交点，求抛物线 的解析式；
（ii）如图2，若点 为直线 上方抛物线 上任意一点，抛物线 与 轴交于点 ，作 轴
交 于点 ，若 ，求 的值．
25．如图 ，已知抛物线 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于 点， 点的坐标为
，且抛物线对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，连接 ， 为线段 下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴交 于点 ，作
轴交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图 ，连接 ，在直线 下方抛物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
