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第十七章 勾股定理
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 利用勾股定理求解边长的多解问题....................................................................................................1
易错题型二 利用勾股定理求解折叠问题的多解问题............................................................................................7
易错题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）......................................................................................15
易错题型三 勾股定理及逆定理与网格问题..........................................................................................................17
【压轴题型】...............................................................................................................................................................22
压轴题型一 利用勾股定理证明线段平方关系......................................................................................................22
压轴题型二 勾股定理的证明方法..........................................................................................................................27
压轴题型三 勾股定理逆定理的拓展问题..............................................................................................................32
压轴题型四 应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题..................................................................................37
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 利用勾股定理求解边长的多解问题
例题：（24-25九年级上·全国·假期作业） 是直角三角形， ， ，则 的长为
．
【答案】 或
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，本题中只说明了 是直角三角形、
，并没有说明直角是哪个角，所以要分两种情况讨论．当 、 时，根据
直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出 ；当 、
时，设 ，则 ，根据勾股定理可以求出 的长度．
【详解】解：如下图所示，
若 ， ，
在 中， ， ，；
如下图所示，
若 ， ，
设 ，
则 ，
在 中， ，
，
解得：x=2或 (舍去)；
综上所述， 的长为❑√3或 ．
巩固训练
1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在 中，已知 ， ， ，在平面内
有一点 ， ，连接 ，当 是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】 或 / 或
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，注意分类讨论的思想：利用勾股定理求出 ，再分类讨论，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
当 时，如图：
∵ ，
∴ ；
当 时，如图：
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴
综上所述，当 是直角三角形时， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
2．（24-25九年级上·北京通州·期末）小明同学想利用“ ， ， ”，这三个条
件作 ．他先作出了 和 ，再作 ，那么 的长是 ．【答案】 或
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分 为钝角和锐角，两种情况进行讨
论求解．
【详解】解：过点 作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
当 为钝角时，则： ；
当 为锐角时，则： ；
故答案为： 或 ．
3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知在 中， ， ， 边上的高线 ，则
边的长为 ．
【答案】 或21
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是能够分两种情况考虑，不要遗漏．由勾股定理可分
别在 和 中求出 的长，然后分两种情况考虑：（1）当高 落在 内部时；
（2）当高 落在 外部时；根据D点的不同位置可得 三条线段不同的数量关系，从
而得到 的值．
【详解】 ， ， 边上的高线 ，
∴在 中，由勾股定理得，，
在 中，由勾股定理得，
，
分类讨论：
①当高 落在 内部时，
，
②当高 落在 外部时，
，
综上所述：边 的长为 9 或 21．
故答案为：9或21．
4．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，在 中， ， ， ，现将
拓展为等腰 ，且使得点 在射线 上，则CD的长为 ．
【答案】 或 或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】 是直角三角形，要把 拓展成等腰 ，因为等腰三角形是有两条边相等的三角形，
所以本题需要分三种情况考虑：当 时，当 时，当 时．
【详解】解： 在 中， ， ， ，
，
若将 拓展为等腰 ，当 时，如下图所示，
则有 ，
又 ，
；
当 时，如下图所示，
在 和 中
，
，
；
当 时，如下图所示，
，
，
，两边同时平方得： ，
解得： ．
故答案为： 或 或
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解
以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键.
易错题型二 利用勾股定理求解折叠问题的多解问题
例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图， 中， ， ， ，点 为线
段 上一个动点，连接 ，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交直线 于点 ．若
为直角三角形，则 的长是 ．
【答案】1或
【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】根据题意可分三种情况：当 时，当 时，利用勾股定理来求解．
【详解】解：当 时，过点 作 ，交 的延长线于点 ，如图
，
，
四边形 是矩形，
， 。
将 沿直线 翻折得到 ，
， ．
在 中
．
设 ，则 ， ，
，
整理得 ，
解得 ， （舍去），
所以 ．
当 时，此时点 与点 重合，
将 沿直线 翻折得到 ，
， ，
设 ，
则 ， ，
，
整理得 ，
解得 ，
即 ．
当 时，
因为在 中， ，
所以 ，翻折后， 不可能为 ，此种情况不存在．
综上所述， 的长是 或 ．
【点晴】本题考查了翻折的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握分类思想是解
答关键．
巩固训练
1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在 中， ， ， ，点 ，分别是 ， 边上的动点，沿 所在直线折叠 ，使点 的对应点 始终落在边 上，若
是直角三角形时，则 的长为 ．
【答案】 或
【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含 角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当
时，根据含 角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出 ，根据勾股定理可
求出 ，然后结合线段的和差求解即可；②当 时，根据含 角的直角三角形
的性质和折叠的性质可得出 ，然后结合线段的和差求解即可．
【详解】解：∵折叠，
∴
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；②当 时
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在 中， ， ，点 在边 上运动，
点 在边 上运动．将 沿 折叠，当点 的对应点 恰好落在边 的三等分点处，此时
．
【答案】 或
【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，分两种情况：当 时，如图，当
时，设 ，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，当 时，设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，即 ，
如图，当 时，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，即 ，
综上： 为 或 ，
故答案为： 或 ．
3．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，在 中， ， ，点P是线段AB上一
动点，将 沿直线 折叠，使点B落在D处，CD交 于点E．当 是直角三角形时， 的长
为 ．【答案】 或
【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形
【分析】分两种情况：当 时；当 ；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以
及折叠的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：分两种情况：
①当 时，如图：
，
设 ，
，
， ，
由折叠得： ，
， ，
在 中， ，
，
解得： ，
．②当 ，如图：
过点 作 ，垂足为 ，
，
，
由①知 ，
由折叠得： ， ，
，
，
，
，
∵ 是 的一个外角，
，
，
，
，
，
综上所述： 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，
分两种情况讨论是解题的关键．
4．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，在等边三角形 中， ， 于点D，点E，
F分别是BC，AC上的动点，沿 所在直线折叠 ，使点C落在 上的点 处，当 是直角
三角形时， 的长为 ．【答案】 或
【知识点】等边三角形的性质、折叠问题、二次根式的除法、用勾股定理解三角形
【分析】由等边三角形的性质可得 ，由 是直角三角形，分两种情况讨论：①若
，②若 ，由直角三角形的性质分别求解即可．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由折叠可得 ， 分两种情况：
①若 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理，可得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
②若 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质的运用，勾股定理的应用，二次根式的运算，熟练掌
握折叠的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
易错题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
例题：（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习） 中，斜边 ，则 的值是
．
【答案】2
【分析】先画图，再利用勾股定理可求 的值，从而易求 的值．
【详解】解：如图所示，在 中， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是∶2．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
巩固训练
1.（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂
美”四边形 ，对角线 交于点 ，若 ， ，则 ．
【答案】73
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在 和 中，根据勾股定理得 ，进一步得
，再根据 ，然后根据等量代换即
可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，根据勾股定理得： ，∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为：73．
2.（22-23八年级下·山西大同·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，
， 的顶点A在 的斜边 上，则 的值为 ．
【答案】8
【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
因为 和 都是等腰直角三角形， ，
即
故故答案为：
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键．
3.（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线 交于点O．若 ，
， ，则 ．
【答案】21
【分析】根据勾股定理即可解答．
【详解】解： ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
又 在 中， ，
在 中， ，
．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．
易错题型三 勾股定理及逆定理与网格问题
例题：（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图所示的 方可格网格纸中，小正方形的边长为 ，有 ，
两个格点，试取格点 ，使得 是直角三角形，则 的长为 ．【答案】 或 或 或 或
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是确定点 的位置．先确定点 的位置，分四种情况：当
，且 时，当 ，且 时，当 时，当 时，根据勾股定理求解
即可．
【详解】解：如图，点 的位置如下，使得 是直角三角形，
当 ，且 时， ；
当 ，且 时， ；
当 时， 或 ；
当 时，点 在 的垂直平分线上，且 ，
，即 ，
；
综上所述， 的长为 或 或 或 或 ，
故答案为： 或 或 或 或 ．
巩固训练
1．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点 ， ， ，
， 为网格线交点）．【答案】
【知识点】勾股定理与网格问题、格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．
在直线 上取点 ，使得 ，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，得到
，推出 ，根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，结
合 ，即可求解．
【详解】解：如图，在直线 上取点 ，使得 ，连接 ，过点 作 ，交 的延长
线于点 ，
由图可知， ，
，
， ，
，
是直角三角形，
，
，即
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在 的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为
1，点A、B、C都在格点上， 于点D，则 的长为【答案】2
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理得逆定理和直角三角形斜边高的求法，掌握勾股定理及其逆定理是
本题关键．根据勾股定理计算 的长，再利用面积差可得三角形 的面积，由三角形的面积公式即可
得到结论．
【详解】由勾股定理得： ， ， ，
， ， ， ，
是直角三角形， ，
，
，
，
故答案为：2．
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小
格的顶点叫做格点，格点 如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹．
(1)在图1中，作出 的高 ，并直接写出 的长为 ；
(2)在图2中，在边 上找到点 ，使得 ；
(3)在图3中，作 ，使 和 面积相等但不全等．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题是三角形综合题，考查了作图的应用与设计、勾股定理、三角形面积公式、网格线的特点、
等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形面积是解题的关键，
属于中考常考题型．（1）取格点 ，连接 交 于点 ，线段 即为所求，再由三角形面积求出 的长即可；
（2）以 为直角边作一个等腰直角三角形，即可解决问题；
（3）根据等底同高的三角形面积相等，即可作出 ．
【详解】（1）解：如图1，取格点 ，连接 交 于点 ，
线段 即为所求，
， ， ，
，
解得： ，
故答案为：3.2；
（2）解：如图2，以 为直角边作一个等腰直角三角形 ， 交 于点 ，
则 ， 即为所求；
（3）解：如图3，
即为所求（答案不唯一）．
4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， 的顶点在格点上．(1)直接写出 ， ， ；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)直接写出 边上的高 ．
【答案】(1) ， ，
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3)2
【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的
关键．
（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；
（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
（3）利用面积法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得： ， ， ，
， ， ；
（2）解： 是直角三角形，
理由： ， ，
，
是直角三角形；
（3）解：设 边上的高为 ，
的面积 ，
，
，
．03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 利用勾股定理证明线段平方关系
例题：（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在 中， ．
(1)求证： ；
(2)当 ， ， 时，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股
定理是解决问题的关键．
（1）在 和 中，分别运用勾股定理可得 ， ，利用 边
相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出 的值，利用平方差公式，结合 ，可求得
，而 ，由此可求得 、 ，由勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）证明： ，
在 和 中，根据勾股定理得，
， ，
，
移项得： ．
故 ．
（2）解： ， ，，
，
，即 ，
，
，解得 ，
，
．
巩固训练
1.（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知 与 都是等腰直角三角形，其中
， 为 边上一点．
(1)试判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)试说明 三者之间的关系．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）证明 即可；
（2）根据（1）可得 ，得到 ， ，得到 是直角三角
形，根据勾股定理证明即可．
【详解】（1） ．理由如下：
∵ 与 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．∴ ，
∴ ．
（2） ．理由如下：
由（1）可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据
全等三角形的性质得出 ．
2.（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在 中，已知 ，D是斜边 的中点，
交 于点E，连接
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的周长.
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得 ，在 利用勾股定理建立线段的平方关系，再
等量代换即可求证；
（2）在 中，由勾股定理得 的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵D是斜边 的中点， ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ .
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
即 .（2）解：∵D是斜边 的中点， ，
∴ .
在 中，由勾股定理得 ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为 .
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键．
3.（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰 中， ， ，点F是直线
AB上一个动点，作等腰 ，且 ，连接 ．
(1)找出图中全等三角形______．
(2)如图求证： ；
(3)若 ，则 ______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）可证 ，从而得证 ；
（2）由全等得， ，得 ，根据勾股定理得证结论；
（3） 中，勾股定理求得 ，得 ，于是 ．
【详解】（1）解：如图， ,
∴ ．
∴ ．
又 ，∴ ．
故全等三角形为 ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）解： 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质；由全等三角形推证线段相等、角相等是解题的关
键．
压轴题型二 勾股定理的证明方法
例题：（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明
古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有 余种．其中我国汉代的
赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定
理：
如果直角三角形 的两条直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 ．
【答案】见解析【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等知识．熟练掌握勾股定理的证
明，完全平方公式是解题的关键．
由弦图可知， ，则四边形 和四边形 是正方形，由
，可得 ，整理得 ．
【详解】证明：由弦图可知， ，
∴四边形 和四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ．
巩固训练
1.（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面
积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用
“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中 ．求证： ．【答案】见解析
【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，
用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整
理即可得到勾股定理表达式．
【详解】证明：如图（1），连接 ，过点 作 边上的高 ，则 ．
，
，
，
．
2.（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也
是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证
或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理
（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在 和 中， ，（点 ， ， 在一条直线上），
， ， ．
证明： ；
(2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出 的结果．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键．
（ ）利用面积法证明即可；（ ）利用面积法计算即可．
【详解】（1）证明：梯形 的面积 ，
梯形 的面积 ，
∴ ，
化简可得： ；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积 ；
大正方形的面积 ，
∴ ．
3.（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股
定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边
长分别为a，b，斜边长为c）．(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．
方法1： ______；
方法2： ______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】(1) ； ；
(2)见解析
(3)阴影部分的面积为52．
【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．
（1）方法1：求得小正方形的边长为 ，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计
算即可；
（2） ，列式计算即可证明；
（3）先用勾股定理计算出c，再利用 计算面积即可．
【详解】（1）解：方法1： ；
方法2： ；
∵ ，即 ，
故 ；
根据以上信息，可以得到等式： ；
故答案为： ； ； ；
（2）解：∵ ，即 ，
整理得 ，
故 ；
（3）解：如图， ，
∵ ， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
故阴影部分的面积为52．
压轴题型三 勾股定理逆定理的拓展问题
例题：（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
(3)① ；② ；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，
反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出 ，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当 三边分别为6、8、9时， 为锐角三角形
当 三边分别为6、8、11时， 为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当 时， 为锐角三角形；
当 时， 为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时， ；
当 为锐角三角形时， ，
；
当 为钝角三角形时， ，
则 的取值范围为 ，
两边之和大于第三边，
．
巩固训练
1.（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段
AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)BN＝12或13
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋
BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋
MN2，分别列出方程即可解决问题．
【详解】（1）是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（25−x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25−x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12或13．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
2.阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长
度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三角形；②若 ，
则该三角形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6， ，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求 的值．
（3）当 ， 时，判断 的形状，并求出对应的 的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴ ，
∴ ，
若△ABC是钝角三角形，
则 或 ，
则 或 ，
∴ 或 ；
若△ABC是直角三角形，
则 或 ，则 或 ；
若△ABC是锐角三角形，
则 或 ，
则 或 ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．
3.（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是 的三边，且 ，则称
为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图， 中， ， ，P为 边上一点，将 沿直线 进行折叠，点A
落在点D处，连接 ， ．若 为“方倍三角形”，且 ，求 的面积．
【答案】(1)A
(2)
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三
角形”进而可以判断；
（2）根据题意可得 ，根据“方倍三角形”定义可得 为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得 ，延长 交 于点 ，根据勾股定理求出 的长，根据
为等腰直角三角形，可得 ，进而可以求 的面积．
【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为 ，
则 ，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为： ；
（2）由题意可知：
，
， ，
根据“方倍三角形”定义可知：
，
，
为等边三角形， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，延长 交 于点 ，如图，
，
， ，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
压轴题型四 应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题
例题：（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，
此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所
爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm
【分析】本题考查勾股定理最短路径问题：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由勾股定理，得： ；
故答案为：25；
（2）将圆柱体展开，如图，由题意，得：
， ，
由勾股定理得： ；
故答案为：17 cm．
（3）如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连接 ，由题意得： ，
，
∵底面周长为 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ，
巩固训练
1.（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面
周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器
上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开－最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、
熟练运用相关知识是解题的关键．将容器侧面展开，作点 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短
可知 的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点 处有一饭粒，此时
蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 与饭粒相对的点 处，
将容器侧面展开，作 关于 的对称点 ，连接 ，则 即为最短距离，
，
，
即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是 ．
2.（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长 ，宽 ，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长
为多少？（点拨：分三种情况讨论解答）
【答案】把长方体沿 展开，蚂蚁沿着 的路线爬行的路程最短，最短距离为5．
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿 展开，把长方体沿 展开，把长方体沿
展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案．
【详解】解：如图所示，把长方体沿 展开，则蚂蚁沿着 的路线爬行的路程最短，
由题意得， ，
∴由勾股定理得 ；
如图所示，把长方体沿 展开，则蚂蚁沿着 的路线爬行的路程最短，
由题意得， ，
∴由勾股定理得 ；如图所示，把长方体沿 展开，则蚂蚁沿着 的路线爬行的路程最短，
由题意得， ，
∴由勾股定理得 ；
∵ ，
∴把长方体沿 展开，蚂蚁沿着 的路线爬行的路程最短，最短距离为5．
3.（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】
如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想
吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点
之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置
如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段 的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为 ，底面周长为 ，在外侧距下底 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走
的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长 ， ，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度
在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆
虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
【答案】（1）34cm；（2） 秒．
【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握
运用勾股定理是解题关键．
（1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可；
（2）设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径 爬行，爬行捕
捉到昆虫甲需x秒．在 中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段 就是蜘蛛走的最短路线．
由题意可得在 中，
， ， ，∴ ，
∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm．
（2）设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径 爬行，爬行捕
捉到昆虫甲需x秒．
如图2，在 中，
∵长方体的棱长 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
解得 ．
答：昆虫乙至少需要 秒才能捕捉到昆虫甲．
