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第十七章 勾股定理重难点检测卷
测试时间：120分钟 总分：120分 题量：26题
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数不是勾股数的是
A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，4， D．6，8，10
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边
的平方．
【解答】解： 、 ，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
、 ，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
、2，4， ，不都是正整数，故不是勾股数，符合题意；
、 ，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
故选： ．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及勾股数，解答此题掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：
已知 的三边满足 ，则 是直角三角形．
2．分别以下列四组线段为三边，能构成直角三角形的是
A．0.3，0.4，0.5 B．1，1，2 C．1，2，3 D．9，16，25
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断 和 ，根据三角形三边关系可以判断 和 ．
【解答】解： ，故选项 中的三条线段可以构成直角三角形，故选项
符合题意；
，故选项 中的三条线段不可以构成三角形，故选项 不符合题意；
，故选项 中的三条线段不可以构成三角形，故选项 不符合题意；
，故选项 中的三条线段不可以构成直角三角形，故选项 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形三边关系，解答本题的关键是明确勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系．
3． 的三边长 ， ， 满足 ，则 的面积是
A．65 B．60 C．30 D．26
【分析】先根据非负数的性质得到 的三边 、 、 的长，再根据勾股定理的逆定理可知 为直
角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解： ，
， ， ，
解得 ， ， ，
，
是直角三角形，
的面积为 ．
故选： ．
【点评】此题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理和三角形的面积的综合运用，判断三角形是否为直
角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．如图，在 中， ， ， ，将斜边 翻折，使点 落在直角边 的
延长线上的点 处，折痕为 ，则 的长为
A． B． C． D．
【分析】求出 ，则 ．设 ，则 ．根据勾股定理求解．
【解答】解： ， ， ，
．根据题意， ， ．
．
设 ，则 ．
根据勾股定理得
，
解得 ．即 长为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，解答的关键是熟记折叠的性质得到 ．
5．已知 的三边分别长为 ， ， ，且满足 ，则 是
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性，可得 ， ， ，从而求出 ， ， 的值，
然后利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
，
， ， ，
， ， ，
， ，
，
是以 为斜边的直角三角形，
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的
关键．
6．如图所示，在 中，点 是 上的一点，已知 ， ， ，则 的面积是
A．18 B．36 C．72 D．125
【分析】先作辅助线， 于点 ， 于点 ，然后根据勾股定理，可以得到 的长，再根
据等积法可以得到 的长，然后即可计算出 的面积．
【解答】解：作 于点 ，作 于点 ，
， ， ，
， ，
，
，
，
解得． ，
， ，
，
的面积是： ，
故选： ．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，
把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理分别求出 和 ，再根据 即可得出答案．
【解答】解： ， ，
，
， ，
，
；
故选： ．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出 和 是解题的
关键．
8．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．
如图，在 中， ，以 各边为边向外作正方形 、正方形 、正方形
．连接 、 、 ，若 ， ，则这个六边形 的面积为A．28 B．26 C．32 D．30
【分析】根据 ， ，想法把 ， ， 求出来，想到作辅助线，构造直角三角形．
【解答】解：设 ， ， ，过 作作 的垂线，垂足为 ，过 作 的垂线，垂足
为 ，
， ，
，
在 与 中， ，
，
， ，
同理可证 ，
， ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
， ， ．
．
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理，关键是构造直角三角形，求出 ， ， ．9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之
一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时（即水平距离 ，踏
板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是 ．
A． B． C．6 D．
【分析】设绳长为 ，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．
【解答】解：设绳长为 米，
在 中，
米，
， 米，
，
根据题意列方程： ，
解得： ，
绳索 的长是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题．
10．如图，在 中， ，以 的各边为边分别作正方形 ，正方形 与正方形
，延长 ， 分别交 ， 于点 ， ，连结 ， ．图中两块阴影部分面积分别记为， ．若 ， ，则四边形 的面积为
A．5 B．6 C．8 D．9
【分析】先证 ，得 ，则 、 、 三点共线，再证 ，则
， ， 然 后 由
，求出 ，证 ，则 ，最后由
，即可得出结果．
【解答】解： 四边形 和四边形 都是正方形，
， ， ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
、 、 三点共线，
四边形 和四边形 都是正方形，延长 、 分别交 、 于点 、 ，
四边形 和四边形 都是矩形，且 ， ，四边形 是正方形，
四边形 是矩形，，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
解得： （负值已舍去），
， ，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩
形面积、梯形面积与三角形面积的计算等知识，证明 是解题的关键．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．新冠疫情防控过程中，某中学在大门口的正上方 处装着一个红外线激光测温仪，离地 米
（如图所示），一个身高1.6米的学生 米）正对门缓慢走到离门1.2米的地方时 米），
测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 等于 1. 3 米 ．
【分析】过点 作 于点 ，构造 ，由勾股定理求得 的长度即可．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，
米， 米， 米，
（米 ．
在 中，由勾股定理得到： （米 ，
即人头顶离测温仪的距离 等于1.3米，
故答案为：1.3米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线
段 的长度．
12．如图，圆柱的高为 ，底面圆的周长为 ，一只蚂蚁从下底面的点 处沿圆柱侧面爬到上底面与
点 相对的点 处觅食，则蚂蚁爬行的最短路程为 1 0 ．【分析】根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段 的长，求出 ， ，根据勾
股定理求出 即可．
【解答】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段 的长，
在 中， ， ．
由勾股定理得： ，
答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是
解答此题的关键．
13．如图，等腰 的底边 长为4，面积为12， 边的垂直平分线 分别交 ， 于点 ，
，若点 为 的中点，点 为线段 上一动点，则 的周长的最小值为 8 ．
【分析】连接 ，由于 是等腰三角形，点 是 边的中点，可得出 ，再由 ，
即可得出 ，由 是线段 的垂直平分线，可知点 关于直线 的对称点为点 ，故 的
长为 的最小值，即可得出答案．【解答】解：连接 ，
是等腰三角形，点 是 边的中点，
，
，
解得 ，
是线段 的垂直平分线，
点 关于直线 的对称点为点 ，
的长为 的最小值，
的周长最短 ．
故答案为：8．
【点评】此题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质
是解答此题的关键．
14．如图所示，以 的三边向外作正方形，其面积分别为 ， ， ，且 ， ，则
10 ．
【分析】由勾股定理得 ，再结合正方形面积公式得到 ，即可求出 的值．
【解答】解： 为直角三角形， ，
，以 的三边向外作正方形，其面积分别为 ， ， ，且 ， ，
， ， ，
则 ，
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．
15．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 的长为17米，几分钟后船
到达点 的位置，此时绳子 的长为10米，问船向岸边移动了 9 米．
【分析】在 中，利用勾股定理计算出 长，再根据题意可得 长，然后再次利用勾股定理计算
出 长，再利用 可得 长．
【解答】解：在 中：
， 米， 米，
（米 ，
（米 ，
（米 ，
（米 ，
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的
示意图．领会数形结合的思想的应用．16．如图，在 中， ， ， ，以 为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角形
，连接 ，则 的长为 6 或 ．
【分析】如图1所示，当点 在 右侧时，过点 作 交 延长线于 ，连接 ， ，证明
得到 ， ，则 ，利用勾股定理求出 的长，
再利用勾股定理求出 的长即可；如图2所示，当点 在 左侧时，过点 作 交 延长线
于 ，连接 ，证明 ，得到 ，利用勾股定理求出 的长，即可求出 的长．
【解答】解：如图1所示，当点 在 右侧时，过点 作 交 延长线于 ，连接 ， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
是以 为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角形，
， ，
，
，
， ，
，
在 中，由勾股定理得 ，在 中，由勾股定理得 ；
如图2所示，当点 在 左侧时，过点 作 交 延长线于 ，连接 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
是以 为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
；
综上所述， 的长为6或 ，
故答案为：6或 ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图，四边形 中，对角线 ，点 为 上一点，连接 交 于点 ， ，
， ， ， ，则 1 2 ．【分析】延长 、 ，交于点 ，先证明 为等腰直角三角形，再判定 ，然
后在等腰直角三角形 中，由勾股定理得 与 的值，设 ，则 ，判定
，从而 ，解得 的值，最后根据 ，可得答案．
【解答】解：延长 、 ，交于点 ，如图：
， ，
， ，
为等腰直角三角形，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
在等腰直角三角形 中， ， ，由勾股定理得：
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
解得： ，
，
故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．如图是一种笔记本电脑支架，它有 共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为 ，已知托架
的长度为 ， 点是支点且 ．当支架调至 点时， ，当支架调至 档时，
托架 绕着点 旋转到 ，此时 ，则支点 到 的距离为 ．【分析】先求出 ， ，当支架调至 档时，可利用勾股定理求出 ，进而得到 ， ，过点
作 ，利用勾股定理表示出 列方程求出 ，进而可求出 即可．
【解答】解：由题意可知： ， ， ，
有 共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为 ，
，
， ，
，
设 ，则 ，
在 中，
由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
，
过点 作 ，
设 ，则 ，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
．
答：支点 到 的距离为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，灵活运用勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共66分）
19．如图，楼梯的高度为 ，楼梯坡面的长度为 ，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需
要多少米？（精确到
【分析】根据题意，知还需要求出 的长，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，由勾股定理得 ，
所以 （米 ，
（米 ．
答：地毯的长度至少需要5.5米．【点评】考查了勾股定理的应用，关键是能够运用数学知识解决生活中的实际问题，熟练运用勾股定理．
20．如图，25米长的梯子 ，斜靠在一竖直的墙 上，这时梯足 到墙底端 的距离为7米，如果梯
子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向外移多少米？
【分析】在直角三角形 中，已知 ， 根据勾股定理即可求 的长度，根据 即可
求得 的长度，在直角三角形 中，已知 ， 即可求得 的长度，根据 ，
即可求得 的长度．
【解答】解；在直角 中，已知 米， 米，
则由勾股定理得： （米 ；
米 米 米，
在直角△ 中， ，且 为斜边，
由勾股定理得： 米，
米 米 米；
答：梯足将向外移8米．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求 的长度是解
题的关键．
21．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过 70千米 时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪 正前方30米的 处，过了2秒后，小
汽车行驶至 处，若小汽车与观测点间的距离 为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
【分析】求出 的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．
【解答】解：
由勾股定理可得： ，
40米 千米，
2秒 小时．
．
所以超速了．
【点评】本题考查勾股定理的应用，构造直角三角形，确定直角边，斜边求解．
22．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，以格点 为顶点按下列要求作图（无尺规作图不需
要写画法）．
（1）在图中画一个 ，使其边长分别为 ， ， ；
（2）在（1）的条件下，求边 上的高．
【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可．
（2）利用图象法解决问题即可．
【解答】解：（1）如图， 即为所求．（2）观察图象可知， 边上的高为2．
【点评】本题考查作图 应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用
数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面 （踏板厚度忽略不
计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点 位置时，点 离地面垂直高度 为 ，离秋千支柱
的水平距离 为 （不考虑支柱的直径）．求秋千支柱 的高．
【分析】直接利用 ，进而得出答案．
【解答】解：设 ，则由题意可得：
， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
即秋千支柱 的高为 ．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出关于 等式是解题关键．
24．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有
著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为 、 、 ．显然，
， ．请用 、 、 分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
，
，
，
则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上 、 两点（看作直线上的两点）相距40千米， 、 为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 千米
（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站 ，
使得 ，请用尺规作图在图2中作出 点的位置并求出 的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值
【分析】【小试牛刀】根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
【知识运用】（1）连接 ，作 于点 ，根据 ， 得到 ， ，
从而得到 千米，利用勾股定理求得 两地之间的距离．
（2）连接 ，作 的垂直平分线角 于 ， 即为所求；设 千米，则 千米，分
别在 和 中，利用勾股定理表示出 和 ，然后通过 建立方程，解方程即可．
【知识迁移】根据轴对称 最短路线的求法即可求出．
【解答】解：【小试牛刀】 ，，
，
则它们满足的关系式为：
故答案为： ， ， ， ．
【知识运用】（1）如图2①，连接 ，作 于点 ，
， ，
， ，
千米，
（千米），
两个村庄相距41千米．
故答案为：41．
（2）如图2②所示：设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
解得 ，
即 千米．
【知识迁移】：如图3，
代数式 的最小值为： ．
【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称 最短路线问题以及线段的垂
直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．
25．我区的自然风光无限，最具特色的是青龙大峡谷（A）和文佛奇峰山（B），它们位于笔直的高速公路
同侧， ， ， 到直线 的距离分别为 和 ．
（1）方案一：旅游开发公司计划在高速公路 旁修建一服务区 ，并从服务区 向 、 两景区修建笔
直公路运送游客．公司选择较节省的方案（如图1：点 关于直线 的对称点是 ，连接 交直线 于
点 ， 到 、 的距离之和 ，求 ．
（2）方案二：在 ， 两景区之间有一条与高速公路 垂直的省级公路 ，且 到省级公路 的距离（如图 ．旅游开发公司打算在省级公路 旁修建一服务区 ，并从服务区 向 、 两景区
修建笔直公路运送游客．由于地形条件的限制， 只能选择图2的位置，通过测量得 ， 到 、
的距离之和 ．请你通过计算比较 ， 的大小．（参考数据：
【分析】（1）先根据勾股定理求出 的长，再利用点 关于直线 的对称点是 ，求证 ，
利用相似三角形对应变成比例求出 和 ，然后利用勾股定理分别求出 、 即可．
（2）过 点作 ，交公路 于 ，交 于 ，利用轴对称 最短线路问题求出 ，设 ，
根据勾股定理和已知条件 列出方程，求出 ，然后即可求得 ，从而可以比较比较 ， 的
大小．
【解答】解：由笔直的高速公路 同侧， ， ， 到直线 的距离分别为 和
．知， ，
，
点 关于直线 的对称点是 ，
， ，
，
，
，则 ，
，
，
，
答：（1） ；
（2）过 点作 ，交公路 于 ，交 于 ，
， ，
（已求出）， （已知），
，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
又 ，
，
解得 ，则 ，
．
，
．【点评】此题主要考查学生对轴对称 最短线路问题和勾股定理的应用等知识点．步骤繁琐有一定的拔高
难度，属于难题．
26．已知在 中， ，点 在线段 上，点 在射线 上，连接 ，作 交射线
于 ， ．
（1）如图1，当 时， 时，求 的大小；
（2）当 ， 时，
①如图2．连接 ，当 ，求 的长；
②若 ，求 的长．
【分析】（1）由平行线的性质求解 ，再利用三角形的外角的性质可得答案；
（2）①证明 ，可得 ，再利用勾股定理求解即可；
②如图，过 作 于 ，当 在 的右边时，利用勾股定理 ，可得
， 与 等 面 积 法 可 得 ， 可 得 ，，证明 ，从而可得答案；当 在 的左边时，如图，
同理可得答案．
【解答】解：（1） ， ，
，
， ，
；
（2）① ， ，
，
， ，
， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得： （负根舍去）；
②如图，过 作 于 ，当 在 的右边时，
， ，
， ，
，
，，
，
，
，
由（1）得： ，
而 ， ，
，
，
当 在 的左边时，如图，
同理可得： ， ， ，
；
综上： 或 ．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定
理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键．
