第十七章勾股定理（知识归纳+题型突破）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第十七章 勾股定理（知识归纳+题型突破） 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 知识点一、勾股定理 a，b c 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ， a2 b2 c2 那么 . 特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样 就将数与形有机地结合起来，达到了解决 问题的目的. a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab （3）理解勾股定理的一些变式： ， ， . 知识点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中 ，所以 . 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中 ，所以 . 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以 . 知识点三、勾股数 x2  y2  z2 满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以 x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. n2 1，2n，n2 1 n1,n 特别说明：（1） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； 2n2 2n,2n1,2n2 2n1 n （2） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； m2 n2,m2 n2,2mn mn,m、n （3） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； 知识点四、勾股定理的逆定理 a，b，c a2 b2 c2 如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 知识点五、如何判定一个三角形是否是直角三角形 c （1）首先确定最大边（如 ）. c2 a2 b2 c2 a2 b2 （2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若 c2 a2 b2 ，则△ABC不是直角三角形. a2 b2 c2 a2 b2 c2 特别说明：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中 c 为三角形的最大边. 知识点六、互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它 的逆命题.特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为 真命题，错误的命题我们称它为假命题. 【考点一 勾股树(数)问题】 例题：下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D． ， ， 【变式训练】 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各 组数中，是“勾股数”的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各组数是勾股数的是（ ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【考点二 用勾股定理解三角形】 例题：（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在 中， ， 是 的平分线， 于点E， ， ，求 的长． 【变式训练】 1．直角三角形的两直角边分别为 和 ，则斜边上的高为___________cm． 2．长方形 中，长 ，宽 ，点 为直线 上一点，当 为等腰三角形时， _______． 3．（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ．(1)若 ，求 的长； (2)若 ，求 的长． 【考点三 以直角三角形三边为边长的图形面积】 例题：如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若 ，则图中阴影部分的面 积为___________． 【变式训练】 1．如图，已知直角三角形 的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边 的长为______． 2．如图， 中， ，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为 ， ， ，已知 ， ，则 ______．【考点四 勾股定理的证明方法】 例题：如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A， ， 在同一条直线上， ， ， ， ． (1)填空： ______ ，根据三角形面积公式，可得 的面积 ______；根据割补法，由梯形的面 积减去阴影部分的面积，可得 的面积 ______． (2)求证： ． 【变式训练】 1．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼 成一个大正方形（如图2）． (1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足 ， ， ， ，求证（1）中的定理结论； (3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设 ， ，求正方形BDFA的面积．（用m，n 表示） 【考点五 勾股定理的实际应用】 例题：如图，一个长为 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为 米，梯子的顶端下滑 米后到达 点，底端也水平滑动 米吗？试说明理由． 【变式训练】 1．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉 绳子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆 的高度．2．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到 E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题： (1)根据题意可知：AC ．（填“ ”“ ”或“ ”） (2)若 米， 米， 米，求小男孩需向右移动的距离． 3．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强 的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C 为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且 ，过点 作 于点 ， 以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．(1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明 理由． 4.如图，是一块长、宽、高分别是 ， 和 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 处，沿着长方体的表面到长方体上和 相对的顶点 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？ 【考点六 用勾股定理构造图形解决问题】 例题：木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如左图所示，右 图为其示意图．若 ，线段 的长为15cm，线段 的长为20cm，试求出小木条 的最短长 度．【变式训练】 1．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高 ，云梯最多只能伸长到 ，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在 处完成从 高处救人后，然后前进到 处从 高处救人． (1) _________米， _________米； (2)①求消防车在 处离楼房的距离（ 的长度）； ②求消防车两次救援移动的距离（ 的长度）．（精确到 ，参考数据 ， ， ）2．如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后 沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门 A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，C，D，E在同一平面内），其中 米， 米， 米， 米． (1)求A，B两点的距离； (2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇 于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长． 【考点七 判断三边能否构成直角三角形】 例题：如图所示，已知 中， 于 ， ， ， ． (1)求 的长； (2)判断 的形状，并说明理由．【变式训练】 1．如图， ，垂足为D，且 ， ．点E从B点沿射线 向右以2个单位/秒的速度匀 速运动，F为 的中点，连接 ，设点E运动的时间为t． (1)当t为何值时， ； (2)当 时，判断 的形状，并说明理由． 2．已知 满足 ． (1)求 的值； (2)试问以 为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【考点八 在网格中判断直角三角形】 例题：如图，正方形网格的每个小方格边长均为 ， 的顶点在格点上． (1)直接写出 ______， ______， ______； (2)判断 的形状，并说明理由；(3)直接写出 边上的高 ______． 【变式训练】 1．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点 均在格点上． (1)求四边形 的面积， (2) 是直角吗？为什么？ 2．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1，点 ， ． (1)建立平面直角坐标系； (2)判断 的形状，并说明理由； (3)在 轴上找一点 ，当 最小时，此时 点坐标是 ．【考点九 利用勾股定理的逆定理求解】 例题：如图，在四边形 中， ， ， ， ． (1)求 的度数； (2)四边形 的面积为______． 【变式训练】 1．如图，在 中，点 是 边上一点，连接 ．若 ， ， ， 求 的 长． 2．如图，四边形 中，已知 ， ， ， ，且 ．求四边形 的 面积．【考点十 勾股定理逆定理的实际应用】 例题：在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某种原因， 由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直 线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米， 千米．求原来的路线 的长． 【变式训练】 1．为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮， 测得∠B=90°， ， ， ， ，如果种植草皮费用是200元/ ，那么共需 投入多少钱？ 2．某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点 的距离 ，以沙尘暴中心为圆心，周围 以内都会受到沙尘暴影响．(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响； (2)若沙尘暴中心的移动速度为 ，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？