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第十七章 勾股定理 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023上·河南新乡·八年级统考阶段练习）在 中， 的对边分别为a，b，c且
，则下列说法正确的是（ ）
A． 是直角 B． 是直角 C． 是直角 D．无法确定谁是直角
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可得 ，依此即可求解．
【详解】解：在 中， 的对边分别为a，b，c且 ，
则 ，
是直角三角形， ．
故选：A．
2．（2023上·河南周口·八年级校考期中）如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地
面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离 是（ ）米.
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题意可知，电线杆，钢缆和固定点A到电线杆底部B的线段，构成
了直角三角形，钢缆是斜边，根据勾股定理可求出解．
【详解】解：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段 构成的直角三角形的斜边，
又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米，∴ 米，
故选：C．
3．（2023上·甘肃酒泉·八年级统考期末）已知在 中， ， ， ，则
的长为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了用勾股定理解直角三角形，算术平方根的性质，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定
义及其在直角三角形中的表示形式．利用勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方即
可求解．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ．
故选：C．
4．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若
正方形 ， ， 的面积依次为 ， ， ，则正方形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够将勾股定理与几何之间的面积关系相结合是解题的关键．根
据勾股定理可知，以直角三角形斜边为边的正方形面积等于以直角三角形两直角边为边的正方形面积之和，
依照此可求出正方形 的面积．
【详解】解：由勾股定理可知： ，
，由勾股定理可知： ，
，
故选：A．
5．（2020上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在 中， ，点 在边 上， ，
平分 交 于点E，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理和等腰三角形“三线合一”的性质，先由勾股定理求解得到 的长度，根据
等腰三角形“三线合一”的性质可知 为 的中线，即可求解．
【详解】解：如图，在 中， ， ， ，
由勾股定理知： ．
， 平分 交 于点 ．
．
故选：C．
6．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考阶段练习）如图，一个底面为正六边形的六棱柱，
在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为 ,底面边长为 ,则这
圈金属丝的长度至少为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径问题，将六棱柱侧面展开，运用勾股定理求解即可
【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为 的长，
由勾股定理得， ，
故选：B．
7．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图：在等腰 中， ，点M，N在 上，
且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，把 沿
翻折至 ，连接 ， ，再得到 即可求解．
【详解】解：把 沿 翻折至 ，连接 ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， 即 ，
，
故选： ．
8．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图， 是 的中线， ， ，
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握相关定理性质，
根据题意，作正确的辅助线，是解答本题的关键．
过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，得到
， ，设 ，则 ，利用勾股定理得到 ， ，再根据等量关系，得到 ， ， ，最后再利用勾股定理得到答案．
【详解】解：过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，如图所示，
，
， ，
是 的中线，
，
在 和 中，
，
，
， ，
设 ，则 ，
在 中，
， ， ，
， ，
， ，
，
由勾股定理得： ，
即 ，解得： ，
故 ， ， ，
，
由勾股定理得：
，
．
故选： ．
9．（2024·上海普陀·统考一模）如图， 和 都是直角三角形， ， ，
、 相交于点 ，如果 ，那么 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质；过点 作
于点 ，证 是等腰直角三角形，得 ， ，设 ，则
，再由勾股定理得 ，然后求出 ，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
则 ，， ，
是等腰直角三角形，
，
设 ，
则 ，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
10．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）如图，在等边 中， 于点D，延长
到点E，使 ，F是 的中点，连接 并延长交 于点G， 的垂直平分线分别交 ，
于点M，点N，连接 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质和 ，可得 ，即 ，再根据三角形外角的性
质可得 ，再利用三角形内角和定理求得 ，即可判断①；设 ，根据直角三角
形的性质可得 ，从而可得 ， ，利用勾股定理求得 ，
，从而求得 ，即可判断②；如图，过点N作 于点H，连接 ，根据角平
分线的性质和线段垂直平分线的性质可得 ， ，从而证得 ，可
得 ，即可判断③；根据角的和差及等腰三角形的性质可判断④；利用勾股定理求得
，即可判断⑤．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，点F是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，故②正确；
如图，过点N作 于点H，连接 ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ 平分 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
由②可得， ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，在 中， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故④错误；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故⑤错误；
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性
质、勾股定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关
键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2023下·上海·八年级专题练习）正方形的对角线长为 ，则它的周长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的运用；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键，由正方
形的性质求出边长，即可得出周长．
【详解】解：如图所示：
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的周长 （ ）；
故答案为： ．
12．（2023上·上海青浦·八年级校考期中） 中， ， ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了含 度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据题意画出 图形，由 所对
直角边等于斜边的一半可知，斜边 ，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，由题意可知， 中， ， ，
故 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
13．（2024上·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，在边长为4的等边 中，点P为 边上任意一点，
于点B， 于点F，则 的长 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形面积的计算方法、勾股定理等知识，通过作辅助线，
根据三角形面积相等得出 是解题的关键．连接 ，作 交 于点 ，由
得 ，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，作 交 于点 ，
则 ，
即 ，
为等边三角形，
，
，
， ，
，
，，
故答案为： ．
14．（2023上·吉林四平·八年级校联考期末）如图，高速公路上有 、 两点相距 ， 、 为两村
庄，已知 ， ， 于 ， 于 ，现要在 上建一个服务站 ，使得 ，
两村庄到 站的距离相等，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查正确运用勾股定理，根据题意设出 的长为 ，再由勾股定理列出方程求解即可，善
于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【详解】解：设 ，则 ，
由勾股定理得：在 中， ，
在 中， ，
由题意可知： ，
，
解得： ，
应建在距 点 处，
故答案为： ．
15．（2023上·江苏南京·八年级校考期中）如图，B、C、D在同一直线上， ， ，
，则 的面积为 ．【答案】20
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意由
可证 ，得 ， ，再证 ，然后由勾股定理可求 的长，进
而利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
16．（2022上·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期末）在 中， 的对边
分别为a、b﹑c，下列条件中：① ；② ；③ ；④
．能判断 是符合条件的直角三角形的有 个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内
角和定理，逐项判断即可．
【详解】解：①由题意知， ，则 是符合条件的直角三角形，符合题意；
②由题意知， ，则 是直角三角形，但不是符合 的条件形，故不符合题意；③由题意知 ，则 是符合条件的直角三角形，符合题意；
④由题意知 ，则 是符合条件的直角三角形，符合题意；
即符合要求的只有3个，
故答案为：3．
17．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）如图，点 是某景点所在位置，游客可以在游客观光车站
或 处乘车前往，且 ，因道路施工，点 到点 段现暂时封闭，为方便出行，在 这条路上的
处修建了一个临时车站，由 处亦可直达 处，若 ．则路线 的长
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．先根据勾股定理
逆定理判断 是直角三角形，再根据勾股定理计算求解．
【详解】解： 是直角三角形．
理由如下：
， ， ，
， ， ，
，
是直角三角形；
，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得 ，．
故答案为： ．
18．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在 中， ， 点 是线段
上一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在点 处， 交 于点 ． 当 是直角三角形
时， 的长为 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理；分两种情况：当 时，
当 ；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：当 时，如图
，
设 ，
， ，
，，
由折叠性质得： ，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
；
当 ，如图
过点C作 ，垂足为H，
，
， ，
，
，
，
由折叠得： ，
， ，
，，
，
，
，
是 一个外角，，
，
，
，
，
，
，
综上所述 的长为1或
故答案为：1或 ．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（2023上·陕西西安·八年级西安市西光中学校考期中）如图，在 中， ，
求 边上的高 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明 是直角三角形，再利用直角
三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形就
是直角三角形”．
【详解】解： ，
，是直角三角形，
，
即 ，
．
20．（2022上·广东清远·八年级统考期末）如图所示， 的顶点 、 、 在边长为 的正方形网格的
格点上， 于点
(1)求 的长；
(2)请在图中以 为原点， 边为 轴建立平面直角坐标系，并写出 、 、 的坐标．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标
【分析】（1）利用勾股定理求出 的长度，根据 即可求 的长；
（2）根据题意建立平面直角坐标系，根据点的坐标特征写出 、 、 的坐标．
【详解】（1）解： ，
由勾股定理得： ，
，
解得： ；
（2）解：平面直角坐标系如图所示，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标 ．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系、勾股定理以及三角形的面积计算，根据勾股定理求出 是解题
的关键．
21．（2023上·浙江温州·八年级期末）如图，折叠等腰三角形纸片 ，使点C落在边 上的点F处，
折痕为 ．
(1)已知 ，则 度；
(2)如果 ，则 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折
叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
（1）由 ，折叠等腰三角形纸片 ，使点 落在边 上的点 处，可得 ，即得
，而 ，故 ；
（2）根据 ，得 ，设 ，则 ，在 中，可列
方程 ，即可解得 ．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵折叠等腰三角形纸片 ，使点 落在边 上的点 处，
，
，
，即 ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
设 ，则 ，
∵折叠等腰三角形纸片 ，使点 落在边 上的点 处，
，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
故答案为： ．
22．（2023上·海南海口·八年级校考期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的
长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一
个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ；
(2)线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
【答案】(1)图形见解析
(2)两点之间线段最短.
(3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，
解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接 即可；
（2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中 等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中 等于长方
形地毛毯的宽，根据勾股定理计算 的长即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的 ， ．
在 中，由勾股定理可得： ，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
23．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，点在线段 上，且 ，动点 从距 点 的 点出发，以每秒 的速度沿射线 的方向运
动，时间为 秒．
(1)求 的长．
(2)用含有 的代数式表示 的长．
(3)在运动过程中，是否存在某个时刻，使 与 全等？若存在，请求出 值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)当 时， ，当 时，
(3) 或
【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理，列代数式，全等三角
形的判定是解题的关键
（1）由勾股定理得， ，根据 ，计算求解即可；
（2）由题意知，当 重合时， ，则当 时， ，当 时，
；
（3）由 ， ，可知当 时， ，即 或
，分别计算求解即可，
【详解】（1）解：由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ 的长为 5 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴当 重合时， ，∴当 时， ，
当 时， ．
（3）解：存在某个时刻，使 与 全等，理由如下：
∵ ， ，
∴当 时， ，
∴ 或 ，
解得， 或 ，
∴满足条件的 的值为 或 ．
24．（2023上·吉林白城·八年级校考期末）如图①，在 中， ，G为三角形 外一点，且
为等边三角形．
(1)求证：直线 垂直平分 ；
(2)以 为一边作等边三角形 （如图②），连接 ， ．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角
形的判定和性质是解题的关键．
（1）由 ， 证明即可；
（2）证明 ，由全等三角形的性质证明 ，由勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明： 为等边三角形，
，
点G在 的垂直平分线上，又 ，
点A在 垂直平分线上，
直线 垂直平分 ；
（2）解： 和 为等边三角形，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
．
25．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以
下探究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片 中， ， ，将 沿 折叠，使点A与点B重合，折痕和
交于点E， ，求 的长；【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点C落在 处， 交 于E，若 ，
，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片 中， ， ，点E为射线 上一个动点，把 沿直线 折
叠，当点A的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)．
【答案】(1 ；(2 ；(3) 的长为 或10
【分析】（1）求出 ，再由折叠的性质得 ，然后由勾股定理求出 的长即
可；
（2）由长方形的性质得 ， ， ，再证 ，得 ，设
，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，①当点 在长方形内部时，由折叠的性质得 ， ，再由勾股定理得
，设 ，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点 在长方形外部时，折叠的性质得 ， ，同①得 ，设 ，则
，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1） ， ，
，
由折叠的性质得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的长为 ；
（2） 四边形 是长方形，
， ， ，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，解得： ，
即 的长为 ；
（3）解： 四边形 是长方形，
， ，
设线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
则 ，
分两种情况：
①如图 ，当点 在长方形内部时，
点 在线段 的垂直平分线 上，
， ，
由折叠的性质得： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
②如图 ，当点 在长方形外部时，由折叠的性质得： ， ，
同①得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
5
综上所述，点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为 或 ．
2
【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段
垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理
是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）【问题建立】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，当点 在一条直线上时，把 沿直线 折叠，点
的对应点 恰好落在线段 上． 判断线段 的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在等腰直角三角形 中， ，若 于点 ，且点 在直线下方，把 沿直线 折叠，点 的对应点 恰好落在线段 上．
【问题应用】
若 ，求 的长；
【问题迁移】
若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2）问题应用： ；问题迁移：
【分析】（1）通过证明 ，得出 ，结合等边三角形的性质，即可得出结论；
（2）问题应用：过点B作 于点H，根据折叠的性质得出 ，则 为等腰直
角三角形， ，求出 ， ，根据勾股定理求出 ，最
后根据 即可求解；
问题迁移：过点F作 于点G，设 ，则 ， ，根据
， ，求出 ， ，进而得出
，根据 即可求解．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：问题应用：过点B作 于点H，
∵ 沿直线 折叠得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，则 ，
根据勾股定理可得： ，
则 ，
整理得： ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ；
问题迁移：过点F作 于点G，
设 ，
∵ ， 沿直线 折叠得到 ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌
握相关性质定理，正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
