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第十七章 勾股定理全章题型总结【4 个知识点 14 个题型】
【人教版】
【知识点1 勾股定理】
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长
分别为a，b，斜边长为c，那么一定有 a 2 +b 2 =c 2 ，这种关系我们称为勾股定理.
2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，
斜边c叫做弦.
【题型1 勾股定理解三角形】
【例 1】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD 为 AB 边上的高，则 CD 的长为
（ ）12 24
A．2 B．5 C． D．
5 5
【变式1】如图，在△ABC中、AB=7cm，BC=5cm，AC=4❑√2cm，则△ABC的面积为（ ）
A．28cm2 B．14cm2 C．10❑√2cm2 D．14❑√2cm2
【变式2】如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4．
（1）求OC的长；
（2）求BD的长．
【变式3】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=❑√10+❑√2，BC=❑√10−❑√2，求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长；
（3）求AB边上的高CD的长．
【知识点2 勾股定理的验证】
勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积
之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下（1）弦图证明
A D H G
B C E F
内弦图 外弦图
∴ ∴
（2）“总统”法（半弦图）
C
c
D b
c
a
A b E a B
如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴
【题型2 勾股定理的验证】
【例1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能
证明勾股定理的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【例2】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为
49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝
49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④xy+4＝49；其中说法正确的是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【变式2】我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明．如图，从图1变换到图2，
可以用下列式子来表示的是（ ）
1 1
A．a2+b2+4× ab=c2 +4× ab
2 2
1
B．4× ab+(b−a) 2 =c2
2
1 1 1
C． (a+b) 2 =2× ab+ c2
2 2 2
1 1 1
D． (a+b) 2 =2×( ab+ c2 )
2 2 2
【变式2】下面图形中可以用来验证勾股定理的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式3】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵
爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为
a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（ ）A．❑√3 B．2 C．❑√6 D．2❑√3
【知识点3 勾股定理的逆定理】
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足 a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形
（1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边：
（2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方；
（3）比较二者是否相等；
（4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直
角三角形.
【题型3 判断一个三角形是直角三角形的条件】
【例1】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A﹣∠B＝90°；③AB：AC：BC＝1：3：❑√10；④
（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格
点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式1】若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中：①∠B＝∠A﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：❑√2：❑√3，则能判定△ABC是直角三角形的个数有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①a＝2mn，b＝m2﹣n2，C＝m2+n2（m＞n＞0），
② a＝2n+1，b＝2n2+2n+1，c＝2n2+2n（n＞0），③ a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0），④❑√a：❑√b：❑√c=1：❑√3：2，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网
格中找一格点Q，使线段a，b，PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型4 勾股定理的逆定理的应用】
【例1】如图，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m．
（1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（2）求该图的面积．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝AD＝2，BC=2❑√5，CD＝4．求∠ADC的度数．
【变式2】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝3，BD＝2.5，求AE的长．【变式3】如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线．
（1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数；
（2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12，求证：∠BAC是直角．
【知识点4 勾股数】
1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方.
3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数.
4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等.
【题型5 勾股数】
【例1】下列各组数据是勾股数的有（ ）
①5，12，13；
②0.3，0.4，0.5；
③4，7，5；
④1，2，❑√3．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【例2】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a
＝24时，b+c的值为（ ）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．162 B．200 C．242 D．288
【变式1】有下列说法：
①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形；
②∵三边长分别为1，2，❑√5的三角形是直角三角形，∴1，2，❑√5是勾股数；
③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数．
其中错误的有（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式2】当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．
（1）若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a＝n+7，c＝
n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
（2）当n是大于1的整数时，判断2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，并说明理由．
【变式3】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似
地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
【题型6 勾股定理与方程思想】
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝
5，求PA的长．
【变式1】如图，等腰三角形ABC中AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的面积．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分
线，求线段AD的长．
【变式3】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD为△ABC的中线，FE垂直平分AC交AD于点G，则AG＝ ．
【题型7 勾股定理与分类讨论思想】
【例1】已知△ABC中，∠A＝45°，AB=4❑√2，BC＝5，则AC＝ ．
【变式1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为射线BC上一点，当△ABD是以BD为
腰的等腰三角形时，CD的长为 ．
【变式2】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为 ．
【变式3】在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，BC＝6，CD＝2，点E在直线AC上，连接AD，
BE．当BE＝AD时，AE的长为 ．
【题型8 勾股定理与全等】
【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，BE⊥CD交AC于点E，若BE＝
3，则CD的长为（ ）
A．❑√3 B．3 C．2❑√3 D．3❑√3
【例2】在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点E，点D为BC中点，连接DE，∠BED
＝45°，DE=2❑√2，则AE＝ ．
【变式1】如图，四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接DE、BE，若∠BAD＝∠CED＝60°，
12❑√3
AB＝BD，DE：EC＝2：3，AC＝6，BE= ，BE⊥AC，则△BEC的面积＝ ．
7【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°，BC＝4，AB＝10，则对角
线BD的长是 ．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CE⊥BC，交线段BD于点E，AF⊥BD于点F，若
3
BC= AD，CE＝DE，AB＝BE，BF=❑√7，则线段DF的长为 ．
5
【题型9 勾股树衍生图与规律问题】
【例1】如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个
新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图
③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为
（ ）A．31 B．51 C．53 D．63
【变式1】有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且
三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图 2，如此继续“生长”下
去，则“生长”第k次后所有正方形的面积和为（ ）
A．k B．k+1 C．k2 D．（k+1）2
【变式2】如图，OP＝1，过点P作PP
1
⊥OP且PP
1
＝1，得OP 1=❑√2；再过点P
1
作P
1
P
2
⊥OP
1
且P
1
P
2
＝
1，得OP 2=❑√3；又过点P
2
作P
2
P
3
⊥OP
2
且P
2
P
3
＝1，得OP
3
＝2……依此法继续作下去，得OP
2024
＝（
）
A．❑√2022 B．❑√2023 C．❑√2024 D．❑√2025
【变式3】如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直
角三角形依次连接而成，其中∠MA
1
A
2
＝∠MA
2
A
3
＝⋯＝∠MA
n
A
n+1
＝90°，（n为正整数），若M点的
坐标是（﹣1，2），A 的坐标是（0，2），则A 的坐标为（ ）
1 8A．（4，﹣6） B．（6，﹣8） C．（8，﹣8） D．（7，﹣6）
【题型10 勾股树衍生图与面积问题】
【例1】勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC（∠ACB＝90°）的各边向外作正方
形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S ，
1
左下不重叠部分的面积记作S ，若S ＝3，则S 的值是（ ）
2 1 2
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【变式1】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S ，S ，S ，S 分别表示其对应
1 2 3 4
正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则S ﹣S +S ﹣S 的值为
1 2 3 4
．
【变式2】勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为
S ，S ，S ，若已知S ＝2，S ＝4，S ＝6，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积
1 2 3 1 2 3
为 ．
【变式3】如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大
正方形内，已知四边形CDEG的面积为4，则图中阴影部分面积为 ．
【题型11 勾股定理与新定义三角形】
【例1】如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，
（1）如图△ABC中，AB＝AC=❑√5，BC＝2，求证：△ABC是“美丽三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2❑√3，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
【变式1】定义：如果一个三角形中有两个内角 ， 满足 +2 ＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三
角形”． α β α β（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝ ．
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线．
①求证：△BDC为近直角三角形．
②求BD的长．
【变式2】定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”．
（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，求△ABC中AB边的“中偏度值”；
（2）在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上的高AD＝12，求△ABC中BC边的“中偏度值”．
【变式3】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形．
（1）①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （选填“是”或“不
是”）黑神话悟空三角形；
②若三角形的三边长分别是4，4❑√3，4❑√5，则该三角形 （选填“是”或“不是”）黑神话悟
空三角形；
（2）若Rt△ABC是黑神话悟空三角形，∠C＝90°，AC=3❑√2，求AB的长．
【题型12 勾股定理与立体图形最短路径问题】
【例1】如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=❑√17米，AB＝2米，点P到AF
的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A．3 B．4 C．5 D．6
【例2】如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长
方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）A．5❑√29cm B．25cm C．2❑√194cm D．4❑√41cm
5
【变式1】如图，圆柱底面半径为 cm，高为24cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在
π
同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A．2❑√41cm B．26cm C．30cm D．6❑√41cm
【变式2】如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个
相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（ ）
A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm
【变式3】有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 AD＝80cm，高AB＝50cm，水深AE＝
40cm，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且FG＝30cm，一只蚂蚁想从鱼缸
外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（ ）cm．
A．100 B．110 C．50❑√2+10 D．10❑√61【题型13 勾股定理与几何最值问题】
【例1】如图，在△ABC中，AB＝3，∠BAC＝30°，AC＝2，点O是△ABC内一点，则点O到△ABC三个
顶点的距离和的最小值是 ．
【例2】在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线
段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接AD，
CE，则AD+CE的最小值为 ．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝5，点D是AC边上的动点，点E是BC边上
的动点，且保持CD＝BE，则（AE+BD）2的最小值为 ．
【变式2】在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则
CD+BE的最小值 ．
20
【变式3】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC= ，D，E分别为射线BC与射线AC上的两动点，且
3
BD＝AE，连接AD，BE，则AD+BE最小值为 ．【题型14 勾股定理的实际应用】
【例1】中国高铁已经进入飞速发展的阶段，草原明珠——美丽的赤峰坡也如愿开通高铁，如图，高铁线
路MN和临潢大街PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学．AP＝120米．此时有一辆高
速列车在MN上沿PN方向以每秒6米的速度行驶，假设高速列车行驶时周围70米以内有噪音影响．
（参考数值：❑√13=3.61，❑√130=11.40）
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
【例2】港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长 55km，现有一艘游轮即将靠岸，
当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子BC
的长为13m．（假设绳子是直的，结果保留根号）
（1）若工作人员以1.5m/s的速度收绳．4s后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少m？
（2）若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到E点，工作人员手中的绳子被
收上来多少米？
【变式1】中国红色旅游博览会在于都举办，全国各地游客追随而来，纷纷走进长征源头、红色圣地于
都，开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在江西馆门口离地面一定高度的墙上 D处，装有一
个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口 2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出“于都欢迎
您”的语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等．
（1）请你计算迎宾门铃距离地面多少米？
（2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？
【变式2】【综合实践】
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，
如图，已知一架云梯AB长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离OB＝20m，∠AOB＝
90°．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面OA的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部 A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），
则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上，若AA′＝8m，求BB′的长度．
【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面24m的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．
1
经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安
5
全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被因人员？
【变式3】如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的
正东方向，A，C两岛的距离为20❑√2km，A，B两岛的距离为68km．
（1）求出B，C两岛的距离；
（2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域
都会受到台风影响），台风中心以 20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？
