文档内容
第十七章 勾股定理
勾股定理的应用（12大题型+17道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 求梯子滑落高度
考查题型二 求旗杆高度
考查题型三 求小鸟飞行距离
考查题型四 求大树折断前的高度
考查题型五 解决水杯中筷子问题
考查题型六 解决航海问题
考查题型七 求河宽
考查题型八 求台阶上地毯长度
考查题型九 判断汽车是否超速
考查题型十 判断是否受台风影响
考查题型十一 选址使到两地距离相等
考查题型十二 求最短路径
考查题型一 求梯子滑落高度
一、解答题
1．（2023上·河北保定·八年级统考期中）为进一步改善校园环境和面貌，消除校园安全隐患，提升校园环
境品质，完善基础设施建设，某学校利用暑假全力做好教学条件提升改造工程．如图，某教室外部墙面
上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子 完成维修工作．梯子的长度为 ，将其斜靠
在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处 ，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时的梯于顶部
D面最损处A相距 ．
(1)求教室外墙面破损处A距离地面 的高度；
(2)为了方便施工，需要将梯子底部向内移动至离墙角 处，求此时梯子顶部距离墙面破损处A的高度．
【答案】(1)4.6m；(2)0.6m．
【分析】本题考查勾股定理的应用；
（1）根据勾股定理求得 ，进而根据 ，即可求解；
（2）设 是梯子移动后的位置，利用勾股定理求出 ，则 ．
【详解】（1）解：由题意，得 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ．
答：该教室外墙面破损处A距离地面有 高．
（2）解：如图，此时 是梯子移动后的位置．
∵在 中， ， ．
∴由勾股定理，得 ．
梯子顶部与墙面破损处的距离为 ．
答：梯子顶部与墙面破损处 的距离为 ．
2．（2024·全国·八年级假期作业）如图，一架 长的梯子 斜靠在竖直的墙壁 上，这时梯子的底
端B到墙壁 的距离 ，当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点 时，底端B沿水平地面向外滑动到
点．当 时，线段 的长度与线段 的长度相等吗？你是怎样知道的？
【答案】线段 的长度与线段 的长度不相等，理由见解析．【分析】在 中，由勾股定理得到 ，即可得到 ，在 中，由勾股定理得到
，则 ，即可得到结论．
此题考查了勾股定理的应用，数形结合是解题的关键．
【详解】解：线段 的长度与线段 的长度不相等．
理由：在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的长度与线段 的长度不相等．
3．（2023上·江苏宿迁·八年级校联考期中）一架梯子 长 米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的
底端的距离 为 米．
(1)求梯子的顶端与地面的距离 ；
(2)如果梯子的顶端上升了 米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了 米？为什么？
【答案】(1) 米；
(2)梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了4．0米；原因见解析．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）根据勾股定理求出 的长即可；
（2）根据梯子的顶端上升 米后，梯子底部在水平方向移动的距离，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据勾股定理可得，梯子的顶端与地面的距离为：
（米），
答：梯子的顶端与地面的距离为 米．（2）解：梯子的顶端上升 米后，梯子的顶端与地面的距离为：
（米），
此时梯子的底部离墙的底端的距离为：
（米），
梯子底部在水平方向移动的距离为：
（米），
∵ ，
∴梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了 米．
4．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用等知识点，熟练利用勾股定理是解题关键．
（1）利用勾股定理直接得出 的长即可；
（2）利用勾股定理直接得出 的长，进而得出答案，【详解】（1）由题意得： 米， 米，
（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： 米，
（米），
则： （米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
5．（2024上·辽宁辽阳·八年级统考期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消
防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援
的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到 米（即
米），消防车高 米，救人时云梯伸长至最长，在完成从 米（即 米）高的 处救人后，
还要从 米（即 米）高的 处救人，这时消防车从 处向着火的楼房靠近的距离 为多少
米？
【答案】 米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出 、 的长，即可解决问题，熟练掌握勾股定理
是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， 米，
∵ 米， 米，
∴ 米， 米，
在 中， 米，
在 中， 米，∴ 米，
答：这时消防车从 处向着火的楼房靠近的距离 为 米．
考查题型二 求旗杆高度
一、解答题
1．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）学过《勾股定理》后，某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆
的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳
子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为6米（如图2）．
(1)若旗杆的高度 米，那么绳子的长度可以表示为________米（用含x的代数式表示）
(2)求旗杆 的高度．
【答案】(1)
(2)旗杆 的高度为9米
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．
（1）由题意即可得出结论；
（2）在 中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：旗杆的高度 米，则绳子长为 米，
故答案为： ；
（2）解：在 中， 米， 米， 米，
由勾股定理得： ，
解得： ，
答：旗杆 的高度为9米．
2．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，小明想要测量旗杆 的高度（已知旗杆直立于地面，即
），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆 的高度．
【答案】旗杆 的高度为12米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用．设 ，则 ， ，由勾股定理得
，求得 ，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：设 ，则 ， ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，即 ，
由勾股定理得 （米），
答：旗杆 的高度为12米．
3．（2023上·陕西渭南·八年级统考期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端
的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决
这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离 米，如图2．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处 ，作 垂直 于
点 ．(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度 ；
(2)在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离 米，求此时绳结到地面的高度 ．
【答案】(1)旗杆的高度为7.5米
(2) 米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答；
（2）由题可知， 米， 米．在 中根据勾股定理列出方程 ，
求出 ，进而求解即可．
【详解】（1）解：如图2，设旗杆的长度为 米，则绳子的长度为 米，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
故旗杆的高度为7.5米；
（2）由题可知， 米， 米．
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
米，
米
故绳结离地面1.5米高．
4．（2024上·甘肃酒泉·八年级校联考期末）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离 ）时，秋千的踏板离地的垂直高度 ，秋千
的绳索始终拉得很直，求绳索 的长度．
【答案】绳索 的长度是2.12米
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，表示出 的长，列出
．
【详解】解：设秋千的绳索长为 ，根据题意可得，
,
，
在 中， ，
，
解得： ，
绳索 的长度是2.12米．
考查题型三 求小鸟飞行距离
一、单选题
1．（2024上·福建宁德·八年级统考期末）如图，有两棵树，一棵高20米，另一棵高10米，两树相距24
米，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A．26米 B．30米 C．36米 D．40米
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行
直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图建立数学模型，则 ， ，则 ，
两棵树的高度差 ，
间距 ，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 ，
故选：A．
二、填空题
2．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图，在一棵树的10米高的 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，
一只猴子爬下树跑到 处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶 后直接跃到 处，距离以直线计算，
若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
【答案】15
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设 米，则
米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得 米，然后在 中，利用勾股
定理列式并求解，即可获得答案．
【详解】解：根据题意， 米， 米，
设 米，则 米，
∵两只猴子所经过的距离相等，
∴ ，即 ，∴ 米，
在 中，可有 ，
即 ，
解得 ，
∴ 米，
即这棵树高15米．
故答案为：15．
三、解答题
3．（2022上·江苏·八年级校考竞赛）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的
池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘
的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？
【答案】树高为9米．
【分析】由题意知 ，设 米，则 米，且在 中
，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解．
【详解】解：由题意知 ，且 米， 米，
设 米，则 米，
在 中： ，
即 ，
解得 ，
故树高为 米．
答：树高为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到 的等量关系，并根据
勾股定理 求解是解题的关键．4．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，
某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 ，他们进行
了如下操作：
①测得 的长度为8米；（注： ）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高 米；
(1)求风筝的垂直高度 ．
(2)若王明同学想让风筝沿 方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1) 米；
(2)7米．
【分析】（1）利用勾股定理求出 的长，再加上 的长度，即可求出 的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在 中，
由勾股定理得， ，
所以， （负值舍去），
所以， （米），
答：风筝的高度 为 米；
（2）解：连接 ，由题意得， 米，，
（米），
（米），
他应该往回收线7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形．
考查题型四 求大树折断前的高度
一、单选题
1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，一棵树在离地面 处折断，树的顶部落在离底部 处．
树折断之前高（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和
等于斜边的平方，求出斜边的长，进而可求出树折断之前的长度．
【详解】解：有勾股定理得：∵ ，
∴ （米）．
∴树折断之前有18米．
故选：D．二、填空题
2．（2024上·上海浦东新·八年级校考期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一
道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图 中，
， 与 的和为10尺， 为3尺，求 的长， 尺．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设 尺，则 尺，在 中，由勾股
定理得 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设 尺，则 尺，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 尺，
故答案为： ．
三、解答题
3．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）有一棵高 的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离
．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车， 的距离为 ，求 的距离（点B为
大树顶端着地处）．【答案】 的距离（点B为大树顶端着地处）为
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解
题关键．
【详解】解：由图可知 ， 为直角三角形，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
答： 的距离（点B为大树顶端着地处）为 ．
4．（2023上·河北保定·八年级校考期中）如图，一根直立的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点C处折断，顶
部B着地且离旗杆底部A的距离为 ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断（即求 的长度）．
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方 的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，
若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部 米处是否有被砸伤的风险？
【答案】(1)
(2)有危险，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，
（1）根据题意， ，结合 ，代入计算即可．
（2）根据 ， ，得到 ，求得 ，根据勾股定理求出 的长，比较后判断
即可．【详解】（1）根据题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故 的长度为3米．
（2）根据(1)得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
且 ，
∴ ，
故有危险．
5．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断 ，树顶
落在离树根 处，工作人员要查看断痕 处的情况，在离树根 有 的 处架起一个长 的梯子
，点 在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出 ，再由勾股定理求出 ，最后由
这棵树原来的总高度为 ，进行计算即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解： ，
，， ，
，
，
，
这棵树原来的总高度为： ．
考查题型五 解决水杯中筷子问题
一、填空题
1．（2023上·福建泉州·八年级泉州七中校考阶段练习）如图，将一根长 的筷子，置于底面直径为
，高 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，构造出直角三角形即可求解．
【详解】解：筷子露在杯子外面的最短长度即筷子在杯子里面的长度最长，即筷子，圆柱的高，圆柱的直
径正好构成直角三角形．如下：
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线断的长度，即 ，
∴筷子露在杯子外面的最短长度是 ．
故答案为:5.
2．（2023上·内蒙古包头·八年级包钢第三中学校考期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道
有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根新
生的芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为 尺．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用．根据题意，构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即
可．
【详解】解：如图：设芦苇 长为 尺，则水深 为 尺．
∵芦苇长在水池中央，
（尺）
根据勾股定理得： ，
则： ，
解得： ，
答：芦苇长 尺．
故答案为： ．
二、解答题
3．（2023上·云南文山·八年级统考阶段练习）如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇 生长在
它的中央，高出水面部分 为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B
恰好碰到岸边的 ，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的的长度各是多少？【答案】池塘水深12尺，芦苇高13尺
【分析】根据题意得 ，由图可知 是直角三角形， ，设池塘水深 尺，则芦苇
高 尺，根据勾股定理列出方程 ，解方程即可得出答案．
【详解】解：设池塘水深 尺，则芦苇高 尺，
根据题意得 ， 是直角三角形，
，
，
解方程，得 ，
∴芦苇高为： (尺)，
答：池塘水深12尺，芦苇高13尺．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．
4．（2023上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，一个直径为 （即 ）的圆柱形杯子，在
杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外 （即 ），当筷子 倒向杯壁时
（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子 的长度．
【答案】【分析】设杯子的高度是 ，则筷子的高度为 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，
根据勾股定理列出方程是解题的关键．
【详解】解：设杯子的高度是 ，则筷子的高度为 ，
∵杯子的直径为 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
解得 ，
∴筷子 ．
答：筷子 的长度为 ．
5．（2023上·河北邯郸·八年级统考期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面 ．大风吹过，
红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 ，则水深是多少？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水深 厘米，则 ， ， ，利用勾股定理
计算即可．
【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h厘米，由题意得： 中， ， ，
，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得 ．
答：水深是
考查题型六 解决航海问题
一、单选题
1．（2023上·陕西榆林·八年级校联考期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海
里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两
艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （ ）
A． 海里/时 B．20海里/时 C． 海里/时 D． 海里/时
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的应用，设它们离开港口 2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，
由题意可得 ， 的长，再利用勾股定理求出 的长，根据速度 路程 时间可得答案．熟练掌握方
向角的定义、勾股定理是解答本题的关键．【详解】解：设它们离开港口 2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，
由题意得， ， (海里)， (海里)，
由勾股定理得，OA (海里)，
∴乙轮船的平均速度为 2 (海里/时)．
故选：D．
二、解答题
2．（2023上·重庆·八年级校联考期中）如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时
绳子 的长度为 的3倍．
(1)求此时船离岸边 的长；（结果保留根号）
(2)若此人以 米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点 的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳
子是直的，结果精确到 米，参考数据： ， ）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，
（1）根据勾股定理即可得出 的长；
（2）根据收绳的速度与时间得出收起绳的长度，即可得出 的长，再根据勾股定理求出 的长即可得
出结果．
熟记勾股定理是解题的关键．
【详解】（1） 开始时绳子 的长度为 的3倍．
米，（米 ；
（2）如图，连接 ，
此人以0.5米 秒的速度收绳，12秒后船移动到点 的位置．
船移动到点 的位置时绳长 （米 ，
（米 ，
船向岸边移动的距离为 （米 ，
答：船向岸边移动了大约6.5米．
3．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）一辆轿车从 地以 的速度向正东方向行驶，同时一辆
货车以 速度从 地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达 走向公路上的 两地．
(1)求 两地的距离；
(2)若要从 地修建一条最短新路 到达公路 ，求 的距离．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了方位角、勾股定理的应用等知识，解题的关键是：
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）根据等面积法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ， ， ，
∴ ，
即 两地的距离为 ；（2）解：根据等面积法知： ，
即 ，
∴ ，
即 的距离为
4．（2023上·宁夏银川·八年级校考期中）如图，一艘货轮在上午8：00时位于A处，沿A到B的方向航行，
10：00时该货轮位于B处，求该货轮航行的速度．
【答案】25海里/小时
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出 ，则 代表的实际距离为
海里，再根据速度 路程 时间进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴该货轮航行的速度为 海里/小时．
5．（2023上·广东深圳·八年级深圳大学附属中学校考期中）港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门
的跨海大桥，总长 ，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为 的
岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子 的长为 ．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以 的速度收绳． 后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少 ？
(2)若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
【答案】(1)游轮距离岸边还有
(2)绳子被收上来
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的
示意图，领会数形结合的思想的应用；
（1）在 中，运用勾股定理算出 ，根据题意得出 ，再在
中运用勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理算出 即可求解；
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵此人以 的速度收绳， 后船移动到点 的位置，
∴ ，
∴ 中， ，
∴游轮距离岸边还有 ．
（2）解：由题知， ，
∴ ，
∴绳子被收上来 ．
6．（2023上·福建三明·八年级统考期中）如图，一艘轮船由 港口沿着北偏东 的方向航行 到达
港口，然后再沿北偏西 方向航行 到达 港口．(1)求 ， 两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2) 港口在 港口的什么方向上？
【答案】(1)
(2) 港口在 港口的南偏西 的方向上
【分析】本题考查了勾股定理的应用和方向角；
（1）由题意得 ，由勾股定理，从而得出 的长；
（2）由（1）可得 ，求出 即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
根据勾股定理，知 ．
答：A、C两港之间的距离是 ；
（2）由（1）知， 是等腰直角三角形，且 ，
∴
∴ ,∴ 港口在 港口的南偏西 的方向上．
考查题型七 求河宽
一、单选题
1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图，湖的两岸有A，C两点，在与 成直角的 方向
上的点C处测得 米， 米，则A，C两点间的距离为（ ）
A．3米 B．6米 C．9米 D．10米
【答案】C
【分析】由勾股定理求出 的长即可．
【详解】由题意得： ，
即A，C两点间的距离为 米，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出 的长是解题的关键．
二、解答题
2．（2023下·浙江台州·八年级统考期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与 方向成直角的 方向
上一点，测得 ．求A，B两点间的距离．
【答案】A，B两点间的距离是
【分析】直接由勾股定理求出AB的长即可．
【详解】解：由题意可知， ，∴ ，
答：A，B两点间的距离是 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出 的长．
3．（2022上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，湖中心的点 处有一棵树，王晶想测
量这棵树与湖边缘A之间的距离 ，她在湖外的点 处用测角仪测得 的度数，并在 处做好标记，
在A处测得 的度数，恰好发现 ．若已知 米， 米，请你求出这棵树
与湖边缘A之间的距离 ．（结果保留根号）
【答案】 米
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据 ，得到 为直角三角形，利用勾
股定理即可求出 ．
【详解】解： ，
为直角三角形，且 ，
，
米， 米，
米，
答：这棵树与湖边缘A之间的距离 为 米．
4．（2024上·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，明明在距离河面高度为 的岸边C处，用长为
的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳 后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？
【答案】向岸A移动了9米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到 ，分别根据勾股定理求出 ，，即可求出 ．
【详解】解：由题意得 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ．
答：船向岸A移动了9米．
5．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着
绳子另一端向右走，绳端从点 移动到点 ，同时小船从点 移动到点 ，且绳长始终保持不变，回答下
列问题：
(1)根据题意，可知 ________ （填“ ”“ ”“ ”）；
(2)若 米， 米， 米，求男孩需向右移动的距离 （结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)男孩需向右移动的距离为 米
【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出 、 的长，然后根据 即可求解．
【详解】（1）解： 的长度是男孩未拽之前的绳子长， 的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长
始终保持不变，
，
（2）解：连接 ，则点 、 、 三点共线，在 中， （米 ，
（米 ，
在 中， （米 ，
，
（米 ，
男孩需向右移动的距离为 米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出 、 的长是解题的关键．
6．（2023下·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考阶段练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂
直的路线 横渡，由于受水流的影响，实际沿着 航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果
发现 比河宽 多10米．
(1)求该河的宽度 ；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
【答案】(1) 米
(2)航行总时间为67.5秒
【分析】（1）根据题意可知 为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边 的距离．
（2）根据时间 路程 速度，求出行驶的时间即可．
【详解】（1）解：设 米，则 米，
在 中，根据勾股定理得：
，
解得： ，
答：河宽240米．
（2）解： （秒），
（秒），（秒），
答：航行总时间为67.5秒．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．
考查题型八 求台阶上地毯长度
一、单选题
1．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）如图，在一个长为 ，宽为 的长方形草地上放着一根长
方体木块，已知该木块的较长边和场地宽 平行，横截面是边长为 的正方形，若点A处有一只蚂蚁，
它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平面展开 最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想
象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾
股定理求解．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是 个正方形的边长，
∴长为 米；宽为 米．
于是最短路径为： 米．
故选：B．
二、填空题
2．（2023下·安徽宣城·八年级校考期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合
唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为 ，则购买这种地毯至少需要 元．
【答案】2100
【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，
然后可得答案．
【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边 ，
所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，
所以需要地毯的总长度为 ，
所以需要地毯的总面积为 ，
所以购买这种地毯至少需要 元，
故答案为：2100．
【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边
的长，竖直部分的和是竖直边的长．
三、解答题
3．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高 、长 、宽 的楼
道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
【答案】1020
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 与 的和，在直角 中，根据勾股定理
即可求得 的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【详解】解：由勾股定理得 ，则地毯总长为 ，
则地毯的总面积为 （平方米），
所以铺完这个楼道至少需要 （元）．
故答案为：1020．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
4．（2022上·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高 ，棚宽 ，棚
的长为 ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【答案】 平方米
【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜．
【详解】解：棚高 ，棚宽 ，设棚顶的宽为b，
则 ，
棚的长d为 ，
∴ ．
【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键．
考查题型九 判断汽车是否超速
一、填空题
1．（2023上·广东茂名·八年级校考期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行
驶到路对面车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ，
则这辆小汽车的速度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在 中，根据题意 ，勾股定理求得 ，再
根据路程除以时间等于速度，即可求解．
【详解】解：依题意，在 中， ， ；据勾股定理可得： ，
故小汽车的速度为 s．
故答案为： ．
二、解答题
2．（2023上·陕西·八年级校考期中）如图，一辆小汽车在一条限速 的街路上沿直道行驶，某一时
刻刚好行驶到路面车速检测仪 的正前方 处的 点，过了 后，测得小汽车所在的 点与车速检测仪
之间的距离为 ．
(1)求 ， 间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)没有超速，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案．
（2）先根据B，C间的距离求得小汽车在 内行驶的速度，再和限速40比较大小即可．
【详解】（1）在 中，
， ，且 为斜边，
，
答： ， 间的距离为 ；
（2）这辆小汽车没有超速．
理由： ，平均速度为： ， ，
，
这辆小汽车没有超速．3．（2023上·全国·八年级期末）某条高速公路限速 ，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，
某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 ，大巴车到达 处，此时测得大
巴车与车速检测仪间的距离为 ．
(1)求 的长．
(2)这辆大巴车超速了吗？
【答案】(1)
(2)超速了
【分析】（1）本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．
（2）本题用路程除以时间求出速度，再与限速进行比较即可解题．
【详解】（1）解：由题意知， 是直角三角形， ， ，
( )，
即 长为 ．
（2）解：大巴车的速度为： （ ）， （ ），
，
这辆大巴车超速了．
4．（2022下·湖北宜昌·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学
在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为 的P处．这时，一辆
红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为 ，并测得 ，
，
(1)求AP的长？(2)试判断此车是否超过了 / 的限制速度？（ ）
【答案】(1)AP的长为200m
(2)此车超过了80 / 的限制速度
【分析】（1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据勾股定理可得 ，再由等腰直角三角形的判定可得 ，可求出 ，
即可求解．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解：在 中， ，
，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴此车超过 的限制速度．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股
定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米
的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路 （点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该
如何修路（请在图中画出）？新路 长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A
中学170米．一辆车经过 区间用时5秒，若公路l限速为 （约 ），请判断该车是否超速，
并说明理由．
【答案】(1)见解析，80米
(2)超速，见解析
【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出 ，然后利用勾股定理可求出新路
长度；
（2）先根据勾股定理求出 的长，再求出 的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）过点A作 ，交l于点D．
，
在 中， ，
由勾股定理得，
新路 长度是80米．
（2）该车超速
在 中， ，
由勾股定理得
，
该车经过 区间用时
∴该车的速度为
该车超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两
直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用
勾股定理进行求解．
6．（2023上·宁夏银川·八年级银川一中校联考期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车
在城街路上行㧒速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚
好行驶到路面对车速检测仪 正前方60米 处，过了5秒后，测得小汽车 与车速检测仪 间距离为100
米，这辆小汽车超速了吗？
【答案】这辆小汽车没有超速
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出 的长，直接求出小汽车的时速，进而比
较得出答案．
【详解】解：在 中，
米， 米，且 为斜边，米，
（米/秒）
，
，
这辆小汽车没有超速．
考查题型十 判断是否受台风影响
一、解答题
1．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣
讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，
防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路 的一侧
点A处有一村庄，村庄A到公路 的距离AB为800米，若宣讲车周围1700米以内能听到广播宣传，宣
讲车在公路 上沿 方向行驶．
(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
【答案】(1)村庄A能听到宣传，理由见解析；
(2)村庄A总共能听到15分钟的宣传．
【分析】（1）直接比较村庄A到公路 的距离和 广播宣传距离即可；
（2）过点A作 于点 ，利用勾股定理运算出广播影响村庄的路程，再除以速度即可得到时间．
【详解】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路 的距离为800米 1700米，
∴村庄A能听到宣传；
（2）解：如图：过点A作 于点 ，假设当宣讲车行驶到 点开始影响村庄，行驶 点结束对村庄的影响，
则 米， 米，
∴ （米），
∴ 米，
∴影响村庄的时间为： （分钟），
∴村庄A总共能听到15分钟的宣传．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，勾股定理，仔细审题获取相关信息合理作出图形是解题的关键．
2．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，
使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即
以台风中心为圆心， 为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段 是台风中心从 市向西
北方向移动到 市的大致路线， 是某个大型农场，且 ．若 之间相距 之间相距
．
(1)判断农场 是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析
(2)台风影响该农场持续时间为
【分析】（1）勾股定理求出 ，过点 作 ，垂足为 ．根据面积法求出 ，判断即可；
（2）假设台风在线段 上移动时，会对农场 造成影响，得 ，由勾股定理，可得 的长度，再除以速度即可得到时间．
【详解】（1）解：会受到台风的影响．
理由：如图1，过点 作 ，垂足为 ．
图1
因为在 中， ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，所以农场 会受到台风的影响．
（2）如图2，假设台风在线段 上移动时，会对农场 造成影响，
图2
所以 ，由勾股定理，可得
，
因为台风的速度是 ，所以受台风影响的时间为 ．
答：台风影响该农场持续时间为 ．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾
股定理进行计算是解题的关键．
3．（2023上·辽宁丹东·八年级统考期中）如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点 飞向点 ，在直线
的正下方有一个着火点 ，且点 与 两点的距离分别为 和 ，又 两点距离为 ，
飞机与着火点距离在 以内可以受到洒水影响．
(1)请通过计算说明，着火点 是否受洒水影响；
(2)若救火飞机的速度为 ，要想扑灭着火点 估计需要13秒，请你通过计算说明在救火飞机从点
飞到点 的过程中，着火点 能否被扑灭．
【答案】(1)着火点 洒水影响，见解析
(2)着火点 能被扑灭，见解析
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，
（1）过点 作 ，垂足为 ，勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，进而等面积法求得
长度，与500进行比较即可求得答案；
（2）以点 为圆心， 为半径作圆，交 于点 ，勾股定理求得 ，进而求得 的长，根据飞
机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点 作 ，垂足为 ，
， ， ，
， ，，
是直角三角形，
，
（米），
，
着火点C受洒水影响
（2）解：如图，当 时，飞机正好喷到着火点 ，
，
，
在 中， ，
，
飞机的速度为 ，
（秒），
14秒 13秒，
着火点 能被扑灭，
答：着火点 能被扑灭．
4．（2024上·重庆北碚·八年级统考期末）如图，某海港 的正东方向 海里处有一海岛 ，气象站发现
在海岛 的正南方向 海里的 处有一台风中心，测得它正以 海里/小时的速度沿 方向向海港 运
动，以台风中心为圆心，周围 海里以内为受影响区域．
(1)通过计算说明海岛 会受台风影响吗？(2)求出台风中心同时影响海港 和海岛 的时长．
【答案】(1)海岛 会受台风影响 理由见解析
(2) 小时．
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用
勾股定理解答．
（ ）依据三角形中三边的关系确定 的度数；
（ ）利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而利用三角形面积得出 的长，进而得出海港
是否受台风影响；利用勾股定理得出 以及 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解： 港受台风影响，
过点 作 ，
∵
∴ ，
， ，
∴ ；
是直角三角形，
，
，
海里 ，
，以台风中心为圆心周围 海里以内为受影响区域，
海岛 受台风影响；
（2）解：∵∴
∴当 海里时，台风中心正好开始同时影响海港 和海岛 ，
当 海里时，台风中心正好结束同时影响海港 和海岛 ，
∴ 海里
海里，
海里，
台风的速度为 海里/小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
考查题型十一 选址使到两地距离相等
一、单选题
1．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点 知道校车自
点 处沿 轴向原点 方向匀速驶来，去截汽车．若点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则小蓓最快
截住汽车的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，根据题意画出图形的能力．在 点小蓓与汽车相遇，则
小蓓的行进路线为 ，设 ，在 中， 为斜边，已知 ， ，即可求 ，且
，根据 的等量关系可以求得 ，即可求相遇点 的坐标．找到 并
且根据其求 点坐标是解题的关键．
【详解】解：如图，设在 点小蓓与汽车相遇，且设 ，过点 轴，
∴ ， ，
∵ 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ， ， ， ，
，在 中，
∴ ，
解得： ，
∴点 坐标为 ．
故选：C．
二、解答题
2．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，某社区要在 所在的直线上建一图书室，点 和点
为社区附近的两所学校，作 于点 ， 于点 ，已知 ， ，
．(1)尺规作图：要求图书室 到两所学校的距离相等，请在图中作出点 ；
(2)在（1）的条件下，求 的距离．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）作出线段 的垂直平分线，与线段 的交点即为所求点 ；（2）利用 ，结合
勾股定理建立等量关系即可求解．
【详解】（1）解：作图如下，点E为所求；
（2）解：连接EC，ED，
设 ，则 ．
∵ ， ，
又∵ ，∴ ．
∴ ．
解得 ．即 的距离为 ．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的尺规作图及性质，勾股定理等知识点．掌握相关结论是解题关键．
3．（2023上·山东菏泽·八年级统考阶段练习）两根电线杆 、 ， ， ，它们的底部
相距 ，现在要在两根电线杆底端之间 线段 上 选一点 ，由 分别向两根电线杆顶端拉钢索 、
，若使钢索 与 相等，那么点 应该选在距点 多少米处？【答案】E点应该选在距B点 的地方．
【分析】首先设 ，则 ，根据勾股定理构建方程，从而得出 的值．
【详解】解；由题意可得： ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴
解得：
答：E点应该选在距B点 的地方．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关
键．
4．（2022上·陕西汉中·八年级统考期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，现要在 上建造一个供应站P，使
得 ，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出 的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式 （其中 ）最小
值为 ．
【答案】(1) ；
(2)P点的位置见解析， 的距离为16千米；
(3)15．【分析】（1）连接 ，作 于点E，根据 ， 得到 ， ，由平
行线间的距离处处相等可得 千米， 千米，求出 ，然后利用勾股定理求得CD
两地之间的距离；
（2）连接 ，作 的垂直平分线交 于P，根据线段垂直平分线的性质可得 ，点P即为所求；
设 千米，则 千米，分别在 和 中，利用勾股定理表示出 和 ，
然后根据 建立方程，解方程即可；
（3）如图3， ， ， ， ， ，设 ，
则 ，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，作 于点E，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 千米， 千米，
∴ 千米，
∴ （千米），
即两个村庄的距离为 千米，
故答案为： ；
（2）解：如图2，连接 ，作 的垂直平分线交 于P，点P即为所求，
设 千米，则 千米，在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
即 的距离为16千米；
（3）解：如图3， ， ， ， ， ，设 ，
则 ，
作点C关于 的对称点F，连接 ，过点F作 于E，
则 是 的最小值，即代数式 的最小值，
∵ ， ， ，
∴代数式 最小值为： ，
故答案为：15．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中
构造出 是解本题的难点．
5．（2023上·山东青岛·八年级校考期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略
是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距 ，C、D为两村庄， 于A，
于B，已知 ，现在要在公路 上建一个土特产品市场E，使得C、D两
村庄到市场E的距离相等．(1)求市场E应建在距A多少千米处？
(2)此时 的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明．
【答案】(1)20
(2)等腰直角
【分析】本题考查了勾股定理的运用；
（1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得 ，根据勾股定理列方程计算即可；
（2）证明 即可判断 为等腰直角三角形．
【详解】（1）设 ，则 ，
∵ 于A， 于B，已知 ，
∴ ， ，
∵C、D两村庄到市场E的距离相等，
∴ ，
∴ ，
解得 ，即
∴市场 应建在距 千米处；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
6．（2023上·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）两个村庄C、D在河 的同侧，已知 ，C、D两村到河的距离分别为 ， ．现在要在河边建一水厂，向C、D两村送自来水，
铺设水管的费用为每千米2万元，请在 上选择水厂位置E，使水厂到两村庄距离相等．
(1)请用圆规和直尺在图中作出水厂E的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求铺设水管的总费用．
【答案】(1)见解析
(2)铺设水管的总费用80万元．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，垂直平分线的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）连接 ，根据题意作出 的垂直平分线交 于点E，即为所求；
（2）设 ，则 ，首先根据勾股定理列方程求出 ，然后利用勾股定理求出
，进而求解即可．
【详解】（1）如图所示，点E即为所求；
（2）设 ，则
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴
解得∴
∴
∴ ，
∴ （万元）．
∴铺设水管的总费用80万元．
考查题型十二 求最短路径
一、单选题
1．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为 ，底面半圆直径
为 ，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路
程是多少（ 取3）（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】D
【分析】此题考查平面展开-最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将半圆柱的侧面展开，进而根据
“两点之间线段最短”通过勾股定理得出结果．
【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形，
其中 为半圆的弧长 ， 为半径的长 ， ，
根据勾股定理可得 ，
故爬行的最短路程为 ．
故选：D2．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，P是长方形 内部的动点， ， ，
的面积等于 ，则点P到 、C两点距离之和 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】先根据三角形的面积求出 中 边上的高，过 作 的平行线 ，找点 关于直线 的对
称点 ，推出 的最小值即为 的长即可．
【详解】解：设 中 边上的高是 ．
， ，
，
，
动点 在与 平行且与 的距离是3的直线 上，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，
则 ，
的最小值就是 的长，
与 关于直线 对称，
，
四边形 是矩形，
，
， ，
，故选：C．
【点睛】本题考查轴对称 最短路线问题，解答时涉及三角形的面积、轴对称的性质、线段和最短问题，
将两条线段和最短的问题转化为一条线段的长是解题的关键．
二、填空题
3．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校联考期中）如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为
9cm，7cm，5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．
【答案】15
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可分展开前面和右面，展开
前面和上面，展开左面和上面三种情况进行分类求解即可
【详解】解：当展开前面和右面时，最短路线长 ；
当展开前面和上面时，最短路线长 ；
当展开左面和上面时，最短路线长 ，
∵ ，
∴它所走的最短路线的长是15cm，
故答案为：15．
4．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）小明求代数式 的最小值时，采用如下方法：
如图，在同一直角坐标平面内，设 为 轴上的一个动点，选取点 和 ，根据两点的距离
公式得 ， ，通过构造，将求代数式的最小值转化为求 的最小值，
由此小明求出 的最小值等于 ．【答案】5
【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是是点
M到点 的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出 的长即可，正确转化代数式为两点之间距
离问题是解题关键．
【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点 的距离之和的最小值，可作B点关于x轴
的对称点 ，连接 ，此时 的长即为所求代数式的最小值，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ 的最小值等于5 ，
故答案为：5．
5．（2023下·天津·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离
杯底 的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁
到达蜂蜜的最短距离为 ．【答案】
【分析】将杯子侧面展开，作A点关于 的对称点 ，连接 ，根据“两点之间线段最短”可知
的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求出 的值．
本题考查了求圆柱体表面上两点之间的最短距离．将几何体展开成平面图形，利用轴对称的性质和勾股定
理进行计算是解题的关键．
【详解】如图，
将杯子侧面展开，作A点关于 的对称点 ，连接 ，则 的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
延长 ，过点 作 于D点，
则 ， ， ，
由题意得 ， ，
由勾股定理得 ．
故答案为： ．
三、解答题
6．（2023上·海南海口·八年级校考期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一
个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ；
(2)线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
【答案】(1)图形见解析
(2)两点之间线段最短.
(3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，
解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接 即可；
（2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中 等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中 等于长方
形地毛毯的宽，根据勾股定理计算 的长即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的 ， ．
在 中，由勾股定理可得： ，即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
7．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．
（π取3）
(1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？
(2)现用一根绳子绕圆柱侧面两周，绳子的两个端点分别与点A、点B重合，则绳子长度至少为多少分米？
【答案】(1)6分米
(2) 分米
【分析】（1）设这个圆柱形容器的底面直径为 分米，根据圆柱容积公式得出方程求解即可；
（2）由题意将圆柱侧面展开如图所示，则 长即为绳子长度，再根据勾股定理求出 的长即可．
本题考查了平面展开 最短路径问题，圆锥的体积，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题
的关键．
【详解】（1）解：设这个圆柱形容器的底面直径为 分米，
圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍，
，
，
这个圆柱形容器的底面直径为6分米；
（2）由题意将圆柱侧面展开如图所示，则 长即为绳子长度，
圆柱形容器的底面直径为6分米，
圆柱形容器的底面周长为18分米，
高为直径的 分米，
绳子长度至少为 （分米）．一、单选题
1．（2023下·辽宁丹东·八年级统考期中）如图，已知直线 交x、y轴于A、B两点，以 为边
作等边 （A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为 ，连接 ，则
的最小值为（ ）
A．6 B． C．6.5 D．7
【答案】D
【分析】在 轴上方作等边 ，证明 ，所以点 的轨迹为定直线 ，作点 关
于直线 的对称点 ，连接 ，当点 、 、 在同一条直线上时， 的
值最小，再根据勾股定理，即可解答；
【详解】 点B在直线 上，
在 轴上方作等边即
又∵
∴
∴点 的轨迹为定直线
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
∴当点D、C、 在同一条直线上时， 的值最小
即
的最小值
故选：D
【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件的
问题作出辅助线．二、填空题
2．（2023下·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上
方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ．
【答案】52cm
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，
借助于勾股定理．
【详解】
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，
则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为 ，则易拉罐底面周长是12，高
是20
∴
解得：
∴彩带最短是52cm
故答案为：52cm．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是一个矩形，
此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高．
3．（2023下·广西桂林·八年级校考期中）如图，在等腰直角 中． ， ， 的
平分线交 于点 ，点 为 边的中点，点 和 分别是 和 上动点，则 的最小值是
．【答案】
【分析】连接 ，过点 作 于 ，与 交于点 ，连接 ， ，得 、 点关于 对
称，当 、 、 三点共线，且 时， 为最小值，通过等腰直角三角形的性质求得此
时的 便可．
【详解】解：过点 作 于 ，与 交于点 ，连接 ， ，
等腰直角 中． ， ，点 为 边的中点，
， ，
平分 ，
，
， ，
，
，
，
，
当点 、 、 依次在同一直线上，且 时， 的值最小，
如图：∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，角平分线定义，等腰直角三角形的性质，灵活应用角平分线定理，
准确找到点 关于 的对称点，再结合垂线段最短，将所有最小距离转化为垂线段 的长是解题的关
键．
4．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）已知如图，点 、 、 ，设
为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位的速度运
动到 ，再沿线段 以每秒 个单位的速度运动到 后停止，当点 的坐标是 时，点 在整个运
动过程中用时最少．
【答案】
【分析】根据时间 的表达式，利用 ， 点坐标特点构造等腰直角三角形，找到 和 之间关系，放
在同一个三角形中，两边之和大于第三边找到与 关系， 为垂线的时候最短，即可找到 点坐标．
【详解】解： 在整个过程共用时：
如图分别作 轴， 轴，使 、 交于 ，的坐标为 ， ，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
如图过点 作 于点 ，连接 ，
也是等腰直角三角形，
，
，
当 时， 取得最小值，即 ，
，
此时， 与 交于点 ，
的横坐标等于 点的横坐标，
，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入解析式得 ，解得 ，
∴解析式为 ，
将 代入 ，得 ，
∴当 的坐标为 ，点M在整个运动过程中用时最少，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了直角坐标系下动点问题，二元一次方程组，最短路径问题，构造等腰直角三角形，将
有关线段放在一个三角形中，利用三角形成形条件，找到最短路径下F点的坐标是解答本题的关键．
5．（2023上·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在 中， ， ， ，点
是 内一点，则点 到 三个顶点的距离和的最小值是 ．
【答案】
【分析】以 为边作等边三角形 ，以 为边作等边 ，连接 ，可证 ，可
得 ，则 ，即当D、E、O、N四点共线时， 值最小，
最小值为 的长度，根据勾股定理先求得 、 ，然后求 的长度，即可求 的最小
值．
【详解】解：以 为边作等边三角形 ，以 为边作等边 ，连接 ，作 ，交
的延长线于F，如图所示，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ，∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当D、E、O、M四点共线时，即 值最小，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 的最小值是 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质和最短路径问题，构造等边
三角形是解答本题的关键．
6．（2022上·重庆江北·八年级校考期末）如图，在 中， ， ， ，
是 的平分线，若M、N分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】如图，作N关于 的对称点E，连接 ，在 中，勾股定理解出 ，根据三角
形两边之和大于第三边得到： ，最后利用等积法求解即可
【详解】如图，作N关于 的对称点E，连接
在 中， ， ， ，
是 的平分线，
与 关于 轴对称，
当 时 最小，
由
即解得
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称——最短问题，解直角三角形等知识；解题的关键是学会利用轴对称解决最短问
题，再利用等面积法结算线段长度是解题的关键．
7．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点
B，C构成等腰三角形 ．图甲是梯子两脚架夹角A为 时的示意图，图乙是由图甲当点 与点
的距离缩小 ，而点A与地面的距离增大 时的示意图，若点A与地面的距离为 时，则此
时点 与点 的距离是 ．
【答案】140
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作 于点D，根据等腰
直角三角形的性质 ，设 ，利用勾股定理得到 ，进而得到 ，图乙，
根据题意得出 ， ， ，在 中，利用勾股定理得出x，即 ，图丙，在 中，利
用勾股定理得出 ，进而求得 ．
【详解】解：如图甲，
由题意可知， 为等腰直角三角形，
，
过点A作 于点D，，
设 ，
由勾股定理得： ，
，
，
如图乙，
过点 作 于点 ，
图乙是由图甲当点 与点 的距离缩小 ，而点A与地面的距离增大 时的示意图，
， ，
，
梯子长度不变，
，
在 中， ，
，
解得： ，
，若点A与地面的距离为 时，如图丙，
过点A作 于点F，
， ，
在 中， ，
，
解得： ，
，
此时点 与点 的距离是 ．
故答案为：140．
三、解答题
8．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年
来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了
一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，
．请用a、b、c分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积
之间的关系，可得到勾股定理：
______，______，
______，
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理 ．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为______千米
（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站P，使
得 ，求出 的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．
【答案】小试牛刀： ； ； ； ；
知识运用：（1）41；
（2） （千米）；
知识迁移：20．
【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；
知识运用：（1）连接 ，过点 作 的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得
．
（2）作 的垂直平分线，交 于点 ，分别在 和 中用勾股定理表示出 与 联立
方程求解即可．
知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可．
【详解】解：小试牛刀：
，
，
，
则它们满足的关系式为： ．知识运用：
（1）如图2①，连接 ，作 于点E，
，
，
，
有勾股定理得到：
（千米）
∴两个村庄相距41千米．
（2）连接 ，作 的垂直平分线交 于点 ，
设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
即 千米．
知识迁移：如图3，过 作点 的对称点 ，连接 交 于点 ，
过 作 ，
根据对称性： ，
设 ，则 ，有勾股定理得，
，
．
∴代数式 的最小值为：
．
【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应
用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目．
9．（2020上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝
160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H
分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出 ABC是直角三角形；
（2）由 ABC的面积求出CH，得出AC+BC△＜CH+AH+BH，即可得出结果．
【详解】△解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝ AB•CH＝ AC•BC，
∴CH＝ （m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾
股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
10．（2023下·江西吉安·八年级校联考阶段练习）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且
，在A处有一所中学， 米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的
速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
【答案】（1）学校受到噪音影响，理由见解析；（2）32秒
【分析】（1）过点A作 于B，根据在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半，得到，由于这个距离小于100m，所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受
到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作 交MN于C、D，再根据勾股定理计算出 ，则
，根据速度公式计算出拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间．
【详解】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作 于B，如图，
， ，
，
而 ，
消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作 交MN于C、D，如图，
，
在 中， ， ，
，
同理，
，
拖拉机的速度 ，
拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间为： （秒），
学校受影响的时间为32秒．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、含30度的直角三角形三边的关系以及路程与速度之间的关系，恰当
的作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．
11．（2021上·山东青岛·八年级统考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百
年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，
∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S ABCD＝ ，
梯形
S EBC＝ ，
△
S AECD＝ ，
四边形
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使
得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式 的最小值＝ ．
【答案】（小试牛刀） ， ， ， ；（知识运用） 米；
（知识迁移）
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形 面积为 和 的面
积和，求解即可；
（知识运用）作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，由三角形三边关系可得当
三点共线时， 距离最小；
（知识迁移）如下图， ， ， 、 ，点 为线段 上一点，则
，由上可得当 三点共线时， 距离最小．
【详解】解：（小试牛刀）由图形可得
化简可得
故答案为： ， ， ， ；
（知识运用）作点 关于 的对称点 ，连接 ，如下图：
由题意可得：
，则 的最小值，即为 的最小值
由三角形三边关系可得： ，当 三点共线时
∴ 的最小值为 ， 米
故答案为 米；
（知识迁移）如下图， ， ， 、 ，点 为线段 上一点，则
，
由上可得当 三点共线时， 距离最小，最小为 ，
故答案为
【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．12．（2021上·江苏连云港·八年级统考期中）将 沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的
点E处．展开如图1．
【操作观察】（1）图1中， ， ．
①则 _______；
②若 ，则 _______；
【理解应用】（2）如图2，若 ，试说明： ；
【拓展延伸】（3）如图3，若 ，点G为AC的中点，且 ．点P是AD上的一个动点，连
接PG、PC．求 的最小值．
【答案】（1）①2；②12；（2）见解析；（3）75
【分析】（1）①由于翻折，故AE=AC，所以BE=AB－AE；②由于翻折，故AD平分∠BAC，故点D到
AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于 ABD边AB上的高．再由三角形面积公式
△
可知， ，从而得到 ；（2）由于翻折，知∠AED=∠C，又因为 ，等量代换得
∠B=∠BDE，从而BE=DE，整理代换即可；（3）根据“将军饮马”模型知，PG+PE的最小值为EG．再
根据AE=2AG，∠BAC=60°，可推断出△AEG是含60°角的直角三角形，从而得到EG的长，得解．
【详解】解：（1）①∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC
∴BE=AB－AE= AB－AC=8－6=2
∴BE=2；
②∵翻折，
∴AD平分∠BAC，∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高
∴由三角形面积公式可知， ，
又∵ ，
∴ ．
（2）∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC，∠AED=∠C，DE=CD
又∵ ，∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
又∵AB=AE+BE
∴AB=AC+DE=AC+CD．
（3）∵翻折
∴PC=PE
∴PG+PC=PG+PE，当点P运动到EG连线时，PG+PE有最小值为EG
∴ 的最小值为EG2
∵AG=5，AE=AC=2AG，∠BAC=60°
∴△AEG是含30°角的直角三角形∴EG= ，即
∴ 的最小值为75．
【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，“将军饮马”问题，利用翻折得到全等三角形是解决
本题的关键．
13．（2022上·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中， 的位置如图所示，请回答下列
问题：
(1)请直接写出A﹑B、C三点的坐标____________、___________、_________．
(2) 的周长为_________，面积为_________；
(3)画出 关于x轴的对称图形 ．
(4)已知点P为x轴上一动点，则 的最小值为_________．
【答案】(1)A(1,4)/B(4,2)/C(3,5)
(2) /3.5
(3)见详解
(4)
【分析】（1）根据点A、B、C在平面直角坐标系中的位置写出其坐标；
（2）用勾股定理算出 ABC三边的长，而后相加得到其周长，再用梯形DEBC的面积减去 ACD的面积
减去 ABE的面积即得△ ABC的面积； △
（3）△根据点A(1,4)，B(△4,2)，C(3,5)，写出其关于x轴的对称点A
1
(1,-4)，B
1
(4,-2)，C
1
(3,-5)，在平面直角坐
标系网格中描出格点顺次连线；（4）连接AB， PB，根据对称轴上一点到两个对称点的距离相等，得到BP=BP，根据
1 1 1
AP+BP=AP+BP≥AB，得到点P运动到AB 上时，AP+BP=AP+BP= AB ，AP+BP取得最小值，用勾股定理
1 1 1 1 1
求出AB 的值即得．
1
【详解】（1）解：A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)；
故答案为，A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)；
（2）解：∵ ，
，
，
∴ ；
过点A作DE∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，则CD∥BE，
∴四边形DEBC是梯形，
∴
=3.5；
（3）解：∵点A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)关于x轴的对称点为A(1,-4)，B(4,-2)，C (3,-5)，
1 1 1
∴在平面直角坐标系网格中描出各格点，而后顺次连线，即得 ，如图所示：（4）解：连接AB， PB，
1 1
∵点B、B 关于x轴对称，
1
∴BP=BP，∵AP+BP=AP+BP≥AB，
1 1 1
当点P运动到AB 上时，
1
AP+BP=AP+BP=AB，AP+BP取得最小值，
1 1
过点A作AF∥y轴，过点B 作BF⊥AF于点F，
1 1
则AF=6，BF=3，
1
∴ ，
∴AP+BP的最小值为 ．
故答案为， ．
【点睛】本题考查了格点三角形周长和面积，轴对称，线段和的最小值，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，一些图形面积公式，熟悉将军饮马问题．
14．（2022上·全国·八年级专题练习）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，
ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？
(3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式 的最小值．
【答案】(1)
(2)5
(3)13
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三
点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE
交BD于点C，则AE的长即为代数式 的最小值，然后构造矩形AFDB，
Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【详解】（1）解：∵AB⊥BD，ED⊥BD
在 中，
∴AC＝ ＝ ，
CE＝ ＝ ，
∴AC+CE＝ ；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴DF＝AB＝2，
∴AE＝ ＝5，
∴AC+CE的最小值是5；
（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD
于点C，
设BC＝x，则AE的长即为代数式 的最小值．
过点A作AF BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝ ＝ ＝13，
即 的的最小值为13．
【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利
用两点之间线段最短是解决问题的关键．
15．（2022上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，一条河流的 段长为 ，在 点的正北方
处有一村庄 ，在 点的正南方 处有一村庄 ，计划在 上建一座桥 ，使得桥 到 村和 村的
距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：(1)将桥 建在何处时，可以使得桥 到 村和 村的距离和最小？请在图中画出此时 点的位置；
(2)小明发现：设 ，则 ，则 ，根据（1）中的结论可以
求出当 ______时， 的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
① 的最小值______；
② 的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)① ；②
【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接 ，交 于点 即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出 的长度，根据勾股定理求出 即为最小值；
（3）①根据题意可知 的最小值 ，计算即可；
②将 转换为 ，然后根据上述规律求最小值
即可．
【详解】（1）解：如图，点 即为所作：；
（2）过点 作 ，交 与点 ,
则 ， ，
，
设 为 ，则 ，
则 ，
即 ，
解得 ，
，当 时，最小值为 ，
故答案为： ； ；
（3）① 的最小值 ，
故答案为： ；
②
的最小值 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形
进行解答是本题的关键．
16．（2023下·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）
(1)问题提出
如图1，已知点C为线段 上一动点，分别过点B、D作 ， ，连接 、 ．已知
， ， ，则 的最小值是_______．
(2)问题探究
如图2，在四边形 中， ， ， ， ， ，E是四边形 内
一动点，且 ，求 的最小值．
(3)问题解决
如图3，已知 ，长度为2的线段 在射线 上滑动，点C在射线 上，且 ， 的
两个内角的角平分线相交于点F，过F作 ，垂足为G，求 的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）连接 交 于点 ，根据“两点之间，线段最短”可得当点C位于点 处时，
的值最小，此时构造直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）过点A作 于点F，利用勾股定理求出 的长，过点E作 于点M，作 于
点N，利用 ，得到 ，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得点M、E、N三点共线，根据平行线的距离可得 ，进而得到 的长．过点E作 ，作点
D关于直线 的对称点 ，连接 ，交直线 于点 ，连接 ， ，则点E位于点 时，根据
对称性， 为最小值．根据平行线距离的意义可得 ，根据对称性
得到 的长，进而利用勾股定理可得 的长，即为 的最小值
（3）过点C作 于点M，过点F分别作 于点P， 于点Q．利用角平分线的性质
与三角形的面积公式得到 ，将问题求 的最大值转化为求 的最小
值．作点C关于 的对称点 ，连接 、 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，要使
的值最小，只需C、E、H三点共线．由轴对称图形的性质可得点G是 的中点，进而 为
的中位线，得到 ，从而在等腰 中，利用“三线合一”的性质与勾股定
理求出 ，即 的最小值为 ，从而求出 的最大值．
【详解】（1）
如图①，连接 交 于点 ，
，
∴当点C位于点 处时， 的值最小．过点E作 交 延长线于点F，则四边形 是
矩形，
， ．
．
在 中， ，
的最小值是 ．故答案为： ．
（2）
如图②，过点A作 于点F
∴
过点E作 于点M，作 于点N，
，
∴点M、E、N三点共线
， ，
，且过点E作 ，作点D关于直线 的对称点 ，连接 ，交直线 于点 ，连接 ， ，
则点E位于点 时，根据对称性， 为最小值．
∵点 与点D关于直线 对称
∵在 中， ,
即 的最小值为
（3）
如图③，过点C作 于点M，过点F分别作 于点P， 于点Q．
， ，
．
平分 ， ， ，
．
平分 ， ， ，．
．
∴要使 的值最大，即 的值最小即可．
如图③，作点C关于 的对称点 ，连接 、 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，
， ， ， ．
要使 的值最小，只需C、E、H三点共线．如图④
此时点M与点G重合，点G为 的中点，且 ，
为 的中位线，即 ．
．
在等腰 中， ，
．
．
．
．
的最大值为 ．
【点睛】本题考查最短路径问题，角平分线的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
17．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）如图，等腰三角形 中， ，D为边上一点，E为射线 上一点，连接 ．
(1)如图1，点F在线段 上，连接 、 ．若 ， 为等边三角形， ， ，
求 的长；
(2)如图2，F为线段 的垂直平分线上一点，连接 、 、 ，M为 的中点，连接 、 ．若
，求证： ；
(3)如图3， ，D为 中点，F为 中点， 与 交于点G，将 沿射线 方向平移得
，连接 、 ．若 ，直接写出 的最小值．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)
【分析】(1)证明 得到 ，根据 计算即可．
(2)延长 到点N，使得 ，连接 ，先证明 ，在证明 ，得
到 即可．
(3)过点C作 ，根据等边三角形的对称性，得到 ，根据平移的性质，得到直线
上存在点 使得 ，作出点B关于直线 的对称点M，连接 交 于点Q，连接
交 于点N，当点 与点N重合时， 取得最小值，过点M作 ，交 的延长
线于点P，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵ ， ， 为等边三角形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
（2）如图，延长 到点N，使得 ，连接 ，
∵M为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵F为线段 的垂直平分线上一点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
（3）解：如图，过点C作 ，
∵ ， ，D为 中点，
∴ 为等边三角形，直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ；
∵点B平移到点 ，
∴过点B作 ，交直线 于点 ，根据平移性质，得到四边形 是平行四边形，
∴ ， ，根据平移性质，得到 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ；作出点B关于直线 的对称点M，连接 交 于点Q，连接 交 于点N，当
点 与点N重合时， 取得最小值，
过点M作 ，交 的延长线于点P，
∵ ， ， ， 为等边三角形，∴ ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，
平移，线段和的最小值，熟练掌握三角形全等的判定和性质，线段和的最值，等边三角形的判定和性质，
勾股定理是解题的关键．
