文档内容
第十七章 勾股定理
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 利用勾股定理求解边长的多解问题....................................................................................................1
易错题型二 利用勾股定理求解折叠问题的多解问题............................................................................................7
易错题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）......................................................................................15
易错题型三 勾股定理及逆定理与网格问题..........................................................................................................17
【压轴题型】...............................................................................................................................................................22
压轴题型一 利用勾股定理证明线段平方关系......................................................................................................22
压轴题型二 勾股定理的证明方法..........................................................................................................................27
压轴题型三 勾股定理逆定理的拓展问题..............................................................................................................32
压轴题型四 应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题..................................................................................37
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 利用勾股定理求解边长的多解问题
例题：（24-25九年级上·全国·假期作业） 是直角三角形， ， ，则 的长为
．
巩固训练
1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在 中，已知 ， ， ，在平面内
有一点 ， ，连接 ，当 是直角三角形时， 的长为 ．
2．（24-25九年级上·北京通州·期末）小明同学想利用“ ， ， ”，这三个条
件作 ．他先作出了 和 ，再作 ，那么 的长是 ．3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知在 中， ， ， 边上的高线 ，则
边的长为 ．
4．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，在 中， ， ， ，现将
拓展为等腰 ，且使得点 在射线 上，则CD的长为 ．
易错题型二 利用勾股定理求解折叠问题的多解问题
例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图， 中， ， ， ，点 为线
段 上一个动点，连接 ，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交直线 于点 ．若
为直角三角形，则 的长是 ．
巩固训练
1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在 中， ， ， ，点 ，
分别是 ， 边上的动点，沿 所在直线折叠 ，使点 的对应点 始终落在边 上，若
是直角三角形时，则 的长为 ．
2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在 中， ， ，点 在边 上运动，
点 在边 上运动．将 沿 折叠，当点 的对应点 恰好落在边 的三等分点处，此时
．3．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，在 中， ， ，点P是线段AB上一
动点，将 沿直线 折叠，使点B落在D处，CD交 于点E．当 是直角三角形时， 的长
为 ．
4．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，在等边三角形 中， ， 于点D，点E，
F分别是BC，AC上的动点，沿 所在直线折叠 ，使点C落在 上的点 处，当 是直角
三角形时， 的长为 ．
易错题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
例题：（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习） 中，斜边 ，则 的值是
．
巩固训练
1.（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂
美”四边形 ，对角线 交于点 ，若 ， ，则 ．
2.（22-23八年级下·山西大同·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，
， 的顶点A在 的斜边 上，则 的值为 ．3.（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线 交于点O．若 ，
， ，则 ．
易错题型三 勾股定理及逆定理与网格问题
例题：（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图所示的 方可格网格纸中，小正方形的边长为 ，有 ，
两个格点，试取格点 ，使得 是直角三角形，则 的长为 ．
巩固训练
1．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点 ， ， ，
， 为网格线交点）．
2．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在 的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为
1，点A、B、C都在格点上， 于点D，则 的长为3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小
格的顶点叫做格点，格点 如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹．
(1)在图1中，作出 的高 ，并直接写出 的长为 ；
(2)在图2中，在边 上找到点 ，使得 ；
(3)在图3中，作 ，使 和 面积相等但不全等．
4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， 的顶点在格点上．
(1)直接写出 ， ， ；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)直接写出 边上的高 ．
03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 利用勾股定理证明线段平方关系
例题：（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在 中， ．(1)求证： ；
(2)当 ， ， 时，求 的值．
巩固训练
1.（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知 与 都是等腰直角三角形，其中
， 为 边上一点．
(1)试判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)试说明 三者之间的关系．
2.（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在 中，已知 ，D是斜边 的中点，
交 于点E，连接
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的周长.
3.（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰 中， ， ，点F是直线
AB上一个动点，作等腰 ，且 ，连接 ．(1)找出图中全等三角形______．
(2)如图求证： ；
(3)若 ，则 ______．
压轴题型二 勾股定理的证明方法
例题：（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明
古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有 余种．其中我国汉代的
赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定
理：
如果直角三角形 的两条直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 ．
巩固训练
1.（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面
积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用
“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中 ．求证： ．2.（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也
是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证
或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理
（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在 和 中， ，（点 ， ， 在一条直线上），
， ， ．
证明： ；
(2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出 的结果．
3.（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股
定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边
长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．
方法1： ______；方法2： ______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若 ， ，求阴影部分的面积．
压轴题型三 勾股定理逆定理的拓展问题
例题：（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
巩固训练
1.（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，
MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段
AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
2.阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三角形；②若 ，
则该三角形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分
别是4，5，6，则最长边是6， ，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求 的值．
（3）当 ， 时，判断 的形状，并求出对应的 的取值范围．
3.（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是 的三边，且 ，则称
为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图， 中， ， ，P为 边上一点，将 沿直线 进行折叠，点A
落在点D处，连接 ， ．若 为“方倍三角形”，且 ，求 的面积．
压轴题型四 应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题
例题：（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，
此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所
爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
巩固训练
1.（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面
周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器
上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长
2.（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长 ，宽 ，高
，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长
为多少？（点拨：分三种情况讨论解答）
3.（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想
吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点
之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置
如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段 的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为 ，底面周长为 ，在外侧距下底 的点S处有一蜘蛛，与
蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走
的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长 ， ，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度
在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆
虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
