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第十七章 勾股定理 达标检测
一、单选题:
1．下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足 的三个数，称为勾股数．由此判定
即可．
【详解】解：A、 ，能构成勾股数，故正确；
B、0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误；
C、 ，不能构成勾股数，故错误；
D、 ，不能构成勾股数，故错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，熟记常用的勾股数．
2．在 ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如△果a2=b2−c2，那么 ABC是直角三角形且∠A=90°
B．如果∠A:∠B:∠C=1:△2:3，那么 ABC是直角三角形
C．如果 ，那么△ABC是直角三角形
D．如果 ，那么 A△BC是直角三角形
【答案】A △
【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：A、如果 a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么 ABC 是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C△=180°，可得∠A=90°，那么 ABC 是直角三角形，选
项正确，不符合题意； △
C、如果 a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么 ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；
D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠△A=90°，那么 ABC 是直角三角形，选项正确，不
符合题意； △
故选：A．【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．如图，字母B所代表的正方形的边长是（ ）
A．12 B．15 C．144 D．306
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出字母B所代表的正方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△DEF中，由勾股定理得，DF2＋EF2＝DE2，
∴字母B所代表的正方形的面积＝EF2＝DE2−DF2＝225−81＝144（cm2），
∴字母B所代表的正方形的边长＝12（cm），
故选A．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是a，
b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2是解决问题的关键．
4．已知一个直角三角形的两边长分别为 和 ，则第三边长是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】分为两种情况： 斜边是 有一条直角边是 ， 和 都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，分为两种情况： 斜边是 有一条直角边是 ，
由勾股定理得：第三边长是 ；
和 都是直角边，
由勾股定理得：第三边长是 ；
即第三边长是 或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边 、 的平方和等于斜边 的
平方．
5．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， 都在格点上，若 是
的边 上的高，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用割补法可得△ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由勾股定理得：AC＝ ，
∵S ＝3×3− ×1×2− ×1×3− ×2×3＝ ，
ABC
△
∴ AC•BD＝ ，
∴ •BD＝7，∴BD＝ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
6．如图，在矩形COED中，点D的坐标是 ，则CE的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得 ，然后根据矩形的性质得出 ．
【详解】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE=OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
7．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表
面爬行到点C的最短路程为（ ）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为10cm，
则AD=10× =5（cm）．
又因为CD=AB=12cm，
所以AC= ＝13（cm）．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关
键．
8．如图，已知 中， ，F是高 和 的交点， ， ，则线段 的长度为
（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【分析】先证明△BDF≌△ADC，得到BF=AC= ，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ 和 是△ABC的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBF=∠CAD，
∵ ，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∴△BDF≌△ADC，
∴BF=AC= ，
在Rt△BDF中，DF= ．
故选：D
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF≌△ADC是解题关键．
9．如图，在矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠部分 的
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知 为 边上的高，要求 的面积，求得 即可，求证 ，得
，设 ，则在 中，根据勾股定理求 ，于是得到 ，即可得到答案．
【详解】解：由翻折变换的性质可知： ，
∴ ， ， ，
∵四边形 为矩形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换―折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，应
用了方程的思想．本题通过设 ，在 中运用勾股定理建立关于 的方程并求解是解题的关键．
10．如图，在 中， ， ，点D，E为BC上两点． ，F为 外
一点，且 ， ，则下列结论：
① ；② ；③ ；④ ，其中正确的是
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
【答案】A
【分析】①利用全等三角形的判定得 ≌ ，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角
形的判定和全等三角形的性质得 ，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得
，再利用三角形的面积计算 结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得
结论．【详解】解：如图：
对于①，因为 ，
所以 ，
，
因此 ．
又因为 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ．
因此 ≌ ，所以 ．
故①正确．
对于②，由①知 ≌ ，所以 ．
又因为 ，
所以 ，连接FD，
因此 ≌ ．
所以 ．
在 中，因为 ，
所以 ．
故②正确．
对于③，设EF与AD交于G．
因为 ，
所以 ．
因此 ．
故③正确．
对于④，因为 ，又 在 中，
又 是以EF为斜边的等腰直角三角形，
所以
因此，
故④正确．
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面
积．
二、填空题:
11．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 _______．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可求解．
【详解】解：如图：
由图可知： ，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图是解此题的关键．12．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
【答案】45°
【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接AC．
由题意，AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角
形是解决本题的关键．
13．如图，在等腰 ABC中，AD是角平分线，E是AB的中点，已知AB＝AC＝15 cm.BC＝18 cm，则
ADE的周长是___△__ cm.
△
【答案】27
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，再根据中点的性质求解即可.
【详解】解： 在等腰△ABC中，AD是角平分线，E是AB的中点，
AB BD= BC AD
已知AB＝AC＝15 cm. BC＝18 cm，BD=9 DE= AC=7.5 AE= AB=7.5
AD=
△ADE的周长=AE+AD+DE=7.5+12+7.5=27
【点睛】此题重点考察学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
14．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在它的中央，高出水面的部分
为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部 恰好碰到岸边的 ，则这根
芦苇的长度是______尺．
【答案】13
【分析】设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
15．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使
它落在斜边AB上，且与AE重合，CD的长为______．
【答案】3cm
【分析】由勾股定理求得AB=10cm，然后由翻折的性质求得BE=4cm，设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm，
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6cm，∠DEA=∠C=90°，
∴BE=AB-AE=10-6=4（cm ），∠DEB=90°，
设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3．
故答案为3cm．
【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元一次方程的解法，熟练掌握翻折的性质和
勾股定理是解题的关键．
16．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，
他们仅仅少走了________步（假设1米＝2步），却踩伤了花草．
【答案】4
【分析】根据勾股定理求出“路”的长度，再根据少走的“路”计算出少走的长度，得出所需步数即可．
【详解】解：由勾股定理可得：“路”的长度 ，
∴ ，
∵1米＝2步，
∴少走了4步
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
17．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一
个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为169，且直角三角形中较短的直角边的长为5，则中间小正方形面积(阴影部分)为________．
【答案】49
【分析】设直角三角形中较长的直角边的长为a，利用勾股定理求得直角边的较长边，进一步求得阴影部
分的面积即可．
【详解】解：设直角三角形中较长的直角边的长为a，由题意得
a2+52=169
解得：a=12，
则中间小正方形面积(阴影部分)为(12−5)2=49.
故答案为49.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用.
18．如图，在平面直角坐标系中， ， 两点的坐标分别为 和 ， 为等边三角形，则点
的坐标为______．
【答案】
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，再求出点D的横坐标，
然后利用勾股定理列式求出AD的长度，再写出点A的坐标即可．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，∵B、C两点的坐标分别为(-2，0)和(6，0)，
∴BC=6-（-2）=8，
∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC=8，BD=CD=4，
∴点D的横坐标为6-4=2，
在Rt△ABD中，AD= ，
所以，点A的坐标为(2， )，
故答案为：(2， )．
【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，作辅助线构造出直角
三角形是解题的关键．
19．如图，等腰直角 中， ，D为 的中点， ，若P为 上一
个动点，则 的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据中点的含义先求解 作点C关于AB对称点 ，则 ，连接 ，交AB于P，连
接 ，此时 的值最小，由对称性可知 于是得
到 再证明 ，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解： 为 的中点，作点C关于AB对称点 ， 交 于 ，则 ，连接 ，交AB于P，连接 ．
此时 的值最小．
由对称性可知
∴
∴ ，点C关于AB对称点 ，
∴AB垂直平分 ，
∴
根据勾股定理可得
故答案为： ．
【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点
P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以
每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从C出发，在CB边上以每秒 cm的速度向B匀速运动，
设运动时间为t秒(0＜t＜6)，连接MN，若△BMN是等腰三角形，则t的值为_____．【答案】3s或（12 ﹣18）s或 s．
【分析】分三种情形：①当MN＝MB时②当BM＝BN时③当MN＝BN时，分别求解即可；
【详解】解：分三种情形：①当MN＝MB时，作MH⊥BC于H，则HB＝HN．
在Rt△ABC中，∵∠A＝60°，∠C＝90°，AB＝12cm，
∴BC＝AB•sin60°＝6 ，∠B＝30°，
∵BM＝2t，CN＝ t，
∴BN＝6 ﹣ t＝2（BM•cos30°），
∴6 ﹣ t＝ t，
∴t＝3．
②当BM＝BN时，6 ﹣ t＝2t，
∴t＝12 ﹣18．
③当MN＝BN时，同法可得：2t＝2•（6 ﹣ t）•cos30°，解得t＝ ，
综上所述，若△BMN是等腰三角形，则t的值为3s或（12 ﹣18）s或 s．
【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用参数构
建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题:21．已知：如图， ， ， ， ， ，求四边形 的面积．
【答案】36
【分析】利用勾股定理求出BC，再利用勾股定理的逆定理证出△BCD是直角三角形，得到四边形的面积
就等于两个直角三角形的面积之和.
【详解】 ∠A=90°，AB=4，AC=3，
∵
∴ ．
BC=5，BD=12，CD=13，
∵∴ ，
∴△BCD是直角三角形，且斜边为CD，
∴ ．
即四边形ABCD的面积为36．
【点睛】此题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判定△BCD是直角三角形是解
决此题的关键.
22．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，
求图中阴影部分的面积．
【答案】30．
【分析】根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根据勾股定理求得CF
的长，再设BF＝x，即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，
故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm．
在△CEF中，CF＝ =4cm，
设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝（x+4）cm．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．
解得x＝6，故BC＝10．
所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S ADE＝80﹣50＝30（cm2）．
△
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用
勾股定理解决问题是解题的关键．
23．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5
米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留
根号)
【答案】船向岸边移动了(12－ )米
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计
算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，
∴AB＝ ＝12(米)，
由题意，得CD＝13－0.5×10＝8(米)，
∴AD＝ ＝ ＝ (米)，
∴BD＝AB－AD＝(12－ )米，
答：船向岸边移动了(12－ )米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结
合的思想的应用．
24．如图，四边形ABCD，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°，求∠ADC的度数．
【答案】135°.
【分析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，求出∠ADB=45°，再根据勾股定理逆定理在
△BCD中，证明△BCD是直角三角形，即可求出答案．
【详解】解 连接BD，
在Rt△BAD中，
∵AB＝AD＝2，
∴∠ADB＝45°，BD＝ ＝2 ，
在△BCD中，
DB2＋CD2＝(2 )2＋12＝9＝CB2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝45°＋90°＝135°.
故答案为135°.
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出∠ADB=45°，再求出
∠BDC=90°．
25．如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8华里北7
华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少?【答案】17华里
【分析】作出A点关于MN的对称点 ，连接 交MN于点P，则 就是最短路线，根据垂直平分线的
性质，得出 ，根据勾股定理得出 ，即可求出最短路径．
【详解】解：作出A点关于MN的对称点 ，连接 交MN于点P，则 就是最短路线，如图所示：
， ， ，
∵MN垂直平分 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ （华里）．
答：牧童所走的最短里程是17华里．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理，根据题意作出最短路径，是解题的关键．
26．已知正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F为AD上一点，且AF= AD，试判断△EFC的形状．
【答案】△EFC为直角三角形，理由见解析【分析】因为正方形ABCD的边长为4，易得AF＝1，则FD＝3，DC＝BC＝4，AE＝EB＝2；在
Rt△AEF、Rt△DFC，Rt△EBC中，利用勾股定理求出EF、EC、FC的长，再根据勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：△EFC为直角三角形．
∵正方形ABCD的边长为4，AF= AD
∴AF=1，FD=3，DC=BC=4，
∵E为AB的中点，
∴AE=EB=2；
在Rt△AEF中，EF= ；
在Rt△DFC中，FC= =5；
在Rt△EBC中，EC= =2 ．
∴EC2+EF2=FC2，
∴△EFC是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性质，利用勾股定理求出三角形三边长，再
利用勾股定理逆定理解答是解答此题的关键．
27．如图1， 中， ， ， ，点D为斜边上动点．
（1）如图2，过点D作 交CB于点E，连接AE，当AE平分 时，求CE；
（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若 为等腰三角形，直接写出AD的值．
【答案】（1）7.5；（2）15或12.5或18
【分析】（1）由△ACE≌△ADE（AAS），推出CE=DE，AC=AD=15，设CE=x，则BE=20-x，BD=25-
15=10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【详解】解：（1）∵AC⊥CB，AC=15，AB=25
∴BC=20，
∵AE平分∠CAB，∴∠EAC=∠EAD，
∵AC⊥CB，DE⊥AB，
∴∠EDA=∠ECA=90°，
∵AE=AE，
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴CE=DE，AC=AD=15，
设CE=x，则BE=20-x，BD=25-15=10
在Rt△BED中
∴x2+102=（20-x）2，
∴x=7.5，
∴CE=7.5．
（2）①当AD=AC时，△ACD为等腰三角形
∵AC=15，
∴AD=AC=15．
②当CD=AD时，△ACD为等腰三角形
∵CD=AD，
∴∠DCA=∠CAD，
∵∠CAB+∠B=90°，
∠DCA+∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD，
∴CD=BD=DA=12.5，
③当CD=AC时，△ACD为等腰三角形，
如图1中，作CH⊥BA于点H，
则 AB•CH= AC•BC，
∵AC=15，BC=20，AB=25，∴CH=12，
在Rt△ACH中，AH= =9，
∵CD=AC，CH⊥BA，
∴DH=HA=9，
∴AD=18．
综上所述：AD的值为15或12.5或18．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会
利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
