文档内容
第十七章 勾股定理 重难点检测卷
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：勾股定理本章全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，3，4 D．1，2，3
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件；掌握勾股定理的逆定理是关键；按照勾股定
理的逆定理及构成三角形条件，逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、 ，能构成直角三角形，故符合题意；
D、 ，这三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．先求出圆的半径，结合点A
在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数．
【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为 ，
∴点A处所表示的数为 ．
故选：B．
3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边
长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为 ，
故选：D．
4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，一架 的云梯AB斜靠在一竖直的墙 上，这时 为
．如果梯子 的底端向墙一侧移动了 ，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出 的长，再求出 的长，进而即可得解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴ ．
故选：A．
5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形 沿着对角线 折叠，使点C落在点 处，
交 于E．若 ， ，则 的面积是（）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得 的长是解决本题的关键．证出
，设 ，则 ，在直角 中利用勾股定理即可列方程求得 的值，然后根
据三角形面积公式求解．
【详解】∵四边形 是长方形，
，
，
由折叠的性质得： ，
，
，设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
则 ，
则 ．
故选B．
6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1是一台手机支架，图 是其侧面示意图， 可分别绕点
转动，当 转动到 ， 时，点 在 的延长线上，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，过点 作 于 ，可得
，即得 ，得到 ，又可得 ，得到
，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
7．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在
圆柱的下底面的内壁 处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿 的点 处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂
蜜的最短距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用 最短距离，将杯子侧面展开，连接 ，则 的长为蚂蚁到达蜂蜜
的最短距离，利用勾股定理求出 即可求解，找出蚂蚁到达蜂蜜的最短路径是解题的关键．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接 ，则 的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
由题意得， ， ， ，
∴ ，
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ，
故选： ．8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在 中， ， ， ，点 是 边
上的中点，点 是 边上的一个动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ．当 时，则
长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】连接 ，根据勾股定理求出 ，根据直角三角形斜边中线的性质得出
，根据等腰三角形的性质得出 ， ，设
，则 ，根据勾股定理得出 ，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵点 是 边上的中点，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
根据折叠可知： ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题
的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
9．（24-25八年级上·重庆·期末）在如图所示的三角形纸片 中，点 ， 分别在边 ， 上，把
沿着 折叠，点 落在线段 上的点 处；再把 沿 折叠，点 与点 重合．若 ，
，则 纸片的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查翻折变换、三角形的面积， 根据 沿着 折叠，点 落在线段 上的点 处，可
得 ， ， ，根据 沿 折叠，点 与点 重合，可得， ， ，在 和 中，根据勾股定理求得 ，
即可得解．解决本题的关键是掌握翻折变换的性质．
【详解】解：∵ 沿着 折叠，点 落在线段 上的点 处， ， ，
∴ ， ， ，
∵ 沿 折叠，点 与点 重合，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ 纸片的面积是 ．
故选：B．
10．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰 中， ， ，动点 在边
上，点 关于 、 的对称点分别为点 、 ，连接 ，分别交 、 于点 、 ．
甲：我发现线段 的最大值为2，最小值为 ；
乙：我连接 ， ，发现 的大小不变，始终是 ．
则下列判断正确的是（ ）A．甲对乙对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲错乙错
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质可知 ， ， ，易证明
， ，得 是等腰直角三角形，结合勾股定理得 ，当
最小时，即 ；当 最大时，即点 与点 重合；同理证明 ， ，
得 ， ，即可作答．
【详解】解：连接 ， ， ， ， ，如图：
因为动点 在边 上，点 关于 、 的对称点分别为点 、 ，
所以 ， ， ，
则 ， ，
所以 ， ，
因为等腰 中， ， ，
所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 是等腰直角三角形，
则 ，
当 最小时，即 ，此时 ，所以 的最小值为 ；
当 最大时，即点 与点 重合， ，此时 ，
所以 ；
故甲对；
因为 ，动点 在边 上，点 关于 、 的对称点分别为点 、 ，
所以 ， ， ， ， ，
则 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
则 ，
故乙对，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股
定理的性质等知识，解题的关键证明 是等腰直角三角形．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25九年级上·黑龙江·期中）直角三角形斜边长是10，一直角边的长是6，则此直角三角形的面积
为 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理得出另一条直角边，再利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解： 直角三角形斜边长是10，一直角边的长是6，
∵
另一条直角边为： ，
∴
则此直角三角形的面积为： ，
故答案为：24．
12．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点E在正方形 的边 上，若 ，则正
方形 的面积为 ．【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出 即可得到结果．
【详解】解： 四边形 是正方形，
，
，
正方形 的面积 ，
故答案为：5．
13．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在 中， ， ，以斜边 和直角
边 为直径的半圆面积分别记为 、 ，则 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】根据题意，得 ， ，根据勾股定理，得
，代入解答即可．
本题考查了圆的面积，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ， ，
∴
∵ ，∴ ，
故答案为： ．
14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知 、 、 为 的三边，且 ，
则 的形状是 ．
【答案】等腰直角三角形
【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的定义等知识点，利用非负数的性质得
出a、b、c之间的关系是解题的关键．
由非负数的性质得出 ，进而得出 的形状．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的形状为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
15．（24-25九年级上·山西晋中·期末）母亲节前，小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼
物后送给妈妈．他在如图2所示正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图，再进行裁剪折叠即可完成．
已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长 分米．
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，准确识图，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．依题意得EF为这个礼品盒的边长，设 分米，则 分米， 分米，进而
得 分米， 分米，同时 分米，由此得 ，
由此解出 ，进而可得
【详解】解：如图所示：
设 分米，
依题意得： 和 均为等腰三角形，正方形 的边长为 分米，
分米， 分米，
在 中，由勾股定理得： （分米），
在 中，由勾股定理得： （分米），
又 （分米），
，
解得： ，
（分米），
即这个礼品盒的边长为 分米．
故答案为： ．
16．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为 ，高为
，今有一根长 的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为
．【答案】2
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
【详解】解：如图所示： 是直角三角形，
∵底面半径为半径为 ，高为 ，
，
由勾股定理得： ，
∴吸管露在杯口外的长度最少为： ，
答：吸管露在杯口外的长度最少2厘米，
故答案为：2．
．
17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 中，点 在边 上， ， ，
垂直于 的延长线于点 ， ， ，则边 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰
三角形是解题的关键．延长 到 ，使得 ，连接 ，过点 作 交 于点 ，则得出
，再证明 ，求出 、 的长，最后由勾股定理求出 的长与
的长即可．
【详解】解：延长 到 ，使得 ，连接 ，如图所示：
，
，
， ，
，
如上图，过点 作 ，交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
18．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在 中， ，点 是 的中点， ，
点 是射线 上的一个动点，则当 为直角三角形时， 的长为 ．
【答案】 或 或
【分析】分四种情况：①当点 在 的下方，且 时，②当点 在 下方，且 时，
③当点 在 上方，且 时， 当点 在 上方，且 时，根据等边三角形的判定
与性质、勾股定理求解即可得．
【详解】解：①如图 ，当点 在 的下方，且 时，
∵ 为 的中点， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ；
②如图 ，当点 在 下方，且 时，
，
，
，
，
；
③如图 ，当点 在 上方，且 时，
，
，
，
；如图 ，当点 在 上方，且 时，
∵ 为 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
是等边三角形，
；
综上， 的长为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质，正
确分四种情况讨论是解题关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知一个直角三角形的两直角边的长是 和 ，求这个
直角三角形的斜边长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，理解在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解答关
键．
利用勾股定理来计算求解．
【详解】解：由勾股定理得
斜边的长为： ．
20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的
探究：在一个支架的横杆点 处用根细绳悬挂一个小球 ，小球 可以自由摆动，如图， 表示小球静
止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从 摆到 位置，此时过点 作 于点 ，（图中的 、 、 、 在同一平面上），测得 ， ．求 的长．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关键．
设 的长为 ，由 建立方程即可求解．
【详解】解∶设 的长为 ，则 ，
，
，
， ，
中， ，即 ，
解得 ，
答∶ 的长为 ．
21．（24-25八年级上·吉林·期末）如图 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．其中点 ，
均在格点上． 请在给定的网格中按要求作图．
(1)在图 中，以格点为顶点，画出一个 为等腰三角形，且 为锐角三角形；
(2)在图 中，以格点为顶点，画出一个 为等腰三角形，且 为直角三角形；
(3)在图 中，以格点为顶点，画出一个 为等腰三角形，且 为钝角三角形，请在 边上找到一
点 ，使 的面积等于 面积的 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理与网格的计算，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，三
角形的分类，勾股定理的应用，进行解答，即可．
（1）根据等腰三角形的定义，勾股定理的应用，作图，即可；
（2）根据等腰三角形的定义，勾股定理的应用，作图，即可；
（3）根据等腰三角形的定义，勾股定理的应用，三角形的面积，作图，即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 为等腰三角形且 为锐角三角形；
∵ ， ，
∴ 为等腰三角形且 为锐角三角形；
∴ 即为所求（答案不唯一）．
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，且 为直角三角形；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，且 为直角三角形；
∴ 即为所求（答案不唯一）．（3）解：∵ ， ，
∴ 为等腰三角形，且 为钝角三角形，
∵ ， ，
∴ 的面积等于 面积的 ；
∴点 即为所求．
22．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口
的正北方向，入口 和出口 在同一条直线上， ，测得 ， ， ．
(1)求摩天轮 到淘气堡 的距离；
(2)现要在距离摩天轮45m的 处修建游乐项目旋转木马 ，点 ， ， 在同一条直线上，此
时恰好 ，求淘气堡 到旋转木马 的距离．
【答案】(1)75m
(2)60m
【分析】本题考查了勾股定理解三角形的应用．
（1）根据已知角度和边长，利用三角函数求出 长度，进而得出摩天轮到淘气堡的距离 ；
（2）先根据已知条件求出其他线段长度，再利用勾股定理求出淘气堡到旋转木马的距离 ．
【详解】（1） ，
．
， ，．
，点 ， 均在点 的正北方向，即点 ， ， 在同一条直线上，
．
答：摩天轮 到淘气堡 的距离为
（2） ；
，
， ，
，
答：淘气堡 到旋转木马 的距离为60m．
23．（24-25九年级上·江西新余·期末）如图①，在 中， ， ，过点 作直线 的
垂线交 于点 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长；
(3)如本题图②，过点 作 的角平分线交 于点 ，点 关于直线 的对称点为 ，试探究线段
与 之间的数量关系，并对结论给予证明．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ，证明见解析
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出 ，再由 ，即可得出答案；
（2）作 于 ，由含 角的直角三角形的性质得 ，再由等腰直角三角形的性质得
，从而求出 的长；
（3）作 于 ，设 ，则 ， ， ，则 ，
由点 关于直线 的对称点为 ，得 ，可表示出 的长，从而得出结论．【详解】（1）解： ， ，
，
，
，
；
（2）解：作 于 ，
，
，
，
，
；
（3）解： ．
理由如下：作 于 ，
， ，
，
设 ，则 ， ， ，
，
，
点 关于直线 的对称点为 ，，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，含 角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内
角和定理等知识，用 的代数式表示各线段长，从而发现线段之间的数量关系是解题的关键．
24．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知 中， ， ， ， 、 是
边上的两个动点，中点 从点 开始沿 方向运动且速度为每秒 ，点 从点 开始沿
方向运动，在 边上的运动速度是每秒 ，在 边上的运动速度是每秒 ，它们同时
出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为 秒．
(1)当 秒时，点 到 的距离是________；
(2)当 时， ________；
(3)若 将 周长分为 两部分，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，解题中运用分类思想，正
确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
（1）根据勾股定理求得 的长度，进而求得 ，连接 ，过点 作 于点 ，再由三角形的
面积公式建立等式求解，即可解题；
（2）由题知 ， ，由勾股定理求出 ，根据 建立等式求解，即可解题；
（3）根据 将 周长分为 两部分，分两种情况① 在 上运动，② 在 上运动，讨论求解，
即可解题；【详解】（1）解： ， ， ，
，
由题知，当 秒时， ，
连接 ，过点 作 于点 ，
即 ，
解得 ，
点 到 的距离是 ，
故答案为：
（2）解：由题知， ， ，
，
当 时，
可得
整理得 ，
解得 ，
故答案为：
（3）解： 将 周长分为 两部分，
， ，
① 在 上运动，由题知， ， ， ， ， ，
，
解得 ；
② 在 上运动，
，
，
解得
综上所述， 的值为 或 ；
25．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知 轴上两点 ，
的距离记作 ，若 、 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求 间
的距离，
如图，过 分别向 轴、 轴作垂线 、 和 、 ，垂足分别是 、 、 、 ，直
线 交 于点 ，在 中， ， ，
，
(1)平面直角坐标系内任意两点 ， 间的距离公式为：__________；
(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点 ， 之间的距离为__________；
(3)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点 ， ， 为 轴上任一点，则 的最小值
和此时 点的坐标；
(4)应用两点间的距离公式，求代数式 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最小值是 ，
(4)
【分析】（ ）根据题意即可求解；
（ ）利用两点间距离公式计算即可；
（ ）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴相交于点 ，可知此时 的值最小，利
用两点间距离公式可求出 的最小值，再利用待定系数法求出直线 的解析式，进而可求出 点
的坐标；
（ ）由原式 ，可得原式表示点 到点 和 的距离之和，
由两点之间线段最短，可知当点 在以点 和 为端点的线段时，代数式的值最小，进而利用两
点间距离公式即可求解
本题考查了两点间距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握两点间距离公式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得， ，
故答案为： ；
（2）解：由题意得， ，故答案为： ；
（3）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴相交于点 ，则 ，
∴ ，
由两点之间线段最短，可知此时 的值最小，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ ；
（4）解：∵原式 ，∴原式表示点 到点 和 的距离之和，
由两点之间线段最短，可知当点 在以点 和 为端点的线段时，代数式的值最小，
∴最小值 ．
26．（24-25八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于 ，则称这两个等腰三
角形互为“友好三角形“，这两个顶角的顶点互为”友好点“．
(1)已知 与 互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”．
① 若 一个内角为 ，则 °
② 若 一个内角为 ，则 _____
(2)如图1，直线 ．直线 与 之间的距离为2，直线 与 的距离4．A，B为直线 上两点，O为
直线 上一点，C，D为直线 上两点， 与 互为“友好三角形”， 0为 与 的友
好点． ， ，求 的值．
(3)在（2）的条件下， 与 大小保持不变，将 绕着点O顺时针旋转一定角度到如图
（2）位置，则旋转过程中，判断 的值是否变化？并说明理由．
【答案】(1)① 80 ② 或
(2)80
(3)不变，见解析
【分析】（1）① 根据 是等腰三角形，且一个内角为 ，得到顶角为 ，根据定义，
得 ．
② 根据题意，得 是等腰三角形，且一个内角为 ，当 得 ；当 时， ，此时 ．
（2）过点O作 于点E， 于点F，确定 ， ， ， ， 重
合为一条直线，证明 ， ，结合
，计算即可 ．
（3）延长 到点N，使得 ，连接 ，证明 ， 即可．
【详解】（1）① 解：∵ 是等腰三角形，且一个内角为 ，
∴顶角为 ，
根据定义，得 ．
故答案为：80．
② 解：根据题意，得 是等腰三角形，且一个内角为 ，
当 ，根据定义，得 ；
当 时， ，此时 ．
故答案为： 或 ．
（2）解：过点O作 于点E， 于点F，
∵直线 ．直线 与 之间的距离为2，直线 与 的距离4，
∴ ， ， ，
∵经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴ ， 重合为一条直线，
∵ 与 互为“友好三角形”， 为 与 的友好点．
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解： 不变，理由如下：
延长 到点N，使得 ，连接 ，
∵ 与 互为“友好三角形”， 为 与 的友好点．
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
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故 ，
∴ ，
∴ ．
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【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握
全等和勾股定理是解题的关键．
