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2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第二十六章 二次函数（参考答案）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
A
A
A
C
C
二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
9． 1
10． 2
11. −1
12. 121
三、解答题（共6 小题，共64 分）
13．（10 分）
【详解】
(1) 解：把(0，-3)，(-6，-3)分别代入y＝-x2+bx+c，
得{c = −3
−(−6)2 −6b + c = −3， ...................................................................................3 分
解得{b = −6
c = −3． ..........................................................................................................5 分
(2)∵y＝-x2-6x-3＝-(x+3)2+6， .............................................................................7 分
又-4≤x≤0，
∴当x＝-3 时，y 有最大值为6． ..........................................................................10 分
14．（7 分）
【详解】
(1) 证明：
Δ＝(-m)2-4(m-2)...........................................................................................................1 分
＝m2-4m+8
＝(m-2)2+4...................................................................................................................2 分
＞0，............................................................................................................................3 分
∴无论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点． .....................4 分
(2)解：把(0，0)代入y＝x2-mx+m-2，
得m-2＝0， ..............................................................................................................5 分
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解得m＝2．............................................................................................................6 分
∴二次函数的解析式为y＝x2-2x． ......................................................................7 分
15．（10 分）
【详解】
(1)解：由题意，得A(−1,0)，.............................................................................1 分
∵OB = OA，
∴B(0,−1)，........................................................................................................2 分
代入解析式，可求得a = −1，...........................................................................4 分
∴抛物线的解析式为y = −(x + 1)2； .................................................................5 分
(2)过点C作CD ⊥x轴于点D.
∵C(−3, b)在抛物线上，
∴b = −4.................................................................................................................6 分
则S▵ABC = S四边形OBCD −S▵AOB −S▵ACD..........................................................7 分
=
1
2 (1 + 4) × 3 −
1
2 × 1 × 1 −
1
2 × 2 × 4.................................................................8 分
= 3. ........................................................................................................................10 分
16．（12 分）
【详解】
(1) 由题意,得
S=x(20-x)
=-(x −10)2+100,.....................................................................................................3 分
∴当x=10 时,花园的面积最大,最大为100m2......................................................5 分
(2)根据题意,得{
x ≥6,
20 −x ≥12,................................................................................7 分
解得6≤x≤8..........................................................................................................8 分
∵S=-(x −10)2+100,
∴当x<10 时,S 随x 的增大而增大,......................................................................10 分
∴当x=8 时,S 有最大值,........................................................................................11 分
此时花园的面积最大,AB 的长为8m..................................................................12 分
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17．（12 分）
【详解】
(1)4t;(10-2t) .........................................................................................................2 分
(2)由当点Q 运动到点C 时,两点停止运动得0≤t≤3. ....................................3 分
∵PQ 的长度等于10cm,∠B=90∘,
∴(10 −2t)2+(4t)2=102, .......................................................................................5 分
解得t1=0,t2=2, .....................................................................................................6 分
∴当t=0 或2 时,PQ 的长度为10cm. ..................................................................7 分
(3)存在. ................................................................................................................8 分
由题意得△BPQ 的面积
S=
1
2BQ⋅PB
=
1
2 ×4t(10-2t)
=-4t2+20t ............................................................................................................9 分
=-4(t −
5
2)2+25,...................................................................................................10 分
∵-4<0,
∴当t=
5
2时,△BPQ 的面积S 有最大值. .............................................................12 分
18．（13 分）
【详解】
(1)把(2,2.3),(3,2.6)代入y=ax2+bx+1.1,
得{4a + 2b + 1.1 = 2.3,
9a + 3b + 1.1 = 2.6,........................................................................................2 分
解得{a = −0.1,
b = 0.8, ....................................................................................................3 分
∴y 与x 的函数解析式为
y=-0.1x2+0.8x+1.1
=-0.1(x −4)2+2.7. ............................................................................................4 分
(2)∵在该函数解析式中a=-0.1<0,
∴当x=4 时,y 有最大值,最大值为2.7..............................................................5 分
∵2.8>2.7,
∴羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度不能达到2.8m. ..............................7 分
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(3)∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,
∴a=-0.1,
∴解析式变为y=-0.1x2+kx+1.1...................................................................8 分
当x=5 时,y=-0.1 × 52+5k+1.1>2.1,............................................................9 分
解得k>0.7..................................................................................................10 分
∵球的落地点与球网的水平距离小于6
∴当x=11 时,y=-0.1 × 112+11k+1.1<0......................................................11 分
解得k<1.....................................................................................................12 分
∴k 的取值范围为0.7< k<1. .....................................................................13 分
