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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 6 2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十六章 二次函数 建议用时：120 分钟，满分：150 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分） 1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．若二次函数 的图象经过原点，则 的值为（ ） A． B． C． 或 D． 3．关于二次函数 ，下列结论中正确的是（ ） A．其图象的对称轴是直线 B．当 时，y 随x 的增大而减小 C．若点 是抛物线上的点，则点 也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2 个单位长度，再向左平移3 个单位长度后，图象经过点 4．若函数 是关于 的二次函数，则 为（ ） A． B． C． D． 5．已知 ， 两点都在抛物线 （ ）上，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．已知二次函数 ，点 在其第一象限的图象上，点 在其第二象限的图象上，则关于 的一元二次方程 的两根 ，判断正确的是（ ） A． 1 2 1 2 1, 0 x x x x + B． 1 2 1 2 0 x x x x + ＜0， ＞ C． 1 2 1 2 0 0 1 x x x x + ＜， ＞ D． 与 的符号都不确定 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 6 7．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为 ，当水面离桥顶的高度为 米时，水面的 宽度为（ ） A．米 B．米 C． 米 D． 米 8．某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（ ） A． B． C．方程 无解 D． 9．如图，已知点 ，O 为坐标原点，P 是线段 上任意一点（不含端点O、A），过P、O 两点的二 次函数 和过P、A 两点的二次函数 的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线 与 相交于 点D．当 时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ） A．5 B． C．8 D．12 10．已知整式 ，其中 ， ， 为互不相等的正整数且不大于 ，下列说法： ①存在唯一的一组 ， ， 的值，使得 为整式； ②若 ，则满足条件的所有式子中，当 取任意实数时，其值为非负数的整式 的和为 ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 6 ③若 ，则满足条件的 共有 个． 其中正确的个数是（ ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分） 11．用配方法将函数 写成 的形式是__________ 12．将二次函数 的图象向左平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，则平移后的函数 解析式为_______________. 13．若点 和点 在抛物线 上，且 ，则 的取值范围是______________． 14．已知二次函数 ，当 时，二次函数 的最大值为6，则 的 值为____________． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线 与y 轴正半轴有交点，当 时， ； 当 时， ，则m 的值等于______． 16．如图所示，是一个长 、宽 的矩形花园，根据需要将它的长缩短 、宽增加 ，要想使修改后 的花园面积达到最大，则 __________ ． 三、解答题（本大题共9 小题，共86 分） 17．（8 分）若 ，且 与 成正比例， 与 成正比例，当 时， ；当 时， ； (1)求y 与x 的函数关系式； (2) 时，函数的值为多少？ 18．（8 分）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 6 (1)填空： __________， __________； (2)设 为此抛物线的对称轴上一点，当 的面积等于 的面积时，求 点坐标； 19．（8 分）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知 ． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点 向上平移 个单位得到点 ，将 向左平移 个单位得到 ，将 向右平移 个单位得到 ，已 知 和 均在抛物线上，求 和 的值． 20． （8 分）已知二次函数 ，它与x 轴的交点坐标为 ， ，与y 轴的交点坐标为 ． (1)求出 ， ，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当 时函数的最大值和最小值． 21．（8 分）如图，二次函数 的图象与x 轴交于 两点（点 在点 的左边），点 是 该函数图象的顶点． (1)求点 的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使 ，若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理 由． 22．（10 分）已知抛物线 ． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点 是抛物线 与 轴交点的横坐标，记 ，比较 与 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 6 的大小． 23．（10 分）某中学有500 名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现 放学后累计到达食堂的人数 （人）随时间（分）的变化情况满足函数： ． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13 分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5 分钟．原方案和调 整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4 个 5 份/分钟 套餐选择 5 个 8 份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到 预期效果． 24．（12 分）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1 是某同学在某次试投中实心球所经过的路线 呈抛物线形状，图2 是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线 （ 是常数）的一部 分，出手处 点距地面的高度 米． 分值（分） 11 12 13 14 15 落地距离（m） （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） (1)求抛物线的函数表达式； (2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据： ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 6 (3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出 手角度与力量，使球在距出手处 的水平距离2 米处达到最高，最高点距地面2 米，请判断该同学能否得 到15 分的满分？ 25．（14 分）已知抛物线 经过点 两点，与 轴交于点 ，顶点为 ． (1)求 的值及顶点 的坐标； (2)点 为直线 下方抛物线上的一点，当 时，求点 的坐标； (3)点 为 轴上的一动点，连接 ，当 取得最小值时，求点 的坐标，并求出这个最小值．
