学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1 / 10
2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第二十六章 二次函数
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.下列函数中，是二次函数的是( )
A. y =
1
x2 −3
B. y = x2 −(x −1)2
C. y =
1
2 x2 + 3
D. y =
1
x −3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义．解题关键是掌握二次函数的定义：形如y = ax2 + bx + c(a ≠0, a, b, c是
常数)的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A．y =
1
x2 −3右边关于自变量x的代数式是分式，不是二次函数；
B．y = x2 −(x −1)2化简后，不含有二次项，不是二次函数;
C.y =
1
2 x2 + 3符合二次函数的定义，是二次函数；
D.y =
1
x −3右边关于自变量x的代数式是分式，不是二次函数．
2.抛物线y = 2x2 −3与抛物线y = 2x2相比较，其不同点是( )
A. 对称轴不同
B. 开口方向不同
C. 顶点坐标不同
D. 形状不同
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线y = ax2 + k与抛物线y = ax2的图像性质
【详解】
解：A．抛物线y = 2x2 −3与抛物线y = 2x2的对称轴都是y 轴；
B．抛物线y = 2x2 −3与抛物线y = 2x2的开口方向都向上；
C．抛物线y = 2x2 −3 的顶点坐标是（0,−3）与抛物线y = 2x2的顶点坐标是（0,0）；
D．抛物线y = 2x2 −3与抛物线y = 2x2的形状相同；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2 / 10
3.对于二次函数y = −2(x + 1)2，下列说法错误的是( )
A. 它的图象的开口向下
B. 它的图象的对称轴是直线x = 1
C. 当x = −1时，y取最大值
D. 当x > 1时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线y = a(x −h)2的图像性质
【详解】
∵y = −2(x + 1)2中−2 < 0，∴它的图象的开口向下，故A 正确;
图象的对称轴为直线x = −1，故B 错误;
当x = −1时，y取最大值，故C 正确;
∵x > −1时，y随x的增大而减小，
∴当x > 1时，y随x的增大而减小，故D 正确.故选B．
4.二次函数y = ax2 + bx + c的部分图象如图所示，对称轴为直线x = −1，图象与x轴相交于点(1,0)，则方程
ax2 + bx + c = 0的根为( )
A. x1 = 1，x2 = −3
B. x1 = −1，x2 = 3
C. x1 = 1，x2 = −
1
3
D. x1 = −1，x2 =
1
3
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系
【详解】
∵该函数图象与x轴的一个交点坐标为(1,0)，
该函数图象的对称轴为直线x = −1，
∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，
∴方程ax2 + bx + c = 0的根为x1 = 1，x2 = −3，
故选A．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3 / 10
5.某商场购进一批文创商品，进价为每件20元.当售价为每件28元时，每周可卖出160件;每件售价每降低1元，
每周销量增加20件.设每件售价为x元，每周利润为y元，则y与x的函数关系式为( )
A. y = (x −20)[160 + 20(28 −x)]
B. y = (x −20)[160 −20(28 −x)]
C. y = (28 −x −20)(160 + 20x)
D. y = (28 −x −20)(160 −20x)
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数实际应用（销售利润问题），考查单件利润、销售量的列式推导，理清降价
与销量增减关系是解题核心。
【详解】由每件售价为x元，得每件售价降低了(28 −x)元，
每件利润为(x −20)元，
则每周销量增加了20(28 −x)件，
∴y = (x −20)[160 + 20(28 −x)].
故选A．
6.已知α，β是方程2x2 −3x −1 = 0的两个实数根，则αβ −2(α + β) + 4的值是( )
A.
1
2
B.
13
2
C. 3
D.
3
2
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），利用两根之和、两根之积整体代入代数
式求值。
【详解】由根与系数的关系得α + β =
3
2，αβ = −
1
2，
∴αβ −2(α + β) + 4 = −
1
2 −2 ×
3
2 + 4 =
1
2．
故选A．
7.抛物线y = a(x −1)2 −2(a ≠0)，当−1 ≤x ≤2时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值为 ( )
A. 1
B.
3
4
C.
3
4或−
3
4
D.
5
4或−
3
4
【答案】C
【分析】本题考查了顶点式二次函数限定区间内最值求解，分\(a>0\)、\(a<0\)两种开口方向讨论函数最值并
列式计算参数。
【详解】抛物线y = a(x −1)2 −2对称轴x = 1，顶点(1,−2)，区间−1 ≤x ≤2包含对称轴，
分两种情况：
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
4 / 10
1.a > 0，开口向上
最小值ymin = −2；x = −1离对称轴最远，ymax = 4a −2
4a −2 −(−2) = 3，解得a =
3
4
2.a < 0，开口向下
最大值ymax = −2；x = −1处取最小值4a −2
−2 −(4a −2) = 3，解得a = −
3
4
综上a = ±
3
4，选𝐂
8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y = cx + a与二次函数y = ax2 + bx + c的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象综合辨析，依托函数解析式系数的符号，判断函数图象特
征，考查数形结合思想的应用。
【详解】
A项，由抛物线得a < 0，c > 0，由直线得c < 0，a < 0，矛盾;
B项，由抛物线得a < 0，c < 0，由直线得c > 0，a > 0，矛盾;
C项，由抛物线得a > 0，c < 0，由直线得c < 0，a > 0，符合题意;
D项，由抛物线得a > 0，c > 0，由直线得c > 0，a < 0，矛盾.故选C．
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.已知函数y = (m + 4)xm2+3m−2是关于x的二次函数，则m = ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数的定义，要求自变量最高次数为 2 且二次项系数不为 0，通过列方程、求解
参数值。
【详解】
由题意得m2 + 3m −2 = 2且m + 4 ≠0，
解得m = 1．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5 / 10
10.当−1 ≤x ≤5时，二次函数y = −x2 + 2x + 1的最大值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数闭区间最值问题，通过配方确定抛物线对称轴与顶点，结合自变量取值范围
判断最值位置并求解。
【详解】由y = −x2 + 2x + 1 = −(x −1)2 + 2可得该函数图象开口向下，
顶点坐标为(1,2)，
∴当−1 ≤x ≤5时，函数有最大值2．
11.已知方程x2 + x −5 = 0的两根分别为x1，x2，则x1
2 −x2
2 + 2x1的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义与韦达定理的综合应用，通过降次变形结合整体代入法求解代
数式的值。
【详解】∵方程x2 + x −5 = 0的两根分别为x1，x2，
∴x1 + x2 = −1，
∴x1
2 −x2
2 + 2x1 = (x1 + x2)(x1 −x2) + 2x1 = −(x1 −x2) + 2x1 = x1 + x2 = −1．
12.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y(个)与销售价格x(元
/个)的关系如图所示，当10 ≤x ≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大
利润为 元(利润=总销售额−总成本)．
【答案】121
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数
的性质是解题关键．利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次
函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】
解：当10 ≤x ≤20时，设y = kx + b，把(10,20)，(20,10)代入可得：
{10k + b = 20
20k + b = 10，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6 / 10
解得{k = −1
b = 30 ，
∴每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的函数解析式为y = −x + 30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w = (x −8)y = (x −8)(−x + 30) = −x2 + 38x −240 = −(x −19)2 + 121，
∵−1 < 0，
∴当x = 19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
三、解答题（共6 小题，共64 分）
13.（10 分）
已知函数y = −x2 + bx + c(b,c为常数)的图象经过点(0,−3)，(−6,−3)．
(1)求b，c的值；
(2)当−4 ≤x ≤0时，求y的最大值．
【答案】
(1) 解：把(0，-3)，(-6，-3)分别代入y＝-x2+bx+c，
得{c = −3
−(−6)2 −6b + c = −3，
解得{b = −6
c = −3．
(2)∵y＝-x2-6x-3＝-(x+3)2+6，
又-4≤x≤0，
∴当x＝-3 时，y 有最大值为6．
14.(7分)
已知二次函数y = x2 −mx + m −2．
(1)求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
(2)若图象经过原点，求二次函数的解析式．
【答案】
(1) 证明：
Δ＝(-m)2-4(m-2)
＝m2-4m+8
＝(m-2)2+4
＞0，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
7 / 10
∴无论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点．
(2)解：把(0，0)代入y＝x2-mx+m-2，
得m-2＝0，
解得m＝2．
∴二次函数的解析式为y＝x2-2x．
15.(10分)
如图，抛物线y = a(x + 1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB = OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C(−3, b)在该抛物线上，求▵ABC的面积．
【答案】
(1) 解：由题意，得A(−1,0)，
∵OB = OA，
∴B(0,−1)，
代入解析式，可求得a = −1，
∴抛物线的解析式为y = −(x + 1)2；
(2)过点C作CD ⊥x轴于点D.
∵C(−3, b)在抛物线上，
∴b = −4.
则S▵ABC = S四边形OBCD −S▵AOB −S▵ACD
= 1
2 (1 + 4) × 3 −1
2 × 1 × 1 −1
2 × 2 × 4
= 3.
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
8 / 10
16.(12 分)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用20m长的栅栏围
成一个矩形花园ABCD(栅栏只围AB，BC两边)，设AB = xm，花园的面积为Sm2．
(1)当x为何值时，花园的面积最大?最大为多少?
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是12m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗
细)，当花园的面积最大时，AB的长为多少?
【答案】
(1) 由题意,得
S=x(20-x)=-(x −10)2+100,
∴当x=10 时,花园的面积最大,最大为100m2.
(2)根据题意,得{
x ≥6,
20 −x ≥12,
解得6≤x≤8.
∵S=-(x −10)2+100,
∴当x<10 时,S 随x 的增大而增大,
∴当x=8 时,S 有最大值,
此时花园的面积最大,AB 的长为8m.
17.(12 分)如图，在矩形ABCD中，AB = 10cm，BC = 12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速
度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当
点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒．
(1)填空：BQ = cm，PB = cm(用含t的代数式表示)．
(2)当t为何值时，PQ的长度为10cm?
(3)是否存在t的值，使△BPQ的面积S最大?若存在，请求出此时t的值;若不存在，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
9 / 10
【答案】(1)4t;(10-2t)
(2)由当点Q 运动到点C 时,两点停止运动得0≤t≤3.
∵PQ 的长度等于10cm,∠B=90∘,
∴(10 −2t)2+(4t)2=102,
解得t1=0,t2=2,
∴当t=0 或2 时,PQ 的长度为10cm.
(3)存在.
由题意得△BPQ 的面积
S=
1
2BQ⋅PB
=
1
2 ×4t(10-2t)
=-4t2+20t
=-4(t −
5
2)2+25,
∵-4<0,
∴当t=
5
2时,△BPQ 的面积S 有最大值.
18.(本小题13分)
某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
[研究背景]羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
[收集数据]某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位：m)的对应值如表(不考虑空气
阻力)．
水平距离x/m 0 2 3 5 6 ⋯
高度y/m
1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 ⋯
[探索发现]数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图)，发现羽毛球飞行路线
是抛物线y = ax2 + bx + 1.1的一部分．
(1) [建立模型]求y与x的函数解析式(不要求写自变量取值范围)．
(2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m?请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
10 /
(3)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y = ax2 + kx + 1.1，发
球点与球网的水平距离是5m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水
平距离小于6m.求k的取值范围．
【答案】(1)把(2,2.3),(3,2.6)代入y=ax2+bx+1.1,
得{4a + 2b + 1.1 = 2.3,
9a + 3b + 1.1 = 2.6,
解得{a = −0.1,
b = 0.8,
∴y 与x 的函数解析式为
y=-0.1x2+0.8x+1.1
=-0.1(x −4)2+2.7.
(2)∵在该函数解析式中a=-0.1<0,
∴当x=4 时,y 有最大值,最大值为2.7.
∵2.8>2.7,
∴羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度不能达到2.8m.
(3)∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,
∴a=-0.1,
∴解析式变为y=-0.1x2+kx+1.1
当x=5 时,y=-0.1 × 52+5k+1.1>2.1,
解得k>0.7
∵球的落地点与球网的水平距离小于6
∴当x=11 时,y=-0.1 × 112+11k+1.1<0
解得k<1
∴k 的取值范围为0.7< k<1.
