学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1 / 11
2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第二十八章 旋 转
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.下列四个图形中不属于中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】中心对称图形：绕某一点旋转 180° 后能与自身重合的图形。逐一观察选项图形，选出旋转 180° 无
法和原图重合的图形即可。
【详解】
A：旋转 180° 后和原图重合，是中心对称图形；
B：整体上下不对称，绕圆心旋转 180° 后，上下花纹朝向颠倒，无法与原图重合，不属于中心对称图形；
C：地球经纬线样式图案，旋转 180° 完全重合，是中心对称图形；
D：风车样式图案，经典中心对称图形，旋转 180° 重合，是中心对称图形；
故本题选B
2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将△ABC关于y轴的对称图形绕原点O旋转180∘，得
到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标是( )
A. (−1,−2)
B. (1,2)
C. (2,1)
D. (−2, −1)
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2 / 11
【答案】A
【分析】：坐标变换综合（轴对称 + 中心旋转 180°）
【详解】：
1.点A关于y轴对称：横坐标变相反数，纵坐标不变；
2.再绕原点旋转180∘：横、纵坐标同时变相反数；
两次变换叠加等价于：原坐标(x, y) →
变换
(−x,y)
→
旋转180∘
(x, −y)。
结合格点A原始坐标，最终对应点A1(−1,−2)，
故本题选 A。
3.如图，图中的△ABC经过一定的变换得到△A1B1C1，如果图中△ABC上的点P的坐标为(a, b)，那么它的对
应点P1的坐标为( )
A. (−a −2, b)
B. (−a −2, −b)
C. (−a −1, −b)
D. (−a + 1, b)
【答案】B
【分析】：坐标旋转变换、中心对称规律
【详解】：观察图像，△ABC与△A1B1C1关于点(−1,0)中心对称。
设点P(a,b)，中心对称点横纵坐标满足：
xP + xP1
2
= −1, yP + yP1
2
= 0
解得：xP1 = −2 −a, yP1 = −b，
即P1(−a −2, −b)，
故本题选 B。
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3 / 11
4.在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为(6, −5)，则下列说法不正确的是( )
A. 点M在第四象限
B. 点M关于x轴的对称点的坐标为(6,5)
C. 点M关于y轴的对称点的坐标为(−6,−5)
D. 点M关于原点的对称点的坐标为(5, −6)
【答案】D
【分析】：平面直角坐标系点的对称规律
【详解】：M(6,−5)
A：横坐标正、纵坐标负，第四象限，正确；
B：关于x轴对称：(6,5)，正确；
C：关于y轴对称：(−6, −5)，正确；
D：关于原点对称：横纵坐标均变号，应为(−6,5)，选项写(5,−6)错误。
故本题选 D。
5.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点的坐标为(2, √ 3)，则B点
与D点的坐标分别为( )
A. (−2,√ 3)，(2, −√ 3)
B. (−√ 3,2)，(√ 3, −2)
C. (−√ 3,2)，(2, −√ 3)
D. (−√ 7
2 , √ 21
2 )，(√ 7
2 , −√ 21
2 )
【答案】B
【分析】：正方形中心在原点，旋转 90° 坐标变换；向量垂直且等长
【详解】：正方形中心在原点，OA绕原点逆时针旋转90∘得到OB。
旋转 90° 坐标公式：点(x, y)逆时针转 90° 得(−y,x)。
A(2, √3)，则B(−√3, 2)；
D是B关于原点对称点：D(√3, −2)。
故本题选 B。
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
4 / 11
6.如图，在Rt △ABC中，∠ACB = 90∘，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对
应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE.则下列结论一定正确的是( )
A. ∠ABC = ∠BDF
B. BC = DE
C. ∠ADC = ∠FDC
D. BE = BD
【答案】C
【分析】旋转的性质：旋转前后对应边、对应角相等，AC = CD，△ACD等腰
【详解】
由旋转得：AC = CD，∠ACB = ∠DCE = 90∘，∠A = ∠CDE。
∵AC = CD，∴∠A = ∠ADC，又∠A = ∠FDC，∴∠ADC = ∠FDC，C 正确；
A：无等量关系证明∠ABC = ∠BDF；
B：BC = CE，AC = DE，BC与DE不一定相等；
D：无条件证BE = BD。
故本题选 C。
7.如图，点A的坐标是(−4,6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90∘，点A的对应点的坐标是( )
A. (4,6)
B. (6,4)
C. (−6, −4)
D. (−4, −6)
【答案】B
【分析】点绕原点顺时针旋转 90° 坐标变换公式
【详解】点(x, y)绕原点顺时针旋转90∘，对应点坐标(y, −x)。
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5 / 11
A(−4,6)，代入得(6,4)，
故本题选 B。
8.如图，边长为2√ 3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30∘得到正方形AB1C1D1，则它们公共部分(阴影部分)的
面积为( )
A. 4√ 3
B. 2√ 3
C.
4√ 3
3
D. 4
【答案】A
【分析】正方形旋转、全等三角形、面积计算
【详解】正方形边长a = 2√3，绕A顺时针转30∘。
设BC与C1D1交点为M，Rt △AD1M ≅Rt △ABM，∠D1AM = ∠BAM = 30∘。
在Rt △ABM中，AB = 2√3，tan 30∘=
BM
AB，BM = 2√3 × √3
3 = 2。
S△ABM =
1
2 × 2√3 × 2 = 2√3，
阴影面积= 2 × S△ABM = 4√3，
故本题选 A。
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.点P(2,−1)关于原点对称的点的坐标为P′(m,1)，则m = ．
【答案】−2
【分析】关于原点对称的点坐标特征：横、纵坐标均互为相反数
【详解】P(2, −1)关于原点对称点P′(−2,1)，对比P′(m,1)，得m = −2。
10.将数字“6”旋转180∘，得到数字“9”，将数字“9”旋转180∘，得到数字“6”，现将数字“609”整体旋转180∘，
得到的数字是 ．
【答案】609
【分析】图形旋转 180° 数字变化规律
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6 / 11
【详解】将数字“609”整体旋转180∘，得到的数字是609.
故答案为609．
11.如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴
上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则b −a = ．
【答案】3 −√ 7
【分析】算术平方根、数轴点表示的数
【详解】正方形OABC面积 7，边长OA = √7，a = √7；
正方形ODEF面积 9，边长OD = 3，b = 3；
b −a = 3 −√7。
12. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE = 90°，AB = 1，则BD = ．
【答案】√ 2
【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角
等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解决问题的关键．
由旋转的性质得：AB = AD = 1，∠BAD = ∠CAE = 90°，再根据勾股定理即可求出BD．
【详解】
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB = AD = 1，∠BAD = ∠CAE = 90°，
∴BD = √ AB2 + AD2 = √ 12 + 12 = √ 2．
故答案为√ 2．
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
7 / 11
13.(10 分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
(3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．
【答案】(1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求.
(2)解：如图所示，△A2B2C2即为所求.
(3)解：如图所示，△PAB 即为所求；P(2，0)．
14.(7分)
如图，△ABC和△DEF关于点O中心对称．
(1)找出它们的对称中心O;
(2)若AB = 6，AC = 5，BC = 4，则△DEF的周长为 ;
(3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
【答案】(1)解:连接CF,AD,两直线交点即为对称中心O,如图所示;
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
8 / 11
(2)15
(3)四边形ACDF 为平行四边形,理由如下:
∵由(1)可知,O 为对称中心,
即CO=FO,AO=DO,
∴四边形ACDF 为平行四边形.
15.(10分)
如图，P为等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC．
(1)作出△APC绕点A顺时针旋转60∘所得的三角形;
(2)若PA = 6，PB = 8，PC = 10，求∠APB的度数．
【答案】(1)解：如图,△AP′B 即为所得.
(2)如图,连接PP'.
∵△AP'B 由△APC 绕点A 顺时针旋转60∘所得,
∴△AP'B≌△APC.
∴P'A=PA=6,P'B=PC=10.
∵∠PAP'=60∘,∴△PAP'是等边三角形.
∴PP'=PA=6,∠APP'=60∘.
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
9 / 11
∵P'P2+PB2=100=P'B2,
∴△BPP'是直角三角形,且∠BPP'=90∘.
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=60∘+90∘=150∘.
16.(12分)
如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，∠FDE = 45∘，△DEC按顺时针方向旋转一定角度后得△DGA．
(1)图中哪一个点是旋转中心?旋转角度是多少?
(2)试指明图中旋转图形的对应线段与对应角?
(3)求出∠GDF的度数．
【答案】
(1) 解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
∵△DEC 按顺时针方向旋转一个角度后成△DGA，
∴点D 是旋转中心，旋转角∠GDE＝∠ADC＝90°.
(2)解：
由旋转性质得：
对应线段为DE 和DG，CD 和AD，CE 和AG；
对应角为∠ADG 和∠CDE，∠C 和∠DAG，∠CED 和∠G.
(3)解：
∵∠GDE＝∠ADC＝90°，∠FDE＝45°，
∴∠GDF＝∠GDE-∠FDE＝90°-45°＝45°.
17.(12分)
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
10 /
如图，四边形ABCD是正方形，F是BA延长线上一点，连接DF，△ADF绕点A顺时针旋转一定角度后得到△ABE，
AF = 3，AB = 7．
(1)直接写出最小旋转角的度数．
(2)求DE的长．
(3)求证：BE ⊥DF．
【答案】
(1) 解：最小旋转角的度数为90°．
(2)∵△ADF 绕点A 旋转一定角度后得到△ABE，
∴AE＝AF＝3，AD＝AB＝7．
∴DE＝AD-AE＝7-3＝4．
(3)证明：延长BE 交DF 于点H．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAE＝90°．
∵△ADF 绕点A 旋转一定角度后得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF．
∴∠ABE＝∠ADF．
又∵∠BEA＝∠DEH，
∴∠DHE＝∠BAE＝90°．
∴BE⊥DF．
18.(13分)
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
11 /
如图，已知P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B逆时针旋转270∘后得到△CBQ．
(1)画出旋转后的△CBQ;
(2)若旋转方向为顺时针，请写出旋转中心和最小旋转角;
(3)连接PQ，若BP = 3，求∠BPQ的度数和QP的长．
【答案】(1)旋转后的图形如图(1)所示.
(2)∵四边形ABCD 为正方形,
∴∠ABC=90∘.
∵△ABP 经过旋转后到达△CBQ 的位置,
∴旋转中心为点B,最小旋转角为∠ABC=90∘.
(3)如图(2).
∵△ABP 经旋转后得到△CBQ,
∴BP=BQ,∠ABC=∠PBQ,
∴∠PBQ=90∘,∴∠BPQ=45∘.
∵BP=3,∴BQ=3.
由勾股定理得PQ=√ BP2 + BQ2=√ 32 + 32=3√ 2.
